|
|
Строка 77: |
Строка 77: |
| :<center><math>\frac{\left\langle (F-F_0)^2\right\rangle }{\Delta t} \;=\; \frac{\partial F}{\partial x_i}\,\frac{\partial F}{\partial x_j} \; b_{i\alpha}b_{j\alpha} \;=\; B_{\alpha} B_{\alpha}.</math></center> | | :<center><math>\frac{\left\langle (F-F_0)^2\right\rangle }{\Delta t} \;=\; \frac{\partial F}{\partial x_i}\,\frac{\partial F}{\partial x_j} \; b_{i\alpha}b_{j\alpha} \;=\; B_{\alpha} B_{\alpha}.</math></center> |
| | | |
− | Поэтому стохастическое уравнение для скалярной функции <math>\textstyle n+1</math> переменных <math>\textstyle F(\mathbf{x},t)</math>, в которую вместо аргументов <math>\textstyle \bf x</math> подставлены случайные процессы <math>\textstyle \mathbf{x}(t)</math>, записывается следующим образом: | + | Поэтому стохастическое уравнение для скалярной функции <math>\textstyle n+1</math> переменных <math>\textstyle F(\mathbf{x},t)</math>, в которую вместо аргументов <math>\textstyle \mathbf{x}</math> подставлены случайные процессы <math>\textstyle \mathbf{x}(t)</math>, записывается следующим образом: |
| | | |
| {| width="100%" | | {| width="100%" |
В общем случае система стохастических уравнений записывается в виде:
|
(EQN)
|
где , по повторяющемуся индексу предполагается суммирование, и в общем случае . Можно опустить не только знак суммы, но и индексы, записав стохастическое уравнение в матричном виде:
|
(EQN)
|
где — векторная функция, а — матричная, размерности x. Вектор винеровских переменных, как и в одномерном случае, записывается через гауссовы случайные числа:
|
(EQN)
|
Мы будем считать, что , а эффекты корреляции переносить на матрицу . Скоррелированные величины можно выразить через нескоррелированные при помощи линейного преобразования , поэтому стохастический член в уравнении Ито со скоррелированными винеровскими переменными эквивалентен .
Численное моделирование выполняется при помощи выбора малого интервала времени . После этого генерится вектор нормально распределённых чисел и вычисляется набор значений процессов в следующий момент времени. Для первой итерации:
|
(EQN)
|
Процессы мы всегда нумеруем, начиная с индекса 1, а нулевой индекс - это значение -того процесса в момент времени , т.е. .
Несложно проверить, что смысл коэффициентов сноса определяется средним , а диффузия:
|
(EQN)
|
при стремится к произведению матриц волатильности, где - операция транспонирования (перестановки) индексов.
Обобщим лемму Ито на -мерный случай. Пусть — дифференцируемая функция. Разложим её в ряд Тейлора в окрестности точки :
|
(EQN)
|
По повторяющимся индексам проводится суммирование, и все функции в правой части вычисляются в точке . В соответствии с ():
|
(EQN)
|
Изменение функции подчиняется стохастическому уравнению Ито:
|
(EQN)
|
Подставляя () в () и сохраняя члены порядка , , получаем:
Снос по определению равен пределу при и находится с учётом соотношений . Для диффузии, в соответствии с (), имеем:
Поэтому стохастическое уравнение для скалярной функции переменных , в которую вместо аргументов подставлены случайные процессы , записывается следующим образом:
|
(EQN)
|
Если функция — не скалярная, а векторная, то это соотношение справедливо для каждой из её компонент.
Введя символ следа матрицы, равного сумме диагональных элементов , можно записать лемму Ито в матричном виде:
|
(EQN)
|
где — матрица вторых производных.
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения