Системы стохастических уравнений

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Скоррелированные блуждания << Оглавление >> Уравнение стохастического осциллятора


В общем случае система стохастических уравнений записывается в виде:

(EQN)

где , по повторяющемуся индексу предполагается суммирование, и в общем случае . Можно опустить не только знак суммы, но и индексы, записав стохастическое уравнение в матричном виде:

(EQN)

где — векторная функция, а — матричная, размерности x. Вектор винеровских переменных, как и в одномерном случае, записывается через гауссовы случайные числа:

(EQN)

Мы будем считать, что , а эффекты корреляции переносить на матрицу . Скоррелированные величины можно выразить через нескоррелированные при помощи линейного преобразования , поэтому стохастический член в уравнении Ито со скоррелированными винеровскими переменными эквивалентен .

Численное моделирование выполняется при помощи выбора малого интервала времени . После этого генерится вектор нормально распределённых чисел и вычисляется набор значений процессов в следующий момент времени. Для первой итерации:

(EQN)

Процессы мы всегда нумеруем, начиная с индекса 1, а нулевой индекс - это значение -того процесса в момент времени , т.е. .

Несложно проверить, что смысл коэффициентов сноса определяется средним , а диффузия:

(EQN)

при стремится к произведению матриц волатильности, где - операция транспонирования (перестановки) индексов.

Обобщим лемму Ито на -мерный случай. Пусть — дифференцируемая функция. Разложим её в ряд Тейлора в окрестности точки :

(EQN)

По повторяющимся индексам проводится суммирование, и все функции в правой части вычисляются в точке . В соответствии с ():

(EQN)

Изменение функции подчиняется стохастическому уравнению Ито:

(EQN)

Подставляя () в () и сохраняя члены порядка , , получаем:

Снос по определению равен пределу при и находится с учётом соотношений . Для диффузии, в соответствии с (), имеем:

Поэтому стохастическое уравнение для скалярной функции переменных , в которую вместо аргументов подставлены случайные процессы , записывается следующим образом:

(EQN)

Если функция — не скалярная, а векторная, то это соотношение справедливо для каждой из её компонент.

Введя символ следа матрицы, равного сумме диагональных элементов , можно записать лемму Ито в матричном виде:

(EQN)

где матрица вторых производных.



Получим многомерное уравнение Фоккера-Планка. Для этого необходимо повторить рассуждения из одномерной задачи. Рассмотрим случайный вектор в момент времени и предшествующий ему в момент времени . Они связаны диффузным стохастическим процессом:

где векторная и матричная функции вычислены в момент времени . Предположим, что плотность вероятности случайной величины равна . Распределение для гауссовой переменной нам известно. Чтобы найти распределение для величины , необходимо вычислить среднее от произвольной функции с известными плотностями и :

Разложим первый множитель в ряд по малой величине : \begin{eqnarray*} F(y)&=&F(x) + \frac{\partial F}{\partial x_i}\cdot (a_i\Delta t+b_{i\alpha}\varepsilon_\alpha\sqrt{\Delta t})\\ &+&\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j} \cdot (a_i\Delta t+b_{i\alpha}\varepsilon_\alpha\sqrt{\Delta t}) \cdot (a_j\Delta t+b_{j\beta}\varepsilon_\beta\sqrt{\Delta t}), \end{eqnarray*} где по повторяющимся индексам, как и раньше, подразумевается суммирование. По раскладываем также .

При интегрировании по всем происходит усреднение, которое даёт и . В результате, повторяя рассуждения на стр. \pageref{stat_fokker_plank_2}, получаем:

(EQN)

где , , а - условная плотность вероятности. Если в момент времени значение известно точно, то для решения этого уравнения используется начальное условие в виде - мерной дельта - функции Дирака, равной произведению одномерных функций по каждой координате: .

Аналогично выводится уравнение для производной от среднего:

Раскрывая производную произведения и подставляя из уравнения Фоккера - Планка, получаем динамические уравнения для средних:

(EQN)

Как и лемму Ито, это соотношение можно записать в матричной форме при помощи символа следа Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\Tr»): {\displaystyle \textstyle \Tr} . Усреднение производится при условии, что в момент времени вектор случайного процесса был равен .

Уравнение для среднего справедливо и для векторных или тензорных функций, так как выводится независимо для каждой из компонент. Выбирая и учитывая, что , получаем временную динамику среднего в компонентной и матричной форме:

(EQN)

Только для линейных по сносов динамика среднего значения будет совпадать с решением детерминированного уравнения. Функциональная зависимость волатильности при этом роли не играет. Если снос нелинеен по , то функция будет отличаться от детерминированного решения с .

Производные от произведения выражаются через символ Кронекера следующим образом:

Поэтому, выбирая в тензорном виде , можно записать уравнение для среднего от произведения случайных процессов:

(EQN)

В частности, для свёртки (суммирования) по индексам и имеем матричное выражение для изменения квадрата Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle \dot{\left\langle \mathbf{x}^2\right\rangle }=2\left\langle \mathbf{x} \cdot\mathbf{a} \right\rangle + \mathrm{Tr}\,left\langle \mathbf{b} \cdot\mathbf{b}^{T} \right\rangle } .


Скоррелированные блуждания << Оглавление >> Уравнение стохастического осциллятора

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения