Рассмотрим уравнение Фоккера-Планка с не зависящими от времени сносом и диффузией :
Будем искать его решение в виде . Функция удовлетворяет уравнению (штрих - производная по ):
|
(4.20)
|
При наличии граничных условий (стр. \pageref{border_df_probab_saves}) в интервале это уравнение может приводить к дискретному набору разрешённых значений: (собственные значения) и соответствующим им собственным функциям . Используя их, можно записать общее решение уравнение Фоккера-Планка.
Для примера рассмотрим винеровское блуждание с нулевым сносом и диффузией . Уравнение (4.20) имеет вид:
где . Его общее решение хорошо известно:
Пусть граничные условия являются поглощающими. В точках и плотность вероятности должна обращаться в нуль: Подстановка решения в эти граничные условия приводит к следующим собственным функциям:
- Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle u_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin(\omega_n x),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\omega_n = \frac{n\pi}{L}}
и — целые числа, нумерующие собственные значения . Множитель при собственной функции выбран таким образом, чтобы выполнялось условие ортогональности:
|
(4.21)
|
где — символ Кронекера, равный единице при и нулю, если . Теперь можно разложить общее решение уравнения в бесконечный ряд по собственным функциям.
Действительно, представим плотность вероятности в виде следующей суммы:
Благодаря ортогональности собственных функций мы всегда можем восстановить коэффициенты этого разложения. Используя начальное условие и (4.21), имеем:
Поэтому окончательно:
С течением времени общая вероятность нахождения частицы в диапазоне уменьшается, так как частица рано или поздно будет захвачена одной из границ.
Так же находится решение для отражающих границ. В этом случае на границах и ток (4.15):
должен быть нулевым, а, следовательно, равна нулю производная собственной функции: В результате:
- Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle u_0(x)=\frac{1}{\sqrt{L}},\;\;\;\;\;u_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\cos(\omega_n x),\;\;\;где\;\;\omega_n = \frac{n\pi}{L},}
и . Несложно проверить, что эти функции также ортогональны. Поэтому окончательно:
При решение стремится к , и частицу можно равновероятно встретить в любой точке интервала шириной .
Рассмотрим теперь общую теорию для задачи на собственные функции и значения для уравнения Фоккера-Планка.
Предположим, что — линейный дифференциальный оператор (например, ), и справедливо уравнение следующего вида:
|
(4.22)
|
где — действительная положительная функция. Если для произвольных функций и выполняется соотношение:
|
(4.23)
|
то оператор называется самосопряжённым. Звёздочка (комплексное сопряжение) может быть опущена для действительных операторов.
Рассмотрим решения , уравнения (4.22), соответствующие различным собственным значениям и . Используя (4.22), запишем:
где во втором соотношении взято комплексное сопряжение (4.22) и учтена действительность функции .
Если оператор самосопряжённый, то левые части этих равенств должны быть одинаковыми (, ). Приравняем их:
Если , то подынтегральная функция положительна, и, следовательно, собственные значения — действительны (). При нулю равен интеграл, поэтому собственные функции ортогональны с весом . Оператор — линейный, следовательно, собственная функция определена с точностью до постоянного множителя. Его удобно выбрать таким образом, чтобы выполнялось условие ортогональности
с весовой функцией .
Теперь можно записать разложение общего решения по базису:
где для коэффициентов использовано условие ортогональности.
Оператор уравнения (4.20) не является самосопряжённым. Умножим обе части (4.20) на функцию и подберём её таким образом, чтобы выполнялось условие (4.23). Проведём интегрирование по частям:
где — значения подынтегральной функции на границах и :
|
(4.24)
|
Раскроем производные в обоих интегралах. Оператор будет самосопряжённым, если при перестановке и местами вокруг него получается тот же результат (действительный случай). Это происходит, если:
|
(4.25)
|
Кроме этого, естественно, должны исчезать граничные члены (). Введём в соответствии с (4.15) плотности тока вероятности:
При помощи этих определений и уравнения (4.25) для функции , граничный член (4.24) можно переписать в следующем виде:
Несложно проверить, что все три типа граничных условий, рассмотренных в разделе
"Граничные условия" приводят к нулевому значению . Таким образом, мы показали, что оператор уравнения (4.20), умноженный на функцию (4.25), оказывается самосопряженным. Поэтому общее решение уравнения Фоккера-Планка можно записать в следующем виде:
где для определения используются начальные условия .
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения