Решения динамических уравнений — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 83: Строка 83:
 
Вдоль вектора <math>\textstyle \mathbf{\Omega}</math> частица продолжает двигаться равномерно. Изменение направления скорости происходит в плоскости, перпендикулярной <math>\textstyle \mathbf{\Omega}</math>.
 
Вдоль вектора <math>\textstyle \mathbf{\Omega}</math> частица продолжает двигаться равномерно. Изменение направления скорости происходит в плоскости, перпендикулярной <math>\textstyle \mathbf{\Omega}</math>.
  
Уравнение () достаточно просто решается при подходящем выборе системы координат. Для этого ось <math>\textstyle z</math> направляется вдоль вектора <math>\textstyle \mathbf{\Omega}</math> и получается система из двух дифференциальных уравнений. Мы тем не менее решим () в векторных обозначениях. Разложим вектор скорости на продольную <math>\textstyle \mathbf{u}_{\shortparallel}</math> и поперечную составляющие <math>\textstyle \mathbf{u}_{\perp}=\mathbf{u}-\mathbf{u}_{\shortparallel}</math>: \parbox{8cm}{ <center>
+
Уравнение () достаточно просто решается при подходящем выборе системы координат. Для этого ось <math>\textstyle z</math> направляется вдоль вектора <math>\textstyle \mathbf{\Omega}</math> и получается система из двух дифференциальных уравнений. Мы тем не менее решим () в векторных обозначениях. Разложим вектор скорости на продольную <math>\textstyle \mathbf{u}_{\shortparallel}</math> и поперечную составляющие <math>\textstyle \mathbf{u}_{\perp}=\mathbf{u}-\mathbf{u}_{\shortparallel}</math>:  
  
 
<center>[[File:spiral_elm.png]]</center>
 
<center>[[File:spiral_elm.png]]</center>
  
} \parbox{5cm}{
+
где введен модуль вектора <math>\textstyle \omega = |\mathbf{\Omega}|=|\mathbf{B}|/E</math>.
 
 
:<center><math>\mathbf{u}_{\shortparallel} = \frac{\mathbf{\Omega}(\mathbf{\Omega}\mathbf{u})}{\omega^2},</math></center>
 
 
 
:<center><math>\mathbf{u}_{\perp} = \mathbf{u}- \frac{\mathbf{\Omega}(\mathbf{\Omega}\mathbf{u})}{\omega^2},</math></center>
 
 
 
} </center> где введен модуль вектора <math>\textstyle \omega = |\mathbf{\Omega}|=|\mathbf{B}|/E</math>.
 
  
 
Так как <math>\textstyle \mathbf{\Omega}\times\mathbf{\Omega}=0</math> и <math>\textstyle \mathbf{\Omega}\mathbf{u}</math> постоянна, то поперечная составляющая удовлетворяет уравнению ():
 
Так как <math>\textstyle \mathbf{\Omega}\times\mathbf{\Omega}=0</math> и <math>\textstyle \mathbf{\Omega}\mathbf{u}</math> постоянна, то поперечная составляющая удовлетворяет уравнению ():

Текущая версия на 18:18, 9 апреля 2011

Сила << Оглавление (Глава 3) >> Ковариантная динамика

Рассмотрим динамическое уравнение для релятивистской частицы, движущейся в поле постоянной силы:

Несмотря на простоту уравнения, релятивистская динамика приводит к довольно громоздким решениям. Во второй главе, при рассмотрении равноускоренного движения, мы изучили частный случай движения вдоль прямой. Найдём теперь решение для произвольного направления начальной скорости частицы и вектора силы .

Интегрируя динамическое уравнение первый раз, получаем:

где введен постоянный вектор , а - константа интегрирования. Она может быть выражена через начальную скорость объекта в момент времени :

Если возвести выражение для скорости в квадрат, можно выразить через время и переписать зависимость вектора скорости от времени в явном виде:

Так как по определению , то, чтобы получить закон движения частицы, необходимо проинтегрировать функцию :

где в знаменателе выделен полный квадрат по , и

Сделаем замену :

где применена формула двойного векторного произведения.

Этот интеграл легко вычисляется при помощи следующих табличных интегралов:

проверяемых прямым дифференцированием. В результате:

где — положение тела в момент времени . Константы интегрирования выбраны таким образом, чтобы . Величина

имеет смысл собственного времени объекта. Оно по определению равно:

Если с движущейся под воздействием постоянной силы частицей связать часы, то за время движения они покажут интервал времени . Выражение для , при известных начальной скорости частицы и её "ускорении" позволяет вычислить показания движущихся часов. В частном случае начально неподвижной частицы её собственное время равно:

Если собственное ускорение и начальная скорость параллельны друг другу, то векторное произведение равно нулю и выражение для траектории заметно упрощается. Тело движется по прямой линии. Если вдоль неё направить ось , то получится уже известное нам выражение (), стр.\pageref{accel_length}:

Если построить эту траекторию на плоскости , то получится гипербола. Поэтому такое движение часто называют гиперболическим. Хотя мы видим, что в общее решение зависимость от времени входит более сложным образом, поэтому термин "гиперболическое движение" применим только для движения по прямой. В общем случае лучше просто говорить о релятивистском равноускоренном движении.

Рассмотрим ещё один пример решения релятивистских динамических уравнений. Пусть сила зависит от скорости следующим образом:

где — скорость частицы, а — некоторый постоянный вектор. Как мы увидим в следующей главе, подобное уравнение возникает при движении единичного заряда в постоянном однородном магнитном поле.

Производная энергии по времени равна произведению скорости на силу: , а скалярное произведение . Поэтому энергия движения в таком поле сил не изменяется, а следовательно, не изменяется модуль скорости. Этим можно воспользоваться, записав связь импульса, энергии и скорости: . Постоянная энергия выносится из-под производной по времени, и уравнение движения принимает следующий вид:

(EQN)

где введен постоянный вектор , пропорциональный силовому полю и постоянной энергии частицы, зависящей от начальной скорости частицы. Умножая это уравнение на , приходим к выводу, что составляющая скорости в направлении вектора не изменяется:

Вдоль вектора частица продолжает двигаться равномерно. Изменение направления скорости происходит в плоскости, перпендикулярной .

Уравнение () достаточно просто решается при подходящем выборе системы координат. Для этого ось направляется вдоль вектора и получается система из двух дифференциальных уравнений. Мы тем не менее решим () в векторных обозначениях. Разложим вектор скорости на продольную и поперечную составляющие :

Spiral elm.png

где введен модуль вектора .

Так как и постоянна, то поперечная составляющая удовлетворяет уравнению ():

Возьмём от этого уравнения производную по времени и раскроем двойное векторное произведение, учитывая, что :

В результате получается уравнение для осциллятора:

Решая его для каждой компоненты скорости, получаем:

где и — два постоянных вектора, перпендикулярных . Они находятся из начальных условий:

где — начальное значение скорости. В результате:

При записи этого решения мы выразили поперечную скорость через полную скорость и учли, что .

Интегрируя скорость по времени, получаем уравнение для траектории:

где — положение частицы в момент времени . Это уравнение спирали. Частица с угловой скоростью поворачивается в плоскости, перпендикулярной . Векторы при синусе и косинусе лежат в этой плоскости. Они перпендикулярны друг другу и имеют одинаковую длину. Эта длина определяет радиус спирали , "разматывающейся" вдоль :

где — угол между векторами и . Если (начальная скорость перпендикулярна ), радиус максимален и пропорционален начальному импульсу частицы: .


Сила << Оглавление (Глава 3) >> Ковариантная динамика

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии