Системы стохастических уравнений — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Скоррелированные блуждания << ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавлени…»)
 
 
(не показано 7 промежуточных версий этого же участника)
Строка 7: Строка 7:
  
  
 +
<math>\textstyle \bullet</math> В общем случае система стохастических уравнений записывается в виде:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> dx_i = a_i(\mathbf{x},t)\, dt + b_{i\alpha}(\mathbf{x},t)\,\delta W_\alpha, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.4)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle i=1,...,n</math>, по повторяющемуся индексу <math>\textstyle \alpha=1,...,m</math> предполагается суммирование, и в общем случае <math>\textstyle n\neq m</math>. Можно опустить не только знак суммы, но и индексы, записав стохастическое уравнение в матричном виде:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{x} = \mathbf{a}(\mathbf{x},t)\, dt + \mathbf{b}\cdot\delta \mathbf{W}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.5)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{a}</math> &mdash; векторная функция, а <math>\textstyle \mathbf{b}</math> &mdash; матричная, размерности <math>\textstyle n\,</math>x<math>\textstyle \,m</math>. Вектор винеровских переменных, как и в одномерном случае, записывается через гауссовы случайные числа:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \delta \mathbf{W} = \{\delta W_1,...,\delta W_m \} = \{ \varepsilon_1,..., \varepsilon_m \}\cdot \sqrt{t} = \mathbf{\epsilon}\cdot \sqrt{t}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.6)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Мы будем считать, что <math>\textstyle \left\langle \varepsilon_\alpha \varepsilon_\beta\right\rangle =\delta_{\alpha\beta}</math>, а эффекты корреляции переносить на матрицу <math>\textstyle b_{i\alpha}</math>. Скоррелированные величины <math>\textstyle \varepsilon'_\alpha</math> можно выразить через нескоррелированные при помощи линейного преобразования <math>\textstyle \epsilon'= \mathbf{S}\cdot \epsilon</math>, поэтому стохастический член в уравнении Ито со скоррелированными винеровскими переменными <math>\textstyle \mathbf{b}'\cdot \epsilon' \sqrt{dt}</math> эквивалентен <math>\textstyle (\mathbf{b}'\cdot \mathbf{S})\cdot \epsilon \sqrt{dt}</math>.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Численное моделирование выполняется при помощи выбора малого интервала времени <math>\textstyle \Delta t</math>. После этого генерится вектор <math>\textstyle m</math> нормально распределённых чисел <math>\textstyle \mathbf{\epsilon} = \{ \varepsilon_1,..., \varepsilon_m \}</math> и вычисляется набор значений процессов в следующий момент времени. Для первой итерации:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> x_i= x_{0i} + a_i(\mathbf{x}_0, t_0)\,\Delta t + b_{i\alpha}(\mathbf{x}_0, t_0)\,\varepsilon_\alpha\, \sqrt{\Delta t}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.7)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Процессы <math>\textstyle \mathbf{x}(t)=\{x_1(t),...,x_n(t)\}</math> мы всегда нумеруем, начиная с индекса 1, а нулевой индекс <math>\textstyle x_{0i}</math> - это значение <math>\textstyle i</math>-того процесса в момент времени <math>\textstyle t_0</math>, т.е. <math>\textstyle x_{0i}=x_i(t_0)</math>.
 +
 +
Несложно проверить, что смысл коэффициентов сноса определяется средним <math>\textstyle \left\langle x_i-x_{0i}\right\rangle /\Delta t= a_i(\mathbf{x}_0, t_0)</math>, а диффузия:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{\left\langle (x_i-x_{0i})\cdot (x_j-x_{0j})\right\rangle }{\Delta t}=b_{i\alpha}(\mathbf{x}_0, t_0)\, b_{j\alpha}(\mathbf{x}_0, t_0) = (\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}^{T})_{ij} </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.8)'''</div>
 +
|}
 +
 +
при <math>\textstyle \Delta t\to 0</math> стремится к произведению матриц волатильности, где <math>\textstyle b^{T}_{ij}=b_{ji}</math> - операция транспонирования (перестановки) индексов.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Обобщим лемму Ито на <math>\textstyle n</math>-мерный случай. Пусть <math>\textstyle F(\mathbf{x},t)</math> &mdash; дифференцируемая функция. Разложим её в ряд Тейлора в окрестности точки <math>\textstyle \mathbf{x}_0, t_0</math>:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> F(\mathbf{x},t) = F(\mathbf{x}_0, t_0) + \frac{\partial F}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial F}{\partial x_i}\,\Delta x_i +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i \partial x_j} \,\Delta x_i \Delta x_j+... </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.9)'''</div>
 +
|}
 +
 +
По повторяющимся индексам проводится суммирование, и все функции в правой части вычисляются в точке <math>\textstyle \mathbf{x}_0, t_0</math>. В соответствии с (6.7):
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \Delta x_i = a_i(\mathbf{x}_0, t_0)\Delta t + b_{i\alpha}(\mathbf{x}_0, t_0)\,\varepsilon_\alpha\,\sqrt{\Delta t}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.10)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Изменение функции <math>\textstyle dF=F(\mathbf{x},t) - F(\mathbf{x}_0, t_0) </math> подчиняется стохастическому уравнению Ито:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> dF = A(\mathbf{x}_0,t_0)\, dt + B_{\alpha}(\mathbf{x}_0,t_0)\,\delta W_\alpha. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.11)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Подставляя (6.10) в (6.9) и сохраняя члены порядка <math>\textstyle \sqrt{\Delta t}</math>, <math>\textstyle \Delta t</math>, получаем:
 +
 +
:<center><math>F-F_0 \approx \left(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial x_i}\,a_i + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j}\,b_{i\alpha}b_{j\beta}\varepsilon_\alpha\varepsilon_\beta\right)\,\Delta t +\frac{\partial F}{\partial x_i}\,b_{i\alpha}\varepsilon_\alpha \sqrt{\Delta t}.</math></center>
 +
 +
Снос <math>\textstyle A(\mathbf{x}_0,t_0)</math> по определению равен пределу <math>\textstyle \left\langle F-F_0\right\rangle /\Delta t</math> при <math>\textstyle \Delta t\to 0</math> и находится с учётом соотношений <math>\textstyle \left\langle \varepsilon_\alpha \varepsilon_\beta\right\rangle =\delta_{\alpha\beta}</math>. Для диффузии, в соответствии с (6.8), имеем:
 +
 +
:<center><math>\frac{\left\langle (F-F_0)^2\right\rangle }{\Delta t} \;=\; \frac{\partial F}{\partial x_i}\,\frac{\partial F}{\partial x_j} \; b_{i\alpha}b_{j\alpha} \;=\; B_{\alpha} B_{\alpha}.</math></center>
 +
 +
Поэтому стохастическое уравнение для скалярной функции <math>\textstyle n+1</math> переменных <math>\textstyle F(\mathbf{x},t)</math>, в которую вместо аргументов <math>\textstyle \mathbf{x}</math> подставлены случайные процессы <math>\textstyle \mathbf{x}(t)</math>, записывается следующим образом:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> dF = \left(\frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x_i} \,a_i +\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j}\, b_{i\alpha} b_{j\alpha}\right)\, dt + \frac{\partial F}{\partial x_i}\, b_{i\alpha} \,\delta W_\alpha. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.12)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Если функция <math>\textstyle F</math> &mdash; не скалярная, а векторная, то это соотношение справедливо для каждой из её компонент.
 +
 +
Введя символ ''следа матрицы'', равного сумме диагональных элементов <math>\textstyle \mathrm{Tr}\,\mathbf{A} = A_{\alpha\alpha} = A_{11}+...+A_{nn}</math>, можно записать лемму Ито в матричном виде:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> dF = \left( \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial \mathbf{x}}\cdot \,\mathbf{a} +\frac{1}{2} \mathrm{Tr}\,\left[ \mathbf{b}^T \cdot \frac{\partial^2 F}{\partial \mathbf{x}^2} \cdot \mathbf{b} \right] \right)\, dt + \frac{\partial F}{\partial \mathbf{x}}\cdot \mathbf{b} \cdot \delta \mathbf{W}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.13)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle \partial^2 F/\partial \mathbf{x}^2</math> &mdash; ''матрица'' вторых производных.
 +
 +
----
 +
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Получим многомерное уравнение Фоккера-Планка. Для этого необходимо повторить рассуждения из одномерной задачи. Рассмотрим случайный вектор <math>\textstyle \mathbf{y}=\mathbf{x}(t)</math> в момент времени <math>\textstyle t</math> и предшествующий ему <math>\textstyle \mathbf{x}=\mathbf{x}(t-\Delta t)</math> в момент времени <math>\textstyle t-\Delta t</math>. Они связаны диффузным стохастическим процессом:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{y}= \mathbf{x} + \mathbf{a} \;\Delta t + \mathbf{b}\cdot \epsilon \;\sqrt{\Delta t},</math></center>
 +
 +
где векторная <math>\textstyle \mathbf{a}=a_i(\mathbf{x}, t-\Delta t)</math> и матричная <math>\textstyle \mathbf{b}=b_{i\alpha}(\mathbf{x}, t-\Delta t)</math> функции вычислены в момент времени <math>\textstyle t-\Delta t</math>. Предположим, что плотность вероятности случайной величины <math>\textstyle \mathbf{x}</math> равна <math>\textstyle P(\mathbf{x}, t-\Delta t)</math>. Распределение для гауссовой переменной нам известно. Чтобы найти распределение для величины <math>\textstyle \mathbf{y}</math>, необходимо вычислить среднее от произвольной функции <math>\textstyle F(\mathbf{y})</math> с известными плотностями <math>\textstyle P(\mathbf{x}, t-\Delta t)</math> и <math>\textstyle P(\epsilon)</math>:
 +
 +
:<center><math>\left\langle F(\mathbf{y})\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} \overbrace{F(\mathbf{x}+\mathbf{a}\Delta t +\mathbf{b}\cdot \epsilon \sqrt{\Delta t})}^{F(\mathbf{y})}\cdot \overbrace{P(\mathbf{x}, t-\Delta t) P(\varepsilon_1,...,\varepsilon_m)}^{P(\mathbf{x},\varepsilon)} \,d^nx d^m\varepsilon.</math></center>
 +
 +
Разложим первый множитель в ряд по малой величине <math>\textstyle \mathbf{a}\,\Delta t + \mathbf{b}\,\varepsilon \sqrt{\Delta t}</math>:
 +
<center>
 +
<math>
 +
\begin{array}{lcl} F('''y''')&=&F('''x''') + \frac{\partial F}{\partial x_i}\cdot (a_i\Delta t+b_{i\alpha}\varepsilon_\alpha\sqrt{\Delta t})\\ &+&\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j} \cdot (a_i\Delta t+b_{i\alpha}\varepsilon_\alpha\sqrt{\Delta t}) \cdot (a_j\Delta t+b_{j\beta}\varepsilon_\beta\sqrt{\Delta t}),
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</center>
 +
где по повторяющимся индексам, как и раньше, подразумевается суммирование. По <math>\textstyle \Delta t</math> раскладываем также <math>\textstyle P(\mathbf{x}, t-\Delta t)</math>.
 +
 +
При интегрировании по всем <math>\textstyle \varepsilon_i</math> происходит усреднение, которое даёт <math>\textstyle \left\langle \varepsilon_\alpha\right\rangle =0</math> и <math>\textstyle \left\langle \varepsilon_\alpha\varepsilon_\beta\right\rangle =\delta_{\alpha\beta}</math>. В результате, повторяя рассуждения на стр. \pageref{stat_fokker_plank_2}, получаем:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> { \;\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial (a_i P)}{\partial x_i} - \frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 }{\partial x_i\partial x_j}\Bigl[b_{i\alpha} b_{j\alpha} P\Bigr] = 0\; }. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.14)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle a_i=a_i(\mathbf{x},t)</math>, <math>\textstyle b_{i\alpha}=b_{i\alpha}(\mathbf{x},t)</math>, а <math>\textstyle P=P(\mathbf{x}_0, t_0 \Rightarrow \mathbf{x}, t)</math> - условная плотность вероятности. Если в момент времени <math>\textstyle t_0</math> значение <math>\textstyle \mathbf{x}_0</math> известно точно, то для решения этого уравнения используется начальное условие в виде <math>\textstyle n</math> - мерной дельта - функции Дирака, равной произведению одномерных функций по каждой координате: <math>\textstyle P(\mathbf{x}_0, t_0 \Rightarrow \mathbf{x}, t_0)=\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)</math>.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Аналогично выводится уравнение для производной от среднего:
 +
 +
:<center><math>\frac{d\left\langle F\bigl(\mathbf{x}(t),t\bigr)\right\rangle }{dt} = \int\limits^{\infty}_{-\infty}\frac{\partial }{\partial t} \bigl[ F(\mathbf{x}, t)\cdot P(\mathbf{x}_0, t_0 \Rightarrow \mathbf{x}, t)\bigr] d^n x.</math></center>
 +
 +
Раскрывая производную произведения и подставляя <math>\textstyle \partial P/\partial t</math> из уравнения Фоккера - Планка, получаем динамические уравнения для средних:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> { \;\frac{d\left\langle F\bigl(\mathbf{x}(t),t\bigr)\right\rangle }{dt} = \left\langle \frac{\partial F}{\partial t} \;+\; a_i\,\frac{\partial F}{\partial x_i} \;+\; \frac{1}{2}\, b_{i\alpha} b_{j\alpha} \, \frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j} \right\rangle \; }. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.15)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Как и лемму Ито, это соотношение можно записать в матричной форме при помощи символа следа <math>\textstyle \mathbf{Tr}</math>. Усреднение производится при условии, что в момент времени <math>\textstyle t</math> вектор случайного процесса был равен <math>\textstyle \mathbf{x}_0=\mathbf{x}(t_0)</math>.
 +
 +
Уравнение для среднего справедливо и для векторных или тензорных функций, так как выводится независимо для каждой из компонент. Выбирая <math>\textstyle F = x_\nu</math> и учитывая, что <math>\textstyle \partial x_\nu/\partial x_i = \delta_{\nu i}</math>, получаем временную динамику среднего в компонентной и матричной форме:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \dot{\left\langle x_\nu\right\rangle } = \left\langle a_\nu(\mathbf{x}, t) \right\rangle ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dot{\left\langle \mathbf{x}\right\rangle } = \left\langle \mathbf{a}(\mathbf{x}, t) \right\rangle . </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.16)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Только для линейных по <math>\textstyle \mathbf{x}</math> сносов динамика среднего значения будет совпадать с решением детерминированного уравнения. Функциональная зависимость волатильности <math>\textstyle \mathbf{b}(\mathbf{x}, t)</math> при этом роли не играет. Если снос нелинеен по <math>\textstyle \mathbf{x}</math>, то функция <math>\textstyle \left\langle \mathbf{x}\right\rangle =\overline\mathbf{x}(t)</math> будет отличаться от детерминированного решения с <math>\textstyle \mathbf{b}=0</math>.
 +
 +
Производные от произведения <math>\textstyle x_\mu x_\nu</math> выражаются через символ Кронекера следующим образом:
 +
 +
:<center><math>\frac{\partial (x_\mu x_\nu)}{\partial x_i} = x_\mu\delta_{\nu i}+x_\nu\delta_{\mu i},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial^2 (x_\mu x_\nu)}{\partial x_i\partial x_j} = \delta_{\mu j}\delta_{\nu i}+\delta_{\nu j}\delta_{\mu i}.</math></center>
 +
 +
Поэтому, выбирая <math>\textstyle F</math> в тензорном виде <math>\textstyle F=x_\mu x_\nu</math>, можно записать уравнение для среднего от произведения случайных процессов:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \dot{\left\langle x_\mu x_\nu\right\rangle } = \left\langle x_\mu a_\nu + x_\nu a_\mu + b_{\nu\alpha} b_{\mu \alpha}\right\rangle . </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.17)'''</div>
 +
|}
 +
 +
В частности, для свёртки (суммирования) по индексам <math>\textstyle \mu</math> и <math>\textstyle \nu</math> имеем матричное выражение для изменения квадрата
 +
<math>\textstyle \dot{\left\langle \mathbf{x}^2\right\rangle }
 +
=2\left\langle \mathbf{x} \cdot \mathbf{a}  \right\rangle
 +
+ \mathrm{Tr}\,\left\langle \mathbf{b} \cdot\mathbf{b}^{T} \right\rangle
 +
</math>.
  
 
----
 
----

Текущая версия на 20:07, 15 марта 2010

Скоррелированные блуждания << Оглавление >> Уравнение стохастического осциллятора


В общем случае система стохастических уравнений записывается в виде:

(6.4)

где , по повторяющемуся индексу предполагается суммирование, и в общем случае . Можно опустить не только знак суммы, но и индексы, записав стохастическое уравнение в матричном виде:

(6.5)

где — векторная функция, а — матричная, размерности x. Вектор винеровских переменных, как и в одномерном случае, записывается через гауссовы случайные числа:

(6.6)

Мы будем считать, что , а эффекты корреляции переносить на матрицу . Скоррелированные величины можно выразить через нескоррелированные при помощи линейного преобразования , поэтому стохастический член в уравнении Ито со скоррелированными винеровскими переменными эквивалентен .

Численное моделирование выполняется при помощи выбора малого интервала времени . После этого генерится вектор нормально распределённых чисел и вычисляется набор значений процессов в следующий момент времени. Для первой итерации:

(6.7)

Процессы мы всегда нумеруем, начиная с индекса 1, а нулевой индекс - это значение -того процесса в момент времени , т.е. .

Несложно проверить, что смысл коэффициентов сноса определяется средним , а диффузия:

(6.8)

при стремится к произведению матриц волатильности, где - операция транспонирования (перестановки) индексов.

Обобщим лемму Ито на -мерный случай. Пусть — дифференцируемая функция. Разложим её в ряд Тейлора в окрестности точки :

(6.9)

По повторяющимся индексам проводится суммирование, и все функции в правой части вычисляются в точке . В соответствии с (6.7):

(6.10)

Изменение функции подчиняется стохастическому уравнению Ито:

(6.11)

Подставляя (6.10) в (6.9) и сохраняя члены порядка , , получаем:

Снос по определению равен пределу при и находится с учётом соотношений . Для диффузии, в соответствии с (6.8), имеем:

Поэтому стохастическое уравнение для скалярной функции переменных , в которую вместо аргументов подставлены случайные процессы , записывается следующим образом:

(6.12)

Если функция — не скалярная, а векторная, то это соотношение справедливо для каждой из её компонент.

Введя символ следа матрицы, равного сумме диагональных элементов , можно записать лемму Ито в матричном виде:

(6.13)

где матрица вторых производных.



Получим многомерное уравнение Фоккера-Планка. Для этого необходимо повторить рассуждения из одномерной задачи. Рассмотрим случайный вектор в момент времени и предшествующий ему в момент времени . Они связаны диффузным стохастическим процессом:

где векторная и матричная функции вычислены в момент времени . Предположим, что плотность вероятности случайной величины равна . Распределение для гауссовой переменной нам известно. Чтобы найти распределение для величины , необходимо вычислить среднее от произвольной функции с известными плотностями и :

Разложим первый множитель в ряд по малой величине :

где по повторяющимся индексам, как и раньше, подразумевается суммирование. По раскладываем также .

При интегрировании по всем происходит усреднение, которое даёт и . В результате, повторяя рассуждения на стр. \pageref{stat_fokker_plank_2}, получаем:

(6.14)

где , , а - условная плотность вероятности. Если в момент времени значение известно точно, то для решения этого уравнения используется начальное условие в виде - мерной дельта - функции Дирака, равной произведению одномерных функций по каждой координате: .

Аналогично выводится уравнение для производной от среднего:

Раскрывая производную произведения и подставляя из уравнения Фоккера - Планка, получаем динамические уравнения для средних:

(6.15)

Как и лемму Ито, это соотношение можно записать в матричной форме при помощи символа следа . Усреднение производится при условии, что в момент времени вектор случайного процесса был равен .

Уравнение для среднего справедливо и для векторных или тензорных функций, так как выводится независимо для каждой из компонент. Выбирая и учитывая, что , получаем временную динамику среднего в компонентной и матричной форме:

(6.16)

Только для линейных по сносов динамика среднего значения будет совпадать с решением детерминированного уравнения. Функциональная зависимость волатильности при этом роли не играет. Если снос нелинеен по , то функция будет отличаться от детерминированного решения с .

Производные от произведения выражаются через символ Кронекера следующим образом:

Поэтому, выбирая в тензорном виде , можно записать уравнение для среднего от произведения случайных процессов:

(6.17)

В частности, для свёртки (суммирования) по индексам и имеем матричное выражение для изменения квадрата .


Скоррелированные блуждания << Оглавление >> Уравнение стохастического осциллятора

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения