Системы стохастических уравнений

Скоррелированные блуждания <<	Оглавление	>> Уравнение стохастического осциллятора

---

$\textstyle \bullet$ В общем случае система стохастических уравнений записывается в виде:

$dx_{i}=a_{i}(\mathbf {x} ,t)\,dt+b_{i\alpha }(\mathbf {x} ,t)\,\delta W_{\alpha },$

(6.4)

где $\textstyle i=1,...,n$, по повторяющемуся индексу $\textstyle \alpha =1,...,m$ предполагается суммирование, и в общем случае $\textstyle n\neq m$. Можно опустить не только знак суммы, но и индексы, записав стохастическое уравнение в матричном виде:

$d\mathbf {x} =\mathbf {a} (\mathbf {x} ,t)\,dt+\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {W} ,$

(6.5)

где $\textstyle \mathbf {a}$ — векторная функция, а $\textstyle \mathbf {b}$ — матричная, размерности $\textstyle n\,$x$\textstyle \,m$. Вектор винеровских переменных, как и в одномерном случае, записывается через гауссовы случайные числа:

$\delta \mathbf {W} =\{\delta W_{1},...,\delta W_{m}\}=\{\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{m}\}\cdot {\sqrt {t}}=\mathbf {\epsilon } \cdot {\sqrt {t}}.$

(6.6)

Мы будем считать, что $\textstyle \left\langle \varepsilon _{\alpha }\varepsilon _{\beta }\right\rangle =\delta _{\alpha \beta }$, а эффекты корреляции переносить на матрицу $\textstyle b_{i\alpha }$. Скоррелированные величины $\textstyle \varepsilon '_{\alpha }$ можно выразить через нескоррелированные при помощи линейного преобразования $\textstyle \epsilon '=\mathbf {S} \cdot \epsilon$, поэтому стохастический член в уравнении Ито со скоррелированными винеровскими переменными $\textstyle \mathbf {b} '\cdot \epsilon '{\sqrt {dt}}$ эквивалентен $\textstyle (\mathbf {b} '\cdot \mathbf {S} )\cdot \epsilon {\sqrt {dt}}$.

$\textstyle \bullet$ Численное моделирование выполняется при помощи выбора малого интервала времени $\textstyle \Delta t$. После этого генерится вектор $\textstyle m$ нормально распределённых чисел $\textstyle \mathbf {\epsilon } =\{\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{m}\}$ и вычисляется набор значений процессов в следующий момент времени. Для первой итерации:

$x_{i}=x_{0i}+a_{i}(\mathbf {x} _{0},t_{0})\,\Delta t+b_{i\alpha }(\mathbf {x} _{0},t_{0})\,\varepsilon _{\alpha }\,{\sqrt {\Delta t}}.$

(6.7)

Процессы $\textstyle \mathbf {x} (t)=\{x_{1}(t),...,x_{n}(t)\}$ мы всегда нумеруем, начиная с индекса 1, а нулевой индекс $\textstyle x_{0i}$ - это значение $\textstyle i$-того процесса в момент времени $\textstyle t_{0}$, т.е. $\textstyle x_{0i}=x_{i}(t_{0})$.

Несложно проверить, что смысл коэффициентов сноса определяется средним $\textstyle \left\langle x_{i}-x_{0i}\right\rangle /\Delta t=a_{i}(\mathbf {x} _{0},t_{0})$, а диффузия:

${\frac {\left\langle (x_{i}-x_{0i})\cdot (x_{j}-x_{0j})\right\rangle }{\Delta t}}=b_{i\alpha }(\mathbf {x} _{0},t_{0})\,b_{j\alpha }(\mathbf {x} _{0},t_{0})=(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} ^{T})_{ij}$

(6.8)

при $\textstyle \Delta t\to 0$ стремится к произведению матриц волатильности, где $\textstyle b_{ij}^{T}=b_{ji}$ - операция транспонирования (перестановки) индексов.

$\textstyle \bullet$ Обобщим лемму Ито на $\textstyle n$-мерный случай. Пусть $\textstyle F(\mathbf {x} ,t)$ — дифференцируемая функция. Разложим её в ряд Тейлора в окрестности точки $\textstyle \mathbf {x} _{0},t_{0}$:

$F(\mathbf {x} ,t)=F(\mathbf {x} _{0},t_{0})+{\frac {\partial F}{\partial t}}\Delta t+{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\,\Delta x_{i}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\,\Delta x_{i}\Delta x_{j}+...$

(6.9)

По повторяющимся индексам проводится суммирование, и все функции в правой части вычисляются в точке $\textstyle \mathbf {x} _{0},t_{0}$. В соответствии с (6.7):

$\Delta x_{i}=a_{i}(\mathbf {x} _{0},t_{0})\Delta t+b_{i\alpha }(\mathbf {x} _{0},t_{0})\,\varepsilon _{\alpha }\,{\sqrt {\Delta t}}.$

(6.10)

Изменение функции $\textstyle dF=F(\mathbf {x} ,t)-F(\mathbf {x} _{0},t_{0})$ подчиняется стохастическому уравнению Ито:

$dF=A(\mathbf {x} _{0},t_{0})\,dt+B_{\alpha }(\mathbf {x} _{0},t_{0})\,\delta W_{\alpha }.$

(6.11)

Подставляя (6.10) в (6.9) и сохраняя члены порядка $\textstyle {\sqrt {\Delta t}}$, $\textstyle \Delta t$, получаем:

$F-F_{0}\approx \left({\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\,a_{i}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\,b_{i\alpha }b_{j\beta }\varepsilon _{\alpha }\varepsilon _{\beta }\right)\,\Delta t+{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\,b_{i\alpha }\varepsilon _{\alpha }{\sqrt {\Delta t}}.$

Снос $\textstyle A(\mathbf {x} _{0},t_{0})$ по определению равен пределу $\textstyle \left\langle F-F_{0}\right\rangle /\Delta t$ при $\textstyle \Delta t\to 0$ и находится с учётом соотношений $\textstyle \left\langle \varepsilon _{\alpha }\varepsilon _{\beta }\right\rangle =\delta _{\alpha \beta }$. Для диффузии, в соответствии с (6.8), имеем:

${\frac {\left\langle (F-F_{0})^{2}\right\rangle }{\Delta t}}\;=\;{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\partial F}{\partial x_{j}}}\;b_{i\alpha }b_{j\alpha }\;=\;B_{\alpha }B_{\alpha }.$

Поэтому стохастическое уравнение для скалярной функции $\textstyle n+1$ переменных $\textstyle F(\mathbf {x} ,t)$, в которую вместо аргументов $\textstyle \mathbf {x}$ подставлены случайные процессы $\textstyle \mathbf {x} (t)$, записывается следующим образом:

$dF=\left({\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\,a_{i}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\,b_{i\alpha }b_{j\alpha }\right)\,dt+{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\,b_{i\alpha }\,\delta W_{\alpha }.$

(6.12)

Если функция $\textstyle F$ — не скалярная, а векторная, то это соотношение справедливо для каждой из её компонент.

Введя символ следа матрицы, равного сумме диагональных элементов $\textstyle \mathrm {Tr} \,\mathbf {A} =A_{\alpha \alpha }=A_{11}+...+A_{nn}$, можно записать лемму Ито в матричном виде:

$dF=\left({\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \,\mathbf {a} +{\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \,\left[\mathbf {b} ^{T}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial \mathbf {x} ^{2}}}\cdot \mathbf {b} \right]\right)\,dt+{\frac {\partial F}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {W} ,$

(6.13)

где $\textstyle \partial ^{2}F/\partial \mathbf {x} ^{2}$ — матрица вторых производных.

---

$\textstyle \bullet$ Получим многомерное уравнение Фоккера-Планка. Для этого необходимо повторить рассуждения из одномерной задачи. Рассмотрим случайный вектор $\textstyle \mathbf {y} =\mathbf {x} (t)$ в момент времени $\textstyle t$ и предшествующий ему $\textstyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (t-\Delta t)$ в момент времени $\textstyle t-\Delta t$. Они связаны диффузным стохастическим процессом:

$\mathbf {y} =\mathbf {x} +\mathbf {a} \;\Delta t+\mathbf {b} \cdot \epsilon \;{\sqrt {\Delta t}},$

где векторная $\textstyle \mathbf {a} =a_{i}(\mathbf {x} ,t-\Delta t)$ и матричная $\textstyle \mathbf {b} =b_{i\alpha }(\mathbf {x} ,t-\Delta t)$ функции вычислены в момент времени $\textstyle t-\Delta t$. Предположим, что плотность вероятности случайной величины $\textstyle \mathbf {x}$ равна $\textstyle P(\mathbf {x} ,t-\Delta t)$. Распределение для гауссовой переменной нам известно. Чтобы найти распределение для величины $\textstyle \mathbf {y}$, необходимо вычислить среднее от произвольной функции $\textstyle F(\mathbf {y} )$ с известными плотностями $\textstyle P(\mathbf {x} ,t-\Delta t)$ и $\textstyle P(\epsilon )$:

$\left\langle F(\mathbf {y} )\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }\overbrace {F(\mathbf {x} +\mathbf {a} \Delta t+\mathbf {b} \cdot \epsilon {\sqrt {\Delta t}})} ^{F(\mathbf {y} )}\cdot \overbrace {P(\mathbf {x} ,t-\Delta t)P(\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{m})} ^{P(\mathbf {x} ,\varepsilon )}\,d^{n}xd^{m}\varepsilon .$

Разложим первый множитель в ряд по малой величине $\textstyle \mathbf {a} \,\Delta t+\mathbf {b} \,\varepsilon {\sqrt {\Delta t}}$:

${\begin{array}{lcl}F('''y''')&=&F('''x''')+{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\cdot (a_{i}\Delta t+b_{i\alpha }\varepsilon _{\alpha }{\sqrt {\Delta t}})\\&+&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\cdot (a_{i}\Delta t+b_{i\alpha }\varepsilon _{\alpha }{\sqrt {\Delta t}})\cdot (a_{j}\Delta t+b_{j\beta }\varepsilon _{\beta }{\sqrt {\Delta t}}),\end{array}}$

где по повторяющимся индексам, как и раньше, подразумевается суммирование. По $\textstyle \Delta t$ раскладываем также $\textstyle P(\mathbf {x} ,t-\Delta t)$.

При интегрировании по всем $\textstyle \varepsilon _{i}$ происходит усреднение, которое даёт $\textstyle \left\langle \varepsilon _{\alpha }\right\rangle =0$ и $\textstyle \left\langle \varepsilon _{\alpha }\varepsilon _{\beta }\right\rangle =\delta _{\alpha \beta }$. В результате, повторяя рассуждения на стр. \pageref{stat_fokker_plank_2}, получаем:

${\;{\frac {\partial P}{\partial t}}+{\frac {\partial (a_{i}P)}{\partial x_{i}}}-{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\Bigl [}b_{i\alpha }b_{j\alpha }P{\Bigr ]}=0\;}.$

(6.14)

где $\textstyle a_{i}=a_{i}(\mathbf {x} ,t)$, $\textstyle b_{i\alpha }=b_{i\alpha }(\mathbf {x} ,t)$, а $\textstyle P=P(\mathbf {x} _{0},t_{0}\Rightarrow \mathbf {x} ,t)$ - условная плотность вероятности. Если в момент времени $\textstyle t_{0}$ значение $\textstyle \mathbf {x} _{0}$ известно точно, то для решения этого уравнения используется начальное условие в виде $\textstyle n$ - мерной дельта - функции Дирака, равной произведению одномерных функций по каждой координате: $\textstyle P(\mathbf {x} _{0},t_{0}\Rightarrow \mathbf {x} ,t_{0})=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})$.

$\textstyle \bullet$ Аналогично выводится уравнение для производной от среднего:

${\frac {d\left\langle F{\bigl (}\mathbf {x} (t),t{\bigr )}\right\rangle }{dt}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial }{\partial t}}{\bigl [}F(\mathbf {x} ,t)\cdot P(\mathbf {x} _{0},t_{0}\Rightarrow \mathbf {x} ,t){\bigr ]}d^{n}x.$

Раскрывая производную произведения и подставляя $\textstyle \partial P/\partial t$ из уравнения Фоккера - Планка, получаем динамические уравнения для средних:

${\;{\frac {d\left\langle F{\bigl (}\mathbf {x} (t),t{\bigr )}\right\rangle }{dt}}=\left\langle {\frac {\partial F}{\partial t}}\;+\;a_{i}\,{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\;+\;{\frac {1}{2}}\,b_{i\alpha }b_{j\alpha }\,{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right\rangle \;}.$

(6.15)

Как и лемму Ито, это соотношение можно записать в матричной форме при помощи символа следа $\textstyle \mathbf {Tr}$. Усреднение производится при условии, что в момент времени $\textstyle t$ вектор случайного процесса был равен $\textstyle \mathbf {x} _{0}=\mathbf {x} (t_{0})$.

Уравнение для среднего справедливо и для векторных или тензорных функций, так как выводится независимо для каждой из компонент. Выбирая $\textstyle F=x_{\nu }$ и учитывая, что $\textstyle \partial x_{\nu }/\partial x_{i}=\delta _{\nu i}$, получаем временную динамику среднего в компонентной и матричной форме:

${\dot {\left\langle x_{\nu }\right\rangle }}=\left\langle a_{\nu }(\mathbf {x} ,t)\right\rangle ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\dot {\left\langle \mathbf {x} \right\rangle }}=\left\langle \mathbf {a} (\mathbf {x} ,t)\right\rangle .$

(6.16)

Только для линейных по $\textstyle \mathbf {x}$ сносов динамика среднего значения будет совпадать с решением детерминированного уравнения. Функциональная зависимость волатильности $\textstyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)$ при этом роли не играет. Если снос нелинеен по $\textstyle \mathbf {x}$, то функция $\textstyle \left\langle \mathbf {x} \right\rangle ={\overline {\mathbf {x} }}(t)$ будет отличаться от детерминированного решения с $\textstyle \mathbf {b} =0$.

Производные от произведения $\textstyle x_{\mu }x_{\nu }$ выражаются через символ Кронекера следующим образом:

${\frac {\partial (x_{\mu }x_{\nu })}{\partial x_{i}}}=x_{\mu }\delta _{\nu i}+x_{\nu }\delta _{\mu i},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial ^{2}(x_{\mu }x_{\nu })}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=\delta _{\mu j}\delta _{\nu i}+\delta _{\nu j}\delta _{\mu i}.$

Поэтому, выбирая $\textstyle F$ в тензорном виде $\textstyle F=x_{\mu }x_{\nu }$, можно записать уравнение для среднего от произведения случайных процессов:

${\dot {\left\langle x_{\mu }x_{\nu }\right\rangle }}=\left\langle x_{\mu }a_{\nu }+x_{\nu }a_{\mu }+b_{\nu \alpha }b_{\mu \alpha }\right\rangle .$

(6.17)

В частности, для свёртки (суммирования) по индексам $\textstyle \mu$ и $\textstyle \nu$ имеем матричное выражение для изменения квадрата $\textstyle {\dot {\left\langle \mathbf {x} ^{2}\right\rangle }}=2\left\langle \mathbf {x} \cdot \mathbf {a} \right\rangle +\mathrm {Tr} \,\left\langle \mathbf {b} \cdot \mathbf {b} ^{T}\right\rangle$.

---

Скоррелированные блуждания <<	Оглавление	>> Уравнение стохастического осциллятора

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения