Релятивистские законы сохранения

Масса <<	Оглавление	>> Энергия, импульс, сила и масса

---

$\textstyle \bullet$ Перейдём теперь к релятивистской динамике, но зададимся сначала вопросом: "что происходит, если соударение неупругое?" Например, пусть две одинаковые частицы с массами $\textstyle m$, движущиеся со скоростями $\textstyle u$ и $\textstyle -u$, сталкиваются, образуя частицу массой $\textstyle M$:

Из соображений симметрии следует, что скорость результирующей частицы $\textstyle M$ равна нулю. Нет оснований считать, что она должна начать двигаться влево или вправо. Это же следует из закона сохранения импульса в виде $\textstyle \mathbf {p} =m\mathbf {u} \,g(\mathbf {u} ^{2})$, где $\textstyle g$ — произвольная функция.

С точки зрения классической механики, должна также сохраняться масса: $\textstyle M=2m$. Однако, так как финальная частица неподвижна, классическая кинетическая энергия не сохраняется. Начальные частицы движутся, обладая "живой силой", тогда как финальная частица в данной системе отсчёта никуда не двигается. При этом говорят, что энергия движения начальных частиц перешла во "внутреннюю" энергию тела $\textstyle M$. Внутренняя энергия может характеризовать степень нагрева или деформации возникшего объекта. Для её конкретизации мы вынуждены строить некоторую модель структуры частиц. Например, считать, что тело состоит из множества маленьких частичек (атомов), находящихся в постоянном движении. При соударении скорость этого движения возрастает, и начальная "живая сила" как бы консервируется в виде повышения "живой силы" атомов.

Несмотря на то, что такая картина для большинства объектов нашего Мира абсолютно верна, хотелось бы, чтобы рассуждения не зависели от подобных деталей устройства частиц. Механика и законы сохранения универсальны и должны быть применимыми и к бесструктурным объектам, например, точечным частицам. В этом случае мы предполагаем, что в результате взаимодействия исходных точечных объектов они исчезают, а вместо них появляется новая частица $\textstyle M$. Куда же в этом случае "уходит" живая сила?

Образовавшаяся частица с массой $\textstyle M$ может в дальнейшем участвовать в новых столкновениях, и накопленная в ней энергия исходных компонент должна некоторым образом проявляться. До сих пор мы считали, что энергия тем больше, чем больше скорость частицы и её масса. Выражение типа $\textstyle E=mf(\mathbf {u} ^{2})$ при монотонно растущей функции $\textstyle f$ является математической записью этого утверждения.

Массивная частица имеет б\'ольшую энергию. Почему бы "потерянной" жизненной силе не переходить в массу тела? Сейчас мы должны сделать решительный шаг и спросить: "откуда известно, что при неупругом столкновении масса сохраняется?" Никакие аргументы общего плана к этому не ведут. Более того, образовавшуюся в процессе удара частицу, очевидно, нельзя рассматривать, как простое сложение двух начальных частиц. Возник новый объект, и его масса может отличаться от суммы масс исходных частиц.

Если это так, то мы можем "спасти" закон сохранения энергии при неупругом столкновении, считая, что кинетическая энергия не исчезает, а приводит к увеличению массы, что проявляется в дальнейших экспериментах с новой частицей. Напомним, что в функции энергии нет ничего априорного. Мы ввели её, чтобы объяснить неизменность скорости после упругого симметричного столкновения частиц. Эта функция квадрата скорости достаточно произвольна $\textstyle E=mf(\mathbf {u} ^{2})$. В частности, ничто не запрещает её ненулевого значения при $\textstyle \mathbf {u} =0$. В этом случае, в силу произвольности единиц измерения энергии и массы, можно положить, например, $\textstyle f(0)=c^{2}$. В системе единиц $\textstyle c=1$, в которой мы работаем, энергия неподвижной частицы будет равна её массе $\textstyle E=m$. Именно в эту энергию покоя превратились "живые силы" исходных частиц. Формула $\textstyle E=m$ или, точнее, $\textstyle E=mc^{2}$, стала символом науки двадцатого века. Её последствия грандиозны. Вся энергетика (и не только атомная), в конечном счёте, обусловлена этим соотношением.

Таким образом, будем далее считать устройство нашего мира таковым, что масса частицы, возникающей при неупругих столкновениях, увеличивается. Другими словами, энергия движения никуда не исчезает, а повышает инертные свойства нового объекта. В настоящее время это выглядит более чем естественно. Хотя легко быть умным, когда правильный ответ уже известен. Сложнее, если его никто не знает. Настоящая же сила мысли проявляется, когда ответ известен, является общепринятым, абсолютно привычным, и при этом неверным.

Найдём общее выражение для энергии $\textstyle E=mf(\mathbf {u} ^{2})$ с позиции теории относительности. Единственное, чего мы будем требовать от функции $\textstyle f$ — это её ненулевое значение при нулевой скорости: $\textstyle f(0)=1$. Кроме этого, мы, конечно, считаем справедливыми релятивистский закон сложения скоростей и аксиому инвариантности массы. Напомним, что параметр $\textstyle m$ является характеристикой частицы и должен быть одинаков для всех инерциальных наблюдателей. Для установления вида функции $\textstyle f$ проведём несколько мысленных экспериментов.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим неупругое столкновение двух одинаковых частиц с массами $\textstyle m$, которые движутся со скоростями $\textstyle u$ навстречу друг другу. Пусть это движение происходит вдоль оси $\textstyle y$ (первый рисунок ниже). Это же столкновение рассмотрим в системе отсчёта $\textstyle S'$, движущейся влево со скоростью "$\textstyle -v$" (второй рисунок):

В движущейся системе все частицы приобретают горизонтальную составляющую скорости $\textstyle v$, а вертикальная у исходных частиц изменяется в соответствии с правилом сложения скоростей (1.14), стр. \pageref{speed_add0}. Так как в неподвижной системе $\textstyle u_{x}=0$, $\textstyle u_{y}=\pm u$, то $\textstyle u'_{y}=\pm u{\sqrt {1-v^{2}}}$ и $\textstyle u'_{x}=v$.

Предположим, что существует сохраняющаяся величина, пропорциональная массе тела, умноженной на некоторую функцию квадрата скорости $\textstyle E=m\,f(\mathbf {u} ^{2})$. Учитывая, что $\textstyle \mathbf {u} ^{2}=u_{x}^{2}+u_{y}^{2}$, запишем закон сохранения энергии в движущейся системе $\textstyle S'$:

$2mf(v^{2}+u^{2}(1-v^{2}))=Mf(v^{2}).$

В неподвижной системе ($\textstyle v=0$) имеем $\textstyle M=2mf(u^{2})$. Подставляя массу $\textstyle M$ и обозначая $\textstyle x=u^{2}$, $\textstyle y=v^{2}$, приходим к следующему функциональному уравнению:

$f(x+y-xy)=f(x)f(y).$

Для его решения возьмём производную по $\textstyle y$ и положим $\textstyle y=0$. Введя константу $\textstyle a=f'(0)$, получим дифференциальное уравнение ($\textstyle \lessdot$ H):

$f'(x)\,(1-x)=a\,f(x)\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(x)={\frac {1}{(1-x)^{a}}},$

где для выбора константы интегрирования учтено, что $\textstyle f(0)=1$. Таким образом, энергия, как функция скорости, имеет вид:

$E={\frac {m}{(1-\mathbf {u} ^{2})^{a}}}.$

(1.21)

Для определения значения $\textstyle a$ мы должны будем ещё раз покрутиться вокруг сталкивающихся частиц.

Пусть скорости частиц направлены вдоль оси $\textstyle x$, а движущаяся влево система отсчёта $\textstyle S'$ имеет скорость $\textstyle v=-u$:

В движущейся системе $\textstyle S'$ скорость правой частицы будет равна нулю. Для левой частицы из правила сложения $\textstyle u'_{x}=(u-v)/(1-uv)$ с $\textstyle v=-u$ имеем $\textstyle 2u/(1+u^{2})$. Поэтому, с учётом (1.21), закон сохранения энергии в системе $\textstyle S'$ принимает вид:

${\frac {m}{[1-4u^{2}/(1+u^{2})^{2}]^{a}}}+m={\frac {M}{(1-u^{2})^{a}}}={\frac {2m}{(1-u^{2})^{2a}}},$

где во втором равенстве для $\textstyle M$ снова подставлено выражение для закона сохранения в неподвижной системе отсчёта $\textstyle M=2mf(u^{2})$. Проводя элементарные алгебраические преобразования, получаем:

$(1+u^{2})^{2a}+(1-u^{2})^{2a}=2.$

Это выражение для произвольной скорости $\textstyle u$ выполняется, только если $\textstyle a=1/2$ (достаточно положить $\textstyle u=1$).

Таким образом, окончательное выражение для энергии имеет вид:

$E={\frac {m}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}.$

(1.22)

Описанное выше столкновение вдоль оси $\textstyle x$ можно также рассмотреть в системе отсчёта, которая движется вдоль оси $\textstyle x$ с произвольной скоростью $\textstyle v$. В качестве упражнения ($\textstyle \lessdot$ H) предлагается найти функциональное уравнение и его решение для этого случая.

Обратим внимание, что при $\textstyle \mathbf {u} =0$ энергия тела равна его массе. Если же скорость стремится к единице (фундаментальной скорости), то энергия стремится к бесконечности. Это представляет собой энергетическую причину невозможности достижения "обычными" частицами скорости света. В классической механике энергия движения $\textstyle E=m\mathbf {u} ^{2}/2$ при увеличении скорости неограниченно растёт, однако всегда остаётся конечной. Релятивистское выражение для энергии, как и преобразования Лоренца, сингулярно (бесконечно) при $\textstyle |\mathbf {u} |=1$. Это означает, что для разгона массивной частицы до фундаментальной скорости потребовалось бы бесконечное количество энергии.

$\textstyle \bullet$ Воспользовавшись формулой (1.16), стр. \pageref{transf_u2}, запишем выражение для энергии в системе отсчёта $\textstyle S'$, движущейся со скоростью $\textstyle \mathbf {v}$:

$E'={\frac {m}{\sqrt {1-\mathbf {u} '^{2}}}}={\frac {m\cdot (1-\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}\,{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}}}.$

Введя обозначение

$\mathbf {p} ={\frac {m\,\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}},$

(1.23)

выражение для энергии в системе $\textstyle S'$ можно записать в более компактном виде:

$E'={\frac {E-\mathbf {v} \mathbf {p} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}}.$

(1.24)

Пусть у нас есть множество сталкивающихся частиц. В силу принципа относительности энергия должна сохраняться в любой инерциальной системе отсчёта:

$\sum _{i}E'_{i}={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}}\sum _{i}E_{i}-{\frac {\mathbf {v} }{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}}\sum _{i}\mathbf {p} _{i}=const.$

До и после столкновения значение этого выражения не изменяется. Сумма энергий $\textstyle E_{i}$ в системе $\textstyle S$ также сохраняется. Чтобы эти два закона одновременно выполнялись, необходимо, в силу произвольности скорости $\textstyle \mathbf {v}$, выполнение закона сохранения импульса:

$\sum _{i}\mathbf {p} _{i}=const.$

Таким образом, из закона сохранения энергии и преобразований Лоренца следует закон сохранения импульса.

Закон сохранения массы при столкновениях в релятивистском мире отсутствует, так как его "поглощают" закон сохранения энергии и понимание массы, как энергии тела в системе, где оно покоится. Естественно, по-прежнему возможны упругие столкновения, при которых массы частиц не изменяются. Однако при неупругих столкновениях энергия сталкивающихся частиц может переходить в массу результирующих. Для упругого симметричного столкновения, рассмотренного в предыдущем разделе, сохранение импульса приводит к следующему релятивистскому обобщению определения массы:

${\frac {m_{2}}{m_{1}}}={\frac {u_{1}/{\sqrt {1-u_{1}^{2}}}}{u_{2}/{\sqrt {1-u_{2}^{2}}}}}.$

Обратим ещё раз внимание на то, что масса частицы является её "личным" параметром и одинакова для всех наблюдателей, независимо от их относительной скорости.

$\textstyle \bullet$ Аналогичное (1.24) преобразование можно записать и для импульса. Рассмотрим движение системы $\textstyle S'$ вдоль оси $\textstyle x$, так что $\textstyle \mathbf {v} =(v,0,0)$. Энергия (1.22) и импульс (1.23) связаны простым соотношением $\textstyle \mathbf {p} =E\,\mathbf {u}$, поэтому для проекции импульса на ось $\textstyle x$ имеем:

$p'_{x}=E'\,u'_{x}={\frac {E-vp_{x}}{\sqrt {1-v^{2}}}}\cdot {\frac {u_{x}-v}{1-u_{x}v}}=E\,{\frac {1-vu_{x}}{\sqrt {1-v^{2}}}}\cdot {\frac {u_{x}-v}{1-u_{x}v}}={\frac {p_{x}-vE}{\sqrt {1-v^{2}}}},$

где мы сначала воспользовались преобразованием для энергии и $\textstyle x$-компоненты скорости, затем дважды формулой $\textstyle p_{x}=E\,u_{x}$. Точно так же находится преобразование проекции импульса на ось $\textstyle y$:

$p'_{y}=E'\,u'_{y}={\frac {E-vp_{x}}{\sqrt {1-v^{2}}}}\cdot {\frac {u_{y}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1-u_{x}v}}=E\,{\frac {1-vu_{x}}{1-vu_{x}}}\,u_{y}=p_{y},$

Таким образом, при относительном движении систем $\textstyle S$ и $\textstyle S'$ вдоль параллельных осей $\textstyle x$ и $\textstyle x'$ преобразования энергии и импульса имеют следующий вид:

$E'={\frac {E-vp_{x}}{\sqrt {1-v^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;p'_{x}={\frac {p_{x}-vE}{\sqrt {1-v^{2}}}},\;\;\;\;\;\;p'_{y}=p_{y},\;\;\;\;\;\;\;p'_{z}=p_{z}.$

(1.25)

Сравним их с преобразованиями Лоренца:

$t'={\frac {t-vx}{\sqrt {1-v^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-v^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;y'=y,\;\;\;\;\;\;\;z'=z.\;\;\;\;\;\;$

Как видно, существует замечательная симметрия, выражающаяся в том, что четвёрка $\textstyle \{E,p_{x},p_{y},p_{z}\}$ преобразуется так же, как и $\textstyle \{t,x,y,z\}$. Это совпадение не случайно. Энергия и импульс являются компонентами 4-вектора импульса $\textstyle p^{\nu }=\{E,\mathbf {p} \}$. Подробнее мы рассмотрим этот вопрос в третьей главе.

По аналогии с векторными преобразованиями Лоренца (1.12), стр. \pageref{lorenz_vec0}, для энергии и импульса можно написать:

$E'=\gamma \,(E-{\mathbf {v} }{\mathbf {p} }),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf {p} }'={\mathbf {p} }-\gamma {\mathbf {v} }E+\Gamma \,{\mathbf {v} }\,({\mathbf {v} }{\mathbf {p} }).$

(1.26)

Считая, что $\textstyle \mathbf {p} =m\mathbf {u} \,f(\mathbf {u} ^{2})$ и импульс сохраняется, функцию $\textstyle f(\mathbf {u} ^{2})$ можно также получить из релятивистского закона сложения скоростей. Для этого необходимо рассмотреть столкновение двух одинаковых частиц с их последующим слипанием. Закон сохранения импульса записывается из системы, движущейся перпендикулярно скоростям исходных частиц с некоторой произвольной скоростью $\textstyle v$ ($\textstyle \lessdot$ H).

---

Масса <<	Оглавление	>> Энергия, импульс, сила и масса

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии