Системы стохастических уравнений

Скоррелированные блуждания <<	Оглавление	>> Уравнение стохастического осциллятора

---

$\textstyle \bullet$ В общем случае система стохастических уравнений записывается в виде:

$dx_{i}=a_{i}(\mathbf {x} ,t)\,dt+b_{i\alpha }(\mathbf {x} ,t)\,\delta W_{\alpha },$

(EQN)

где $\textstyle i=1,...,n$, по повторяющемуся индексу $\textstyle \alpha =1,...,m$ предполагается суммирование, и в общем случае $\textstyle n\neq m$. Можно опустить не только знак суммы, но и индексы, записав стохастическое уравнение в матричном виде:

$d\mathbf {x} =\mathbf {a} (\mathbf {x} ,t)\,dt+\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {W} ,$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf {a}$ — векторная функция, а $\textstyle \mathbf {b}$ — матричная, размерности $\textstyle n\,$x$\textstyle \,m$. Вектор винеровских переменных, как и в одномерном случае, записывается через гауссовы случайные числа:

$\delta \mathbf {W} =\{\delta W_{1},...,\delta W_{m}\}=\{\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{m}\}\cdot {\sqrt {t}}=\mathbf {\epsilon } \cdot {\sqrt {t}}.$

(EQN)

Мы будем считать, что $\textstyle \left\langle \varepsilon _{\alpha }\varepsilon _{\beta }\right\rangle =\delta _{\alpha \beta }$, а эффекты корреляции переносить на матрицу $\textstyle b_{i\alpha }$. Скоррелированные величины $\textstyle \varepsilon '_{\alpha }$ можно выразить через нескоррелированные при помощи линейного преобразования $\textstyle \epsilon '=\mathbf {S} \cdot \epsilon$, поэтому стохастический член в уравнении Ито со скоррелированными винеровскими переменными $\textstyle \mathbf {b} '\cdot \epsilon '{\sqrt {dt}}$ эквивалентен $\textstyle (\mathbf {b} '\cdot \mathbf {S} )\cdot \epsilon {\sqrt {dt}}$.

$\textstyle \bullet$ Численное моделирование выполняется при помощи выбора малого интервала времени $\textstyle \Delta t$. После этого генерится вектор $\textstyle m$ нормально распределённых чисел $\textstyle \mathbf {\epsilon } =\{\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{m}\}$ и вычисляется набор значений процессов в следующий момент времени. Для первой итерации:

$x_{i}=x_{0i}+a_{i}(\mathbf {x} _{0},t_{0})\,\Delta t+b_{i\alpha }(\mathbf {x} _{0},t_{0})\,\varepsilon _{\alpha }\,{\sqrt {\Delta t}}.$

(EQN)

Процессы $\textstyle \mathbf {x} (t)=\{x_{1}(t),...,x_{n}(t)\}$ мы всегда нумеруем, начиная с индекса 1, а нулевой индекс $\textstyle x_{0i}$ - это значение $\textstyle i$-того процесса в момент времени $\textstyle t_{0}$, т.е. $\textstyle x_{0i}=x_{i}(t_{0})$.

Несложно проверить, что смысл коэффициентов сноса определяется средним $\textstyle \left\langle x_{i}-x_{0i}\right\rangle /\Delta t=a_{i}(\mathbf {x} _{0},t_{0})$, а диффузия:

${\frac {\left\langle (x_{i}-x_{0i})\cdot (x_{j}-x_{0j})\right\rangle }{\Delta t}}=b_{i\alpha }(\mathbf {x} _{0},t_{0})\,b_{j\alpha }(\mathbf {x} _{0},t_{0})=(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} ^{T})_{ij}$

(EQN)

при $\textstyle \Delta t\to 0$ стремится к произведению матриц волатильности, где $\textstyle b_{ij}^{T}=b_{ji}$ - операция транспонирования (перестановки) индексов.

$\textstyle \bullet$ Обобщим лемму Ито на $\textstyle n$-мерный случай. Пусть $\textstyle F(\mathbf {x} ,t)$ — дифференцируемая функция. Разложим её в ряд Тейлора в окрестности точки $\textstyle \mathbf {x} _{0},t_{0}$:

$F(\mathbf {x} ,t)=F(\mathbf {x} _{0},t_{0})+{\frac {\partial F}{\partial t}}\Delta t+{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\,\Delta x_{i}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\,\Delta x_{i}\Delta x_{j}+...$

(EQN)

По повторяющимся индексам проводится суммирование, и все функции в правой части вычисляются в точке $\textstyle \mathbf {x} _{0},t_{0}$. В соответствии с ():

$\Delta x_{i}=a_{i}(\mathbf {x} _{0},t_{0})\Delta t+b_{i\alpha }(\mathbf {x} _{0},t_{0})\,\varepsilon _{\alpha }\,{\sqrt {\Delta t}}.$

(EQN)

Изменение функции $\textstyle dF=F(\mathbf {x} ,t)-F(\mathbf {x} _{0},t_{0})$ подчиняется стохастическому уравнению Ито:

$dF=A(\mathbf {x} _{0},t_{0})\,dt+B_{\alpha }(\mathbf {x} _{0},t_{0})\,\delta W_{\alpha }.$

(EQN)

Подставляя () в () и сохраняя члены порядка $\textstyle {\sqrt {\Delta t}}$, $\textstyle \Delta t$, получаем:

$F-F_{0}\approx \left({\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\,a_{i}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\,b_{i\alpha }b_{j\beta }\varepsilon _{\alpha }\varepsilon _{\beta }\right)\,\Delta t+{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\,b_{i\alpha }\varepsilon _{\alpha }{\sqrt {\Delta t}}.$

Снос $\textstyle A(\mathbf {x} _{0},t_{0})$ по определению равен пределу $\textstyle \left\langle F-F_{0}\right\rangle /\Delta t$ при $\textstyle \Delta t\to 0$ и находится с учётом соотношений $\textstyle \left\langle \varepsilon _{\alpha }\varepsilon _{\beta }\right\rangle =\delta _{\alpha \beta }$. Для диффузии, в соответствии с (), имеем:

${\frac {\left\langle (F-F_{0})^{2}\right\rangle }{\Delta t}}\;=\;{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\partial F}{\partial x_{j}}}\;b_{i\alpha }b_{j\alpha }\;=\;B_{\alpha }B_{\alpha }.$

Поэтому стохастическое уравнение для скалярной функции $\textstyle n+1$ переменных $\textstyle F(\mathbf {x} ,t)$, в которую вместо аргументов $\textstyle {\bf {x}}$ подставлены случайные процессы $\textstyle \mathbf {x} (t)$, записывается следующим образом:

$dF=\left({\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\,a_{i}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\,b_{i\alpha }b_{j\alpha }\right)\,dt+{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\,b_{i\alpha }\,\delta W_{\alpha }.$

(EQN)

Если функция $\textstyle F$ — не скалярная, а векторная, то это соотношение справедливо для каждой из её компонент.

Введя символ следа матрицы, равного сумме диагональных элементов $\textstyle \mathrm {Tr} \,\mathbf {A} =A_{\alpha \alpha }=A_{11}+...+A_{nn}$, можно записать лемму Ито в матричном виде:

$dF=\left({\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \,\mathbf {a} +{\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \,\left[\mathbf {b} ^{T}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial \mathbf {x} ^{2}}}\cdot \mathbf {b} \right]\right)\,dt+{\frac {\partial F}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {W} ,$

(EQN)

где $\textstyle \partial ^{2}F/\partial \mathbf {x} ^{2}$ — матрица вторых производных.

---

Скоррелированные блуждания <<	Оглавление	>> Уравнение стохастического осциллятора

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения