Распады и столкновения — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 5 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Энергия, импульс, сила и масса]] <<  
+
  | width="40%"|[[Кинетическая энергия]] <<  
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
+
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf Глава 3])
  | width="40%" align="right"| >> [[Мир элементарных частиц]]
+
  | width="40%" align="right"| >> [[Космические полёты]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
  
<math>\textstyle \bullet</math> Предположим, что в результате некоторых внутренних причин неподвижная частица массой <math>\textstyle M</math> распадается на две частицы с массами <math>\textstyle m_1</math> и <math>\textstyle m_2</math>:  
+
<math>\textstyle \bullet</math> Предположим, что в результате некоторых внутренних причин неподвижная частица массой <math>\textstyle M</math> распадается на две частицы с массами <math>\textstyle m_1</math> и <math>\textstyle m_2</math>, имеющие скорости <math>\textstyle u_1</math> и <math>\textstyle u_2</math>:  
  
 
<center>[[File:react1.png]]</center>
 
<center>[[File:react1.png]]</center>
Строка 14: Строка 14:
 
:<center><math>E=E_1+E_2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p=p_1+p_2.</math></center>
 
:<center><math>E=E_1+E_2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p=p_1+p_2.</math></center>
  
Стандартный приём решения подобных задач состоит в использовании соотношения <math>\textstyle E^2-p^2=m^2</math>, при помощи которого избавляются от одной из неизвестных скоростей (энергии и импульса). Для этого перенесём <math>\textstyle E_1</math> и <math>\textstyle p_1</math> в законах сохранения влево, возведём в квадрат и вычтем:
+
Стандартный приём решения подобных задач состоит в использовании соотношения <math>\textstyle E^2-p^2=m^2</math>, при помощи которого избавляются от одной из неизвестных скоростей (энергии и импульса). Перенесём <math>\textstyle E_1</math> и <math>\textstyle p_1</math> в законах сохранения влево, возведём их в квадрат и вычтем:
  
 
:<center><math>(E-E_1)^2-(p-p_1)^2 = E^2_2-p^2_2=m^2_2.</math></center>
 
:<center><math>(E-E_1)^2-(p-p_1)^2 = E^2_2-p^2_2=m^2_2.</math></center>
Строка 22: Строка 22:
 
:<center><math>M^2+m^2_1 - 2EE_1+ 2pp_1 = m^2_2.</math></center>
 
:<center><math>M^2+m^2_1 - 2EE_1+ 2pp_1 = m^2_2.</math></center>
  
Так как начальная частица покоится, для неё <math>\textstyle E=M</math> и <math>\textstyle p=0</math>. Поэтому не сложно получить выражение для энергии первого продукта распада <math>\textstyle E_1</math>. Для <math>\textstyle E_2</math> достаточно переставить местами индексы:
+
Так как начальная частица покоится, для неё <math>\textstyle E=M</math> и <math>\textstyle p=0</math>. Поэтому несложно получить выражение для энергии первого продукта распада <math>\textstyle E_1</math>. Для <math>\textstyle E_2</math> достаточно переставить местами индексы. В результате:
  
 
:<center><math>E_1=\frac{M^2+m_1^2-m_2^2}{2M},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; E_2=\frac{M^2+m_2^2-m^2_1}{2M}.</math></center>
 
:<center><math>E_1=\frac{M^2+m_1^2-m_2^2}{2M},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; E_2=\frac{M^2+m_2^2-m^2_1}{2M}.</math></center>
Строка 32: Строка 32:
 
:<center><math>M=\frac{m_1}{\sqrt{1-u^2_1}}+\frac{m_2}{\sqrt{1-u^2_2}} > m_1+m_2.</math></center>
 
:<center><math>M=\frac{m_1}{\sqrt{1-u^2_1}}+\frac{m_2}{\sqrt{1-u^2_2}} > m_1+m_2.</math></center>
  
Если <math>\textstyle M<m_1+m_2</math>, то такой ''самопроизвольный'' распад невозможен по энергетическим соображениям, и требуется некоторое внешнее воздействие, чтобы разрушить ''энергию связи'', равную <math>\textstyle m_1+m_2-M</math>.
+
Если <math>\textstyle M<m_1+m_2</math>, то такой ''самопроизвольный'' распад невозможен по энергетическим соображениям и требуется некоторое внешнее воздействие, чтобы разрушить ''энергию связи'', равную <math>\textstyle m_1+m_2-M</math>.
  
Требование <math>\textstyle M>m_1+m_2</math> запрещает испускание частицей некоторой другой частицы при сохранении своей исходной массы. Например, свободный электрон не может излучить фотон, оставшись электроном. На самом деле, он не может и превратиться в другую частицу в процессе такого распада, но это уже другая история.
+
Требование <math>\textstyle M>m_1+m_2</math> запрещает испускание частицей некоторой другой частицы при сохранении своей исходной массы. Например, равномерно движущийся электрон не может излучить фотон, оставшись электроном. На самом деле он не может и превратиться в другую частицу в процессе такого распада, но это уже другая история.
  
 
Почему вообще частицы распадаются? Обычно к этому приводят некоторые эволюционные процессы, происходящие внутри исходной частицы. Простейшим примером может служить взрыв в результате химических реакций. В квантовом мире распады обычно связаны с ''туннелированием квантовой частицы'' через потенциальный барьер, непреодолимый для классической частицы. В квантово-релятивистском мире элементарных частиц ситуация ещё менее наглядна. Например, свободный нейтрон в среднем за 15 минут распадается на протон, электрон и нейтрино, которые "в нём ''не находились''". Этот же нейтрон внутри ядер, в окружении других нейтронов и протонов, вполне стабилен и не подвержен распаду.
 
Почему вообще частицы распадаются? Обычно к этому приводят некоторые эволюционные процессы, происходящие внутри исходной частицы. Простейшим примером может служить взрыв в результате химических реакций. В квантовом мире распады обычно связаны с ''туннелированием квантовой частицы'' через потенциальный барьер, непреодолимый для классической частицы. В квантово-релятивистском мире элементарных частиц ситуация ещё менее наглядна. Например, свободный нейтрон в среднем за 15 минут распадается на протон, электрон и нейтрино, которые "в нём ''не находились''". Этот же нейтрон внутри ядер, в окружении других нейтронов и протонов, вполне стабилен и не подвержен распаду.
  
Распад обратен ситуации "слипания", когда в результате столкновения двух частиц возникает третья. Рассмотрим эту реакцию в ''лабораторной системе отсчёта'', где первая частица с массой <math>\textstyle m_1</math> имеет скорость <math>\textstyle v</math> и энергию <math>\textstyle E_1=m_1/\sqrt{1-v^2}</math>, а вторая с массой <math>\textstyle m_2</math> покоится. Результат их столкновения массой <math>\textstyle M</math> двигается со скоростью <math>\textstyle u</math>:  
+
Распад обратен ситуации "слипания", когда в результате столкновения двух частиц возникает третья. Рассмотрим такую реакцию в ''лабораторной системе отсчёта'', где первая частица с массой <math>\textstyle m_1</math> имеет скорость <math>\textstyle v</math> и энергию <math>\textstyle E_1=m_1/\sqrt{1-v^2}</math>, а вторая с массой <math>\textstyle m_2</math> покоится. Результат их столкновения имеет массу <math>\textstyle M</math> и движется со скоростью <math>\textstyle u</math>:  
  
 
<center>[[File:react1a.png]]</center>
 
<center>[[File:react1a.png]]</center>
Строка 48: Строка 48:
 
Возводя в квадрат и вычитая, находим квадрат массы результирующей частицы, которая, естественно, больше, чем сумма исходных:
 
Возводя в квадрат и вычитая, находим квадрат массы результирующей частицы, которая, естественно, больше, чем сумма исходных:
  
:<center><math>M^2=m^2_1+m^2_2+\frac{2m_1m_2}{\sqrt{1-v^2}}=(m_1+m_2)^2 +2m_1m_2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}-1\right).</math></center>
+
:<center><math>M^2=m^2_1+m^2_2+\frac{2m_1m_2}{\sqrt{1-v^2}}=(m_1+m_2)^2 +2m_1m_2\,\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}-1\right).</math></center>
  
 
Её скорость можно найти из сохранения импульса <math>\textstyle p_1=p</math>, однако более быстрый путь &mdash; воспользоваться связью импульса, энергии и скорости:
 
Её скорость можно найти из сохранения импульса <math>\textstyle p_1=p</math>, однако более быстрый путь &mdash; воспользоваться связью импульса, энергии и скорости:
Строка 56: Строка 56:
 
Если <math>\textstyle v\to 1</math>, то к скорости света стремится и скорость результирующей частицы.
 
Если <math>\textstyle v\to 1</math>, то к скорости света стремится и скорость результирующей частицы.
  
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим теперь ситуацию, когда первая частица, имеющая энергию <math>\textstyle E_1</math> и массу <math>\textstyle m_1</math>, налетает на неподвижную вторую частицу с массой <math>\textstyle m_2</math>, и массы частиц после этого взаимодействия не изменяются:  
+
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим теперь ситуацию, когда частица, имеющая энергию <math>\textstyle E_1</math> и массу <math>\textstyle m_1</math>, налетает на неподвижную частицу с массой <math>\textstyle m_2</math> и массы частиц после этого взаимодействия не изменяются (''упругое столкновение''):  
  
 
<center>[[File:react2.png]]</center>
 
<center>[[File:react2.png]]</center>
  
Если столкновение было "не лобовое", то частицы разлетятся под некоторыми углами к скорости <math>\textstyle \mathbf{u}_1</math> налетающей частицы. Обозначим все величины после столкновения со штрихами и запишем законы сохранения:
+
Если столкновение было "не лобовое", то частицы разлетятся под некоторыми углами к скорости <math>\textstyle \mathbf{u}_1</math> налетающей частицы. Обозначим все величины после столкновения штрихами и запишем законы сохранения:
  
:<center><math>E_1+E_2=E'_1+E'_2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2=\mathbf{p}'_1+\mathbf{p}'_2.</math></center>
+
:<center><math>E_1+E_2=E'_1+E'_2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2=\mathbf{p}'_1+\mathbf{p}'_2,</math></center>
  
Как и ранее, избавимся от энергии и импульса одной из частиц:
+
где <math>\textstyle E_2=m</math>, <math>\textstyle \mathbf{p}_2=0</math>. Избавимся от энергии и импульса одной из частиц:
  
:<center><math>(E_1+m_2-E'_1)^2-(\mathbf{p}_1-\mathbf{p}'_1)^2 = m^2_2,</math></center>
+
:<center><math>(E_1+m_2-E'_1)^2-(\mathbf{p}_1-\mathbf{p}'_1)^2 = m^2_2.</math></center>
  
где сразу учтено, что <math>\textstyle E_2=m_2</math> и <math>\textstyle \mathbf{p}_2=0</math>. Возводя в квадрат, получаем:
+
Возводя в квадрат, получаем:
  
:<center><math>m_1^2 + E_1m_2 = (E_1+m_2)\,E'_1-\mathbf{p}_1\mathbf{p}'_1.</math></center>
+
:<center><math>\mathbf{p}_1\mathbf{p}'_1 = (E_1+m_2)\,E'_1-m_1^2 - E_1m_2.</math></center>
  
 
Скалярное произведение импульсов выражается через их модули и угол: <math>\textstyle \mathbf{p}_1\mathbf{p}'_1=p_1p'_1\cos\theta_1</math>. Поэтому угол вылета частиц равен:
 
Скалярное произведение импульсов выражается через их модули и угол: <math>\textstyle \mathbf{p}_1\mathbf{p}'_1=p_1p'_1\cos\theta_1</math>. Поэтому угол вылета частиц равен:
Строка 78: Строка 78:
 
Второй угол получается совершенно аналогично. При этом необходимо избавиться от энергии и импульса первой частицы после столкновения.
 
Второй угол получается совершенно аналогично. При этом необходимо избавиться от энергии и импульса первой частицы после столкновения.
  
Сам по себе угол рассеивания зависит от прицельного расстояния и характера взаимодействия между частицами. Однако, независимо от последнего, энергия рассеявшейся частицы, благодаря законам сохранения, связана с этим углом. Чем сильнее теряет энергию первая частица, тем на больший угол она рассеивается. Заметим, что так как <math>\textstyle E'_2>m_2</math>, <math>\textstyle E_2=m_2</math>, то из закона сохранения энергии следует, что <math>\textstyle E'_1<E_1</math>, т.е. энергия уменьшается, переходя к покоящейся частице.
+
Сам по себе угол рассеивания зависит от прицельного расстояния и характера взаимодействия между частицами. Однако независимо от последнего энергия рассеявшейся частицы, благодаря законам сохранения, связана с этим углом. Чем сильнее теряет энергию первая частица, тем на больший угол она рассеивается. Заметим, что так как <math>\textstyle E'_2>m_2</math>, <math>\textstyle E_2=m_2</math>, то из закона сохранения энергии следует, что <math>\textstyle E'_1<E_1</math>, т.е. энергия уменьшается, переходя к покоящейся частице.
  
Подставляя в выражение для <math>\textstyle \cos\theta_1</math> зависимость импульса от энергии
+
Подставив в выражение для <math>\textstyle \cos\theta_1</math> зависимость импульса от энергии <math>\textstyle p'=\sqrt{E'\,^2_1-m^2_1}</math> и взяв производную по <math>\textstyle E'_1</math>, можно (<math>\textstyle \lessdot</math> H) найти максимальное значение угла рассеяния:
и взяв производную по <math>\textstyle E'_1</math>, можно (<math>\textstyle \lessdot</math> H) найти максимальное значение угла рассеяния:
 
  
 
:<center><math>(\sin\theta_{1})_{max}=\frac{m_2}{m_1}.</math></center>
 
:<center><math>(\sin\theta_{1})_{max}=\frac{m_2}{m_1}.</math></center>
Строка 89: Строка 88:
 
Особенно просто выражение для результирующей энергии выглядит, если налетающая частица является безмассовой <math>\textstyle m_1=0</math>. Например, в ''эффекте Комптона'' (1923 г.) фотон рассеивается на электроне. В этом случае <math>\textstyle p_1=E_1</math>, <math>\textstyle p'_1=E'_1</math>, и энергия фотона после столкновения равна: \parbox{8cm}{
 
Особенно просто выражение для результирующей энергии выглядит, если налетающая частица является безмассовой <math>\textstyle m_1=0</math>. Например, в ''эффекте Комптона'' (1923 г.) фотон рассеивается на электроне. В этом случае <math>\textstyle p_1=E_1</math>, <math>\textstyle p'_1=E'_1</math>, и энергия фотона после столкновения равна: \parbox{8cm}{
  
:<center><math>\frac{1}{E'_1}= \frac{1}{E_1} + \frac{1}{m_2}\,(1-\cos\theta_1)</math></center>
+
:<center><math>\frac{1}{E'_1}= \frac{1}{E_1} + \frac{1}{m_2}\,(1-\cos\theta_1).</math></center>
  
 
} \parbox{6cm}{  
 
} \parbox{6cm}{  
Строка 97: Строка 96:
 
} C фотоном по формуле Планка связаны частота <math>\textstyle E=h\nu</math> и длина волны <math>\textstyle \lambda=1/\nu</math>. Относительное изменение <math>\textstyle \Delta \lambda = \lambda'-\lambda</math> последней имеет вид:
 
} C фотоном по формуле Планка связаны частота <math>\textstyle E=h\nu</math> и длина волны <math>\textstyle \lambda=1/\nu</math>. Относительное изменение <math>\textstyle \Delta \lambda = \lambda'-\lambda</math> последней имеет вид:
  
:<center><math>\frac{\Delta \lambda}{\lambda} \;=\; \frac{E_1}{m_2}\cdot(1-\cos\theta_1).</math></center>
+
:<center><math>\frac{\Delta \lambda}{\lambda} \;=\; \frac{E_1}{m_2}\,(1-\cos\theta_1).</math></center>
  
Таким образом, чем больше угол рассеивания, тем сильнее увеличивается длина волны (уменьшается энергия). Это экспериментально наблюдается при рассеивании рентгеновского излучения электронами вещества. Чтобы относительное изменение длины волны было заметным, необходимы энергии фотона <math>\textstyle E_1</math>, сравнимые с массой электрона <math>\textstyle E_1\sim m_2</math>. Постоянная Планка в электрон-вольтах равна:
+
Таким образом, чем больше угол рассеивания, тем сильнее увеличивается длина волны (уменьшается энергия). Чтобы относительное изменение длины волны было заметным, необходимы энергии фотона <math>\textstyle E_1</math>, сравнимые с массой электрона <math>\textstyle E_1\sim m_2</math>. Постоянная Планка в электрон-вольтах равна:
  
:<center><math>\hbar =6.582\,118\,99(16)\cdot 10^{-22}\;МэВ\cdot c.</math></center>
+
:<center><math>\hbar = \frac{h}{2\pi} =6.582\,118\,99(16)\cdot 10^{-22}\;МэВ\cdot c.</math></center>
  
Поэтому частоты фотона, соответствующие массе электрона <math>\textstyle m_e=0.511</math> МэВ, равны <math>\textstyle 10^{20}</math> герц. Длина волны при этом составляет <math>\textstyle \sim 10^{-12}</math> м. Это фотоны жесткого рентгеновского излучения, которые могут быть получены при помощи рентгеновской трубки, в которой ускоренные электрическим полем электроны при резком ударе об анод испускают рентгеновские лучи (тормозное излучение). Дополнительно они выбивают электроны из внутренних электронных оболочек атомов. Замещающие их электроны с верхних энергетических уровней также испускают фотоны рентгеновского спектра. Величина <math>\textstyle h/mc=2.4263\cdot 10^{-12}</math> м называется ''комптоновской длиной волны электрона''. Изменение длины волны (частоты) фотона при рассеивании на электроне &mdash; это чисто квантовый эффект. В классической электродинамике при рассеивании электромагнитной волны на заряженной частице частота волны не изменится.
+
Поэтому частоты фотона, соответствующие массе электрона <math>\textstyle m_e=0.511</math> МэВ, равны <math>\textstyle 10^{20}</math> герц. Длина волны при этом составляет <math>\textstyle \sim 10^{-12}</math> м. Это фотоны жесткого ''рентгеновского излучения'', которые могут быть получены при помощи рентгеновской трубки, в которой ускоренные электрическим полем электроны при резком ударе об анод испускают рентгеновские лучи (тормозное излучение). Дополнительно они выбивают электроны из внутренних электронных оболочек атомов. Замещающие их электроны с верхних энергетических уровней также испускают фотоны рентгеновского спектра. Величина <math>\textstyle h/mc=2.4263\cdot 10^{-12}</math> м называется ''комптоновской длиной волны электрона''. Изменение длины волны (частоты) фотона при рассеивании на электроне &mdash; это чисто квантовый эффект. В классической электродинамике при рассеивании электромагнитной волны на заряженной частице частота волны не изменится.
  
Аналогичным образом можно рассмотреть рассеивание фотона на быстро двигающихся электронах. Так как они заряжены, ускорить их при помощи электромагнитных полей не представляет труда. В отличие от них, фотон заряда не имеет, и повысить его энергию (частоту) не так просто. Поэтому, разогнав электроны и столкнув их с низкоэнергетическими фотонами можно существенно повысить энергию последних.
+
Выше рассмотрено столкновение в лабораторной системе отсчёта, когда одна частица покоится, а другая налетает на неё с импульсом <math>\textstyle p_1</math>. Термин "''лабораторная система отсчёта''" мы уже несколько раз использовали. Он происходит от экспериментов, в которых один вид частиц разгоняют при помощи ускорителя и направляют на неподвижную мишень, состоящую из частиц другого вида. Естественно, это достаточно условный термин, потому что в тех же лабораториях проводят и эксперименты со встречными пучками, разгоняя каждый из них в ускорителе.
  
<math>\textstyle \bullet</math> Выше рассмотрено столкновение в лабораторной системе отсчёта, когда одна частица покоится, а другая налетает на неё с импульсом <math>\textstyle p_1</math>. Термин "''лабораторная система отсчёта''" мы уже несколько раз использовали. Он происходит от экспериментов, в которых один вид частиц разгоняют при помощи ускорителя и направляют на неподвижную мишень, состоящую из частиц другого вида. Естественно, это достаточно условный термин, потому что в тех же лабораториях проводят и эксперименты со встречными пучками, разгоняя каждый из них в ускорителе.
+
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим теперь упругое столкновение двух частиц в системе отсчёта ''центра масс'', в которой их суммарный импульс равен нулю.  
  
Рассмотрим упругое столкновение двух частиц в ''системе отсчёта центра масс'', в которой их суммарный импульс равен нулю.  
+
<center>[[File:react2a.png]]</center>
  
<center>[[File:react2a.png]]</center>
+
На первом рисунке изображено это столкновение в динамике и нарисованы траектории частиц. Когда они сближаются, начинает сказываться сила взаимодействия между ними и траектории искривляются. Когда частицы достаточно удалились друг от друга, они снова становятся свободными и движутся с постоянной скоростью.
  
На первом рисунке изображено это столкновение в динамике, и нарисованы траектории частиц. Когда они приближаются, начинает сказываться сила взаимодействия между ними, и траектории искривляются. Когда частицы достаточно удалились друг от друга, они снова становятся свободными и двигаются с постоянной скоростью.
+
По определению системы центра масс модули импульсов частиц равны друг другу до и после соударения. В силу закона сохранения импульса угол рассеивания обеих частиц один и тот же, равный <math>\textstyle \chi</math>. Энергии частиц при столкновении не изменяются, так как из закона сохранения при одинаковых начальных импульсах имеем:
  
По определению системы центра масс модули импульсов частиц равны друг другу, до и после соударения. В силу симметрии и сохранения импульса угол рассеивания обоих частиц один и тот же, равный <math>\textstyle \chi</math>. Энергии частиц при столкновении не изменяются, так как из закона сохранения при одинаковых начальных импульсах имеем:
+
:<center><math>\sqrt{\tilde{\mathbf{p}}^2+m^2_1}+\sqrt{\tilde{\mathbf{p}}^2+m^2_2}=\sqrt{\tilde{\mathbf{p}}'^2+m^2_1}+\sqrt{\tilde{\mathbf{p}}'^2+m^2_2},</math></center>
  
:<center><math>\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2_1}+\sqrt{\mathbf{p}^2+m^2_2}=\sqrt{\mathbf{p}'^2+m^2_1}+\sqrt{\mathbf{p}'^2+m^2_2},</math></center>
+
откуда <math>\textstyle \tilde{\mathbf{p}}^2=\tilde{\mathbf{p}}'^2</math>, и, следовательно, <math>\textstyle \tilde{E}_i=\tilde{E}'_i</math>. Энергия и импульс в системе центра масс помечены тильдой, чтобы отличать их от лабораторной системы. Скорости при одинаковых импульсах подчиняются соотношению:
  
откуда <math>\textstyle \mathbf{p}^2=\mathbf{p}'^2</math>, и, следовательно, <math>\textstyle E=E'</math>. Такое столкновение является несколько более общим случаем упругого симметричного столкновения, с которого начиналась эта глава. Скорости при одинаковых импульсах подчиняются соотношению:
+
:<center><math>|\tilde{\mathbf{p}}|=\tilde{E}_1\tilde{u}_1=\tilde{E}_2\tilde{u}_2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{m_2}{m_1}=\frac{\tilde{u}_1/\sqrt{1-\tilde{u}_1^2}}{\tilde{u}_2/\sqrt{1-\tilde{u}_1^2}},</math></center>
  
:<center><math>\frac{m_2}{m_1}=\frac{u/\sqrt{1-u^2}}{w/\sqrt{1-w^2}},</math></center>
 
 
и при различных массах также различны.
 
и при различных массах также различны.
  
Выразим энергии в лабораторной системе отсчёта через угол <math>\textstyle \chi</math> в системе центра масс. Для этого перейдём в инерциальную систему отсчёта, двигающуюся ''влево'' со скоростью <math>\textstyle v=-w</math>. В этой системе вторая частица до столкновения покоится. Воспользуемся формулой преобразования энергии (), стр. \pageref{Ep_transform}. Энергия первой частицы до (<math>\textstyle E_1</math>) и после столкновения (<math>\textstyle E'_1</math>) равны:
+
Выразим энергии в ''лабораторной'' системе отсчёта через угол <math>\textstyle \chi</math> в системе ''центра масс''. Для этого перейдём в инерциальную систему отсчёта, движущуюся ''влево'' со скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}=\tilde{\mathbf u}_2</math>. В этой системе вторая частица до столкновения покоится. Воспользуемся формулой преобразования энергии (), стр. \pageref{Ep_transform}. Энергия первой частицы и модуль импульса до и после столкновения в системе центра масс не меняются: <math>\textstyle \tilde{E}_1=\tilde{E}'_1=\tilde{E}</math>, <math>\textstyle |\tilde{\mathbf{p}}_1|=|\tilde{\mathbf{p}}'_1|=\tilde{p}</math>. В лабораторной системе энергии равны:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> E_1=\frac{E+wp}{\sqrt{1-w^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E'_1=\frac{E+wp\cos\chi}{\sqrt{1-w^2}}, </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> E_1=\frac{\tilde{E}_1+\tilde{u}_2\tilde{p}_1}{\sqrt{1-\tilde{u}_2^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E'_1=\frac{\tilde{E}_1+\tilde{u}_2\tilde{p}_1\cos\chi}{\sqrt{1-\tilde{u}_2^2}}, </math>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
где мы учли, что после столкновения энергия не изменяется и скалярное произведение <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{p}</math> выражается через произведение модулей на косинус угла <math>\textstyle \chi</math> . Поэтому переданная энергия в лабораторной системе равна:
+
где учтено, что после столкновения энергия не изменяется и скалярное произведение <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{p}</math> равно произведению модулей на косинус угла <math>\textstyle \chi</math>.
 +
 
 +
Поэтому переданная энергия в лабораторной системе равна:
 +
 
 +
:<center><math>E'_1-E_1= -\frac{\tilde{p}_1 \tilde{u}_2}{\sqrt{1-\tilde{u}_2^2}}\,(1-\cos\chi) = - \frac{\tilde{p}^2}{m_2}\,(1-\cos\chi),</math></center>
  
:<center><math>E'_1-E_1= - \frac{p^2}{m_2}\,(1-\cos\chi),</math></center>
+
где <math>\textstyle \tilde{u}_2</math> выражена через <math>\textstyle \tilde{p}_2</math>, равный <math>\textstyle \tilde{p}</math> (в системе центра масс). Чтобы его найти, воспользуемся первым соотношением (), в которое подставим связь энергии и импульса <math>\textstyle \tilde{E}_1=\sqrt{\tilde{p}^2+m^2_1}</math>, а также импульса и скорости <math>\textstyle 1+\tilde{p}^2/m^2_2 = 1/(1-\tilde{u}^2_2)</math>:
  
где <math>\textstyle w</math> выражена через импульс второй частицы <math>\textstyle p=m_2w/\sqrt{1-w^2}</math>, равный импульсу первой. Чтобы его найти, воспользуемся первым соотношением (), в которое подставим связь импульса и скорости <math>\textstyle 1+p^2/m^2_2 = 1/(1-w^2)</math>, а также энергии и импульса <math>\textstyle E=\sqrt{p^2+m^2_1}</math>:
+
:<center><math>E_1=\frac{\tilde{E}_1}{\sqrt{1-\tilde{u}^2_2}}+\frac{\tilde{p}^2}{m_2} =\sqrt{\tilde{p}^2+m^2_1}\;\sqrt{1+\tilde{p}^2/m^2_2}+\frac{\tilde{p}^2}{m_2}.</math></center>
  
:<center><math>E_1=\frac{E}{\sqrt{1-w^2}}+\frac{p^2}{m_2}=\sqrt{p^2+m^2_1}\cdot\sqrt{1+p^2/m^2_2}+\frac{p^2}{m_2}.</math></center>
+
Решая это уравнение относительно <math>\textstyle \tilde{p}</math>, получаем:
  
Решая это уравнение относительно <math>\textstyle p</math>, получаем:
+
:<center><math>\frac{\tilde{p}^2}{m_2} = \varepsilon = \frac{(E^2_1-m^2_1)\,m_2}{m^2_1+m^2_2 + 2m_2\,E_1},</math></center>
  
:<center><math>\frac{p^2}{m_2} = \varepsilon = \frac{(E^2_1-m^2_1)\,m_2}{m^2_1+m^2_2 + 2m_2\,E_1}.</math></center>
+
Что даёт <math>\textstyle E'_1</math>, а при помощи закона сохранения и <math>\textstyle E'_2=E_1+m_2-E'_1</math>:
  
Поэтому:
+
:<center><math>E'_1=E_1 - \varepsilon\,(1-\cos\chi),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E'_2=m_2+\varepsilon\,(1-\cos\chi).</math></center>
  
:<center><math>E'_1=E_1 - \varepsilon\cdot(1-\cos\chi),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E'_2=m_2+\varepsilon\cdot(1-\cos\chi).</math></center>
+
Таким образом, энергии рассеянных частиц в лабораторной системе достаточно просто связаны с углом <math>\textstyle \chi</math> поворота импульсов в системе центра масс. Величина <math>\textstyle \varepsilon\,(1-\cos\chi)</math> является энергией, переданной первой частицей, и она тем больше, чем больше <math>\textstyle \chi</math>. При "лобовом" столкновении, когда <math>\textstyle \chi=\pi</math>, эта энергия максимальна и равна <math>\textstyle 2\varepsilon</math>.
  
Соотношение для энергии второй частицы получено из закона сохранения <math>\textstyle E_1+m_2=E'_1+E'_2</math>.
+
В заключение рассмотрим один важный аспект, связанный с законами сохранения \cite{Fock}. Если частицы взаимодействуют, то скорость конкретной частицы изменяется. Поэтому её энергия и импульс должны вычисляться в конкретный момент времени. При записи закона сохранения, например, импульса мы суммируем импульсы частиц, вычисленные в данный момент времени в конкретной системе отсчёта. Однако, так как частицы находятся в различных точках пространства, в другой системе такая сумма будет соответствовать не одновременным моментам времени!
  
Таким образом, энергии рассеянных частиц в лабораторной системе достаточно просто связаны с углом <math>\textstyle \chi</math> поворота импульсов в системе центра масс. Величина <math>\textstyle \varepsilon\cdot(1-\cos\chi)</math> является энергией, переданной первой частицей, и тем больше, чем больше <math>\textstyle \chi</math>. При "лобовом" столкновении, когда <math>\textstyle \chi=\pi</math>, эта энергия максимальна и равна <math>\textstyle 2\varepsilon</math>.
+
В результате, вообще говоря, закон сохранения имеет однозначный смысл, только когда частицы ещё не взаимодействовали или после этого взаимодействия. В этом случае они движутся с постоянными скоростями (импульсами), и даже не одновременные значения импульсов, дадут одинаковую сумму. Мы подробнее рассмотрим этот вопрос в последнем разделе главы.
  
 
----
 
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Энергия, импульс, сила и масса]] <<  
+
  | width="40%"|[[Кинетическая энергия]] <<  
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
+
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_03.pdf Глава 3])
  | width="40%" align="right"| >> [[Мир элементарных частиц]]
+
  | width="40%" align="right"| >> [[Космические полёты]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Текущая версия на 17:51, 9 апреля 2011

Кинетическая энергия << Оглавление (Глава 3) >> Космические полёты

Предположим, что в результате некоторых внутренних причин неподвижная частица массой распадается на две частицы с массами и , имеющие скорости и :

React1.png

Найдём энергии продуктов распада. Для этого запишем законы сохранения:

Стандартный приём решения подобных задач состоит в использовании соотношения , при помощи которого избавляются от одной из неизвестных скоростей (энергии и импульса). Перенесём и в законах сохранения влево, возведём их в квадрат и вычтем:

Раскрывая скобки и снова учитывая выражение для квадрата массы, имеем:

Так как начальная частица покоится, для неё и . Поэтому несложно получить выражение для энергии первого продукта распада . Для достаточно переставить местами индексы. В результате:

Таким образом, энергии полностью определяются массой начальной частицы и массами продуктов её распада. При желании, при помощи формулы можно найти и их скорости.

Когда такой распад возможен? Масса начальной частицы превращается в энергию разлетающихся после распада частиц:

Если , то такой самопроизвольный распад невозможен по энергетическим соображениям и требуется некоторое внешнее воздействие, чтобы разрушить энергию связи, равную .

Требование запрещает испускание частицей некоторой другой частицы при сохранении своей исходной массы. Например, равномерно движущийся электрон не может излучить фотон, оставшись электроном. На самом деле он не может и превратиться в другую частицу в процессе такого распада, но это уже другая история.

Почему вообще частицы распадаются? Обычно к этому приводят некоторые эволюционные процессы, происходящие внутри исходной частицы. Простейшим примером может служить взрыв в результате химических реакций. В квантовом мире распады обычно связаны с туннелированием квантовой частицы через потенциальный барьер, непреодолимый для классической частицы. В квантово-релятивистском мире элементарных частиц ситуация ещё менее наглядна. Например, свободный нейтрон в среднем за 15 минут распадается на протон, электрон и нейтрино, которые "в нём не находились". Этот же нейтрон внутри ядер, в окружении других нейтронов и протонов, вполне стабилен и не подвержен распаду.

Распад обратен ситуации "слипания", когда в результате столкновения двух частиц возникает третья. Рассмотрим такую реакцию в лабораторной системе отсчёта, где первая частица с массой имеет скорость и энергию , а вторая с массой покоится. Результат их столкновения имеет массу и движется со скоростью :

React1a.png

Запишем законы сохранения энергии и импульса:

Возводя в квадрат и вычитая, находим квадрат массы результирующей частицы, которая, естественно, больше, чем сумма исходных:

Её скорость можно найти из сохранения импульса , однако более быстрый путь — воспользоваться связью импульса, энергии и скорости:

Если , то к скорости света стремится и скорость результирующей частицы.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда частица, имеющая энергию и массу , налетает на неподвижную частицу с массой и массы частиц после этого взаимодействия не изменяются (упругое столкновение):

React2.png

Если столкновение было "не лобовое", то частицы разлетятся под некоторыми углами к скорости налетающей частицы. Обозначим все величины после столкновения штрихами и запишем законы сохранения:

где , . Избавимся от энергии и импульса одной из частиц:

Возводя в квадрат, получаем:

Скалярное произведение импульсов выражается через их модули и угол: . Поэтому угол вылета частиц равен:

Второй угол получается совершенно аналогично. При этом необходимо избавиться от энергии и импульса первой частицы после столкновения.

Сам по себе угол рассеивания зависит от прицельного расстояния и характера взаимодействия между частицами. Однако независимо от последнего энергия рассеявшейся частицы, благодаря законам сохранения, связана с этим углом. Чем сильнее теряет энергию первая частица, тем на больший угол она рассеивается. Заметим, что так как , , то из закона сохранения энергии следует, что , т.е. энергия уменьшается, переходя к покоящейся частице.

Подставив в выражение для зависимость импульса от энергии и взяв производную по , можно ( H) найти максимальное значение угла рассеяния:

Естественно, максимум, отличный от , существует, если масса налетающей частицы больше, чем масса частицы .

Особенно просто выражение для результирующей энергии выглядит, если налетающая частица является безмассовой . Например, в эффекте Комптона (1923 г.) фотон рассеивается на электроне. В этом случае , , и энергия фотона после столкновения равна: \parbox{8cm}{

} \parbox{6cm}{

React3.png

} C фотоном по формуле Планка связаны частота и длина волны . Относительное изменение последней имеет вид:

Таким образом, чем больше угол рассеивания, тем сильнее увеличивается длина волны (уменьшается энергия). Чтобы относительное изменение длины волны было заметным, необходимы энергии фотона , сравнимые с массой электрона . Постоянная Планка в электрон-вольтах равна:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hbar = \frac{h}{2\pi} =6.582\,118\,99(16)\cdot 10^{-22}\;МэВ\cdot c.}

Поэтому частоты фотона, соответствующие массе электрона МэВ, равны герц. Длина волны при этом составляет м. Это фотоны жесткого рентгеновского излучения, которые могут быть получены при помощи рентгеновской трубки, в которой ускоренные электрическим полем электроны при резком ударе об анод испускают рентгеновские лучи (тормозное излучение). Дополнительно они выбивают электроны из внутренних электронных оболочек атомов. Замещающие их электроны с верхних энергетических уровней также испускают фотоны рентгеновского спектра. Величина м называется комптоновской длиной волны электрона. Изменение длины волны (частоты) фотона при рассеивании на электроне — это чисто квантовый эффект. В классической электродинамике при рассеивании электромагнитной волны на заряженной частице частота волны не изменится.

Выше рассмотрено столкновение в лабораторной системе отсчёта, когда одна частица покоится, а другая налетает на неё с импульсом . Термин "лабораторная система отсчёта" мы уже несколько раз использовали. Он происходит от экспериментов, в которых один вид частиц разгоняют при помощи ускорителя и направляют на неподвижную мишень, состоящую из частиц другого вида. Естественно, это достаточно условный термин, потому что в тех же лабораториях проводят и эксперименты со встречными пучками, разгоняя каждый из них в ускорителе.

Рассмотрим теперь упругое столкновение двух частиц в системе отсчёта центра масс, в которой их суммарный импульс равен нулю.

React2a.png

На первом рисунке изображено это столкновение в динамике и нарисованы траектории частиц. Когда они сближаются, начинает сказываться сила взаимодействия между ними и траектории искривляются. Когда частицы достаточно удалились друг от друга, они снова становятся свободными и движутся с постоянной скоростью.

По определению системы центра масс модули импульсов частиц равны друг другу до и после соударения. В силу закона сохранения импульса угол рассеивания обеих частиц один и тот же, равный . Энергии частиц при столкновении не изменяются, так как из закона сохранения при одинаковых начальных импульсах имеем:

откуда , и, следовательно, . Энергия и импульс в системе центра масс помечены тильдой, чтобы отличать их от лабораторной системы. Скорости при одинаковых импульсах подчиняются соотношению:

и при различных массах также различны.

Выразим энергии в лабораторной системе отсчёта через угол в системе центра масс. Для этого перейдём в инерциальную систему отсчёта, движущуюся влево со скоростью . В этой системе вторая частица до столкновения покоится. Воспользуемся формулой преобразования энергии (), стр. \pageref{Ep_transform}. Энергия первой частицы и модуль импульса до и после столкновения в системе центра масс не меняются: , . В лабораторной системе энергии равны:

(EQN)

где учтено, что после столкновения энергия не изменяется и скалярное произведение равно произведению модулей на косинус угла .

Поэтому переданная энергия в лабораторной системе равна:

где выражена через , равный (в системе центра масс). Чтобы его найти, воспользуемся первым соотношением (), в которое подставим связь энергии и импульса , а также импульса и скорости :

Решая это уравнение относительно , получаем:

Что даёт , а при помощи закона сохранения и :

Таким образом, энергии рассеянных частиц в лабораторной системе достаточно просто связаны с углом поворота импульсов в системе центра масс. Величина является энергией, переданной первой частицей, и она тем больше, чем больше . При "лобовом" столкновении, когда , эта энергия максимальна и равна .

В заключение рассмотрим один важный аспект, связанный с законами сохранения \cite{Fock}. Если частицы взаимодействуют, то скорость конкретной частицы изменяется. Поэтому её энергия и импульс должны вычисляться в конкретный момент времени. При записи закона сохранения, например, импульса мы суммируем импульсы частиц, вычисленные в данный момент времени в конкретной системе отсчёта. Однако, так как частицы находятся в различных точках пространства, в другой системе такая сумма будет соответствовать не одновременным моментам времени!

В результате, вообще говоря, закон сохранения имеет однозначный смысл, только когда частицы ещё не взаимодействовали или после этого взаимодействия. В этом случае они движутся с постоянными скоростями (импульсами), и даже не одновременные значения импульсов, дадут одинаковую сумму. Мы подробнее рассмотрим этот вопрос в последнем разделе главы.


Кинетическая энергия << Оглавление (Глава 3) >> Космические полёты

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии