Самодействие электрона — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{| width="100%" | width="30%"|Взаимодействие зарядов без поля << ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглав…»)
 
Строка 5: Строка 5:
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 +
 +
Ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитные волны, а, следовательно, теряет энергию. В результате, чтобы ускорить заряженную частицу необходимо приложить большую силу, чем для ускорения незаряженной частицы с такой же массой. Этот эффект называют ''торможение излучением''. Соответствующая сила, которую надо дополнительно преодолевать называется ''силой трения Лоренца''.
 +
 +
Запишем потенциалы, создаваемые системой зарядов (стр.\,\pageref{retarded_potential_phi}):
 +
 +
:<center><math>\varphi(\mathbf{x},t) = \int\frac{\rho(\mathbf{r}, \;t-R)}{R} \,d^3\mathbf{r}, \;\;\;\;\; \mathbf{A}(\mathbf{x},t) = \int\frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}, \;t-R)}{R} \,d^3\mathbf{r},</math></center>
 +
 +
Аналогично построению лагранжиана с исключенным электромагнитным полем (стр.\,\pageref{fld_zapazd_poten}) разложим скалярный и векторный потенциалы в ''бесконечный'' ряд по времени запаздывания <math>\textstyle R=|\mathbf{x}-\mathbf{r}|</math> и найдем электрическое поле <math>\textstyle \mathbf{E}=-\nabla\varphi-\partial \mathbf{A}/\partial t</math>:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{x},t)=\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{n!}\,\frac{\partial^n}{\partial t^n} \left\{ -\nabla\left[\int \rho\, R^{n-1} d^3\mathbf{r}\right] - \frac{\partial}{\partial t}\left[\int \mathbf{j}\, R^{n-1} d^3\mathbf{r}\right] \right\}.</math></center>
 +
 +
В первом интеграле возьмем градиент <math>\textstyle \nabla R^{n-1}=(n-1) R^{n-3}\mathbf{R}</math> и подставим плотность заряда <math>\textstyle \rho(\mathbf{r},t)=Q\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{x}_0(t))</math> и тока <math>\textstyle \mathbf{j}(\mathbf{r},t)=\mathbf{v}(t)\rho(\mathbf{r,t})</math> для точечного заряда <math>\textstyle Q</math>:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{x},t)=Q\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^{n+1}}{n!}\,\frac{\partial^n}{\partial t^n} \left\{ (n-1) R^{n-3}\mathbf{R} + \frac{\partial (\mathbf{v}\, R^{n-1})}{\partial t} \right\},</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{R}=\mathbf{x}-\mathbf{x}_0(t)</math> &mdash; радиус-вектор от заряда, движущегося со скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}=d\mathbf{x}_0/dt</math> по траектории <math>\textstyle \mathbf{x}_0(t)</math> в точку <math>\textstyle \mathbf{x}</math> измерения поля. Перегруппируем слагаемые в сумме так, чтобы каждому <math>\textstyle n</math> соответствовало выражение одного порядка по степеням фундаментальной скорости <math>\textstyle c</math>. Второй член в фигурных скобках пропорционален <math>\textstyle 1/c^2</math> (<math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto \mathbf{v}/c</math>, <math>\textstyle t\mapsto ct</math>). Первой член имеет нулевой порядок по <math>\textstyle c</math>. Оба они умножаются на <math>\textstyle 1/c^n</math>, благодаря <math>\textstyle n</math>-й производной по времени. Поэтому, в сумме для первого члена в фигурных скобках выделим первые два слагаемых (второе равно нулю), а для остального ряда (начинающегося с <math>\textstyle n=2</math>) сдвинем индекс суммирования <math>\textstyle n\mapsto n+2</math>:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{x},t)=\frac{Q}{R^3}\, \mathbf{R}+ Q\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^{n+1}}{n!}\,\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}} \left\{ \frac{1}{n+2} \frac{\partial (R^{n-1}\mathbf{R})}{\partial t} + \mathbf{v}\, R^{n-1} \right\},</math></center>
 +
 +
где выполнено элементарное разложение <math>\textstyle (n+2)!=(n+2)(n+1)n!</math>.
 +
 +
Осталось вычислить производную:
 +
 +
:<center><math>\frac{\partial (R^{n-1}\mathbf{R})}{\partial t} = - R^{n-1}\mathbf{v}-(n-1) R^{n-3} (\mathbf{R}\mathbf{v})\mathbf{R},</math></center>
 +
 +
где знаки минус появляются, так как <math>\textstyle \mathbf{R}=\mathbf{x}-\mathbf{x}_0(t)</math> и <math>\textstyle \partial\mathbf{R}/\partial t=-\mathbf{v}</math>. Таким образом:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{E}=\frac{Q}{R^3}\, \mathbf{R}+ Q\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^{n+1}}{(n+2)\,n!}\,\frac{\partial^{n+1}}{\partial t^{n+1}} \left\{ (n+1)\, \mathbf{v} -(n-1)\, (\mathbf{v}\mathbf{N})\,\mathbf{N}\right\}\,R^{n-1},</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{N}=\mathbf{R}/R</math> и производная действует на всё, что стоит справа от неё. От времени зависит как скорость заряда, так и радиус-вектор <math>\textstyle \mathbf{R}</math>. Поэтому <math>\textstyle (n+1)</math>-я производная под знаком суммы выглядит достаточно громоздкой. Выражение для электрического поля упрощается в сопутствующей к заряду системе отсчета в которой <math>\textstyle \mathbf{v}=0</math>. В такой системе ненулевыми оказываются только ведущие производные по скорости (которые не умножаются на <math>\textstyle \mathbf{v}</math>). В результате, при <math>\textstyle \mathbf{v}=0</math> имеем:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{E}=\frac{Q}{R^3}\, \mathbf{R}+ Q\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^{n+1}}{(n+2)\,n!}\, \left\{ (n+1)\, \mathbf{a}^{(n)} -(n-1)\, ( \mathbf{a}^{(n)} \,\mathbf{N} )\,\mathbf{N}\right\}\,R^{n-1},</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt</math> &mdash; ускорение заряда и <math>\textstyle \mathbf{a}^{(n)}=d^n\mathbf{a}/dt^n</math>. Выпишем первые три слагаемых, получившегося выражения:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{E}\approx Q\,\frac{\mathbf{R}}{R^3} -\frac{Q}{2}\,\left\{\frac{\mathbf{a}}{R} + \frac{(\mathbf{a}\mathbf{R})\mathbf{R}}{R^3}\right\} +\frac{2}{3}\,Q\,\frac{d\mathbf{a}}{dt}+... </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Первые два слагаемых (при малой но ненулевой скорости <math>\textstyle \mathbf{v}</math>) были найдены ранее: см. (), стр.\,\pageref{fld_sys_1Q_E}. Третье слагаемое не зависит от расстояния, а следующие пропорциональны <math>\textstyle R^{n}</math>, поэтому полученный ряд имеет смысл только на небольших от заряда расстояниях.
 +
 +
В -й главе большинство задач электродинамики сводилось к двум классам: 1) нахождение напряженностей поля при ''заданном'' распределении зарядов и токов; 2) определение траектории движения ''пробных'' зарядов во внешних (заданных) полях. Тем не менее, в лагранжевом формализме поля и частицы описываются единым образом. Поэтому, варьируя траектории частиц и поля независимым образом, мы получим равноправные уравнения частиц и поля, которые необходимо решать совместно. Напомним, также, что при выводе закона сохранения (теоремы Пойнтинга), стр.\,\pageref{energy_E} мы также считали поля и частицы равноправными, в том смысле, что суммарное поле, создаваемое всеми зарядами, в свою очередь, воздействует на эти заряды. Поэтому будем считать, что () действует на сам источник поля.
 +
 +
Непосредственно применить это выражение напряженности к точечному заряду нельзя. Для этого необходимо положить <math>\textstyle \mathbf{x}=\mathbf{x}_0</math> или <math>\textstyle R=0</math>. В результате, первые члены разложения окажутся бесконечными. Для первого "кулоновского" выражения это не так страшно. Хотя модуль силы в центре источника оказывается бесконечным, в силу сферической симметрии, это не приводит к силовому вектору, который мог бы перемещать ''точечный'' заряд. Однако члены в фигурных скобках, зависящие от ускорения, не являются сферически симметричными.
 +
 +
Для устранения бесконечностей можно рассмотреть некоторое компактное, но несингулярное распределение заряда "в электроне". В этом случае отдельные "части" электрона, взаимодействуя с другими, приводят к суммарной силе, действующей на электрон в целом. Такую модель рассмотрели в своё время Абрахам (1903 г.) и Лоренц (1904 г.). В их модели электрон считается ''жестким''. Это означает, что сферически симметричное распределение заряда <math>\textstyle \rho(\mathbf{r})=\rho(r)</math> движется ''как целое'' по траектории <math>\textstyle \mathbf{x}_0(t)</math>. В сопутствующей заряду системе отсчета <math>\textstyle \mathbf{v}=0</math>, поэтому магнитной составляющей силы нет и суммарная сила, действующая на заряд определяется электрическим полем:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{f} = \int \rho(r) \mathbf{E}(\mathbf{r},t)\, d^3\mathbf{r},</math></center>
 +
 +
где для <math>\textstyle \mathbf{E}(\mathbf{r},t)</math> в свою очередь надо записать интеграл по всем зарядам, заменяя <math>\textstyle Q</math> на <math>\textstyle dQ=\rho(r')d^3\mathbf{r}'</math>. Член в фигурных скобках в () приводит к силе, зависящей от ускорения:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{f}_1 = -\frac{1}{2}\int \rho(r)\rho(r')\, \left\{\frac{\mathbf{a}}{R} + \frac{(\mathbf{a}\mathbf{R})\mathbf{R}}{R^3}\right\}d^3\mathbf{r} d^3\mathbf{r}',</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'</math>. Этот интеграл является вектором, а так как единственный вектор, который в него входит &mdash; это ускорение <math>\textstyle \mathbf{a}</math>, то интеграл пропорционален <math>\textstyle \mathbf{a}</math>. Чтобы найти коэффициент пропорциональности, нужно умножить <math>\textstyle \mathbf{f}_1</math> на <math>\textstyle \mathbf{a}</math>. Вводя единичный вектор <math>\textstyle \mathbf{n}=\mathbf{a}/a</math>, получим:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{f}_1 = -\frac{\mathbf{a}}{2}\int \frac{\rho(\mathbf{r})\rho(\mathbf{r}')}{R}\, \left\{1 + \frac{(\mathbf{n}\mathbf{R})^2}{R^2}\right\} d^3\mathbf{r} d^3\mathbf{r}' = -\frac{2}{3}\,\mathbf{a} \,\int \frac{\rho(\mathbf{r})\rho(\mathbf{r}')}{R}\,d^3\mathbf{r} d^3\mathbf{r}'.</math></center>
 +
 +
Второе равенство следует из того, что все направления вектора <math>\textstyle \mathbf{R}</math> являются равноправными и выражение <math>\textstyle (\mathbf{n}\mathbf{R})^2/R^2</math> можно (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) заменить на 1/3. Замечая, что получившийся интеграл с коэффициентом 1/2 равен электростатической энергии <math>\textstyle U</math> распределения зарядов <math>\textstyle \rho(r)</math> (или энергии поля, см.стр.\,\pageref{em_electrostatk_energy}), окончательно получаем: <math>\textstyle \mathbf{f}_1 = -\frac{4}{3}\, U\, \mathbf{a}.</math>
 +
 +
Аналогично вычисляются интегралы для остальных членов ряда:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{f} = \frac{2}{3}\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^{n+1}}{\,n!} \,\,G_n\,\, \frac{d^n\mathbf{a}}{dt^n}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где ''форм-факторы'' <math>\textstyle G_n</math> зависят от модели распределения заряда:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> G_n=\int \rho(r)\rho(r')\,|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{n-1}\, d^3\mathbf{r}d^3\mathbf{r}'. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Несложно видеть, что бесконечный ряд () можно свернуть, записав силу в следующем изящном виде:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{f} = - \frac{2}{3}\int \frac{\rho(r)\rho(r')}{R}\, \mathbf{a}(t-R)\, d^3\mathbf{r} d^3\mathbf{r}'. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
При <math>\textstyle n=1</math> форм-фактор равен квадрату суммарного заряда: <math>\textstyle G_1=Q^2</math>. При <math>\textstyle n>1</math>, для компактного распределения заряда размером <math>\textstyle r_0</math> имеем <math>\textstyle G_n\sim Q^2 r^{n-1}_0</math>. Если <math>\textstyle r_0\to 0</math>, то эти величины являются малыми и ими можно пренебречь. В результате, получается следующее выражение для силы, действующей на электрон в сопутствующей системе отсчета:
 +
 +
:<center><math>m_0\mathbf{a} = \mathbf{f}_{ext} - \frac{4}{3} U\mathbf{a} + \frac{2}{3}\,Q^2\,\frac{d\mathbf{a}}{dt},</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{f}_{\mathrm ext}</math> &mdash; внешняя сила, сообщающая заряду ускорение. Член пропорциональный ускорению можно перенести в левую часть уравнения, переопределив массу <math>\textstyle m=m_0+4U/3</math>. Поэтому, окончательно, ''уравнение движения'', справедливое при малых скоростях, заряда имеет вид:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> m\mathbf{a} = \mathbf{f}_{ext} + \frac{2}{3}\,Q^2\,\frac{d\mathbf{a}}{dt}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Масса <math>\textstyle m</math> содержит в себе механическую массу <math>\textstyle m_0</math> и массу электромагнитного поля. То что она равна не <math>\textstyle U</math>, а <math>\textstyle (4/3)U</math> можно объяснить наличием натяжений Пуанкаре. Чтобы жесткий электрон с распределением заряда <math>\textstyle \rho(r)</math> был стабилен, требуются дополнительные силы, удерживающие его от "разлетания". Энергию этих сил также необходимо учитывать в динамическом уравнении. При этом, скорее всего, ''ускоренно'' движущийся электрон не может быть жестким, и должен испытывать некие деформации, а удерживающие силы, в свою очередь, должны терять энергию на излучение. Структура электрона нам неизвестна, поэтому что либо конкретное сказать обо всех этих эффектах мы не можем и обычно предполагается, что они пренебрежимо малы. По всей видимости, стоит считать, что уравнение () является некоторым приближением, справедливым, до тех пор, пока сила трения Лоренца мала.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Как было установлено в -й главе, заряд, движущийся с ускорением <math>\textstyle \mathbf{a}</math>, излучает электромагнитные волны, теряя энергию в соответствии с формулой Лармора (), стр.\,\pageref{Larmor_eq}:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> I = \frac{d\mathcal{E}}{dt} = \frac{2}{3}\, Q^2\, \mathbf{a}^2. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
С другой стороны, производная энергии по времени равна произведению силы на скорость (), стр.\,\pageref{F_eq_move_EuF}. Найдем работу, совершаемую против сил трения Лоренца за время <math>\textstyle t_2-t_1</math>, воспользовавшись уравнением () и соотношением <math>\textstyle \mathbf{v} d\mathbf{a}/dt=d(\mathbf{v}\mathbf{a})/dt - \mathbf{a}^2</math>:
 +
 +
:<center><math>\int\limits^{t_2}_{t_1}\mathbf{f}\mathbf{v}\, dt = \frac{2}{3}\,Q^2\,\int\limits^{t_2}_{t_1}\frac{d\mathbf{a}}{dt}\mathbf{v}\, dt = \frac{2}{3}\,Q^2\,(\mathbf{v}\mathbf{a})\Bigl|^{t_2}_{t_1} - \frac{2}{3}\,Q^2\, \int\limits^{t_2}_{t_1}\mathbf{a}^2\, dt.</math></center>
 +
 +
Величина <math>\textstyle (\mathbf{a}\mathbf{v})\bigl|^{t_2}_{t_1}</math> будет равна нулю в среднем при периодическом движении или в пределе малой скорости (для которого получена сила трения) и большого ускорения. Пренебрегая этим членом, получаем выражение для формулы Лармора (). Таким образом, сила трения Лоренца, действительно, связана с излучением электромагнитных волн.
 +
 +
Проведенное вычисление не применимо при равноускоренном движении <math>\textstyle \mathbf{a}=const</math>. В этом случае сила трения равна нулю, а эффект излучения проявляется только в появлении электромагнитной массы в левой части уравнения (). Заряд становится тяжелее и его труднее становится ускорить.
 +
 +
Выясним когда эффект трения существенен. Пусть заряд из состояния покоя с ускорением <math>\textstyle a</math> за время <math>\textstyle T</math> приобретает скорость <math>\textstyle aT</math>. Его энергия (в нерелятивистском пределе) изменяется на <math>\textstyle \Delta \mathcal{E}=m(aT)^2/2</math>. Эффект трения излучения будет существенен, если эта энергия сравнима с потерей энергии на излучения () за это же время:
 +
 +
:<center><math>m \frac{(aT)^2}{2} \sim \frac{2}{3}\, Q^2\, a^2\, T.</math></center>
 +
 +
Откуда, опуская числовые множители и восстанавливая фундаментальную скорость, получаем характерное время:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> T_0 \sim \frac{Q^2}{mc^3} = \frac{r_0}{c} = 9.3\cdot 10^{-24}\;sec, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle r_0=2.8\cdot 10^{-13}\;см</math> &mdash; классический радиус электрона. Таким образом, если сила в течении времени <math>\textstyle T<T_0</math> существенно меняет скорость частицы, то на её динамику влияют эффекты излучения. При более плавном (медленном) ускорении <math>\textstyle T\gg T_0</math>, эффект трения мал и может рассматриваться как поправка к динамическому уравнению <math>\textstyle m\mathbf{a}=\mathbf{f}_{ext}</math>.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Исходя из проделанных оценок и замечаний, сделанных в конце страницы \pageref{Abraham_Lorenz_v0}, следует, что решение уравнение () необходимо получать при помощи теории возмущений. Для этого траектория частицы, её скорость и ускорение раскладываются в ряд:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{a}=\mathbf{a}_0+\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+...</math></center>
 +
 +
которые подставляются в (): В качестве нулевого приближения берется уравнение без силы трения:
 +
 +
:<center><math>m \mathbf{a}_0 = \mathbf{f}_{ext}.</math></center>
 +
 +
При помощи его решения находятся следующие поправки:
 +
 +
:<center><math>m\mathbf{a}_1 = \frac{2}{3}\, Q^2\, \frac{d\mathbf{a}_0}{dt},\;\;\;\;\;\;\;\; m\mathbf{a}_2 = \frac{2}{3}\, Q^2\, \frac{d\mathbf{a}_1}{dt},</math></center>
 +
 +
и т.д. Такой метод в частности исключает появление самоускоряющегося решения при отсутствии внешней силы. Действительно, если <math>\textstyle \mathbf{f}_{ext}=0</math>, формально уравнение <math>\textstyle \mathbf{a}=(2Q^2/3m)d\mathbf{a}/dt</math>, кроме физически осмысленного (в отсутствии внешних воздействий) решения <math>\textstyle \mathbf{a}=0</math>, имеет ускоряющееся решение <math>\textstyle \mathbf{a}=\mathbf{a}_0e^{(2Q^2/3m)t}</math>. В соответствии с таким решением, электрон, например, пролетев ускоряющее поле в конденсаторе, после выхода из него (имея <math>\textstyle \mathbf{a}(0)=\mathbf{a}_0\neq 0</math>), должен был бы продолжать неограниченно ускоряться. При решении уравнения по теории возмущения такого нефизичного решения не возникает.
 +
 +
Уравнение () позволяет разобраться с ответом на вопрос "''оказывает ли внешняя электромагнитная волна давление на заряд?''". С одной стороны &mdash; "конечно &mdash; да!" (опыты Лебедева по световому давлению тому явное подтверждение). С другой стороны, решение уравнений движения пробной частицы в поле плоской волны приводит к парадоксальному заключению об отсутствии ускоренного движения вдоль волнового вектора (по которому направлено) давление. Чтобы получить наблюдаемый на эксперименте эффект светового давления необходимо решить уравнение движения с учетом самодействия:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> m\dot{\mathbf{v}} = e\mathbf{E}+ e\,[\mathbf{v}\times\mathbf{B}] + \frac{2}{3}\,e^2\,\ddot{\mathbf{v}}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{E}</math>, <math>\textstyle \mathbf{B}</math> &mdash; напряженности поля плоской волны, поляризованной, например, по кругу:
 +
 +
:<center><math>E_x =E_0\,\cos(t-z),\;\;\;\;E_y = E_0\,\sin(t-z),\;\;\;\;\;B_x=-E_y,\;\;\;\;\;\;B_y=E_x</math></center>
 +
 +
и распространяющейся вдоль оси <math>\textstyle z</math> (<math>\textstyle E_z=B_z=0</math>).
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> При помощи преобразований Лоренца для силы и ускорения уравнение () можно записать в произвольной системе отсчета. Впрочем, ковариантное выражение для силы можно получить сразу из общих соображений. Напомним, что 4-ускорение (), стр.\,\pageref{acsel_4vec}:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> a^\nu = \frac{du^\nu}{ds} = \left\{\frac{\mathbf{v}\mathbf{a}}{(1-\mathbf{v}^2)^2},\;\frac{\mathbf{a} + [\mathbf{v}\times[\mathbf{v}\times \mathbf{a}]]}{(1-\mathbf{v}^2)^2}\right\}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
определяется при помощи 4-скорости <math>\textstyle u^\nu=\{\gamma, \gamma \mathbf{v}\}</math> и интервала (собственного времени) <math>\textstyle ds=\sqrt{1-\mathbf{v}^2}dt</math>, вычисленного вдоль траектории частицы. 4-силой называется 4-вектор <math>\textstyle f^\nu = m a^\nu</math>, где <math>\textstyle m</math> &mdash; масса частицы.
 +
 +
В системе в которой частица покоится, векторная часть силы трения, в соответствии с () должна равняться <math>\textstyle (2/3)\,Q^2\,d\mathbf{a}/dt</math>. Если <math>\textstyle \mathbf{v}=0</math> из () имеем <math>\textstyle d\mathrm{a}/ds = \{0,d\mathbf{a}/dt\}</math>. Поэтому:
 +
 +
:<center><math>\mathrm{f}\bigr|_{\mathbf{v}=0} = \frac{2}{3}\,Q^2\,\frac{d\mathrm{a}}{ds}.</math></center>
 +
 +
Силу трения Лоренца можно (<math>\textstyle \lessdot</math>\,C) разложить по двум 4-векторам:
 +
 +
:<center><math>\mathrm{f} = \alpha \mathrm{u} + \beta \,\frac{d\mathrm{a}}{ds},</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \alpha</math> и <math>\textstyle \beta</math> &mdash; некоторые скаляры. Воспользуемся тем, что 4-скорость и сила ортогональны друг другу:
 +
 +
:<center><math>\mathrm{u}\cdot\mathrm{u}=1\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{a}\cdot \mathrm {u}=0</math></center>
 +
 +
или <math>\textstyle \mathrm{f}\cdot \mathrm{u}=0</math>. Это условие приводит к соотношению <math>\textstyle \alpha=\mathrm{a}^2 \beta</math>, где учтено тождество, связывающее скалярное произведение производной 4-ускорения и 4-скорости. Оно получается ещё одним дифференцированием по <math>\textstyle s</math> условия ортогональности:
 +
 +
:<center><math>\mathrm{a}\cdot \mathrm {u}=0\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\frac{d\mathrm{a}}{ds}\cdot \mathrm{u} = -\mathrm{a}^2.</math></center>
 +
 +
При <math>\textstyle \mathbf{v}=0</math> имеем <math>\textstyle \beta=(2/3)Q^2</math>. В результате, в произвольной системе отсчета ковариантное уравнение движения имеет вид:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> m\, \frac{d\mathrm{u}}{ds} = \mathrm{f}_{ext}+\frac{2}{3}\,Q^2\, \left\{ \frac{d^2 \mathrm{u}}{ds^2} + \left(\frac{d \mathrm{u}}{ds}\right)^2\,\mathrm{u} \right\}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Это же уравнение можно переписать в 3-мерных обозначениях:
 +
 +
:<center><math>\frac{d }{dt}\left(\frac{m\,\mathbf{v}}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}}\right)= \mathbf{f}_{ext} + \frac{2}{3}\, Q^2 \left\{ \frac{\dot{\mathbf{a}} + [\mathbf{v}\times[\mathbf{v}\times \dot{\mathbf{a}} ]]}{(1-\mathbf{v}^2)^2} + 3(\mathbf{v}\mathbf{a})\, \frac{\mathbf{a} + [\mathbf{v}\times[\mathbf{v}\times \mathbf{a} ]]}{(1-\mathbf{v}^2)^4}\right\},</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \dot{\mathbf{a}}=d\mathbf{a}/dt</math>. Если <math>\textstyle \mathbf{v}=0</math> мы снова возвращаемся к уравнению ().
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Если в качестве ускоряющей частицу силы используется ''внешнее'' электромагнитное поле <math>\textstyle F_{\mu\nu}=(\mathbf{E},-\mathbf{B})</math>, уравнения движения имеют вид:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> m\, \frac{d\mathrm{u}}{ds} = Q\, \mathrm{F}\cdot \mathrm{u}+ \mathrm{f}(\mathrm{u}),\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{f}(\mathrm{u})=\frac{2}{3}\,Q^2\, \left\{ \frac{d^2 \mathrm{u}}{ds^2} + \left(\frac{d \mathrm{u}}{ds}\right)^2\,\mathrm{u} \right\}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где в безиндексных обозначениях (прямой шрифт!) 4-вектор <math>\textstyle (\mathrm{F}\cdot \mathrm{u})^\mu=F^{\mu\nu}u_\nu</math>. Применим к этому уравнению теорию возмущений. Для этого ряд
 +
 +
:<center><math>\mathrm{u}=\mathrm{u}_0+\mathrm{u_1}+\mathrm{u}_2+...</math></center>
 +
 +
подставим в уравнение движения (штрих &mdash; производная по <math>\textstyle s</math>):
 +
 +
:<center><math>m\,(\mathrm{u}'_0+\mathrm{u}'_1+...) = Q\,\mathrm{F}\cdot (\mathrm{u}_0+...) +\frac{2}{3}\,Q^2\, \left\{ \mathrm{u}''_0 +... +(\mathrm{u}'^2_0+2\mathrm{u}'_0\mathrm{u}'_1)\,(\mathrm{u}_0+...) \right\}.</math></center>
 +
 +
Приравнивая одинаковые порядки малости, получаем цепочку уравнений:
 +
 +
:<center><math>m\,\mathrm{u}'_0 = Q\,\mathrm{F}\cdot\mathrm{u}_0,</math></center>
 +
 +
:<center><math>m\,\mathrm{u}'_1 = Q\,\mathrm{F}\cdot\mathrm{u}_1 +\frac{2}{3}\,Q^2\, (\mathrm{u}''_0 + \mathrm{u}'^2_0\,\mathrm{u}_0 ),</math></center>
 +
 +
и т.д. Решая их последовательно, можно найти динамику движения заряда в произвольном внешнем поле с учетом силы трения.
 +
 +
При движении в постоянном электрическом поле <math>\textstyle \mathbf{E}</math> мы имеем равноускоренное движение. Если в начальный момент времени частица покоилась, то <math>\textstyle \mathrm{u}=\{\mathrm{ch}\,\omega s},\;\mathbf{e}\,\mathrm{sh}\,\omega s}\}</math>, где <math>\textstyle \mathbf{e}=\mathbf{E}/|\mathbf{E}|</math>, см. стр.\,\pageref{h_fl_dynam_in_E}. Несложно видеть, что релятивистская сила трения (как и нерелятивистская) в этом случае равна нулю. Это же справедливо при равноускоренном движении ''вдоль прямой'' с ненулевой начальной скоростью (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H).
 +
 +
В общем случае релятивистски равноускоренное движение можно определить как движение, при котором квадрат 4-ускорения (или 4-силы) остаётся постоянным <math>\textstyle \mathrm{a}^2=\mathrm{f}^2/m^2=const<0</math>. Действительно, компоненты 4-силы <math>\textstyle f^\mu</math> можно записать следующим образом (см. стр.\,\pageref{lorenz_vec0_f}):
 +
 +
:<center><math>f^\mu = \left\{\gamma \mathbf{F}\mathbf{v},\;\gamma \mathbf{F}\right\} = \frac{1}{m}\, \{ \mathbf{F}\mathbf{p},\;\mathcal{E} \mathbf{F} \},</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{F}</math> &mdash; ''постоянная'' (при равноускоренном движении) 3-сила, <math>\textstyle \mathcal{E}</math> &mdash; энергия и <math>\textstyle \mathbf{p}</math> &mdash; импульс заряда. Поэтому <math>\textstyle m^2\mathrm{f}^2= (\mathbf{F}\mathbf{p})^2-\mathcal{E}^2\mathbf{F}^2</math>. Дифференцируя по лабораторному времени (или собственному времени заряда), имеем:
 +
 +
:<center><math>\frac{d(m^2\mathrm{f}^2)}{dt} = 2 (\mathbf{F}\mathbf{p}) \mathbf{F}^2 - 2\mathcal{E} (\mathbf{v}\mathbf{F}) \mathbf{F}^2 = 2 (\mathbf{F}\mathbf{p}) \mathbf{F}^2-2 (\mathbf{F}\mathbf{p}) \mathbf{F}^2=0,</math></center>
 +
 +
где учтено, что <math>\textstyle d\mathbf{p}/dt=\mathbf{F}</math>, <math>\textstyle d\mathcal{E}/dt=\mathbf{v}\mathbf{F}</math> и <math>\textstyle \mathbf{p}=\mathbf{v}\mathcal{E}</math>. Чтобы убедиться в том, что квадрат 4-ускорения отрицателен, достаточно вычислить его в системе отсчета, где частица покоится.
  
 
----
 
----

Версия 15:19, 7 октября 2012

Взаимодействие зарядов без поля << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Нелинейная электродинамика

Ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитные волны, а, следовательно, теряет энергию. В результате, чтобы ускорить заряженную частицу необходимо приложить большую силу, чем для ускорения незаряженной частицы с такой же массой. Этот эффект называют торможение излучением. Соответствующая сила, которую надо дополнительно преодолевать называется силой трения Лоренца.

Запишем потенциалы, создаваемые системой зарядов (стр.\,\pageref{retarded_potential_phi}):

Аналогично построению лагранжиана с исключенным электромагнитным полем (стр.\,\pageref{fld_zapazd_poten}) разложим скалярный и векторный потенциалы в бесконечный ряд по времени запаздывания и найдем электрическое поле :

В первом интеграле возьмем градиент и подставим плотность заряда и тока для точечного заряда :

где — радиус-вектор от заряда, движущегося со скоростью по траектории в точку измерения поля. Перегруппируем слагаемые в сумме так, чтобы каждому соответствовало выражение одного порядка по степеням фундаментальной скорости . Второй член в фигурных скобках пропорционален (, ). Первой член имеет нулевой порядок по . Оба они умножаются на , благодаря -й производной по времени. Поэтому, в сумме для первого члена в фигурных скобках выделим первые два слагаемых (второе равно нулю), а для остального ряда (начинающегося с ) сдвинем индекс суммирования :

где выполнено элементарное разложение .

Осталось вычислить производную:

где знаки минус появляются, так как и . Таким образом:

где и производная действует на всё, что стоит справа от неё. От времени зависит как скорость заряда, так и радиус-вектор . Поэтому -я производная под знаком суммы выглядит достаточно громоздкой. Выражение для электрического поля упрощается в сопутствующей к заряду системе отсчета в которой . В такой системе ненулевыми оказываются только ведущие производные по скорости (которые не умножаются на ). В результате, при имеем:

где — ускорение заряда и . Выпишем первые три слагаемых, получившегося выражения:

(EQN)

Первые два слагаемых (при малой но ненулевой скорости ) были найдены ранее: см. (), стр.\,\pageref{fld_sys_1Q_E}. Третье слагаемое не зависит от расстояния, а следующие пропорциональны , поэтому полученный ряд имеет смысл только на небольших от заряда расстояниях.

В -й главе большинство задач электродинамики сводилось к двум классам: 1) нахождение напряженностей поля при заданном распределении зарядов и токов; 2) определение траектории движения пробных зарядов во внешних (заданных) полях. Тем не менее, в лагранжевом формализме поля и частицы описываются единым образом. Поэтому, варьируя траектории частиц и поля независимым образом, мы получим равноправные уравнения частиц и поля, которые необходимо решать совместно. Напомним, также, что при выводе закона сохранения (теоремы Пойнтинга), стр.\,\pageref{energy_E} мы также считали поля и частицы равноправными, в том смысле, что суммарное поле, создаваемое всеми зарядами, в свою очередь, воздействует на эти заряды. Поэтому будем считать, что () действует на сам источник поля.

Непосредственно применить это выражение напряженности к точечному заряду нельзя. Для этого необходимо положить или . В результате, первые члены разложения окажутся бесконечными. Для первого "кулоновского" выражения это не так страшно. Хотя модуль силы в центре источника оказывается бесконечным, в силу сферической симметрии, это не приводит к силовому вектору, который мог бы перемещать точечный заряд. Однако члены в фигурных скобках, зависящие от ускорения, не являются сферически симметричными.

Для устранения бесконечностей можно рассмотреть некоторое компактное, но несингулярное распределение заряда "в электроне". В этом случае отдельные "части" электрона, взаимодействуя с другими, приводят к суммарной силе, действующей на электрон в целом. Такую модель рассмотрели в своё время Абрахам (1903 г.) и Лоренц (1904 г.). В их модели электрон считается жестким. Это означает, что сферически симметричное распределение заряда движется как целое по траектории . В сопутствующей заряду системе отсчета , поэтому магнитной составляющей силы нет и суммарная сила, действующая на заряд определяется электрическим полем:

где для в свою очередь надо записать интеграл по всем зарядам, заменяя на . Член в фигурных скобках в () приводит к силе, зависящей от ускорения:

где . Этот интеграл является вектором, а так как единственный вектор, который в него входит — это ускорение , то интеграл пропорционален . Чтобы найти коэффициент пропорциональности, нужно умножить на . Вводя единичный вектор , получим:

Второе равенство следует из того, что все направления вектора являются равноправными и выражение можно (\,H) заменить на 1/3. Замечая, что получившийся интеграл с коэффициентом 1/2 равен электростатической энергии распределения зарядов (или энергии поля, см.стр.\,\pageref{em_electrostatk_energy}), окончательно получаем:

Аналогично вычисляются интегралы для остальных членов ряда:

(EQN)

где форм-факторы зависят от модели распределения заряда:

(EQN)

Несложно видеть, что бесконечный ряд () можно свернуть, записав силу в следующем изящном виде:

(EQN)

При форм-фактор равен квадрату суммарного заряда: . При , для компактного распределения заряда размером имеем . Если , то эти величины являются малыми и ими можно пренебречь. В результате, получается следующее выражение для силы, действующей на электрон в сопутствующей системе отсчета:

где — внешняя сила, сообщающая заряду ускорение. Член пропорциональный ускорению можно перенести в левую часть уравнения, переопределив массу . Поэтому, окончательно, уравнение движения, справедливое при малых скоростях, заряда имеет вид:

(EQN)

Масса содержит в себе механическую массу и массу электромагнитного поля. То что она равна не , а можно объяснить наличием натяжений Пуанкаре. Чтобы жесткий электрон с распределением заряда был стабилен, требуются дополнительные силы, удерживающие его от "разлетания". Энергию этих сил также необходимо учитывать в динамическом уравнении. При этом, скорее всего, ускоренно движущийся электрон не может быть жестким, и должен испытывать некие деформации, а удерживающие силы, в свою очередь, должны терять энергию на излучение. Структура электрона нам неизвестна, поэтому что либо конкретное сказать обо всех этих эффектах мы не можем и обычно предполагается, что они пренебрежимо малы. По всей видимости, стоит считать, что уравнение () является некоторым приближением, справедливым, до тех пор, пока сила трения Лоренца мала.

Как было установлено в -й главе, заряд, движущийся с ускорением , излучает электромагнитные волны, теряя энергию в соответствии с формулой Лармора (), стр.\,\pageref{Larmor_eq}:

(EQN)

С другой стороны, производная энергии по времени равна произведению силы на скорость (), стр.\,\pageref{F_eq_move_EuF}. Найдем работу, совершаемую против сил трения Лоренца за время , воспользовавшись уравнением () и соотношением :

Величина будет равна нулю в среднем при периодическом движении или в пределе малой скорости (для которого получена сила трения) и большого ускорения. Пренебрегая этим членом, получаем выражение для формулы Лармора (). Таким образом, сила трения Лоренца, действительно, связана с излучением электромагнитных волн.

Проведенное вычисление не применимо при равноускоренном движении . В этом случае сила трения равна нулю, а эффект излучения проявляется только в появлении электромагнитной массы в левой части уравнения (). Заряд становится тяжелее и его труднее становится ускорить.

Выясним когда эффект трения существенен. Пусть заряд из состояния покоя с ускорением за время приобретает скорость . Его энергия (в нерелятивистском пределе) изменяется на . Эффект трения излучения будет существенен, если эта энергия сравнима с потерей энергии на излучения () за это же время:

Откуда, опуская числовые множители и восстанавливая фундаментальную скорость, получаем характерное время:

(EQN)

где Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle r_0=2.8\cdot 10^{-13}\;см} — классический радиус электрона. Таким образом, если сила в течении времени существенно меняет скорость частицы, то на её динамику влияют эффекты излучения. При более плавном (медленном) ускорении , эффект трения мал и может рассматриваться как поправка к динамическому уравнению .

Исходя из проделанных оценок и замечаний, сделанных в конце страницы \pageref{Abraham_Lorenz_v0}, следует, что решение уравнение () необходимо получать при помощи теории возмущений. Для этого траектория частицы, её скорость и ускорение раскладываются в ряд:

которые подставляются в (): В качестве нулевого приближения берется уравнение без силы трения:

При помощи его решения находятся следующие поправки:

и т.д. Такой метод в частности исключает появление самоускоряющегося решения при отсутствии внешней силы. Действительно, если , формально уравнение , кроме физически осмысленного (в отсутствии внешних воздействий) решения , имеет ускоряющееся решение . В соответствии с таким решением, электрон, например, пролетев ускоряющее поле в конденсаторе, после выхода из него (имея ), должен был бы продолжать неограниченно ускоряться. При решении уравнения по теории возмущения такого нефизичного решения не возникает.

Уравнение () позволяет разобраться с ответом на вопрос "оказывает ли внешняя электромагнитная волна давление на заряд?". С одной стороны — "конечно — да!" (опыты Лебедева по световому давлению тому явное подтверждение). С другой стороны, решение уравнений движения пробной частицы в поле плоской волны приводит к парадоксальному заключению об отсутствии ускоренного движения вдоль волнового вектора (по которому направлено) давление. Чтобы получить наблюдаемый на эксперименте эффект светового давления необходимо решить уравнение движения с учетом самодействия:

(EQN)

где , — напряженности поля плоской волны, поляризованной, например, по кругу:

и распространяющейся вдоль оси ().

При помощи преобразований Лоренца для силы и ускорения уравнение () можно записать в произвольной системе отсчета. Впрочем, ковариантное выражение для силы можно получить сразу из общих соображений. Напомним, что 4-ускорение (), стр.\,\pageref{acsel_4vec}:

(EQN)

определяется при помощи 4-скорости и интервала (собственного времени) , вычисленного вдоль траектории частицы. 4-силой называется 4-вектор , где — масса частицы.

В системе в которой частица покоится, векторная часть силы трения, в соответствии с () должна равняться . Если из () имеем . Поэтому:

Силу трения Лоренца можно (\,C) разложить по двум 4-векторам:

где и — некоторые скаляры. Воспользуемся тем, что 4-скорость и сила ортогональны друг другу:

или . Это условие приводит к соотношению , где учтено тождество, связывающее скалярное произведение производной 4-ускорения и 4-скорости. Оно получается ещё одним дифференцированием по условия ортогональности:

При имеем . В результате, в произвольной системе отсчета ковариантное уравнение движения имеет вид:

(EQN)

Это же уравнение можно переписать в 3-мерных обозначениях:

где . Если мы снова возвращаемся к уравнению ().

Если в качестве ускоряющей частицу силы используется внешнее электромагнитное поле , уравнения движения имеют вид:

(EQN)

где в безиндексных обозначениях (прямой шрифт!) 4-вектор . Применим к этому уравнению теорию возмущений. Для этого ряд

подставим в уравнение движения (штрих — производная по ):

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify»): {\displaystyle m\,(\mathrm {u} '_{0}+\mathrm {u} '_{1}+...)=Q\,\mathrm {F} \cdot (\mathrm {u} _{0}+...)+{\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,\left\{\mathrm {u} ''_{0}+...+(\mathrm {u} '_{0}^{2}+2\mathrm {u} '_{0}\mathrm {u} '_{1})\,(\mathrm {u} _{0}+...)\right\}.}

Приравнивая одинаковые порядки малости, получаем цепочку уравнений:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify»): {\displaystyle m\,\mathrm {u} '_{1}=Q\,\mathrm {F} \cdot \mathrm {u} _{1}+{\frac {2}{3}}\,Q^{2}\,(\mathrm {u} ''_{0}+\mathrm {u} '_{0}^{2}\,\mathrm {u} _{0}),}

и т.д. Решая их последовательно, можно найти динамику движения заряда в произвольном внешнем поле с учетом силы трения.

При движении в постоянном электрическом поле мы имеем равноускоренное движение. Если в начальный момент времени частица покоилась, то Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle \mathrm{u}=\{\mathrm{ch}\,\omega s},\;\mathbf{e}\,\mathrm{sh}\,\omega s}\}} , где , см. стр.\,\pageref{h_fl_dynam_in_E}. Несложно видеть, что релятивистская сила трения (как и нерелятивистская) в этом случае равна нулю. Это же справедливо при равноускоренном движении вдоль прямой с ненулевой начальной скоростью (\,H).

В общем случае релятивистски равноускоренное движение можно определить как движение, при котором квадрат 4-ускорения (или 4-силы) остаётся постоянным . Действительно, компоненты 4-силы можно записать следующим образом (см. стр.\,\pageref{lorenz_vec0_f}):

где постоянная (при равноускоренном движении) 3-сила, — энергия и — импульс заряда. Поэтому . Дифференцируя по лабораторному времени (или собственному времени заряда), имеем:

где учтено, что , и . Чтобы убедиться в том, что квадрат 4-ускорения отрицателен, достаточно вычислить его в системе отсчета, где частица покоится.


Взаимодействие зарядов без поля << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Нелинейная электродинамика

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии