Равноускоренная система отсчёта — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Нелокальность законов сохранения << ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Огла…»)
 
м (Защищена страница «Равноускоренная система отсчёта» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
 
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
 
  | width="40%"|[[Нелокальность законов сохранения]] <<  
 
  | width="40%"|[[Нелокальность законов сохранения]] <<  
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])  
+
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])  
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Преобразования координат]]
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Преобразования координат]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
  
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим систему <math>\textstyle S:\,(t,\,x)</math>, точка <math>\textstyle x=0</math> которой движется с постоянным ''собственным ускорением'' <math>\textstyle a=const</math> относительно инерциальной (лабораторной) системы <math>\textstyle S_0:\,(T,\,X)</math>. Будем считать, что оси <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle X</math> параллельны и направлены в одну сторону. Во второй главе (стр.\,\pageref{df_eq_for_u_with_a}) был найден закон движения релятивистски равноускоренной частицы, координата которой изменяется со временем следующим образом:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> X(T)=\frac{1}{a}\,\bigl[\sqrt{1+(aT)^2}-1\bigr], </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где в начальный момент времени <math>\textstyle T=0</math> частица покоится, а далее движется с увеличивающейся скоростью и уменьшающимся ускорением:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> U(T)= \frac{dX}{dT} = \frac{aT}{\sqrt{1+(aT)^2}},\;\;\;\;\;\;\;W(T)=\frac{dU}{dT}=\frac{a}{(1+(aT)^2)^{3/2}}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Будем считать, что начало системы <math>\textstyle S</math> (и наблюдатель находящийся в этой точке) движется в соответствии с уравнением () относительно системы <math>\textstyle S_0</math>:
 +
 +
<center>[[File:nonin_SSp.png]]</center>
 +
 +
Внутри неинерциальной системы <math>\textstyle S</math> пространство неизотропно. Точнее, оно изотропно в плоскости <math>\textstyle (y,\,z)</math>, перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси <math>\textstyle x</math>. Подобное нарушение симметрии пространства приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся равномерно и прямолинейно.
 +
 +
Пусть собственное ускорение <math>\textstyle a</math> ''невелико'', хотя, возможно, велика скорость <math>\textstyle U</math> системы <math>\textstyle S</math> относительно <math>\textstyle S_0</math>. Тогда наблюдатель, находящийся в начале системы <math>\textstyle S</math>, по крайней мере локально может пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Это означает, что игнорируется их деформация или вводятся соответствующие поправки на упругость материала из которого сделаны линейки. В результате, их можно поворачивать, считая что они не изменяются при повороте из изотропной плоскости <math>\textstyle (y,\,z)</math> в направлении ускорения. Аналогично мы, находясь на поверхности Земли и испытывая ускорение <math>\textstyle g=9.8\;м/c^2</math>, пользуемся "жёсткими" линейками в своей непосредственной окрестности.
 +
 +
Кроме линеек наблюдателю необходимы часы. Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости <math>\textstyle (y,\,z)</math>. Например, это может быть шарик, катящийся без трения по круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси <math>\textstyle x</math> под воздействием ''постоянных'' сил инерции будут ''равномерно'' "тикать", а при переходе в инерциальную систему &mdash; сломаются, так как возникнет "невесомость". Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует широкий класс синхронно идущих часов в окрестности данной точки пространства. При этом, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят наиболее просто (стр.\,\pageref{princip_simplisity}). Будем считать, что темп хода подобных часов совпадает с темпом хода часов в ''сопутствующей'' к наблюдателю инерциальной системе отсчета <math>\textstyle S'_0</math>, движущейся в данный момент времени относительно <math>\textstyle S_0</math> с той же скоростью, что и <math>\textstyle S</math>. Говоря о системах <math>\textstyle S</math> и <math>\textstyle S'_0</math> мы пока представляем только двух наблюдателей (неинерциального и инерциального), относительно неподвижных и совпадающих в пространстве в точке <math>\textstyle x=0.</math> Они имеют одинаковые часы и линейки. Таким образом, предполагаем, что: <blockquote> темп времени движущихся часов относительно неподвижных часов зависит только от их скорости и ''не зависит от ускорения''. </blockquote> Если в момент времени <math>\textstyle T=t=0</math> начала систем <math>\textstyle S_0</math> и <math>\textstyle S</math> совпадали и скорость <math>\textstyle S</math> относительно <math>\textstyle S_0</math> была нулевой, то спустя некоторое время, связь показаний движущихся часов <math>\textstyle t</math> (находящихся в начале координат <math>\textstyle S</math>) и синхронизированных неподвижных часов <math>\textstyle T</math>, расставленных ''вдоль траектории'' движения в <math>\textstyle S_0</math> будет иметь вид (стр.\,\pageref{time_del_acsel}):
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> t = \int\limits^T_0 \sqrt{1-U^2(T)}\, dT = \frac{1}{a}\,\mathrm{ash}\,aT)\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;aT=\mathrm{sh}(at). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Соотношение () имеет надежное экспериментальное подтверждение. Например, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе \cite{Bailey1977} в пределах относительной ошибки <math>\textstyle 2\cdot 10^{-3}</math> увеличивается в соответствии со стандартной релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляет <math>\textstyle U=0.9994</math> и время замедляется в <math>\textstyle 1/\sqrt{1-U^2}\approx 29</math> раз. При радиусе кольца <math>\textstyle R=7</math> метров, ускорение очень велико (<math>\textstyle W=U^2/R\sim 10^{15}\cdot g</math>, где <math>\textstyle g=9.8\,м/с^2</math>), но время жизни мюонов зависит только от скорости, но не зависит от их ускорения.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим теперь в системе <math>\textstyle S</math> двух наблюдателей, которых для наглядности будем представлять в виде космических кораблей. Пусть расстояние между кораблями до начала ускорения равнялось <math>\textstyle x_0</math>. Пока корабли стояли в космопортах, их экипажи синхронизовали свои часы друг с другом и остальными наблюдателями в системе <math>\textstyle S_0</math>. Время на часах первого корабля, стартовавшего из <math>\textstyle X=0</math>, обозначим через <math>\textstyle t</math>, а второго, стартовавшего из <math>\textstyle X=x_0</math>, через <math>\textstyle t'</math>. В инерциальной системе отсчёта для всех наблюдателей существует единое время, равное <math>\textstyle T</math>. При <math>\textstyle T=t=t'=0</math> корабли начинают равноускоренное движение, постоянно увеличивая свою скорость:
 +
 +
<center>[[File:nonin_2space.png]]</center>
 +
 +
Координата первого (левого) корабля, находящегося в начале системы <math>\textstyle S</math> изменяется со временем в соответствии с ():
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> X(T)=\frac{1}{a}\,\bigl[\sqrt{1+(aT)^2}-1\bigr]=\frac{1}{a}\,\bigl[\mathrm{ch}(at)-1\bigr], </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где во втором равенстве подставлено собственное время корабля ().
 +
 +
''Жёсткая система отсчёта'' &mdash; это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию <math>\textstyle X(T)</math> начала системы отсчёта <math>\textstyle S</math>. Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с ''их точки зрения''? Ответ "так же" не является верным. События, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы <math>\textstyle S_0</math>, то это ускорение не будет синхронным в <math>\textstyle S</math>, и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками системы отсчёта, вообще говоря, ''относительное понятие''. Если наблюдатели в <math>\textstyle S</math> "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе <math>\textstyle S_0</math> будут регистрировать, её сжатие в направлении движения.
 +
 +
Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется ''радиолокационный метод''. Один корабль посылает световой сигнал в сторону второго корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по ''локальным часам'' корабля не должно изменяться. Выясним, по какой траектории <math>\textstyle F(T)</math> должен двигаться второй корабль ''относительно системы'' <math>\textstyle S_0</math>, чтобы система отсчёта <math>\textstyle S</math> ''для её наблюдателей'' была жесткой. Расчёты проведём в неподвижной системе <math>\textstyle S_0</math>.
 +
 +
Пусть первый корабль в момент времени <math>\textstyle T_1</math> отправляет вперёд световой сигнал, который в момент времени <math>\textstyle T</math> отражается от второго корабля и возвращается обратно на первый корабль в момент времени <math>\textstyle T_2</math>. Расстояние, проходимое сигналом равно длительности его движения (<math>\textstyle c=1</math>): 
 +
 +
<center>[[File:noninerframe1.png]]</center>
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} F(T)-X(T_1)=T-T_1,\\ F(T)-X(T_2)=T_2-T. \end{array} \right. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Все времена измеряются по часам инерциальной системы отсчёта <math>\textstyle S_0</math>. Координата первого корабля равна <math>\textstyle X(T)</math>, см. (), второго &mdash; <math>\textstyle F(T)</math>. Если от времени лабораторной системы <math>\textstyle T=\mathrm{sh}(at)/a</math> перейти к собственному времени первого корабля <math>\textstyle t</math>, то несложно получить (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H):
 +
 +
:<center><math>1+aX(T) \pm aT = 1+ [\mathrm{ch}(at)-1] \pm \mathrm{sh}(at) = e^{\mp at}.</math></center>
 +
 +
Поэтому, из системы уравнений () имеем следующие соотношения:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> 1+aF(T)-aT = e^{-at_1},\;\;\;\;\;\;\;\;1+aF(T)+aT = e^{at_2}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где времена ухода <math>\textstyle t_1</math> и возвращения <math>\textstyle t_2</math> сигнала уже измеряются часами ''первого корабля''. Если расстояние между кораблями неизменно, то время движения сигнала "туда и обратно" <math>\textstyle \tau_0=t_2-t_1</math> постоянно и не зависит от момента его получения <math>\textstyle t_2</math>. Вычитая уравнения (), находим:
 +
 +
:<center><math>2aT=e^{at_2}-e^{-a\,(t_2-\tau_0)}\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;e^{at_2}=aT+\sqrt{e^{a\tau_0}+(aT)^2}.</math></center>
 +
 +
В качестве решения квадратного уравнения относительно <math>\textstyle e^{at_2}</math> выбран положительный корень, подставляя который во второе уравнение (), получаем искомую траекторию <math>\textstyle F(T)</math>:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> 1+a\,F(T)=\sqrt{e^{a\tau_0}+(aT)^2}=\sqrt{(1+ax_0)^2+(aT)^2}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где в последнем равенстве учтено начальное условие <math>\textstyle F(0)=x_0</math> или <math>\textstyle e^{a\tau_0/2}=1+ax_0</math>. Назовём ''радиолокационным расстоянием'' <math>\textstyle l_0</math> половину времени <math>\textstyle \tau_0</math> движения сигнала в обе стороны:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> l_0 = \frac{t_2-t_1}{2} =\frac{\tau_0}{2} = \frac{1}{a}\ln(1+ax_0). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Скорость второго корабля относительно неподвижной системы отсчёта <math>\textstyle S_0</math> равна <math>\textstyle U_2(T)=dF(T)/dT</math>, поэтому:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> U_2(T) = \frac{a_2T}{\sqrt{1+(a_2T)^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a_2 = \frac{a}{1+a x_0}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Таким образом, второй корабль также движется равноускоренно, но с меньшим собственное ускорением, равным <math>\textstyle a_2</math>.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Скорости обоих кораблей известны, поэтому можно записать показания часов каждого из них в момент времени <math>\textstyle T</math>:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> T=\frac{1}{a}\mathrm{sh}(at),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T= \frac{1+ax_0}{a}\,\mathrm{sh}\left(\frac{at'}{1+ax_0}\right). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Время <math>\textstyle t</math>, прошедшее на первом корабле с момента старта и <math>\textstyle t'</math> на втором корабле сравниваются с ''различными'' часами <math>\textstyle T</math>, синхронизированными в системе <math>\textstyle S_0</math>. Запишем координату второго корабля через его время:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> F(T) = \frac{1}{a}\,\bigl[\sqrt{(1+ax_0)^2+(aT)^2}-1\bigr]= \frac{1+ax_0}{a} \mathrm{ch}\left(\frac{at'}{1+ax_0}\right) - \frac{1}{a}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
При помощи (), () и радиолокационного расстояния <math>\textstyle l_0</math> () можно (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) выразить времена посылки и получения обратно сигнала на первом корабле:
 +
 +
:<center><math>t_1 = t'\,e^{-al_0} - l_0,\;\;\;\;\;\;t_2=t'\, e^{-al_0}+l_0,\;\;\;\;\;\;\;\frac{t_1+t_2}{2}=t'\, e^{-al_0}.</math></center>
 +
 +
Обратим внимание, что <math>\textstyle t'\neq(t_1+t_2)/2</math> и начальная синхронизация часов на кораблях разрушилась. Разберемся, почему это произошло.
 +
 +
Пусть второй корабль посылает "сигнал точного времени" в направлении первого корабля. Он уходит в момент времени <math>\textstyle t'_1</math> и приходит к первому кораблю в момент <math>\textstyle t_2</math>, проходя с единичной скоростью (<math>\textstyle c=1</math>) в системе <math>\textstyle S_0</math> расстояние <math>\textstyle F(T_1)-X(T_2)=T_2-T_1</math>, или <math>\textstyle F(T_1)+T_1=X(T_2)+T_2</math>. Запишем это уравнение во временах каждого корабля:
 +
 +
:<center><math>(1+ax_0)\,\left[\mathrm{ch}\left(\frac{a\,t'_1}{1+ax_0}\right)+\mathrm{sh}\left(\frac{a\,t'_1}{1+ax_0}\right)\right] = \mathrm{ch}(a\,t_2)+\mathrm{sh}(a\,t_2).</math></center>
 +
 +
Подставляя определения гиперболических функций, имеем:
 +
 +
<center>[[File:niso_send_sig.png]]</center>
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> t_2 = l_0+t'_1\,e^{-al_0}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Сигналы, отправленные через равные промежутки времени, по часам второго корабля будут также приходить через равные промежутки, однако с другим интервалом:
 +
 +
:<center><math>\Delta t = \Delta t'\,e^{-al_0},\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\nu=\nu'\,e^{al_0}\approx \nu'\,(1+al_0),</math></center>
 +
 +
где приближенное равенство записано для <math>\textstyle al_0\ll 1.</math> Частота принятого сигнала <math>\textstyle \nu=1/\Delta t</math> от удалённого наблюдателя тем больше, чем дальше по ходу движения находится источник сигнала. Таким образом, если расстояние между наблюдателями в неинерциальной системе отсчета остаётся неизменным, то время у них течёт ''различным образом''. Чем дальше по направлению ускорения находятся часы, тем быстрее на них идёт время с точки зрения наблюдателя в <math>\textstyle x=0</math>. В результате, первоначально синхронизированные часы, со временем рассинхронизируются.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Наблюдатели в ускоренной системе отсчёта чувствуют себя подобно нам, находящимся на Земле в однородном поле силы тяжести. В частности все объекты, "выпущенные из рук", ''независимо от их массы'' приобретают ускорение <math>\textstyle a</math>.
 +
 +
<center>[[File:equvalentnost.png]]</center>
 +
 +
Если, следуя Эйнштейну, считать, что физика в равноускоренной системе аналогична физике в однородном гравитационном поле, то полученная формула для частот должна выполняться и в земных условиях. В частности, приёмник, расположенный ниже источника эталонного излучения <math>\textstyle \nu'</math>, должен получать сигнал с большей частотой <math>\textstyle \nu\approx\nu'\, (1+gl_0/c^2)</math>, где <math>\textstyle a=g=9.8\;м/c^2</math>, а <math>\textstyle l_0</math> &mdash; высота источника над приёмником, и восстановлена (<math>\textstyle g\mapsto g/c^2</math>) константа "<math>\textstyle c</math>". Это соотношение с хорошей точностью подтвердилось в эксперименте Паунда и Ребки (1960 г.). Их установка имела высоту <math>\textstyle l_0=22.5\,м</math>, что соответствовало относительному изменению частоты <math>\textstyle gl_0/c^2=2.5\cdot 10^{-15}</math>, которое удалось измерить при помощи эффекта Мёссбауэра.
 +
 +
Эталоны длины и времени неинерциального наблюдателя совпадают с аналогичными эталонами в сопутствующей к нему инерциальной системе отсчёта. В частности, скорость света для него изотропна и одинакова при движении вдоль и против оси <math>\textstyle x</math>. Поэтому половину времени <math>\textstyle \tau_0/2</math> радиолокационного эксперимента он может считать расстоянием ко второму кораблю <math>\textstyle l_0=\ln(1+ax_0)/a</math>. С учётом времени на прохождение этого расстояния в (), наблюдатели могут сравнить показания своих часов:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> t=t' \, e^{-al_0}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Событие, произошедшее на втором корабле в момент <math>\textstyle t'</math>, наблюдатель на первом корабле ''может считать одновременным'' моменту его часов <math>\textstyle t</math>, так как информация о нём достигнет первого корабля через время, равное расстоянию <math>\textstyle l_0</math>.
 +
 +
Напомним, что расстояние между кораблями до старта равнялось <math>\textstyle x_0</math>. Как только появилось ускорение, пространство стало неизотропным и расстояние до второго корабля ''уменьшилось'' (<math>\textstyle x_0\mapsto l_0</math>), и в дальнейшем уже не менялось. На самом деле, скачок расстояния наблюдатели обнаружат после старта спустя некоторое время, необходимое для проведения его радиолокационного измерения. В момент отключения двигателей неинерциальная система отсчёта превращается в инерциальную, и пространство снова становится изотропным.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Использовать радиолокационный метод для измерения расстояний может любой наблюдатель в неинерциальной системе. Рассмотрим такой эксперимент, проводимый наблюдателем на втором корабле в направлении третьего, движущегося впереди него. Если в начальный момент времени в системе <math>\textstyle S_0</math> координаты этих кораблей были <math>\textstyle x_0</math> и <math>\textstyle x_1</math>, то в дальнейшем их траектории <math>\textstyle F(T)</math> и <math>\textstyle G(T)</math> имеют вид:
 +
 +
:<center><math>1+a\, F(T)=\sqrt{(1+ax_0)^2+(aT)^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;1+a\, G(T)=\sqrt{(1+ax_1)^2+(aT)^2}.</math></center>
 +
 +
Сигнал в лабораторной системе <math>\textstyle S_0</math> излучается в момент <math>\textstyle T_1</math>, отражается от третьего корабля в момент <math>\textstyle T</math> и возвращается на второй в момент <math>\textstyle T_2</math>: 
 +
 +
<center>[[File:nonin_radlocback.png]]</center>
 +
 +
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} G(T)-F(T_1)=T-T_1\\ G(T)-F(T_2)=T_2-T. \end{array} \right.</math></center>
 +
 +
Из этих двух уравнений следует:
 +
 +
:<center><math>\bigl(1+aF(T_1)-aT_1\bigr)\bigl(1+aF(T_2)+aT_2\bigr)=\bigl(1+aG(T)-aT\bigr)\bigl(1+aG(T)+aT\bigr).</math></center>
 +
 +
Подставим явный вид траекторий и в левой части перейдём ко времени второго корабля <math>\textstyle aT=(1+ax_0)\mathrm{sh}(at'/(1+ax_0))</math>. В результате:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> l'_{1}=\frac{t'_2-t'_1}{2}=\frac{1+a x_0}{a}\, \ln\left(\frac{1+ax_1}{1+ax_0}\right)=e^{al_0}\, (l_1-l_0), </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где в последнем равенстве записаны радиолокационные расстояния ко второму <math>\textstyle l_0</math> и третьему <math>\textstyle l_1</math> кораблям ''с точки зрения'' наблюдателя на первом корабле, находящемся в начале неинерциальной системы отсчета.
 +
 +
Если повторить расчёт по посылке периодических сигналов (стр.\,\pageref{acsel_ref_sys_times}), но теперь от третьего корабля ко второму, то получится соотношение:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> t'_2 = l'_1 + \frac{1+ax_0}{1+ax_1}\,t''_1 = l'_1 + t''_1\,e^{-a\,(l_1-l_0)}=l'_1 + t''_1\,e^{-a_2l'_1}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle l'_1</math> &mdash; расстояние () между кораблями и <math>\textstyle a_2=a/(1+ax_0)</math>.
 +
 +
В неинерциальной системе мы не только не можем говорить о едином времени, но и расстояния между точками системы измеряются ''конкретными наблюдателями''. Результаты этих измерений различны, так как в радиолокационном методе используются часы. Если время для различных наблюдателей течёт по-разному, то и результаты радиолокации будут различными. Так, расстояние () между вторым и третьим кораблем, измеренное со второго корабля, в <math>\textstyle e^{al_0}</math> раз больше, чем аналогичное расстояние <math>\textstyle l_1-l_0</math>, измеренное с первого корабля.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> При движении расстояние между кораблями в равноускоренной системе отчёта выдерживается неизменным. Для неподвижных наблюдателей в системе <math>\textstyle S_0</math>, расстояние между кораблями уменьшается. С точки зрения стандартного сокращения Лоренца в этом нет ни чего удивительного, так как скорость кораблей всё время растёт. Представим "линейку", соединяющую первый и второй корабли. Её длина в системе <math>\textstyle S_0</math> равна разности координат кораблей:
 +
 +
:<center><math>L_0 = F(T) - X(T) = \frac{1}{a}\sqrt{e^{2al_0}+(aT)^2}-\frac{1}{a}\sqrt{(1+(aT)^2}.</math></center>
 +
 +
Наблюдатель системы <math>\textstyle S</math>, находящийся на первом корабле, считает, что длина линейки (расстояние между кораблями) равна <math>\textstyle l_0=\ln(1+ax_0)/a</math>. Если ввести скорость первого корабля относительно неподвижной инерциальной системы <math>\textstyle S_0</math> и соответствующий этой скорости фактор Лоренца:
 +
 +
:<center><math>U(T) = \frac{dX}{dT} = \frac{aT}{\sqrt{1+(aT)^2}},\;\;\;\;\;\;\;\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-U^2(T)}}=\sqrt{1+(aT)^2},</math></center>
 +
 +
то выражение для длины можно переписать следующим образом:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> L_0= \frac{\sqrt{e^{2al_0}+ \gamma^2 - 1}-\gamma}{a}\approx \frac{l_0}{\gamma}\,\left(1+(1+U^2)\,\frac{al_0}{2}+...\right), </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где приближенное равенство записано как ряд по <math>\textstyle al_0</math> (что проверяется возведением в квадрат после перенесения <math>\textstyle \gamma/a</math> вправо). Это приближение справедливо при <math>\textstyle al_0 \ll 1</math> или, восстанавливая фундаментальную скорость <math>\textstyle a\ll a_0=c^2/l_0</math>. Для метрового стержня имеем <math>\textstyle a_0\sim 10^{16}\,g</math>, где <math>\textstyle g=9.8\,м/с^2</math>, что является очень большим значением. Если же расстояние между кораблями равно одному световому году (стр.\,\pageref{light_year}), то <math>\textstyle a_0\sim g</math> и отклонение от лоренцевской формулы <math>\textstyle L_0=l_0/\gamma</math> становится заметным.
 +
 +
Таким образом, если произведение собственного ускорения <math>\textstyle a</math> на длину линейки <math>\textstyle l_0</math> мало, то отношение длин линейки, в системах <math>\textstyle S</math> и <math>\textstyle S_0</math> соответствует лоренцевскому сокращению: <math>\textstyle L_0=l_0\sqrt{1-U^2}</math>. В общем же случае, сокращение "линейки" отличается от лоренцевского. Однако, когда корабли перестанут ускоряться, то сокращение окажется в точности лоренцевским (см. "парадокс остановки", стр.\,\pageref{stop_paradox}).
 +
 +
Подчеркнём, что ''большие'' значения <math>\textstyle l_0</math> неинерциальные наблюдатели получают в результате радиолокационного измерения, а не реальным прикладыванием линейки, при помощи которой они измеряют скорости в своей непосредственной окрестности. В соответствии с () оно отличается от начального расстояния между кораблями <math>\textstyle x_0</math> и различно для наблюдателя на первом и втором кораблях. Выше, в качестве собственной длины линейки, было выбрано радиолокационное расстояние, измеренное наблюдателем на первом корабле.
  
 
----
 
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
 
  | width="40%"|[[Нелокальность законов сохранения]] <<  
 
  | width="40%"|[[Нелокальность законов сохранения]] <<  
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])
+
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Преобразования координат]]
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Преобразования координат]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Текущая версия на 19:55, 4 июля 2013

Нелокальность законов сохранения << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Преобразования координат

Рассмотрим систему , точка которой движется с постоянным собственным ускорением относительно инерциальной (лабораторной) системы . Будем считать, что оси и параллельны и направлены в одну сторону. Во второй главе (стр.\,\pageref{df_eq_for_u_with_a}) был найден закон движения релятивистски равноускоренной частицы, координата которой изменяется со временем следующим образом:

(EQN)

где в начальный момент времени частица покоится, а далее движется с увеличивающейся скоростью и уменьшающимся ускорением:

(EQN)

Будем считать, что начало системы (и наблюдатель находящийся в этой точке) движется в соответствии с уравнением () относительно системы :

Nonin SSp.png

Внутри неинерциальной системы пространство неизотропно. Точнее, оно изотропно в плоскости , перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси . Подобное нарушение симметрии пространства приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся равномерно и прямолинейно.

Пусть собственное ускорение невелико, хотя, возможно, велика скорость системы относительно . Тогда наблюдатель, находящийся в начале системы , по крайней мере локально может пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Это означает, что игнорируется их деформация или вводятся соответствующие поправки на упругость материала из которого сделаны линейки. В результате, их можно поворачивать, считая что они не изменяются при повороте из изотропной плоскости в направлении ускорения. Аналогично мы, находясь на поверхности Земли и испытывая ускорение Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle g=9.8\;м/c^2} , пользуемся "жёсткими" линейками в своей непосредственной окрестности.

Кроме линеек наблюдателю необходимы часы. Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости . Например, это может быть шарик, катящийся без трения по круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси под воздействием постоянных сил инерции будут равномерно "тикать", а при переходе в инерциальную систему — сломаются, так как возникнет "невесомость". Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует широкий класс синхронно идущих часов в окрестности данной точки пространства. При этом, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят наиболее просто (стр.\,\pageref{princip_simplisity}). Будем считать, что темп хода подобных часов совпадает с темпом хода часов в сопутствующей к наблюдателю инерциальной системе отсчета , движущейся в данный момент времени относительно с той же скоростью, что и . Говоря о системах и мы пока представляем только двух наблюдателей (неинерциального и инерциального), относительно неподвижных и совпадающих в пространстве в точке Они имеют одинаковые часы и линейки. Таким образом, предполагаем, что:

темп времени движущихся часов относительно неподвижных часов зависит только от их скорости и не зависит от ускорения.

Если в момент времени начала систем и совпадали и скорость относительно была нулевой, то спустя некоторое время, связь показаний движущихся часов (находящихся в начале координат ) и синхронизированных неподвижных часов , расставленных вдоль траектории движения в будет иметь вид (стр.\,\pageref{time_del_acsel}):

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle t = \int\limits^T_0 \sqrt{1-U^2(T)}\, dT = \frac{1}{a}\,\mathrm{ash}\,aT)\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;aT=\mathrm{sh}(at). }
(EQN)

Соотношение () имеет надежное экспериментальное подтверждение. Например, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе \cite{Bailey1977} в пределах относительной ошибки увеличивается в соответствии со стандартной релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляет и время замедляется в раз. При радиусе кольца метров, ускорение очень велико (, где Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle g=9.8\,м/с^2} ), но время жизни мюонов зависит только от скорости, но не зависит от их ускорения.

Рассмотрим теперь в системе двух наблюдателей, которых для наглядности будем представлять в виде космических кораблей. Пусть расстояние между кораблями до начала ускорения равнялось . Пока корабли стояли в космопортах, их экипажи синхронизовали свои часы друг с другом и остальными наблюдателями в системе . Время на часах первого корабля, стартовавшего из , обозначим через , а второго, стартовавшего из , через . В инерциальной системе отсчёта для всех наблюдателей существует единое время, равное . При корабли начинают равноускоренное движение, постоянно увеличивая свою скорость:

Nonin 2space.png

Координата первого (левого) корабля, находящегося в начале системы изменяется со временем в соответствии с ():

(EQN)

где во втором равенстве подставлено собственное время корабля ().

Жёсткая система отсчёта — это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию начала системы отсчёта . Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с их точки зрения? Ответ "так же" не является верным. События, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы , то это ускорение не будет синхронным в , и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками системы отсчёта, вообще говоря, относительное понятие. Если наблюдатели в "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе будут регистрировать, её сжатие в направлении движения.

Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется радиолокационный метод. Один корабль посылает световой сигнал в сторону второго корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по локальным часам корабля не должно изменяться. Выясним, по какой траектории должен двигаться второй корабль относительно системы , чтобы система отсчёта для её наблюдателей была жесткой. Расчёты проведём в неподвижной системе .

Пусть первый корабль в момент времени отправляет вперёд световой сигнал, который в момент времени отражается от второго корабля и возвращается обратно на первый корабль в момент времени . Расстояние, проходимое сигналом равно длительности его движения ():

Noninerframe1.png
(EQN)

Все времена измеряются по часам инерциальной системы отсчёта . Координата первого корабля равна , см. (), второго — . Если от времени лабораторной системы перейти к собственному времени первого корабля , то несложно получить (\,H):

Поэтому, из системы уравнений () имеем следующие соотношения:

(EQN)

где времена ухода и возвращения сигнала уже измеряются часами первого корабля. Если расстояние между кораблями неизменно, то время движения сигнала "туда и обратно" постоянно и не зависит от момента его получения . Вычитая уравнения (), находим:

В качестве решения квадратного уравнения относительно выбран положительный корень, подставляя который во второе уравнение (), получаем искомую траекторию :

(EQN)

где в последнем равенстве учтено начальное условие или . Назовём радиолокационным расстоянием половину времени движения сигнала в обе стороны:

(EQN)

Скорость второго корабля относительно неподвижной системы отсчёта равна , поэтому:

(EQN)

Таким образом, второй корабль также движется равноускоренно, но с меньшим собственное ускорением, равным .

Скорости обоих кораблей известны, поэтому можно записать показания часов каждого из них в момент времени :

(EQN)

Время , прошедшее на первом корабле с момента старта и на втором корабле сравниваются с различными часами , синхронизированными в системе . Запишем координату второго корабля через его время:

(EQN)

При помощи (), () и радиолокационного расстояния () можно (\,H) выразить времена посылки и получения обратно сигнала на первом корабле:

Обратим внимание, что и начальная синхронизация часов на кораблях разрушилась. Разберемся, почему это произошло.

Пусть второй корабль посылает "сигнал точного времени" в направлении первого корабля. Он уходит в момент времени и приходит к первому кораблю в момент , проходя с единичной скоростью () в системе расстояние , или . Запишем это уравнение во временах каждого корабля:

Подставляя определения гиперболических функций, имеем:

Niso send sig.png
(EQN)

Сигналы, отправленные через равные промежутки времени, по часам второго корабля будут также приходить через равные промежутки, однако с другим интервалом:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta t = \Delta t'\,e^{-al_0},\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\nu=\nu'\,e^{al_0}\approx \nu'\,(1+al_0),}

где приближенное равенство записано для Частота принятого сигнала от удалённого наблюдателя тем больше, чем дальше по ходу движения находится источник сигнала. Таким образом, если расстояние между наблюдателями в неинерциальной системе отсчета остаётся неизменным, то время у них течёт различным образом. Чем дальше по направлению ускорения находятся часы, тем быстрее на них идёт время с точки зрения наблюдателя в . В результате, первоначально синхронизированные часы, со временем рассинхронизируются.

Наблюдатели в ускоренной системе отсчёта чувствуют себя подобно нам, находящимся на Земле в однородном поле силы тяжести. В частности все объекты, "выпущенные из рук", независимо от их массы приобретают ускорение .

Equvalentnost.png

Если, следуя Эйнштейну, считать, что физика в равноускоренной системе аналогична физике в однородном гравитационном поле, то полученная формула для частот должна выполняться и в земных условиях. В частности, приёмник, расположенный ниже источника эталонного излучения , должен получать сигнал с большей частотой , где Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle a=g=9.8\;м/c^2} , а — высота источника над приёмником, и восстановлена () константа "". Это соотношение с хорошей точностью подтвердилось в эксперименте Паунда и Ребки (1960 г.). Их установка имела высоту Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle l_0=22.5\,м} , что соответствовало относительному изменению частоты , которое удалось измерить при помощи эффекта Мёссбауэра.

Эталоны длины и времени неинерциального наблюдателя совпадают с аналогичными эталонами в сопутствующей к нему инерциальной системе отсчёта. В частности, скорость света для него изотропна и одинакова при движении вдоль и против оси . Поэтому половину времени радиолокационного эксперимента он может считать расстоянием ко второму кораблю . С учётом времени на прохождение этого расстояния в (), наблюдатели могут сравнить показания своих часов:

(EQN)

Событие, произошедшее на втором корабле в момент , наблюдатель на первом корабле может считать одновременным моменту его часов , так как информация о нём достигнет первого корабля через время, равное расстоянию .

Напомним, что расстояние между кораблями до старта равнялось . Как только появилось ускорение, пространство стало неизотропным и расстояние до второго корабля уменьшилось (), и в дальнейшем уже не менялось. На самом деле, скачок расстояния наблюдатели обнаружат после старта спустя некоторое время, необходимое для проведения его радиолокационного измерения. В момент отключения двигателей неинерциальная система отсчёта превращается в инерциальную, и пространство снова становится изотропным.

Использовать радиолокационный метод для измерения расстояний может любой наблюдатель в неинерциальной системе. Рассмотрим такой эксперимент, проводимый наблюдателем на втором корабле в направлении третьего, движущегося впереди него. Если в начальный момент времени в системе координаты этих кораблей были и , то в дальнейшем их траектории и имеют вид:

Сигнал в лабораторной системе излучается в момент , отражается от третьего корабля в момент и возвращается на второй в момент :

Nonin radlocback.png

Из этих двух уравнений следует:

Подставим явный вид траекторий и в левой части перейдём ко времени второго корабля . В результате:

(EQN)

где в последнем равенстве записаны радиолокационные расстояния ко второму и третьему кораблям с точки зрения наблюдателя на первом корабле, находящемся в начале неинерциальной системы отсчета.

Если повторить расчёт по посылке периодических сигналов (стр.\,\pageref{acsel_ref_sys_times}), но теперь от третьего корабля ко второму, то получится соотношение:

(EQN)

где — расстояние () между кораблями и .

В неинерциальной системе мы не только не можем говорить о едином времени, но и расстояния между точками системы измеряются конкретными наблюдателями. Результаты этих измерений различны, так как в радиолокационном методе используются часы. Если время для различных наблюдателей течёт по-разному, то и результаты радиолокации будут различными. Так, расстояние () между вторым и третьим кораблем, измеренное со второго корабля, в раз больше, чем аналогичное расстояние , измеренное с первого корабля.

При движении расстояние между кораблями в равноускоренной системе отчёта выдерживается неизменным. Для неподвижных наблюдателей в системе , расстояние между кораблями уменьшается. С точки зрения стандартного сокращения Лоренца в этом нет ни чего удивительного, так как скорость кораблей всё время растёт. Представим "линейку", соединяющую первый и второй корабли. Её длина в системе равна разности координат кораблей:

Наблюдатель системы , находящийся на первом корабле, считает, что длина линейки (расстояние между кораблями) равна . Если ввести скорость первого корабля относительно неподвижной инерциальной системы и соответствующий этой скорости фактор Лоренца:

то выражение для длины можно переписать следующим образом:

(EQN)

где приближенное равенство записано как ряд по (что проверяется возведением в квадрат после перенесения вправо). Это приближение справедливо при или, восстанавливая фундаментальную скорость . Для метрового стержня имеем , где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle g=9.8\,м/с^2} , что является очень большим значением. Если же расстояние между кораблями равно одному световому году (стр.\,\pageref{light_year}), то и отклонение от лоренцевской формулы становится заметным.

Таким образом, если произведение собственного ускорения на длину линейки мало, то отношение длин линейки, в системах и соответствует лоренцевскому сокращению: . В общем же случае, сокращение "линейки" отличается от лоренцевского. Однако, когда корабли перестанут ускоряться, то сокращение окажется в точности лоренцевским (см. "парадокс остановки", стр.\,\pageref{stop_paradox}).

Подчеркнём, что большие значения неинерциальные наблюдатели получают в результате радиолокационного измерения, а не реальным прикладыванием линейки, при помощи которой они измеряют скорости в своей непосредственной окрестности. В соответствии с () оно отличается от начального расстояния между кораблями и различно для наблюдателя на первом и втором кораблях. Выше, в качестве собственной длины линейки, было выбрано радиолокационное расстояние, измеренное наблюдателем на первом корабле.


Нелокальность законов сохранения << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Преобразования координат

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии