Разложение вероятности по базису — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
м (Защищена страница «Разложение вероятности по базису» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
 
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника)
Строка 6: Строка 6:
 
----
 
----
  
 +
Рассмотрим уравнение Фоккера-Планка с не зависящими от времени сносом <math>\textstyle a(x)</math> и диффузией <math>\textstyle D(x)=b^2(x)</math>:
 +
 +
:<center><math>\frac{\partial P}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \;\bigl[ a(x) \cdot P\bigr] - \frac{1}{2}\;\frac{\partial^2}{\partial x^2_{}} \;\bigl[ D(x) \cdot P \bigr]= 0.</math></center>
 +
 +
Будем искать его решение в виде <math>\textstyle P=u_\lambda(x)\,e^{-\lambda t}</math>. Функция <math>\textstyle u(x)</math> удовлетворяет уравнению (штрих - производная по <math>\textstyle x</math>):
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \bigl[a(x) u_\lambda(x)\bigr]' - \frac{1}{2} \bigl[D(x) u_\lambda(x)\bigr]'' = \lambda u_\lambda(x). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.20)'''</div>
 +
|}
 +
 +
При наличии граничных условий (стр. \pageref{border_df_probab_saves}) в интервале <math>\textstyle [\alpha...\beta]</math> это уравнение может приводить к дискретному набору разрешённых значений: <math>\textstyle \lambda_1, \lambda_2,...</math> (''собственные значения'') и соответствующим им ''собственным функциям'' <math>\textstyle u_\lambda(x)</math>. Используя их, можно записать общее решение уравнение Фоккера-Планка.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Для примера рассмотрим винеровское блуждание с нулевым сносом <math>\textstyle a(x)=0</math> и диффузией <math>\textstyle D=\sigma^2</math>. Уравнение (4.20) имеет вид:
 +
 +
:<center><math>u''_\lambda(x) + \omega^2 u_\lambda(x) = 0,</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle w=\sqrt{2\lambda}/\sigma</math>. Его общее решение хорошо известно:
 +
 +
:<center><math>u_\lambda(x) = A \sin(\omega x) + B \cos(\omega x).</math></center>
 +
 +
Пусть граничные условия <math>\textstyle [0..L]</math> являются поглощающими. В точках <math>\textstyle x=0</math> и <math>\textstyle x=L</math> плотность вероятности должна обращаться в нуль: <math>\textstyle u_\lambda(0)=u_\lambda(L)=0.</math> Подстановка решения в эти граничные условия приводит к следующим собственным функциям:
 +
 +
:<center><math>u_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin(\omega_n x),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\omega_n = \frac{n\pi}{L}</math></center>
 +
 +
и <math>\textstyle n=1,2,...</math> &mdash; целые числа, нумерующие собственные значения <math>\textstyle \lambda_n=\sigma^2 \omega^2_n/2</math>. Множитель <math>\textstyle \sqrt{2/L}</math> при собственной функции выбран таким образом, чтобы выполнялось ''условие ортогональности'':
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \int\limits^L_0 u_n(x) u_m(x) dx= \frac{2}{L} \int\limits^L_0 \sin(\omega_n x) \sin(\omega_m x) dx = \delta_{nm}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.21)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle \delta_{nm}</math> &mdash; символ Кронекера, равный единице при <math>\textstyle n=m</math> и нулю, если <math>\textstyle m\neq n</math>. Теперь можно разложить общее решение уравнения в бесконечный ряд по собственным функциям.
 +
 +
Действительно, представим плотность вероятности в виде следующей суммы:
 +
 +
:<center><math>P(x_0, 0 \Rightarrow x, t) = \sum^{\infty}_{n=0} A_n \,u_n(x)\, e^{-\lambda_n t}.</math></center>
 +
 +
Благодаря ортогональности собственных функций <math>\textstyle u_n(x)</math> мы всегда можем восстановить коэффициенты этого разложения. Используя начальное условие <math>\textstyle P(x_0, 0 \Rightarrow x, 0)=\delta(x-x_0)</math> и (4.21), имеем:
 +
 +
:<center><math>A_n = \int\limits^L_0 P(x_0, 0 \Rightarrow x, 0) \cdot u_n(x) dx = \int\limits^L_0 \delta(x-x_0) \cdot u_n(x) dx = u_n(x_0).</math></center>
 +
 +
Поэтому окончательно:
 +
 +
:<center><math>P(x_0, 0 \Rightarrow x, t) = \frac{2}{L}\,\sum^{\infty}_{n=0} \sin(\omega_n x_0) \sin(\omega_n x) e^{-\lambda_n t}.</math></center>
 +
 +
С течением времени общая вероятность нахождения частицы в диапазоне <math>\textstyle [0..L]</math> уменьшается, так как частица рано или поздно будет захвачена одной из границ.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Так же находится решение для отражающих границ. В этом случае на границах <math>\textstyle x=0</math> и <math>\textstyle x=L</math> [[Граничные условия|ток (4.15)]]:
 +
 +
:<center><math>J(x, t)= - \frac{\sigma^2}{2}\;\frac{\partial P(x,t)}{\partial x} = - \frac{\sigma^2 e^{-\lambda t}}{2} \, u'_\lambda(x)</math></center>
 +
 +
должен быть нулевым, а, следовательно, равна нулю производная собственной функции: <math>\textstyle u'_\lambda(0)=u'_\lambda(L)=0. </math> В результате:
 +
 +
:<center><math>u_0(x)=\frac{1}{\sqrt{L}},\;\;\;\;\;u_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\cos(\omega_n x),\;\;\;где\;\;\omega_n = \frac{n\pi}{L},</math></center>
 +
 +
и <math>\textstyle n=1,2,..</math>. Несложно проверить, что эти функции также ортогональны. Поэтому окончательно:
 +
 +
:<center><math>P(x_0, 0 \Rightarrow x, t) = \frac{1}{L}+\frac{2}{L}\sum^{\infty}_{n=0} \cos(\omega_n x_0) \cos(\omega_n x) e^{-\lambda_n t}.</math></center>
 +
 +
При <math>\textstyle t\to\infty</math> решение стремится к <math>\textstyle P(x_0, 0 \Rightarrow x, t) \to 1/L</math>, и частицу можно равновероятно встретить в любой точке интервала шириной <math>\textstyle L</math>.
 +
 +
Рассмотрим теперь общую теорию для задачи на собственные функции и значения для уравнения Фоккера-Планка.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Предположим, что <math>\textstyle \hat{A}</math> &mdash; ''линейный'' дифференциальный оператор (например, <math>\textstyle \hat{A}=d^2/dx^2</math>), и справедливо уравнение следующего вида:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \hat{A} u(x) = \lambda \,\rho(x)\,u(x), </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.22)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle \rho(x)</math> &mdash; действительная положительная функция. Если для произвольных функций <math>\textstyle \psi(x)</math> и <math>\textstyle \phi(x)</math> выполняется соотношение:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \int\limits^\beta_\alpha \psi(x) \hat{A} \phi(x) \, dx = \int\limits^\beta_\alpha \phi(x) \hat{A}^* \psi(x) \, dx, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.23)'''</div>
 +
|}
 +
 +
то оператор <math>\textstyle \hat{A}</math> называется ''самосопряжённым''. Звёздочка (комплексное сопряжение) может быть опущена для действительных операторов.
 +
 +
Рассмотрим решения <math>\textstyle u_n(x)</math>, <math>\textstyle u_m(x)</math> уравнения (4.22), соответствующие ''различным'' собственным значениям <math>\textstyle \lambda_n</math> и <math>\textstyle \lambda_m</math>. Используя (4.22), запишем:
 +
 +
:<center><math>\int\limits^\beta_\alpha u^*_m(x) \hat{A} u_n(x) \, dx = \lambda_n \int\limits^\beta_\alpha u^*_m(x) u_n(x) \rho(x)\, dx,</math></center>
 +
 +
:<center><math>\int\limits^\beta_\alpha u_n(x) \hat{A}^* u^*_m(x) \, dx = \lambda^*_m \int\limits^\beta_\alpha u^*_m(x) u_n(x) \rho(x)\, dx,</math></center>
 +
 +
где во втором соотношении взято комплексное сопряжение (4.22) и учтена действительность функции <math>\textstyle \rho(x)</math>.
 +
 +
''Если'' оператор <math>\textstyle \hat{A}</math> самосопряжённый, то левые части этих равенств должны быть одинаковыми (<math>\textstyle \psi=u^*_m</math>, <math>\textstyle \phi=u_n</math>). Приравняем их:
 +
 +
:<center><math>(\lambda_n-\lambda^*_m) \int\limits^\beta_\alpha \,u^*_m(x) u_n(x) \cdot \rho(x)\, dx = 0.</math></center>
 +
 +
Если <math>\textstyle n=m</math>, то подынтегральная функция положительна, и, следовательно, собственные значения &mdash; действительны (<math>\textstyle \lambda^*_n=\lambda_n</math>). При <math>\textstyle n\neq m</math> нулю равен интеграл, поэтому собственные функции ортогональны ''с весом'' <math>\textstyle \rho(x)</math>. Оператор <math>\textstyle \hat{A}</math> &mdash; линейный, следовательно, собственная функция определена с точностью до постоянного множителя. Его удобно выбрать таким образом, чтобы выполнялось ''условие ортогональности''
 +
 +
:<center><math>\int\limits^\beta_\alpha \,u^*_m(x) u_n(x) \cdot \rho(x)\, dx = \delta_{nm}</math></center>
 +
 +
с весовой функцией <math>\textstyle \rho(x)</math>.
 +
 +
Теперь можно записать разложение общего решения по базису:
 +
 +
:<center><math>F(x) = \sum f_n u_n(x),\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_n = \int\limits^\beta_\alpha F(x) u^*_n(x) \cdot \rho(x)\, dx,</math></center>
 +
 +
где для коэффициентов <math>\textstyle f_n</math> использовано условие ортогональности.
 +
 +
Оператор <math>\textstyle \hat{A}</math> уравнения (4.20) не является самосопряжённым. Умножим обе части (4.20) на функцию <math>\textstyle \rho=\rho(x)</math> и подберём её таким образом, чтобы выполнялось условие (4.23). Проведём интегрирование по частям:
 +
 +
:<center><math>\int\limits^\beta_\alpha \left\{\psi \rho \cdot \bigl(a \phi\bigr)' - \frac{1}{2} \psi \rho \cdot \bigl(D \phi \bigr)'' \right\} dx = \int\limits^\beta_\alpha \left\{ - \bigl(\psi \rho)' a \phi - \frac{1}{2} \bigl(\psi \rho\bigr)'' D \phi \right\} dx + I,</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle I</math> &mdash; значения подынтегральной функции на границах <math>\textstyle \alpha</math> и <math>\textstyle \beta</math>:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> I = \psi\, \rho \,a \, \phi\, \Bigr|^\beta_\alpha - \frac{1}{2} \, \psi\, \rho \, (D\, \phi)'\, \Bigr|^\beta_\alpha + \frac{1}{2} \, (\psi\, \rho)' \, D\, \phi\, \Bigr|^\beta_\alpha. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.24)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Раскроем производные в обоих интегралах. Оператор будет самосопряжённым, если при перестановке <math>\textstyle \psi</math> и <math>\textstyle \phi</math> местами вокруг него получается тот же результат (действительный случай). Это происходит, если:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> 2 \rho a = \rho D' - D \rho'\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\rho(x) = \exp \int \frac{D'(x)-2a(x)}{D(x)} \, dx. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.25)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Кроме этого, естественно, должны исчезать граничные члены (<math>\textstyle I=0</math>). Введём в соответствии с (4.15) плотности тока вероятности:
 +
 +
:<center><math>J_\phi = a \phi - \frac{1}{2}\, (D \, \phi)',\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;J_\psi = a \psi - \frac{1}{2}\, (D \, \psi)'.</math></center>
 +
 +
При помощи этих определений и уравнения (4.25) для функции <math>\textstyle \rho(x)</math>, граничный член (4.24) можно переписать в следующем виде:
 +
 +
:<center><math>I = \rho(x) ( \psi(x) J_\phi (x) - \phi(x) J_\psi (x) ) \Bigr|^\beta_\alpha = 0.</math></center>
 +
 +
Несложно проверить, что все три типа граничных условий, рассмотренных в разделе
 +
"[[Граничные условия]]" приводят к нулевому значению <math>\textstyle I</math>. Таким образом, мы показали, что оператор уравнения (4.20), умноженный на функцию <math>\textstyle \rho(x)</math> (4.25), оказывается самосопряженным. Поэтому общее решение уравнения Фоккера-Планка можно записать в следующем виде:
 +
 +
:<center><math>P(x,t) = \sum_n a_n u_n(x) e^{-\lambda_n t},\;\;\;\;\;\;\;a_n = \int\limits^\beta_\alpha P(x,0) \,u^*_n(x) \cdot \rho(x) \,dx,</math></center>
 +
 +
где для определения <math>\textstyle a_n</math> используются начальные условия <math>\textstyle P(x,0)</math>.
  
  

Текущая версия на 18:39, 15 марта 2010

Вероятность достижения границы << Оглавление >> Уравнение для x

Рассмотрим уравнение Фоккера-Планка с не зависящими от времени сносом и диффузией :

Будем искать его решение в виде . Функция удовлетворяет уравнению (штрих - производная по ):

(4.20)

При наличии граничных условий (стр. \pageref{border_df_probab_saves}) в интервале это уравнение может приводить к дискретному набору разрешённых значений: (собственные значения) и соответствующим им собственным функциям . Используя их, можно записать общее решение уравнение Фоккера-Планка.

Для примера рассмотрим винеровское блуждание с нулевым сносом и диффузией . Уравнение (4.20) имеет вид:

где . Его общее решение хорошо известно:

Пусть граничные условия являются поглощающими. В точках и плотность вероятности должна обращаться в нуль: Подстановка решения в эти граничные условия приводит к следующим собственным функциям:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle u_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin(\omega_n x),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\omega_n = \frac{n\pi}{L}}

и — целые числа, нумерующие собственные значения . Множитель при собственной функции выбран таким образом, чтобы выполнялось условие ортогональности:

(4.21)

где — символ Кронекера, равный единице при и нулю, если . Теперь можно разложить общее решение уравнения в бесконечный ряд по собственным функциям.

Действительно, представим плотность вероятности в виде следующей суммы:

Благодаря ортогональности собственных функций мы всегда можем восстановить коэффициенты этого разложения. Используя начальное условие и (4.21), имеем:

Поэтому окончательно:

С течением времени общая вероятность нахождения частицы в диапазоне уменьшается, так как частица рано или поздно будет захвачена одной из границ.

Так же находится решение для отражающих границ. В этом случае на границах и ток (4.15):

должен быть нулевым, а, следовательно, равна нулю производная собственной функции: В результате:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle u_0(x)=\frac{1}{\sqrt{L}},\;\;\;\;\;u_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\,\cos(\omega_n x),\;\;\;где\;\;\omega_n = \frac{n\pi}{L},}

и . Несложно проверить, что эти функции также ортогональны. Поэтому окончательно:

При решение стремится к , и частицу можно равновероятно встретить в любой точке интервала шириной .

Рассмотрим теперь общую теорию для задачи на собственные функции и значения для уравнения Фоккера-Планка.

Предположим, что линейный дифференциальный оператор (например, ), и справедливо уравнение следующего вида:

(4.22)

где — действительная положительная функция. Если для произвольных функций и выполняется соотношение:

(4.23)

то оператор называется самосопряжённым. Звёздочка (комплексное сопряжение) может быть опущена для действительных операторов.

Рассмотрим решения , уравнения (4.22), соответствующие различным собственным значениям и . Используя (4.22), запишем:

где во втором соотношении взято комплексное сопряжение (4.22) и учтена действительность функции .

Если оператор самосопряжённый, то левые части этих равенств должны быть одинаковыми (, ). Приравняем их:

Если , то подынтегральная функция положительна, и, следовательно, собственные значения — действительны (). При нулю равен интеграл, поэтому собственные функции ортогональны с весом . Оператор — линейный, следовательно, собственная функция определена с точностью до постоянного множителя. Его удобно выбрать таким образом, чтобы выполнялось условие ортогональности

с весовой функцией .

Теперь можно записать разложение общего решения по базису:

где для коэффициентов использовано условие ортогональности.

Оператор уравнения (4.20) не является самосопряжённым. Умножим обе части (4.20) на функцию и подберём её таким образом, чтобы выполнялось условие (4.23). Проведём интегрирование по частям:

где — значения подынтегральной функции на границах и :

(4.24)

Раскроем производные в обоих интегралах. Оператор будет самосопряжённым, если при перестановке и местами вокруг него получается тот же результат (действительный случай). Это происходит, если:

(4.25)

Кроме этого, естественно, должны исчезать граничные члены (). Введём в соответствии с (4.15) плотности тока вероятности:

При помощи этих определений и уравнения (4.25) для функции , граничный член (4.24) можно переписать в следующем виде:

Несложно проверить, что все три типа граничных условий, рассмотренных в разделе "Граничные условия" приводят к нулевому значению . Таким образом, мы показали, что оператор уравнения (4.20), умноженный на функцию (4.25), оказывается самосопряженным. Поэтому общее решение уравнения Фоккера-Планка можно записать в следующем виде:

где для определения используются начальные условия .



Вероятность достижения границы << Оглавление >> Уравнение для x

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения