Решения динамических уравнений — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Сила << ! width="20%"|Оглавление ([http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf…»)
 
 
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника)
Строка 6: Строка 6:
 
----
 
----
  
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим динамическое уравнение для релятивистской частицы, движущейся в поле постоянной силы:
 +
 +
:<center><math>\frac{d}{dt}\frac{m\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}} = \mathbf{F} = const.</math></center>
 +
 +
Несмотря на простоту уравнения, релятивистская динамика приводит к довольно громоздким решениям. Во второй главе, при рассмотрении равноускоренного движения, мы изучили частный случай движения вдоль прямой. Найдём теперь решение для произвольного направления начальной скорости <math>\textstyle \mathbf{u}_0</math> частицы и вектора силы <math>\textstyle \mathbf{F}</math>.
 +
 +
Интегрируя динамическое уравнение первый раз, получаем:
 +
 +
:<center><math>\frac{\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2}}=\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t,</math></center>
 +
 +
где введен постоянный вектор <math>\textstyle \mathbf{a}=\mathbf{F}/m</math>, а <math>\textstyle \mathbf{w}_0</math> - константа интегрирования. Она может быть выражена через начальную скорость объекта <math>\textstyle \mathbf{u}_0</math> в момент времени <math>\textstyle t=0</math>:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{w}_0=\frac{\mathbf{u}_0}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2_0}}.</math></center>
 +
 +
Если возвести выражение для скорости в квадрат, можно выразить <math>\textstyle \mathbf{u}^2</math> через время и переписать зависимость вектора скорости от времени в явном виде:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{u}(t) = \frac{\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t}{\sqrt{1+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t)^2}}.</math></center>
 +
 +
Так как по определению <math>\textstyle \mathbf{u}(t)=d\mathbf{r}/dt</math>, то, чтобы получить закон движения частицы, необходимо проинтегрировать функцию <math>\textstyle \mathbf{u}(t)</math>:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{r} = \int \mathbf{u}(t)\,dt = \frac{\alpha}{a}\int \frac{\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t}{\sqrt{1 +\alpha^2 \left(t+\frac{\displaystyle\mathbf{w}_0\mathbf{a}}{\displaystyle a^2}\right)^2}}\,dt,</math></center>
 +
 +
где в знаменателе выделен полный квадрат по <math>\textstyle t</math>, <math>\textstyle a=|\mathbf{a}|</math> и
 +
 +
:<center><math>\alpha = \frac{a} { \sqrt{ 1+\frac{\displaystyle[\mathbf{w}_0\times\mathbf{a}]^2}{\displaystyle a^2} }}.</math></center>
 +
 +
Сделаем замену <math>\textstyle \tau=t+(\mathbf{w}_0\mathbf{a})/a^2</math>:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{r} = \frac{\alpha}{a}\int \frac{\mathbf{a}\,\tau + [\mathbf{a}\times[\mathbf{w}_0\times\mathbf{a}]]/a^2}{\sqrt{1 +\alpha^2 \tau^2}}\,d\tau,</math></center>
 +
 +
где применена формула двойного векторного произведения.
 +
 +
Этот интеграл легко вычисляется при помощи следующих табличных интегралов:
 +
 +
:<center><math>\int\frac{\tau\, d\tau}{\sqrt{1+\alpha^2\tau^2 }} = \frac{1}{\alpha^2}\sqrt{1+\alpha^2 \tau^2},\;\;\;\;\;\; \int\frac{ d\tau}{\sqrt{1+\alpha^2\tau^2 }} = \frac{1}{\alpha}\ln\left(\alpha \tau+ \sqrt{1+\alpha^2 \tau^2}\right),</math></center>
 +
 +
проверяемых прямым дифференцированием. В результате:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0+\frac{\displaystyle\mathbf{a}}{\displaystyle a^2}\, \left( \sqrt{1+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t)^2} - \sqrt{1+\mathbf{w}_0^2}\right) +\frac{[\mathbf{a}\times[\mathbf{w}_0\times \mathbf{a}]]}{a^2}\,\tau_0(t),</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \textstyle \mathbf{r}_0</math> &mdash; положение тела в момент времени <math>\textstyle t=0</math>. Константы интегрирования выбраны таким образом, чтобы <math>\textstyle \mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0</math>. Величина
 +
 +
:<center><math>\tau_0(t) = \frac{1}{a}\, \ln\frac{\displaystyle \sqrt{1+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}t)^2}+at+(\mathbf{w}_0\mathbf{a})/a}{\displaystyle \sqrt{1+\mathbf{w}^2_0}+(\mathbf{w}_0\mathbf{a})/a}</math></center>
 +
 +
имеет смысл собственного времени объекта. Оно по определению равно:
 +
 +
:<center><math>\tau_0(t) = \int\limits^t_0 \sqrt{1-\mathbf{u}^2(t)}\,dt =\int\limits^t_0 \frac{dt}{\sqrt{1+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t)^2}}.</math></center>
 +
 +
Если с движущейся под воздействием постоянной силы частицей связать часы, то за время движения <math>\textstyle t</math> они покажут интервал времени <math>\textstyle \tau_0(t)</math>. Выражение для <math>\textstyle \tau_0(t)</math>, при известных начальной скорости частицы и её "ускорении" позволяет вычислить показания движущихся часов. В частном случае начально неподвижной частицы её собственное время равно:
 +
 +
:<center><math>\tau_0(t) = \frac{1}{a}\, \ln\left(\displaystyle \sqrt{1+(at)^2}+at\right).</math></center>
 +
 +
Если собственное ускорение <math>\textstyle \mathbf{a}</math> и начальная скорость <math>\textstyle \mathbf{u}_0</math> параллельны друг другу, то векторное произведение <math>\textstyle [\mathbf{a}\times[\mathbf{w}_0\times \mathbf{a}]]</math> равно нулю и выражение для траектории заметно упрощается. Тело движется по прямой линии. Если вдоль неё направить ось <math>\textstyle x</math>, то получится уже известное нам выражение (), стр.\pageref{accel_length}:
 +
 +
:<center><math>x(t) = x_0+\frac{1}{a} \left( \sqrt{1+(w_0+a\,t)^2} - \sqrt{1+w_0^2}\right).</math></center>
 +
 +
Если построить эту траекторию на плоскости <math>\textstyle (x, t)</math>, то получится гипербола. Поэтому такое движение часто называют ''гиперболическим''. Хотя мы видим, что в общее решение зависимость от времени входит более сложным образом, поэтому термин "гиперболическое движение" применим только для движения по прямой. В общем случае лучше просто говорить о ''релятивистском равноускоренном движении''.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим ещё один пример решения релятивистских динамических уравнений. Пусть сила зависит от скорости следующим образом:
 +
 +
:<center><math>\frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{u}\times \mathbf{B},</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{u}</math> &mdash; скорость частицы, а <math>\textstyle \mathbf{B}</math> &mdash; некоторый постоянный вектор. Как мы увидим в следующей главе, подобное уравнение возникает при движении единичного заряда в постоянном однородном магнитном поле.
 +
 +
Производная энергии по времени равна произведению скорости на силу: <math>\textstyle dE/dt = \mathbf{u}\mathbf{F}</math>, а скалярное произведение <math>\textstyle \mathbf{u}[\mathbf{u}\times\mathbf{B}]=[\mathbf{u}\times \mathbf{u}]\mathbf{B}=0</math>. Поэтому энергия движения <math>\textstyle E</math> в таком поле сил не изменяется, а следовательно, не изменяется модуль скорости. Этим можно воспользоваться, записав связь импульса, энергии и скорости: <math>\textstyle \mathbf{p}=E\mathbf{u}</math>. Постоянная энергия выносится из-под производной по времени, и уравнение движения принимает следующий вид:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{u}}{dt} = \mathbf{u}\times \mathbf{\Omega}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где введен постоянный вектор <math>\textstyle \mathbf{\Omega}=\mathbf{B}/E</math>, пропорциональный силовому полю <math>\textstyle \mathbf{B}</math> и постоянной энергии частицы, зависящей от начальной скорости частицы. Умножая это уравнение на <math>\textstyle \mathbf{\Omega}</math>, приходим к выводу, что составляющая скорости в направлении вектора <math>\textstyle \mathbf{\Omega}</math> не изменяется:
 +
 +
:<center><math>\frac{d (\mathbf{u}\mathbf{\Omega})}{dt} = 0.</math></center>
 +
 +
Вдоль вектора <math>\textstyle \mathbf{\Omega}</math> частица продолжает двигаться равномерно. Изменение направления скорости происходит в плоскости, перпендикулярной <math>\textstyle \mathbf{\Omega}</math>.
 +
 +
Уравнение () достаточно просто решается при подходящем выборе системы координат. Для этого ось <math>\textstyle z</math> направляется вдоль вектора <math>\textstyle \mathbf{\Omega}</math> и получается система из двух дифференциальных уравнений. Мы тем не менее решим () в векторных обозначениях. Разложим вектор скорости на продольную <math>\textstyle \mathbf{u}_{\shortparallel}</math> и поперечную составляющие <math>\textstyle \mathbf{u}_{\perp}=\mathbf{u}-\mathbf{u}_{\shortparallel}</math>:
 +
 +
<center>[[File:spiral_elm.png]]</center>
 +
 +
где введен модуль вектора <math>\textstyle \omega = |\mathbf{\Omega}|=|\mathbf{B}|/E</math>.
 +
 +
Так как <math>\textstyle \mathbf{\Omega}\times\mathbf{\Omega}=0</math> и <math>\textstyle \mathbf{\Omega}\mathbf{u}</math> постоянна, то поперечная составляющая удовлетворяет уравнению ():
 +
 +
:<center><math>\frac{d\mathbf{u}_{\perp}}{dt} = \mathbf{u}_{\perp}\times \mathbf{\Omega}.</math></center>
 +
 +
Возьмём от этого уравнения производную по времени и раскроем двойное векторное произведение, учитывая, что <math>\textstyle \mathbf{u}_{\perp}\mathbf{\Omega}=0</math>:
 +
 +
:<center><math>\frac{d^2\mathbf{u}_{\perp}}{dt^2} = \frac{d\mathbf{u}_{\perp}}{dt}\times \mathbf{\Omega} = [\mathbf{u}_{\perp}\times \mathbf{\Omega}]\times\mathbf{\Omega} = -\mathbf{\Omega}^2\, \mathbf{u_{\perp}}.</math></center>
 +
 +
В результате получается уравнение для осциллятора:
 +
 +
:<center><math>\frac{d^2\mathbf{u}_{\perp}}{dt^2} + \omega^2 \mathbf{u}_{\perp} = 0.</math></center>
 +
 +
Решая его для каждой компоненты скорости, получаем:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{u}_{\perp}(t) = \mathbf{a}\,\cos(\omega t)+\mathbf{b}\,\sin(\omega t),</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{a}</math> и <math>\textstyle \mathbf{b}</math> &mdash; два постоянных вектора, перпендикулярных <math>\textstyle \mathbf{\Omega}</math>. Они находятся из начальных условий:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{u}_{\perp}(0)=\mathbf{u}_0-\frac{\mathbf{\Omega}(\mathbf{\Omega}\mathbf{u}_0)}{\omega^2} = \frac{\mathbf{\Omega}\times[\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}]}{\omega^2}=\mathbf{a},\;\;\;\;\;\; \frac{d\mathbf{u}_\perp(0)}{dt} = [\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}]=\omega\mathbf{b},</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{u}(0)=\mathbf{u}_0</math> &mdash; начальное значение скорости. В результате:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{u} = \frac{\mathbf{\Omega}\,(\mathbf{\Omega}\mathbf{u}_0)}{\omega^2} \;+\; \frac{\mathbf{\Omega}\times[\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}]}{\omega^2}\,\cos(\omega t) \;+\;\frac{[\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}]}{\omega}\,\sin(\omega t).</math></center>
 +
 +
При записи этого решения мы выразили поперечную скорость <math>\textstyle \mathbf{u}_{\perp}</math> через полную скорость <math>\textstyle \mathbf{u}</math> и учли, что <math>\textstyle \mathbf{u}\mathbf{\Omega}=\mathbf{u}_0\mathbf{\Omega}=const</math>.
 +
 +
Интегрируя скорость по времени, получаем уравнение для траектории:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{r} = \mathbf{r}_0+\frac{[\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}]}{\omega^2} \;+\;\frac{\mathbf{\Omega}\,(\mathbf{\Omega}\mathbf{u}_0)}{\omega^2}\,t \;+\; \frac{\mathbf{\Omega}\times[\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}]}{\omega^3}\,\sin(\omega t) \;-\;\frac{[\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}]}{\omega^2}\,\cos(\omega t),</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{r}_0=\mathbf{r}(0)</math> &mdash; положение частицы в момент времени <math>\textstyle t=0</math>. Это уравнение спирали. Частица с угловой скоростью <math>\textstyle \omega</math> поворачивается в плоскости, перпендикулярной <math>\textstyle \Omega</math>. Векторы при синусе и косинусе лежат в этой плоскости. Они перпендикулярны друг другу и имеют одинаковую длину. Эта длина определяет радиус спирали <math>\textstyle R</math>, "разматывающейся" вдоль <math>\textstyle \mathbf{\Omega}</math>:
 +
 +
:<center><math>R = \frac{\left|\mathbf{u}_0\times\mathbf{\Omega}\right|}{\omega^2} = \frac{|\mathbf{u}_0|}{\omega}\,\sin\alpha,</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \alpha</math> &mdash; угол между векторами <math>\textstyle \mathbf{u}_0</math> и <math>\textstyle \mathbf{\Omega}</math>. Если <math>\textstyle \alpha=\pi/2</math> (начальная скорость перпендикулярна <math>\textstyle \mathbf{\Omega}</math>), радиус максимален и пропорционален начальному импульсу частицы: <math>\textstyle R=|\mathbf{u}_0|E/|\mathbf{B}|=|\mathbf{p}_0|/|\mathbf{B}|</math>.
  
 
----
 
----

Текущая версия на 18:18, 9 апреля 2011

Сила << Оглавление (Глава 3) >> Ковариантная динамика

Рассмотрим динамическое уравнение для релятивистской частицы, движущейся в поле постоянной силы:

Несмотря на простоту уравнения, релятивистская динамика приводит к довольно громоздким решениям. Во второй главе, при рассмотрении равноускоренного движения, мы изучили частный случай движения вдоль прямой. Найдём теперь решение для произвольного направления начальной скорости частицы и вектора силы .

Интегрируя динамическое уравнение первый раз, получаем:

где введен постоянный вектор , а - константа интегрирования. Она может быть выражена через начальную скорость объекта в момент времени :

Если возвести выражение для скорости в квадрат, можно выразить через время и переписать зависимость вектора скорости от времени в явном виде:

Так как по определению , то, чтобы получить закон движения частицы, необходимо проинтегрировать функцию :

где в знаменателе выделен полный квадрат по , и

Сделаем замену :

где применена формула двойного векторного произведения.

Этот интеграл легко вычисляется при помощи следующих табличных интегралов:

проверяемых прямым дифференцированием. В результате:

где — положение тела в момент времени . Константы интегрирования выбраны таким образом, чтобы . Величина

имеет смысл собственного времени объекта. Оно по определению равно:

Если с движущейся под воздействием постоянной силы частицей связать часы, то за время движения они покажут интервал времени . Выражение для , при известных начальной скорости частицы и её "ускорении" позволяет вычислить показания движущихся часов. В частном случае начально неподвижной частицы её собственное время равно:

Если собственное ускорение и начальная скорость параллельны друг другу, то векторное произведение равно нулю и выражение для траектории заметно упрощается. Тело движется по прямой линии. Если вдоль неё направить ось , то получится уже известное нам выражение (), стр.\pageref{accel_length}:

Если построить эту траекторию на плоскости , то получится гипербола. Поэтому такое движение часто называют гиперболическим. Хотя мы видим, что в общее решение зависимость от времени входит более сложным образом, поэтому термин "гиперболическое движение" применим только для движения по прямой. В общем случае лучше просто говорить о релятивистском равноускоренном движении.

Рассмотрим ещё один пример решения релятивистских динамических уравнений. Пусть сила зависит от скорости следующим образом:

где — скорость частицы, а — некоторый постоянный вектор. Как мы увидим в следующей главе, подобное уравнение возникает при движении единичного заряда в постоянном однородном магнитном поле.

Производная энергии по времени равна произведению скорости на силу: , а скалярное произведение . Поэтому энергия движения в таком поле сил не изменяется, а следовательно, не изменяется модуль скорости. Этим можно воспользоваться, записав связь импульса, энергии и скорости: . Постоянная энергия выносится из-под производной по времени, и уравнение движения принимает следующий вид:

(EQN)

где введен постоянный вектор , пропорциональный силовому полю и постоянной энергии частицы, зависящей от начальной скорости частицы. Умножая это уравнение на , приходим к выводу, что составляющая скорости в направлении вектора не изменяется:

Вдоль вектора частица продолжает двигаться равномерно. Изменение направления скорости происходит в плоскости, перпендикулярной .

Уравнение () достаточно просто решается при подходящем выборе системы координат. Для этого ось направляется вдоль вектора и получается система из двух дифференциальных уравнений. Мы тем не менее решим () в векторных обозначениях. Разложим вектор скорости на продольную и поперечную составляющие :

Spiral elm.png

где введен модуль вектора .

Так как и постоянна, то поперечная составляющая удовлетворяет уравнению ():

Возьмём от этого уравнения производную по времени и раскроем двойное векторное произведение, учитывая, что :

В результате получается уравнение для осциллятора:

Решая его для каждой компоненты скорости, получаем:

где и — два постоянных вектора, перпендикулярных . Они находятся из начальных условий:

где — начальное значение скорости. В результате:

При записи этого решения мы выразили поперечную скорость через полную скорость и учли, что .

Интегрируя скорость по времени, получаем уравнение для траектории:

где — положение частицы в момент времени . Это уравнение спирали. Частица с угловой скоростью поворачивается в плоскости, перпендикулярной . Векторы при синусе и косинусе лежат в этой плоскости. Они перпендикулярны друг другу и имеют одинаковую длину. Эта длина определяет радиус спирали , "разматывающейся" вдоль :

где — угол между векторами и . Если (начальная скорость перпендикулярна ), радиус максимален и пропорционален начальному импульсу частицы: .


Сила << Оглавление (Глава 3) >> Ковариантная динамика

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии