Равноускоренная система отсчета — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 18 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Ускоренное движение]] <<  
+
  | width="40%"|[[Мир элементарных частиц]] <<  
 
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
 
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
  | width="40%" align="right"| >> [[Неинерциальные координаты и время]]
+
  | width="40%" align="right"| >> [[Время и расстояние в равноускоренной системе]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 +
Рассмотрим систему <math>\textstyle S'</math>, точка <math>\textstyle x'=0</math> которой движется равноускоренно  относительно инерциальной системы <math>\textstyle S</math>. Будем считать, что оси <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle x'</math> параллельны и направлены в одну сторону. Во [[Ускоренное движение|второй главе]] был найден закон движении релятивистски равноускоренной частицы, координата которой изменяется со временем следующим образом:
  
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> x(t)=\frac{1}{a}\,\bigl[\sqrt{1+(at)^2}-1\bigr]. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.1)'''</div>
 +
|}
  
<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим систему отсчета <math>\textstyle S'</math>, точка <math>\textstyle x'=0</math> которой двигается равноускоренно относительно инерциальной системы <math>\textstyle S</math>. По-прежнему будем считать, что оси <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle x'</math> параллельны и направлены в одну сторону. Основная особенность неинерциальной системы &mdash; это неизотропность пространства внутри неё. Точнее, пространство изотропно в плоскости <math>\textstyle (y',z')</math>, перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси <math>\textstyle x'</math>.
+
Будем считать, что начало системы <math>\textstyle S'</math> (и наблюдатель находящийся в этой точке) движутся в соответствии с уравнением (4.1)  
  
Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости <math>\textstyle (y',z')</math>. Например, это может быть шарик, катящийся без трения по закрытому круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов, которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси <math>\textstyle x'</math> под воздействием сил инерции будут "тикать", а при переходе в инерциальную систему ("невесомость") &mdash; сломаются. Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует достаточно широкий класс синхронно идущих часов. При этом, как и раньше, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят наиболее просто (стр. \pageref{princip_simplisity}).
+
<center>[[File:nonin_SSp.png]]</center>
  
Будем считать, что ускорение относительно невелико (хотя, возможно, велика скорость системы <math>\textstyle S'</math> относительно <math>\textstyle S</math>). Тогда, аналогично классической механике, можно пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Так, игнорируется возможность их деформации или вводятся соответствующие поправки на упругость материала, из которого сделаны линейки. Для описания ускоренной системы отсчёта достаточно известной нам математики. Однако потребуется сделать важное допущение о том, что темп времени двигающихся часов зависит только от их скорости и ''не зависит от ускорения'' <math>\textstyle a</math>.
+
Основная особенность неинерциальной системы &mdash; это неизотропность пространства внутри неё. Точнее, пространство изотропно в плоскости <math>\textstyle (y',z')</math>, перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси <math>\textstyle x'</math>.
  
Каким бы большим не было значение <math>\textstyle a</math>, всегда можно выбрать малый интервал времени, при котором скорость ускоряющихся часов меняется незначительно, и их можно рассматривать как локально инерциальную систему отсчета. Это общее соображение имеет и экспериментальные подтверждения. Так, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе (CERN Storage-Ring experiment \cite{Bailey1977}) в пределах относительной экспериментальной ошибки <math>\textstyle 2\cdot 10^{-3}</math> увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляла <math>\textstyle v=0.9994</math> и время замедлялось в <math>\textstyle 1/\sqrt{1-v^2}=29</math> раз. При 7 метровом радиусе кольца, ускорение достигало значений <math>\textstyle a\sim 10^{18}\cdot g</math>, где <math>\textstyle g=9.8\/с^2</math>.
+
Пусть ускорение невелико (хотя, возможно, велика скорость системы <math>\textstyle S'</math> относительно <math>\textstyle S</math>). Тогда наблюдатель, находящийся в начале системы <math>\textstyle S'</math>, по крайней мере локально, воспринимает окружающие физические явления подобно "наблюдателю классической механики". В частности, он может пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Это означает, что игнорируется возможность их деформации или вводятся соответствующие поправки на упругость материала, из которого сделаны линейки. В результате линейки можно поворачивать, считая что они не изменяются при повороте из изотропной плоскости <math>\textstyle (y',z')</math> в направлении ускорения. Аналогично мы, находясь на поверхности Земли и испытывая ускорение <math>\textstyle g=9.8\;m/s^2</math>, пользуемся "жёсткими" линейками в своей непосредственной окрестности.
  
<math>\textstyle \bullet</math> Представим небольшую эскадру из двух космических кораблей, разделённых расстоянием <math>\textstyle x_0</math>, которая начинает ускоренное движение относительно инерциальной системы отсчёта <math>\textstyle S</math>. Пока корабли стояли в космопортах, их экипажи синхронизовали свои часы друг с другом и остальными наблюдателями в системе <math>\textstyle S</math>. Время на часах первого корабля, стартовавшего из <math>\textstyle x=0</math>, обозначим через <math>\textstyle t'</math>, а второго, стартовавшего из <math>\textstyle x=x_0</math>, через <math>\textstyle t''</math>. В инерциальной системе отсчёта время единое и равно <math>\textstyle t</math>. При <math>\textstyle t=t'=t''=0</math> корабли начинают равноускоренное движение, постоянно увеличивая свою скорость.
+
Неизотропность приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся по прямолинейным траекториям. Эти траектории изгибаются в направлении, противоположном вектору ускорения. Естественно относительно инерциальной системы отсчёта они по-прежнему движутся равномерно и прямолинейно. Так как физика в инерциальной системе нам известна, можно описать и многие из явления, с точки зрения неинерциальных наблюдателей.
  
Будем считать, что часы первого корабля, двигаясь со скоростью <math>\textstyle u(t)</math>, показывают время <math>\textstyle t'=\mathrm{ash}\,at)/a</math> [см. () стр. \pageref{time_del_acsel}]. При этом сравнивается время на ''одних и тех же'' часах <math>\textstyle t'</math>, двигающихся по траектории:
+
Кроме линеек наблюдателю необходимы часы. Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости <math>\textstyle (y',z')</math>. Например, это может быть шарик, катящийся без трения по круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов, которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси <math>\textstyle x'</math> под воздействием ''постоянных'' сил инерции будут ''равномерно'' "тикать", а при переходе в инерциальную систему &mdash; сломаются, так как возникнет "невесомость".
 +
 
 +
Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует достаточно широкий класс синхронно идущих часов в данной точке пространства. Синхронность подразумевает, что законы движения частиц получаются одинаковыми при использовании различных часов. При этом, как и раньше, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят [[Неподвижные наблюдатели|наиболее просто (см. Глава 1.)]]. Например, координата <math>\textstyle y'</math> свободно движущейся частицы, в силу изотропности пространства в плоскости <math>\textstyle (y',z')</math>, за равные промежутки времени должна изменяться на равные величины. Далее нам потребуется важное ''допущение'' о том, что <blockquote> темп времени движущихся часов относительно неподвижных часов зависит только от их скорости и ''не зависит от ускорения''. </blockquote> Если в момент времени <math>\textstyle t'=t=0</math> начала систем совпадали и скорость <math>\textstyle S'</math> относительно <math>\textstyle S</math> была нулевой, то спустя некоторое время, связь показаний движущихся часов <math>\textstyle t'</math> (находящихся в начале координат) и синхронизированых неподвижных, расставленых вдоль траектории движения [[Ускоренное движение|будет иметь вид]]:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> x(t)=\frac{1}{a}\,\bigl[\sqrt{1+(at)^2}-1\bigr]=\frac{1}{a}\,\bigl[\mathrm{ch}(at')-1\bigr] </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> t'=\frac{1}{a}\,\mathrm{ash}\,(at)\;\;\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;at=\mathrm{ch}(at'). </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.2)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
со временем ''различных'' часов, находящихся в инерциальной системе отсчёта и имеющих в этой системе единое синхронизированное время <math>\textstyle t</math>. Траектория <math>\textstyle x(t)</math> также записана при помощи времени первого корабля. Для этого подставлено <math>\textstyle at=\mathrm{sh}(at')</math>, и учтено, что <math>\textstyle \mathrm{ch}^2(\alpha)-\mathrm{sh}^2(\alpha)=1</math>.
+
Каким бы ни было значение <math>\textstyle a</math>, всегда можно выбрать малый интервал времени, при котором скорость ускоряющихся часов меняется незначительно, и их можно рассматривать как локально инерциальную систему отсчета. Это общее соображение имеет и экспериментальные подтверждения. Так, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе
 +
<ref>Bailey J. et al. &mdash; "''Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit''", Nature, v.268, p.301-305 (1977)
 +
</ref> в пределах относительной ошибки <math>\textstyle 2\cdot 10^{-3}</math> увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляет <math>\textstyle v=0.9994</math> и время замедляется в <math>\textstyle 1/\sqrt{1-v^2}=29</math> раз. При 7 метровом радиусе кольца, ускорение достигает значений <math>\textstyle a\sim 10^{18}\cdot g</math>, где <math>\textstyle g=9.8\,m/s^2</math>.
  
Жёсткая система &mdash; это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию <math>\textstyle x(t)</math> начала системы отсчёта <math>\textstyle S'</math>. Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с ''их точки зрения''? Ответ "так же" не является верным. Действительно, события, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы <math>\textstyle S</math>, то это ускорение не будет синхронным в <math>\textstyle S'</math>, и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками неинерциальной системы отсчёта <math>\textstyle S'</math> &mdash; ''понятие относительное''. Если наблюдатели в <math>\textstyle S'</math> "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе <math>\textstyle S</math> будут регистрировать, её сжатие в направлении движения. События (ускорительные импульсы корабля) по ходу движения, в системе <math>\textstyle S'</math> происходят позже, по сравнению с событиями расположенными против хода [см. стр. \pageref{delta_lorenz1}], и второй корабль в системе <math>\textstyle S</math> разгоняется медленнее.
+
----
 
 
Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется "радиолокационный метод". Один корабль посылает световой сигнал в сторону другого корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по ''локальным часам'' корабля должно быть всё время неизменным. Если это условие выполнено, и нам известно движение первого корабля, мы можем найти траекторию второго корабля (в системе <math>\textstyle S</math>).
 
 
 
<math>\textstyle \bullet</math> И так, найдём траекторию <math>\textstyle f(t)</math> второго корабля ''относительно системы'' <math>\textstyle S</math>, при которой радиолокационный метод в системе <math>\textstyle S'</math> будет приводить к постоянному расстоянию между кораблями. Другими словами выясним, как должны двигаться корабли, чтобы система отсчёта <math>\textstyle S'</math> ''для их экипажей'' была жесткой. Эти расчёты удобнее проводить в неподвижной системе <math>\textstyle S</math>. Пусть первый корабль в момент времени <math>\textstyle t_1</math> отправляет вперёд световой сигнал, который достигает второго корабля в момент времени <math>\textstyle t</math>, отражается и возвращается обратно в момент времени <math>\textstyle t_2</math>: \parbox{8cm}{
 
 
 
<center>[[File:noninerframe1.png]]</center>
 
 
 
} \parbox{7cm}{
 
 
 
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} f(t)-x(t_1)=t-t_1\\ f(t)-x(t_2)=t_2-t. \end{array} \right.</math></center>
 
  
} Все времена измеряются по часам в инерциальной системе отсчёта <math>\textstyle S</math>. Координата первого корабля равна <math>\textstyle x(t)</math>, см. (), второго &mdash; <math>\textstyle f(t)</math>. Запишем время ухода <math>\textstyle t_1=\mathrm{sh}(at'_1)/a</math> и возвращения <math>\textstyle t_2=\mathrm{sh}(at'_2)/a</math> сигнала ''по часам первого корабля'' (<math>\textstyle t'_1</math> и <math>\textstyle t'_2</math>):
 
  
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle f(t)-t =x(t_1) - t_1= \frac{1}{a}\,\bigl[\mathrm{ch}(at'_1)-1\bigr]-\frac{1}{a}\,\mathrm{sh}(at'_1)=\frac{1}{a}\,\left(e^{-at'_1}-1\right)\\[4mm] \displaystyle f(t)+t =x(t_2) + t_2= \frac{1}{a}\,\bigl[\mathrm{ch}(at'_2)-1\bigr]+\frac{1}{a}\,\mathrm{sh}(at'_2)=\frac{1}{a}\,\left(e^{+at'_2}-1\right). \end{array} \right.</math></center>
+
<math>\textstyle \bullet</math> Представим теперь эскадру из двух космических кораблей, разделённых расстоянием <math>\textstyle x_0</math>, которая начинает ускоренное движение относительно инерциальной системы отсчёта <math>\textstyle S</math>. Пока корабли стояли в космопортах, их экипажи синхронизовали свои часы друг с другом и остальными наблюдателями в системе <math>\textstyle S</math>. Время на часах первого корабля, стартовавшего из <math>\textstyle x=0</math>, обозначим через <math>\textstyle t'</math>, а второго, стартовавшего из <math>\textstyle x=x_0</math>, через <math>\textstyle t''</math>. В инерциальной системе отсчёта время единое и равно <math>\textstyle t</math>. При <math>\textstyle t=t'=t''=0</math> корабли начинают равноускоренное движение, постоянно увеличивая свою скорость.
  
Если расстояние неизменно, то время движения сигнала "туда и обратно" <math>\textstyle \tau_0=t'_2-t'_1=const</math> не зависит от момента его посылки <math>\textstyle t'_1</math>. Вычитая уравнения системы, находим связь между <math>\textstyle e^{at'_1}</math>, <math>\textstyle t</math>, и <math>\textstyle \tau</math>:
+
<center>[[File:nonin_2space.png]]</center>
  
:<center><math>2at=e^{at'_1+a\tau_0}-e^{-at'_1}\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;e^{at'_1}=\left(at+\sqrt{e^{a\tau_0}+(at)^2}\right)\,e^{-a\tau_0}.</math></center>
+
Координата первого (левого) корабля, находящегося в начале системы <math>\textstyle S'</math> изменяется со временем в соответствии с (4.1)
 
 
В качестве решения выбран положительный корень, подставляя который во второе уравнение системы, получаем искомую траекторию <math>\textstyle f(t)</math>:
 
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> a\,f(t)=\sqrt{e^{a\tau_0}+(at)^2}-1=\sqrt{(1+ax_0)^2+(at)^2}-1, </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> x(t)=\frac{1}{a}\,\bigl[\sqrt{1+(at)^2}-1\bigr]=\frac{1}{a}\,\bigl[\mathrm{ch}(at')-1\bigr], </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.3)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
где в последнем равенстве учтено начальное условие <math>\textstyle f(0)=x_0</math>.
+
где во втором равенстве подставлено собственное время корабля (4.2).
  
Скорость второго корабля относительно неподвижной системы отсчёта <math>\textstyle S</math> равна <math>\textstyle u_2(t)=df(t)/dt</math>, поэтому:
+
''Жёсткая система отсчёта'' &mdash; это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию <math>\textstyle x(t)</math> начала системы отсчёта <math>\textstyle S'</math>. Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с ''их точки зрения''? Ответ "так же" не является верным. События, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы <math>\textstyle S</math>, то это ускорение не будет синхронным в <math>\textstyle S'</math>, и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками неинерциальной системы отсчёта <math>\textstyle S'</math> &mdash; ''понятие относительное''. Если наблюдатели в <math>\textstyle S'</math> "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе <math>\textstyle S</math> будут регистрировать, её сжатие в направлении движения. События (ускорительные импульсы корабля) по ходу движения в системе <math>\textstyle S'</math> происходят позже по сравнению с событиями расположенными против хода (см. [[Время]]), и второй корабль в системе <math>\textstyle S</math> разгоняется медленнее.
  
{| width="100%"  
+
Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется "радиолокационный метод". Один корабль посылает световой сигнал в сторону второго корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по ''локальным часам'' корабля не должно изменяться. Выясним, по какой траектории <math>\textstyle f(t)</math> должен двигаться второй корабль ''относительно системы'' <math>\textstyle S</math>, чтобы система отсчёта <math>\textstyle S'</math> ''для её экипажей'' была жесткой.
| width="90%" align="center"|<math> u_2(t) = \frac{at}{\sqrt{(1+ax_0)^2+(at)^2}},\;\;\;или\;\;\;\frac{u_2(t)}{\sqrt{1-u^2_2(t)}} = \frac{at}{1+ax_0}. </math>
 
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 
|}
 
  
Сравнивая это выражение с формулой равноускоренного движения (), стр. \pageref{uskor_mov_u}, приходим к выводу, что второй корабль также движется равноускоренно, но с ускорением <math>\textstyle a_2=a/(1+a x_0)</math>.
+
Расчёты проведём в неподвижной системе <math>\textstyle S</math>. Пусть первый корабль в момент времени <math>\textstyle t_1</math> отправляет вперёд световой сигнал, который достигает второго корабля в момент времени <math>\textstyle t</math>, отражается и возвращается обратно в момент времени <math>\textstyle t_2</math>:
  
<math>\textstyle \bullet</math> Как мы помним, экипажи космической эскадры договорились двигаться с одинаковым ускорением, сохраняя постоянное расстояние между кораблями. Разберёмся, почему ускорение второго корабля оказалось меньше (<math>\textstyle x_0>0</math>). Траектории обоих кораблей известны, поэтому можно записать показания часов каждого из них в момент времени <math>\textstyle t</math>:
+
<center>[[File:noninerframe1.png]]</center>
  
:<center><math>t=\frac{1}{a}\mathrm{sh}(at'),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t= \frac{1+ax_0}{a}\,\mathrm{sh}\left(\frac{at''}{1+ax_0}\right).</math></center>
+
Все времена измеряются по часам инерциальной системы отсчёта <math>\textstyle S</math>. Координата первого корабля равна <math>\textstyle x(t)</math>, см. (4.3), второго &mdash; <math>\textstyle f(t)</math>. Запишем время ухода <math>\textstyle t_1=\mathrm{ch}(at'_1)/a</math> и возвращения <math>\textstyle t_2=\mathrm{ch}(at'_2)/a</math> сигнала ''по часам первого корабля'' (<math>\textstyle t'_1</math> и <math>\textstyle t'_2</math>):
  
Естественно, время <math>\textstyle t'</math>, прошедшее на первом корабле, и <math>\textstyle t''</math> на втором сравнивается с ''различными'' часами, синхронизированными в системе <math>\textstyle S</math>.
+
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle f(t)-t =x(t_1) - t_1= \frac{1}{a}\,\bigl[\mathrm{ch}(at'_1)-1\bigr]-\frac{1}{a}\,\mathrm{ch}(at'_1)=\frac{1}{a}\,\left(e^{-at'_1}-1\right)\\[4mm] \displaystyle f(t)+t =x(t_2) + t_2= \frac{1}{a}\,\bigl[\mathrm{ch}(at'_2)-1\bigr]+\frac{1}{a}\,\mathrm{ch}(at'_2)=\frac{1}{a}\,\left(e^{+at'_2}-1\right). \end{array} \right.</math></center>
  
Пусть второй (правый) корабль посылает сигнал точного времени в направлении первого корабля. Он уходит в момент времени <math>\textstyle t''_1</math> и приходит к первому кораблю в момент <math>\textstyle t'_2</math>, проходя с единичной скоростью (<math>\textstyle c=1</math>) в системе <math>\textstyle S</math> расстояние <math>\textstyle f(t_1)-x(t_2)=t_2-t_1</math>, или <math>\textstyle f(t_1)+t_1=x(t_2)+t_2</math>. Запишем это уравнение во временах каждого корабля:
+
Если расстояние между кораблями неизменно, то время движения сигнала "туда и обратно" <math>\textstyle \tau_0=t'_2-t'_1=const</math> не зависит от момента его посылки <math>\textstyle t'_1</math>. Вычитая уравнения системы, находим:
  
:<center><math>(1+ax_0)\,\left[\mathrm{ch}\left(\frac{a\,t''_1}{1+ax_0}\right)+\mathrm{sh}\left(\frac{a\,t''_1}{1+ax_0}\right)\right] = \mathrm{ch}(a\,t'_2)+\mathrm{sh}(a\,t'_2).</math></center>
+
:<center><math>2at=e^{at'_2}-e^{-a\,(t'_2-\tau_0)}\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;e^{at'_2}=at+\sqrt{e^{a\tau_0}+(at)^2}.</math></center>
  
Выражая гиперболические косинус и синус через экспоненты, получаем линейную связь времён:
+
В качестве решения квадратного уравнения относительно <math>\textstyle e^{at'_2}</math> выбран положительный корень, подставляя который во второе уравнение системы, получаем искомую траекторию <math>\textstyle f(t)</math>:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> t'_2 = \frac{1}{a}\,\ln(1+ax_0)+\frac{t''_1}{1+ax_0}. </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> a\,f(t)=\sqrt{e^{a\tau_0}+(at)^2}-1=\sqrt{(1+ax_0)^2+(at)^2}-1, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.4)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Сигналы, отправленные через равные промежутки времени, по часам второго корабля будут также приходить через равные промежутки, однако с другим интервалом:
+
где в последнем равенстве учтено начальное условие <math>\textstyle f(0)=x_0</math>. Назовём ''радиолокационным расстоянием'' половину времени <math>\textstyle \tau_0</math> от движения сигнала в обе стороны:
  
:<center><math>\Delta t' = \frac{\Delta t''}{1+ax_0},\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\nu'=\nu'' \cdot(1+ax_0).</math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> x'_0 = \frac{t'_2-t'_1}{2} =\frac{\tau_0}{2} = \frac{1}{a}\ln(1+ax_0). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.5)'''</div>
 +
|}
  
Частота принятого сигнала <math>\textstyle \nu'</math> от удалённого наблюдателя равноускоренной системы отсчёта тем больше, чем дальше по направлению движения он находится.
+
Скорость второго корабля относительно неподвижной системы отсчёта <math>\textstyle S</math> равна <math>\textstyle u_2(t)=df(t)/dt</math>, поэтому:
 
 
Таким образом, если расстояние между наблюдателями в неинерциальной системе отсчета остаётся неизменным, то время у них течёт различным образом. Чем дальше по ходу движения находятся часы, тем быстрее на них идёт время. Второй корабль, стараясь двигаться с оговоренным ускорением, делает это по своим часам, которые идут быстрее, чем на первом корабле. В результате его скорость относительно системы <math>\textstyle S</math> оказывается меньше.
 
 
 
<math>\textstyle \bullet</math> Наблюдатели в ускоренной системе отсчёта чувствуют себя точно так же, как и мы на Земле, находясь в однородном поле силы тяжести. В частности, все объекты, "выпущенные из рук", ''независимо от их массы'' приобретают ускорение <math>\textstyle a</math>.
 
 
 
<center>[[File:equvalentnost.png]]</center>
 
 
 
Если, следуя Эйнштейну, считать, что равноускоренная система неотличима от однородного гравитационного поля, то полученная формула для частот должна выполняться и в земных условиях. В частности, приёмник, расположенный ниже источника эталонного излучения <math>\textstyle \nu_0</math>, должен получать сигнал с большей частотой <math>\textstyle \nu=\nu_0\cdot (1+gh/c^2)</math>, где <math>\textstyle g=9.8\;м/c^2</math>, а <math>\textstyle h</math> &mdash; высота расположения источника, и восстановлена константа "<math>\textstyle c</math>". Это соотношение с хорошей точностью подтвердилось в эксперименте Паунда и Ребки (1960 г.). Их установка имела высоту <math>\textstyle h=22.5\,м</math>, что соответствовало относительному изменению частоты <math>\textstyle gh/c^2=2.5\cdot 10^{-15}</math>, которое удалось измерить при помощи эффекта Мёсбауэра.
 
 
 
Слагаемое <math>\textstyle \ln(1+ax_0)/a</math> в формуле () &mdash; это время распространения света при передаче сигнала по часам первого корабля. Действительно, в () мы определили <math>\textstyle e^{a\tau_0/2}=1+ax_0</math>. Время движения "туда и обратно" светового импульса <math>\textstyle \tau_0=t'_2-t'_1</math> может быть принято первым кораблём за удвоенное расстояние <math>\textstyle x'</math> до второго корабля. С учётом времени на прохождение этого расстояния наблюдатели могут сравнить показания своих часов <math>\textstyle t'</math> и <math>\textstyle t</math>:
 
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> x'=\frac{\tau_0}{2}=\frac{1}{a}\,\ln(1+ax_0),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t'=\frac{t''}{1+ax_0}=t'' \, e^{-ax'}. </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> u_2(t) = \frac{at}{\sqrt{(1+ax_0)^2+(at)^2}},\;\;\;или\;\;\;\frac{u_2(t)}{\sqrt{1-u^2_2(t)}} = \frac{at}{1+ax_0}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.6)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
В результате событие, произошедшее на втором корабле в момент <math>\textstyle t''</math>, наблюдатель на первом ''может считать одновременным'' моменту <math>\textstyle t'=t''/(1+ax_0)</math> его часов, так как информация о нём достигнет первого корабля через время, равное расстоянию <math>\textstyle x'</math>.
+
Сравнивая это выражение с формулой [[Ускоренное движение|равноускоренного движения]] (2.19), приходим к выводу, что второй корабль также движется равноускоренно, но с собственным ускорением <math>\textstyle a_2=a/(1+a x_0)</math>.
 
 
Напомним, что расстояние между кораблями до старта равнялось <math>\textstyle x_0</math>. Как только появилось ускорение, пространство стало неизотропным и расстояние до второго корабля <math>\textstyle x_0\mapsto x'</math> ''уменьшилось'', и в дальнейшем уже не менялось. На самом деле, скачок расстояния наблюдатели обнаружат после старта, спустя некоторое время, необходимое для проведения его радиолокационного измерения. В момент отключения двигателей неинерциальная система отсчёта превращается в инерциальную, и пространство снова становится изотропным. Расстояние между кораблями увеличится с величины <math>\textstyle x'=\ln(1+ax_0)/a</math> до значения <math>\textstyle x_0</math> (см. ниже).
 
 
 
<math>\textstyle \bullet</math> Проанализируем, что произойдёт, если оба корабля эскадры, разогнавшись до скорости <math>\textstyle u</math> относительно системы <math>\textstyle S</math>, отключат двигатели, начав двигаться равномерно. Так как темп хода часов на каждом корабле различный, различным будет и время набора требуемой скорости. Будем считать, что <math>\textstyle a=1</math>, время измеряется в годах, а расстояние &mdash; в световых годах (<math>\textstyle c=1</math>). Пусть первый корабль по часам системы <math>\textstyle S</math> разгоняется в течение одного года <math>\textstyle t_1=1</math>, достигая скорости <math>\textstyle u=t/\sqrt{1+t_1^2} = 0.71.</math> По собственным часам корабля время ускоренного движения составило <math>\textstyle t'_1=\mathrm{ash}\,t_1)=0.88</math> года. Второй корабль, находящийся при старте на расстоянии одного светового года <math>\textstyle x_0=1</math>, достигнет этой же скорости (по часам системы <math>\textstyle S</math>) в <math>\textstyle 1+x_0</math> раза позже [см. ()]:
 
 
 
:<center><math>t_2=(1+x_0)\,\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}=(1+x_0)\,t_1=2,</math></center>
 
 
 
что соответствует его собственному времени <math>\textstyle t''_2</math>, равному:
 
 
 
:<center><math>t''_2=(1+x_0)\,\mathrm{ash}\,left(t_2/(1+x_0)\right)=(1+x_0)\, t'_1 = 1.76.</math></center>
 
 
 
Таким образом, по собственным часам второго корабля прошло в два раза больше времени, чем на первом.
 
 
 
Для экипажа первого корабля часы на втором корабле идут быстрее в <math>\textstyle 1+x_0</math> раз (). Поэтому в <math>\textstyle S'</math> корабли достигнут одинаковой скорости одновременно (в указанном ранее смысле). В то же время, для наблюдателей в <math>\textstyle S</math> события отключения двигателей неодновременные и отстоят друг от друга во времени на один год. В течение разгона часы второго корабля уходят вперёд по сравнению с часами первого корабля. После отключения двигателей система <math>\textstyle S'</math> превращается в инерциальную, и темп хода всех часов становится одинаковым. Однако экипаж флагманского корабля оказывается старше в <math>\textstyle 1+x_0</math> раз. В результате корабли вынуждены по-новому синхронизировать свои часы.
 
 
 
Расстояние между кораблями для наблюдателей в <math>\textstyle S</math> после отключения двигателей второго корабля в момент времени <math>\textstyle t_2</math> перестаёт изменяться и становится равным:
 
  
:<center><math>f(t_2)-[x(t_1)+u\cdot (t_2-t_1)]= x_0\sqrt{1-u^2}.</math></center>
+
== Литература ==
  
Второе слагаемое в квадратных скобках &mdash; это расстояние, которое прошёл первый корабль с постоянной скоростью <math>\textstyle u</math> после отключения двигателя. Таким образом, дистанция между кораблями (<math>\textstyle x_0\sqrt{1-u^2}</math>) уменьшилась по сравнению с той, которая была (<math>\textstyle x_0</math>), когда они стояли на космодромах. Это сокращение в точности соответствует лоренцевскому сжатию линейки.
+
<references />
  
 
----
 
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Ускоренное движение]] <<  
+
  | width="40%"|[[Мир элементарных частиц]] <<  
 
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
 
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
  | width="40%" align="right"| >> [[Неинерциальные координаты и время]]
+
  | width="40%" align="right"| >> [[Время и расстояние в равноускоренной системе]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Текущая версия на 09:36, 12 апреля 2011

Мир элементарных частиц << Оглавление >> Время и расстояние в равноускоренной системе

Рассмотрим систему , точка которой движется равноускоренно относительно инерциальной системы . Будем считать, что оси и параллельны и направлены в одну сторону. Во второй главе был найден закон движении релятивистски равноускоренной частицы, координата которой изменяется со временем следующим образом:

(4.1)

Будем считать, что начало системы (и наблюдатель находящийся в этой точке) движутся в соответствии с уравнением (4.1)

Nonin SSp.png

Основная особенность неинерциальной системы — это неизотропность пространства внутри неё. Точнее, пространство изотропно в плоскости , перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси .

Пусть ускорение невелико (хотя, возможно, велика скорость системы относительно ). Тогда наблюдатель, находящийся в начале системы , по крайней мере локально, воспринимает окружающие физические явления подобно "наблюдателю классической механики". В частности, он может пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Это означает, что игнорируется возможность их деформации или вводятся соответствующие поправки на упругость материала, из которого сделаны линейки. В результате линейки можно поворачивать, считая что они не изменяются при повороте из изотропной плоскости в направлении ускорения. Аналогично мы, находясь на поверхности Земли и испытывая ускорение , пользуемся "жёсткими" линейками в своей непосредственной окрестности.

Неизотропность приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся по прямолинейным траекториям. Эти траектории изгибаются в направлении, противоположном вектору ускорения. Естественно относительно инерциальной системы отсчёта они по-прежнему движутся равномерно и прямолинейно. Так как физика в инерциальной системе нам известна, можно описать и многие из явления, с точки зрения неинерциальных наблюдателей.

Кроме линеек наблюдателю необходимы часы. Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости . Например, это может быть шарик, катящийся без трения по круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов, которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси под воздействием постоянных сил инерции будут равномерно "тикать", а при переходе в инерциальную систему — сломаются, так как возникнет "невесомость".

Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует достаточно широкий класс синхронно идущих часов в данной точке пространства. Синхронность подразумевает, что законы движения частиц получаются одинаковыми при использовании различных часов. При этом, как и раньше, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят наиболее просто (см. Глава 1.). Например, координата свободно движущейся частицы, в силу изотропности пространства в плоскости , за равные промежутки времени должна изменяться на равные величины. Далее нам потребуется важное допущение о том, что

темп времени движущихся часов относительно неподвижных часов зависит только от их скорости и не зависит от ускорения.

Если в момент времени начала систем совпадали и скорость относительно была нулевой, то спустя некоторое время, связь показаний движущихся часов (находящихся в начале координат) и синхронизированых неподвижных, расставленых вдоль траектории движения будет иметь вид:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle t'=\frac{1}{a}\,\mathrm{ash}\,(at)\;\;\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;at=\mathrm{ch}(at'). }
(4.2)

Каким бы ни было значение , всегда можно выбрать малый интервал времени, при котором скорость ускоряющихся часов меняется незначительно, и их можно рассматривать как локально инерциальную систему отсчета. Это общее соображение имеет и экспериментальные подтверждения. Так, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе [1] в пределах относительной ошибки увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляет и время замедляется в раз. При 7 метровом радиусе кольца, ускорение достигает значений , где .



Представим теперь эскадру из двух космических кораблей, разделённых расстоянием , которая начинает ускоренное движение относительно инерциальной системы отсчёта . Пока корабли стояли в космопортах, их экипажи синхронизовали свои часы друг с другом и остальными наблюдателями в системе . Время на часах первого корабля, стартовавшего из , обозначим через , а второго, стартовавшего из , через . В инерциальной системе отсчёта время единое и равно . При корабли начинают равноускоренное движение, постоянно увеличивая свою скорость.

Nonin 2space.png

Координата первого (левого) корабля, находящегося в начале системы изменяется со временем в соответствии с (4.1)

(4.3)

где во втором равенстве подставлено собственное время корабля (4.2).

Жёсткая система отсчёта — это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию начала системы отсчёта . Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с их точки зрения? Ответ "так же" не является верным. События, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы , то это ускорение не будет синхронным в , и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками неинерциальной системы отсчёта понятие относительное. Если наблюдатели в "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе будут регистрировать, её сжатие в направлении движения. События (ускорительные импульсы корабля) по ходу движения в системе происходят позже по сравнению с событиями расположенными против хода (см. Время), и второй корабль в системе разгоняется медленнее.

Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется "радиолокационный метод". Один корабль посылает световой сигнал в сторону второго корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по локальным часам корабля не должно изменяться. Выясним, по какой траектории должен двигаться второй корабль относительно системы , чтобы система отсчёта для её экипажей была жесткой.

Расчёты проведём в неподвижной системе . Пусть первый корабль в момент времени отправляет вперёд световой сигнал, который достигает второго корабля в момент времени , отражается и возвращается обратно в момент времени :

Noninerframe1.png

Все времена измеряются по часам инерциальной системы отсчёта . Координата первого корабля равна , см. (4.3), второго — . Запишем время ухода и возвращения сигнала по часам первого корабля ( и ):

Если расстояние между кораблями неизменно, то время движения сигнала "туда и обратно" не зависит от момента его посылки . Вычитая уравнения системы, находим:

В качестве решения квадратного уравнения относительно выбран положительный корень, подставляя который во второе уравнение системы, получаем искомую траекторию :

(4.4)

где в последнем равенстве учтено начальное условие . Назовём радиолокационным расстоянием половину времени от движения сигнала в обе стороны:

(4.5)

Скорость второго корабля относительно неподвижной системы отсчёта равна , поэтому:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle u_2(t) = \frac{at}{\sqrt{(1+ax_0)^2+(at)^2}},\;\;\;или\;\;\;\frac{u_2(t)}{\sqrt{1-u^2_2(t)}} = \frac{at}{1+ax_0}. }
(4.6)

Сравнивая это выражение с формулой равноускоренного движения (2.19), приходим к выводу, что второй корабль также движется равноускоренно, но с собственным ускорением .

Литература

  1. Bailey J. et al. — "Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit", Nature, v.268, p.301-305 (1977)

Мир элементарных частиц << Оглавление >> Время и расстояние в равноускоренной системе

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии