Размер и форма объектов

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Эффект Доплера << Оглавление >> Аберрация

В первой главе мы определили, каким образом наблюдатели в различных системах отсчёта сравнивают свои единицы длины. Две линейки в и , расположенные перпендикулярно относительному движению, считаются одинаковыми. Разберемся, как эти же линейки будут "выглядеть", если их развернуть вдоль движения.

Рассмотрим покоящуюся в системе линейку. Мимо наблюдателя в она двигается со скоростью . Для того, чтобы измерить длину линейки, он может одновременно засечь координаты её начала и конца. В этом случае . Если обозначить и , то из преобразований Лоренца для приращений (2.5), имеем:

Len.png

Пролетающая мимо линейка будет выглядеть короче, чем её же экземпляр, повёрнутый перпендикулярно движению. Правда наблюдатель в будет "недоволен" описанной выше измерительной процедурой. Разница координат начала и конца линейки действительно является её длиной для наблюдателя в (собственная длина линейки). Аналогично, в силу одновременности замеров наблюдатель в может считать её длиной . Однако эти замеры не будут одновременны для двигающегося наблюдателя! Он увидит, что левый конец линейки был совмещён с линейкой "неподвижного" наблюдателя позже, чем правый ().

Можно рассмотреть ещё один способ измерения длины. Пусть наблюдатель в замечает время прохождения мимо него правого конца линейки , а затем левого . Зная скорость линейки, он может определить её длину следующим образом: . Всё это происходит в одной точке его системы отсчета , поэтому имеем:

и снова приходим к сокращению длины. Правда, наблюдатель, связанный с двигающейся линейкой, снова будет "недоволен", так как с его точки зрения часы наблюдателя в идут медленнее, поэтому определение длины с точки зрения некорректно.

Тем не менее, лоренцевское сокращение так же реально, как реально и замедление времени в двигающейся системе. Конечно, слово "реально" можно понимать в различных смыслах. Например, для Лоренца это сокращение было реально, так как заряженные частицы, из которых состоит линейка, взаимодействовали с эфиром, через который она летела. В результате линейка сжималась в направлении движения. В релятивистской теории эфира нет, и нет никакого "силового" воздействия на линейки, расположенные в различных инерциальных системах отсчета. Однако эффект сокращения является объективно регистрируемым каждым наблюдателем фактом.

Сокращается ли линейка "на самом деле"? На это можно ответить при помощи следующей аналогии. Частота звука гудка приближающегося, а затем удаляющегося поезда различна (эффект Доплера). "На самом деле" паровоз гудит с той частотой, которую слышит машинист, сидящий в кабине и неподвижный относительно поезда. Стоящий на перроне наблюдатель слышит иную частоту. И, хотя его восприятие отличается от аналогичного восприятия машиниста, оно так же объективно и не является "кажущимся". Это не "игры разума", и все то же самое будет "наблюдать" соответствующая аппаратура. Подобная относительность сплошь и рядом встречается в классической физике. Пример тому — эффект Доплера, или относительность значения скорости объекта. Такая же ситуация и с релятивистскими эффектами сокращения длины, замедления времени, фактом одновременности событий, и т.п.

Естественно, следующее из преобразований Лоренца сокращение является относительным. Все инерциальные системы отсчета эквивалентны. Наблюдатель, находящийся в "двигающейся" системе , точно так же зарегистрирует сокращение всех ориентированных вдоль его движения линеек, которые неподвижны в системе .

Сокращение длины, как и любые другие эффекты, которые мы анализируем в теории относительности, требуют четкого "сопроводительного описания" условий эксперимента, в которых этот эффект наблюдается. Отрыв результатов наблюдения от такого описания служит источником многочисленных "парадоксов". В описанных выше двух способах измерения будет регистрироваться факт сокращения длины линейки. Однако можно применять и другие способы наблюдения за быстро двигающимся объектом. Например, фотографировать его при помощи аппаратуры с очень короткой выдержкой. В этом случае результаты будут отличаться и существенно зависеть от принципов работы фотоаппарата. Рассмотрим эти вопросы подробнее.

В силу конечности скорости распространения света мы видим точки некоторого объекта в различном прошлом, если они удалены от нас на различное расстояние. "Видим", т.е. получаем фотографии на аппаратуре, имеющей пренебрежимо малую выдержку (чтобы избежать "размазывания" картинки). При фотографировании происходит отображение некоторой точки трёхмерного пространства на двумерную поверхность фотографии . Рассмотрим два основных способа подобного отображения. В обоих случаях будем считать, что фотопленка расположена в плоскости :

Foto0.png

Слева изображено сечение фотоаппарата, осуществляющего ортогональное отображение. Он регистрирует только лучи, падающие перпендикулярно к фотографии. Устройство такого "фотоаппарата" может быть реализовано, например, при помощи находящейся перед фотопленкой толстой пластины с множеством цилиндрических отверстий. Их стенки поглощают наклонно падающие лучи и пропускают вертикальные. Таким образом, например, устроены глаза насекомых. При ортогональном отображении информация о координате теряется и преобразование имеет простейший вид: и .

На втором и третьем рисунках приведен более типичный для человеческого восприятия вариант, реализующий проективное отображение. В этом случае в тонком экране находится единственное маленькое отверстие (диафрагма). Падающие через неё на фотографию лучи создают изображение объекта. В силу пропорций подобных треугольников связь двухмерных и трехмерных координат имеет вид:

Изображение в подобной "камере Обскура" оказывается перевернутым, поэтому мы повернули и плоскость фотографии [координаты ]. Благодаря появлению в знаменателе отображения координаты далёкие объекты выглядят меньше близких, что создаёт эффект перспективы и основу интуитивного восприятия человеком трёхмерного пространства.

Рассмотрим летящий куб с длиной рёбер (в системе отсчета, которая с ним связана). Сфотографируем куб при помощи "ортогонального" фотоаппарата. Фотоплёнка расположена в плоскости в неподвижной системе. Она фиксирует кванты света, пришедшие на неё в данный момент времени. Однако испущены они были в разное время в прошлом:

Foto1.png

Сигналы от точек и пройдут одинаковое расстояние. Грань куба, обращённая к плёнке, имеет длину и будет выглядеть сжатой. Однако от точки фотон путешествует дополнительное расстояние вдоль ребра (перпендикулярно фотоплёнке), поэтому испускается на время раньше (далее, как обычно, ). В это время куб был левее на . В нерелятивистском случае () при ортогональной проекции куба на фотографии получается квадрат — образ одной грани. Для релятивистского объекта мы получаем эту грань сжатой, но видим так же и левую боковую грань, сжатую в раз. Результат получается такой же, как и при фотографировании неподвижного куба, повернутого на угол (см. выше последний рисунок).

Аналогична ситуация при фотографировании летящего шара:

Foto2.png

В ортогональной проекции неподвижной сферы будут видны только точки полусферы, обращённой к фотоаппарату. Так, фотон, испущенный из точки против оси , моментально будет поглощён сферой. В отличие от этого, для быстролетящей сферы возможна ситуация, когда сфера выскальзывает вправо "из-под фотона", испущенного точкой , и не закрывает ему путь к плёнке. В результате мы будем видеть часть задней поверхности сферы. Точки же, расположенные на передней по движению поверхности далее некоторой , видны не будут, так как сфера при движении поглотит испущенные ими фотоны. В результате сфера окажется повернутой, но не сжатой! На рисунки выше, "на самом деле" сфера повёрнута полюсом к фотоаппарату.

Проведём соответствующие расчеты. Уравнения поверхности с центром, удалённым от фотоплёнки на величину радиуса , в системе, связанной со сферой , и в системе фотоаппарата имеют вид:

где во втором случае мы воспользовались преобразованиями Лоренца. Пусть точка, которая испустила фотон, находится на расстоянии от фотоплёнки. Тогда в момент времени мы увидим её изображение в прошлом . При ортогональной проекции каждая точка отображается в , поэтому на фотоплёнке все точки сферы, имеющие координату , образуют эллипс ():

Foto3.png

Крайние точки и этого эллипса (), при данном , имеют следующие координаты на фотоплёнке:

Крайняя левая точка эллипса принимает при минимальное значение . Крайняя правая точка принимает максимальное значение при . Поэтому размер ортогональной проекции вдоль оси равен удвоенному радиусу, т.е. диаметру в системе покоя сферы:

Естественно, аналогичный размер получается и вдоль оси .

Таким образом, в ортогональной проекции и куб, и сфера будут выглядеть повёрнутыми без какого либо лоренцевского сжатия. Этот эффект называется вращением Терелла-Пенроуза и является достаточно общим при использовании "ортогонального" фотоаппарата.

Для получения реалистичной модели фотографии необходимо, кроме проективных моментов, учитывать свойства освещения, подправленные на эффект Доплера. Кроме этого, ситуация с внешним видом объекта радикально изменится, если мы воспользуемся не ортогональным, а проективным ("обычным") фотоаппаратом с диафрагмой. Рассмотрим расчёт результирующей фотографии в этом случае.

Пусть уравнение поверхности тела в его собственной системе отсчета имеет вид . Момент времени, в который были испущены фотоны от точки , отстоит в прошлое от текущего на величину расстояния от диафрагмы: . Подставляя в уравнение поверхности преобразования Лоренца, а затем проективные преобразования , , и вводя обозначение , получаем:

Проекция на фотографию будет получаться в результате быстрого открытия и закрытия диафрагмы. Для каждой точки фотографии мы должны решить это уравнение относительно . В ситуации, когда решений несколько, выбирается то, которое соответствует минимальному расстоянию до диафрагмы (остальные точки будут им перекрыты). Зная время , можно при помощи преобразований Лоренца получить точку поверхности, которая отображается на фотографию .

Ниже приведена подобная "фотография" куба (первый рисунок — неподвижный куб , второй — летящий со скоростью ):

Cube foto.png

Заметим, что любой вертикальный стержень, горизонтально летящий мимо нас, будет выглядеть изогнутым, так как изображения его центра и краёв испускаются в разное время в прошлом, и его концы будут загибаться "назад".

Аналогичные результаты для сферы:

Shere foto.png

Таким образом, внешний вид окружающего нас релятивистского мира существенно зависит от того, как мы его наблюдаем.


Эффект Доплера << Оглавление >> Аберрация

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии