Скорость

Преобразования Лоренца <<	Оглавление	>> Аксиоматика Эйнштейна

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта $\textstyle S$ и $\textstyle S'$. Пусть их оси $\textstyle x$ и $\textstyle x'$ направлены параллельно друг к другу относительной скорости. Скорость системы $\textstyle S'$ относительно $\textstyle S$ равна $\textstyle v$, а скорость $\textstyle S$ относительно $\textstyle S'$, соответственно, "$\textstyle -v$":

Ключевым понятием кинематики является событие. Предполагается, что оно имеет сколь угодно малые длительность и локализацию в пространстве. Событие характеризуется положением $\textstyle \{x,y\}$ и моментом времени $\textstyle t$. Наблюдатели в каждой системе отсчета регистрируют подобное событие по своим приборам, получая значения $\textstyle \{t,x,y\}$ для $\textstyle S$ и $\textstyle \{t',x',y'\}$ для $\textstyle S'$. Напомним, что наблюдатели способны проводить измерения только в своей непосредственной окрестности. Поэтому каждую систему отсчета мы представляем "заполненной" такими наблюдателями. Данное событие регистрируют два наблюдателя в $\textstyle S$ и $\textstyle S'$, которые находятся в том месте, где произошло событие. Благодаря процедурам синхронизации и согласования единиц времени полученные ими наблюдения будут непротиворечиво восприняты и другими собратьями из их систем отсчета. Стоит помнить, что эффекты теории относительности проявляются при больших скоростях, и для получения заметных отличий от классической кинематики часто потребуется изучать большие расстояния. Поэтому введение множества наблюдателей оказывается достаточно полезным.

Обычно представляет интерес сравнение наблюдений не единичного события, а некоторого процесса. Будем считать, что процесс состоит из двух последовательных событий: его начала в момент времени $\textstyle t_{1}$ (в системе $\textstyle S$) и конца в момент $\textstyle t_{2}$. Соответственно, его локализация в пространстве также характеризуется двумя точками $\textstyle \{x_{1},y_{1}\}$ и $\textstyle \{x_{2},y_{2}\}$. Интервал времени между событиями и разности координат равны:

$\Delta t=t_{2}-t_{1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta x=x_{2}-x_{1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta y=y_{2}-y_{1}.$

Для каждого из этих двух событий можно записать преобразования Лоренца и вычесть их друг из друга.

В силу линейности преобразований и постоянства скорости $\textstyle v$ для приращений справедливы преобразования лоренцевского вида:

$\Delta t'={\frac {\Delta t-v\Delta x}{\sqrt {1-v^{2}}}},\;\;\;\;\;\Delta x'={\frac {\Delta x-v\Delta t}{\sqrt {1-v^{2}}}},\;\;\;\;\;\Delta y'=\Delta y.$

(1.13)

Часто мы будем записывать все соотношения для 2-мерного пространства $\textstyle \{x,y\}$, помня, что в силу симметрии связь проекций векторов на ось $\textstyle z$ будет такой же, как и на ось $\textstyle y$.

Рассмотрим движущийся объект. Можно измерить его положение, т.е. координаты $\textstyle \{x_{1},y_{1}\}$ в момент времени $\textstyle t_{1}$, а затем положение $\textstyle \{x_{2},y_{2}\}$ в момент времени $\textstyle t_{2}$. По определению проекции его скорости $\textstyle \mathbf {u} =\{u_{x},u_{y}\}$ в системе $\textstyle S$ равны

$u_{x}={\frac {\Delta x}{\Delta t}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_{y}={\frac {\Delta y}{\Delta t}},$

и, аналогично, со штрихами в $\textstyle S'$. Если скорость объекта постоянна, то величина интервала времени роли не играет. Для движения с переменной скоростью предполагается, что $\textstyle \Delta t$ сколь угодно мал (производная координаты по времени).

Из преобразований для приращений (1.13) несложно найти связь между скоростями объекта для наблюдателей в системе $\textstyle S$ и $\textstyle S'$:

$u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-u_{x}v}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u'_{y}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1-u_{x}v}}.$

(1.14)

Обратные преобразования скорости получаются прямыми вычислениями. Впрочем, в силу эквивалентности инерциальных систем отсчета можно сразу изменить знак у скорости $\textstyle v$ и переставить местами штрихованные и нештрихованные величины:

$u_{x}={\frac {u'_{x}+v}{1+u'_{x}v}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_{y}={\frac {u'_{y}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+u'_{x}v}}.$

(1.15)

Если, например, мы стоим на перроне и $\textstyle \mathbf {u} '=\{u'_{x},u'_{y}\}$ — это скорость мухи относительно поезда, который движется со скоростью $\textstyle v$, то скорость мухи относительно нас будет складываться из движения поезда и движения мухи. В классической механике это сложение имеет вид:

$u_{x}\approx u'_{x}+v,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_{y}\approx u'_{y}.$

В теории относительности подобные соотношения — лишь некоторое приближение, справедливое до тех пор, пока скорости поезда и мухи много меньше фундаментальной скорости $\textstyle c=1$. Чем быстрее движется муха или поезд, тем сильнее "сложение" их скоростей (1.15) отличается от классического.

$\textstyle \bullet$ Попрактикуемся в восстановлении фундаментальной константы $\textstyle c$. Для всех скоростей необходимо сделать замену $\textstyle v\mapsto v/c$, поэтому преобразование скоростей, например, вдоль оси $\textstyle x$ принимает вид:

$u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-u_{x}v/c^{2}}}.$

Рассмотрим объект, движущийся вдоль оси $\textstyle x$ с фундаментальной скоростью $\textstyle u_{x}=c$. Тогда в другой системе $\textstyle S'$ его скорость будет равна:

$c'={\frac {c-v}{1-cv/c^{2}}}=c.$

Таким образом, объект, движущийся со скоростью, равной "$\textstyle c$", в одной системе отсчета, будет иметь ту же скорость и в любой другой системе. Поэтому "$\textstyle c$" можно также назвать инвариантной скоростью.

При помощи преобразований (1.14) несложно ($\textstyle \lessdot$ H) проверить, что квадрат длины скорости $\textstyle \mathbf {u} ^{2}=u_{x}^{2}+u_{y}^{2}$ преобразуется следующим образом:

$1-\mathbf {u} '^{2}={\frac {\left(1-\mathbf {u} ^{2}\right)\,(1-\mathbf {v} ^{2})}{(1-\mathbf {u} \mathbf {v} )^{2}}},$

(1.16)

где $\textstyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{x}\,v$ — проекция скорости объекта $\textstyle \mathbf {u}$ на скорость системы $\textstyle \mathbf {v}$. Если в одной системе отсчета объект движется в произвольном направлении с фундаментальной скоростью $\textstyle \mathbf {u} ^{2}=c^{2}=1$, то и в другой инерциальной системе $\textstyle \mathbf {u} '^{2}=1$, поэтому "$\textstyle c$" является инвариантной скоростью независимо от её направления.

Подобная инвариантность обычно в качестве постулата используется при выводе преобразований Лоренца (см. следующий раздел). Однако это, на самом деле, следствие теории относительности, причем одно из наиболее необычных и непривычных для нашего обыденного опыта.

Запишем при помощи векторных преобразований Лоренца (1.12), стр. \pageref{lorenz_vec0}, преобразование для скорости также в векторном виде. Разделив $\textstyle \Delta \mathbf {r} '$ на $\textstyle \Delta t'$, получаем:

$\mathbf {u} '={\frac {\mathbf {u} -\gamma \mathbf {v} +\Gamma \,{\mathbf {v} }\,({\mathbf {v} }{\mathbf {u} })}{\gamma \,(1-\mathbf {u} \mathbf {v} )}}.$

(1.17)

При помощи двойного векторного произведения (тождество "бац минус цаб", стр.\pageref{abc_bac_cab}) это преобразование можно переписать в таком виде:

$\mathbf {u} '={\frac {\mathbf {u} -\mathbf {v} +[\mathbf {v} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {u} ]]\,\Gamma /\gamma }{1-\mathbf {u} \mathbf {v} }}.$

(1.18)

Если скорость системы отсчёта $\textstyle S'$ параллельна скорости тела, то произведение $\textstyle \mathbf {v} \times \mathbf {u} =0$ и (1.18) совпадает с одномерным преобразованием скорости вдоль оси $\textstyle x$ (1.14).

$\textstyle \bullet$ Фундаментальная инвариантная скорость "$\textstyle c$" является также предельно возможной скоростью движения "материального" объекта. В самом деле, пусть наблюдатель в системе $\textstyle S$ создаёт своего клона и отправляет его в полет со скоростью $\textstyle v$ (система $\textstyle S_{1}$). Первый клон создает второго и "отправляет" его с той же скоростью относительно себя (система $\textstyle S_{2}$), и т.д. до бесконечности. В классической физике $\textstyle n$-тый клон относительно системы $\textstyle S$ имел бы скорость $\textstyle u_{n}=n\,v$, которая при $\textstyle n\to \infty$ также стремилась бы к бесконечности. В релятивистском мире скорость $\textstyle n$-того и $\textstyle (n-1)$-го клонов относительно системы отсчета $\textstyle S$ связаны следующим образом:

Если протабулировать это соотношение, начиная с $\textstyle u_{0}=0$, $\textstyle v=1/2$, то получится график, приведенный на рисунке справа. Скорость $\textstyle u_{n}$ при $\textstyle n\to \infty$ стремится к $\textstyle c=1$. Хотя $\textstyle u_{n}$ постоянно увеличивается, относительно наблюдателя в $\textstyle S$ каждая добавка становится всё меньше. При $\textstyle n\to \infty$ можно положить $\textstyle u_{n}=u_{n-1}=u_{\infty }$ и получить асимптотическое значение, не зависящее от $\textstyle v$: $\textstyle u_{\infty }=(u_{\infty }+v)/(1+u_{\infty }\,v),$ откуда $\textstyle u_{\infty }=1.$

Найдём явную зависимость $\textstyle u_{n}$ от $\textstyle n$. Закон сложения скоростей (1.15) можно записать следующим образом:

${\frac {1+u_{x}}{1-u_{x}}}={\frac {1+u'_{x}}{1-u'_{x}}}\cdot {\frac {1+v}{1-v}}.$

Вводя гиперболический арктангенс (стр. \pageref{m_hyperbol}), имеем:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathrm{ath}\,u_x)=\mathrm{ath}\,u'_x)+\mathrm{ath}\,v),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\;\mathrm{ath}\,v)=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+v}{1-v}.}

Поэтому $\textstyle \mathrm {ath} \,(u_{n})=n\,\mathrm {ath} \,(v)$, или:

$u_{n}={\frac {1-w^{n}}{1+w^{n}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;w={\frac {1-v}{1+v}}<1.$

Понятно, что при $\textstyle n\to \infty$, $\textstyle u_{n}\to 1$. Формула сложения скоростей, записанная при помощи гиперболического арктангенса, имеет важный геометрический смысл, который мы обсудим при рассмотрении пространства Лобачевского (стр. \pageref{sec_spher_geometr}).

Кроме рассмотренного мысленного эксперимента с клонами, существуют также веские энергетические причины предельности скорости "$\textstyle c$", которые будут рассмотрены чуть позже.

$\textstyle \bullet$ При помощи преобразований (1.13) несложно ($\textstyle \lessdot$ H) проверить, что для любых двух событий следующая комбинация приращений имеет одинаковое значение для наблюдателей из различных инерциальных систем отсчета:

$(\Delta s)^{2}=(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}=(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}.$

Величина $\textstyle \Delta s$ называется интервалом между событиями и является инвариантом преобразований Лоренца.

Если в некоторой точке $\textstyle (x_{1},y_{1})$ произошла вспышка света, распространяющаяся в виде сферической волны (в плоскости — окружность) со скоростью $\textstyle c=1$, то за время $\textstyle \Delta t$ её радиус $\textstyle R$ станет равным $\textstyle \Delta t$:

Следовательно, $\textstyle (\Delta s)^{2}=0$, и такие интервалы называются светоподобными. Светоподобные интервалы возникают между событиями, которые можно связать распространяющимся с фундаментальной скоростью сигналом. Светоподобный интервал равен нулю для всех наблюдателей. Поэтому сферическая световая волна будет выглядеть сферической из любой инерциальной системы отсчета.

Если $\textstyle (\Delta s)^{2}>0$, то интервал называется времениподобным. В частности, если $\textstyle \Delta x=\Delta y=0$, то $\textstyle \Delta s$ равен времени $\textstyle \Delta t$, прошедшему на неподвижных в данной системе часах. События, связанные времениподобными интервалами, могут быть соединены сигналом, распространяющимся со скоростью $\textstyle \mathbf {u}$, меньшей единицы ($\textstyle c=1$):

$(\Delta s)^{2}=(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}=(\Delta t)^{2}\cdot (1-{\mathbf {u} }^{2})>0,$

где $\textstyle {\mathbf {u} }^{2}$ — квадрат скорости перемещения на $\textstyle \Delta x$, $\textstyle \Delta y$ за время $\textstyle \Delta t$. Естественно, свойство времениподобности интервала является инвариантным свойством для всех наблюдателей.

Наконец, если $\textstyle (\Delta s)^{2}<0$, то интервал называется пространственноподобным. Два события, для которых $\textstyle (\Delta s)^{2}<0$, нельзя связать световыми сигналами или "обычными" частицами, имеющими скорость меньше фундаментальной.

Инвариантность интервала имеет глубокий геометрический смысл. Величина $\textstyle \Delta s$ является расстоянием в псевдоевклидовом 4-мерном пространстве - времени. Подробнее геометрические аспекты теории относительности мы рассмотрим в следующей главе, а сейчас сделаем ещё несколько замечаний общего характера.

$\textstyle \bullet$ Объект, летящий со скоростью, сколь угодно близкой к фундаментальной скорости "$\textstyle c$", качественно отличается от объектов, имеющих в точности скорость "$\textstyle c$". Например, преобразования Лоренца при $\textstyle v=c$ обращаются в бесконечность. Это приводит к тому, что с объектами, имеющими скорость "$\textstyle c$", нельзя связать инерциальную систему отсчета, наполненную наблюдателями, часами и линейками.

Наш мир вполне мог быть устроен так, что в нем вообще бы отсутствовали объекты, способные двигаться со скоростью "$\textstyle c$". На самом деле, это было бы более естественным. В таком мире "$\textstyle c$" являлась бы предельной, но недостижимой никаким объектом скоростью.

Однако, по-видимому, наш мир устроен иначе, и в нем существуют принципиально отличные от остальных объектов сущности, движущиеся с фундаментальной скоростью. Их самым важным представителем является свет. Он дает нам возможность изучать удалённые предметы, а благодаря свету, испускаемому Солнцем, существует жизнь на нашей планете. При высокой энергии мы воспринимаем свет, как частицы (фотоны), а при малой — как волны (электромагнитное излучение).

Кроме света, могут существовать и другие сущности, движущиеся с фундаментальной скоростью. Например, до сих пор надежно не установлено, есть ли у нейтрино масса, и вполне вероятно, что это тоже "светоподобный" объект. Со скоростью света, по всей видимости, распространяется гравитационное взаимодействие, и т.д.

Принципиальное отличие светоподобных объектов от "обычных" в том, что, один раз родившись такими, они так и проживают всю свою "жизнь". Их нельзя, не уничтожив, затормозить и остановить. Они не меняют свою скорость. Речь, конечно, идет о движении в вакууме. В веществе скорость света становится меньше. Однако фактически эта скорость является усреднением скорости различных фотонов, переизлучаемых ("с задержкой") атомами вещества. Между атомами фотон движется со скоростью $\textstyle c$. "Неквантовая" картина того же процесса строится на основе суммирования множества вторичных волн, возникающих при колебании заряженных частиц вещества электромагнитной волной.

Раз возможны светоподобные объекты, качественно отличающиеся от обычных, то можно допустить и существование тахионов. Тахион — это объект, способный двигаться быстрее фундаментальной скорости "$\textstyle c$". В принципе, как и свет, один раз таким родившись, тахион остаётся тахионом все время. Его скорость может приближаться к скорости "$\textstyle c$" сверху, никогда её не достигая. Допущение существования тахионов приводит к очень необычным следствиям, и мы их пока рассматривать не будем.

---

Преобразования Лоренца <<	Оглавление	>> Аксиоматика Эйнштейна

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии