Равноускоренная система отсчета — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
м (Защищена страница «Равноускоренная система отсчета» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
 
(не показано 20 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Ускоренное движение]] <<  
+
  | width="40%"|[[Мир элементарных частиц]] <<  
 
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
 
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
  | width="40%" align="right"| >> [[Неинерциальные координаты и время]]
+
  | width="40%" align="right"| >> [[Время и расстояние в равноускоренной системе]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 +
Рассмотрим систему <math>\textstyle S'</math>, точка <math>\textstyle x'=0</math> которой движется равноускоренно  относительно инерциальной системы <math>\textstyle S</math>. Будем считать, что оси <math>\textstyle x</math> и <math>\textstyle x'</math> параллельны и направлены в одну сторону. Во [[Ускоренное движение|второй главе]] был найден закон движении релятивистски равноускоренной частицы, координата которой изменяется со временем следующим образом:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> x(t)=\frac{1}{a}\,\bigl[\sqrt{1+(at)^2}-1\bigr]. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.1)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Будем считать, что начало системы <math>\textstyle S'</math> (и наблюдатель находящийся в этой точке) движутся в соответствии с уравнением (4.1)
 +
 +
<center>[[File:nonin_SSp.png]]</center>
 +
 +
Основная особенность неинерциальной системы &mdash; это неизотропность пространства внутри неё. Точнее, пространство изотропно в плоскости <math>\textstyle (y',z')</math>, перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси <math>\textstyle x'</math>.
 +
 +
Пусть ускорение невелико (хотя, возможно, велика скорость системы <math>\textstyle S'</math> относительно <math>\textstyle S</math>). Тогда наблюдатель, находящийся в начале системы <math>\textstyle S'</math>, по крайней мере локально, воспринимает окружающие физические явления подобно "наблюдателю классической механики". В частности, он может пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Это означает, что игнорируется возможность их деформации или вводятся соответствующие поправки на упругость материала, из которого сделаны линейки. В результате линейки можно поворачивать, считая что они не изменяются при повороте из изотропной плоскости <math>\textstyle (y',z')</math> в направлении ускорения. Аналогично мы, находясь на поверхности Земли и испытывая ускорение <math>\textstyle g=9.8\;m/s^2</math>, пользуемся "жёсткими" линейками в своей непосредственной окрестности.
 +
 +
Неизотропность приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся по прямолинейным траекториям. Эти траектории изгибаются в направлении, противоположном вектору ускорения. Естественно относительно инерциальной системы отсчёта они по-прежнему движутся равномерно и прямолинейно. Так как физика в инерциальной системе нам известна, можно описать и многие из явления, с точки зрения неинерциальных наблюдателей.
 +
 +
Кроме линеек наблюдателю необходимы часы. Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости <math>\textstyle (y',z')</math>. Например, это может быть шарик, катящийся без трения по круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов, которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси <math>\textstyle x'</math> под воздействием ''постоянных'' сил инерции будут ''равномерно'' "тикать", а при переходе в инерциальную систему &mdash; сломаются, так как возникнет "невесомость".
 +
 +
Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует достаточно широкий класс синхронно идущих часов в данной точке пространства. Синхронность подразумевает, что законы движения частиц получаются одинаковыми при использовании различных часов. При этом, как и раньше, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят [[Неподвижные наблюдатели|наиболее просто (см. Глава 1.)]]. Например, координата <math>\textstyle y'</math> свободно движущейся частицы, в силу изотропности пространства в плоскости <math>\textstyle (y',z')</math>, за равные промежутки времени должна изменяться на равные величины. Далее нам потребуется важное ''допущение'' о том, что <blockquote> темп времени движущихся часов относительно неподвижных часов зависит только от их скорости и ''не зависит от ускорения''. </blockquote> Если в момент времени <math>\textstyle t'=t=0</math> начала систем совпадали и скорость <math>\textstyle S'</math> относительно <math>\textstyle S</math> была нулевой, то спустя некоторое время, связь показаний движущихся часов <math>\textstyle t'</math> (находящихся в начале координат) и синхронизированых неподвижных, расставленых вдоль траектории движения [[Ускоренное движение|будет иметь вид]]:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> t'=\frac{1}{a}\,\mathrm{ash}\,(at)\;\;\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;at=\mathrm{ch}(at'). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.2)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Каким бы ни было значение <math>\textstyle a</math>, всегда можно выбрать малый интервал времени, при котором скорость ускоряющихся часов меняется незначительно, и их можно рассматривать как локально инерциальную систему отсчета. Это общее соображение имеет и экспериментальные подтверждения. Так, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе
 +
<ref>Bailey J. et al. &mdash; "''Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit''", Nature, v.268, p.301-305 (1977)
 +
</ref> в пределах относительной ошибки <math>\textstyle 2\cdot 10^{-3}</math> увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляет <math>\textstyle v=0.9994</math> и время замедляется в <math>\textstyle 1/\sqrt{1-v^2}=29</math> раз. При 7 метровом радиусе кольца, ускорение достигает значений <math>\textstyle a\sim 10^{18}\cdot g</math>, где <math>\textstyle g=9.8\,m/s^2</math>.
 +
 +
----
 +
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Представим теперь эскадру из двух космических кораблей, разделённых расстоянием <math>\textstyle x_0</math>, которая начинает ускоренное движение относительно инерциальной системы отсчёта <math>\textstyle S</math>. Пока корабли стояли в космопортах, их экипажи синхронизовали свои часы друг с другом и остальными наблюдателями в системе <math>\textstyle S</math>. Время на часах первого корабля, стартовавшего из <math>\textstyle x=0</math>, обозначим через <math>\textstyle t'</math>, а второго, стартовавшего из <math>\textstyle x=x_0</math>, через <math>\textstyle t''</math>. В инерциальной системе отсчёта время единое и равно <math>\textstyle t</math>. При <math>\textstyle t=t'=t''=0</math> корабли начинают равноускоренное движение, постоянно увеличивая свою скорость.
 +
 +
<center>[[File:nonin_2space.png]]</center>
 +
 +
Координата первого (левого) корабля, находящегося в начале системы <math>\textstyle S'</math> изменяется со временем в соответствии с (4.1)
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> x(t)=\frac{1}{a}\,\bigl[\sqrt{1+(at)^2}-1\bigr]=\frac{1}{a}\,\bigl[\mathrm{ch}(at')-1\bigr], </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.3)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где во втором равенстве подставлено собственное время корабля (4.2).
 +
 +
''Жёсткая система отсчёта'' &mdash; это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию <math>\textstyle x(t)</math> начала системы отсчёта <math>\textstyle S'</math>. Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с ''их точки зрения''? Ответ "так же" не является верным. События, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы <math>\textstyle S</math>, то это ускорение не будет синхронным в <math>\textstyle S'</math>, и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками неинерциальной системы отсчёта <math>\textstyle S'</math> &mdash; ''понятие относительное''. Если наблюдатели в <math>\textstyle S'</math> "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе <math>\textstyle S</math> будут регистрировать, её сжатие в направлении движения. События (ускорительные импульсы корабля) по ходу движения в системе <math>\textstyle S'</math> происходят позже по сравнению с событиями расположенными против хода (см. [[Время]]), и второй корабль в системе <math>\textstyle S</math> разгоняется медленнее.
 +
 +
Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется "радиолокационный метод". Один корабль посылает световой сигнал в сторону второго корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по ''локальным часам'' корабля не должно изменяться. Выясним, по какой траектории <math>\textstyle f(t)</math> должен двигаться второй корабль ''относительно системы'' <math>\textstyle S</math>, чтобы система отсчёта <math>\textstyle S'</math> ''для её экипажей'' была жесткой.
 +
 +
Расчёты проведём в неподвижной системе <math>\textstyle S</math>. Пусть первый корабль в момент времени <math>\textstyle t_1</math> отправляет вперёд световой сигнал, который достигает второго корабля в момент времени <math>\textstyle t</math>, отражается и возвращается обратно в момент времени <math>\textstyle t_2</math>:
 +
 +
<center>[[File:noninerframe1.png]]</center>
 +
 +
Все времена измеряются по часам инерциальной системы отсчёта <math>\textstyle S</math>. Координата первого корабля равна <math>\textstyle x(t)</math>, см. (4.3), второго &mdash; <math>\textstyle f(t)</math>. Запишем время ухода <math>\textstyle t_1=\mathrm{ch}(at'_1)/a</math> и возвращения <math>\textstyle t_2=\mathrm{ch}(at'_2)/a</math> сигнала ''по часам первого корабля'' (<math>\textstyle t'_1</math> и <math>\textstyle t'_2</math>):
 +
 +
:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle f(t)-t =x(t_1) - t_1= \frac{1}{a}\,\bigl[\mathrm{ch}(at'_1)-1\bigr]-\frac{1}{a}\,\mathrm{ch}(at'_1)=\frac{1}{a}\,\left(e^{-at'_1}-1\right)\\[4mm] \displaystyle f(t)+t =x(t_2) + t_2= \frac{1}{a}\,\bigl[\mathrm{ch}(at'_2)-1\bigr]+\frac{1}{a}\,\mathrm{ch}(at'_2)=\frac{1}{a}\,\left(e^{+at'_2}-1\right). \end{array} \right.</math></center>
 +
 +
Если расстояние между кораблями неизменно, то время движения сигнала "туда и обратно" <math>\textstyle \tau_0=t'_2-t'_1=const</math> не зависит от момента его посылки <math>\textstyle t'_1</math>. Вычитая уравнения системы, находим:
 +
 +
:<center><math>2at=e^{at'_2}-e^{-a\,(t'_2-\tau_0)}\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;e^{at'_2}=at+\sqrt{e^{a\tau_0}+(at)^2}.</math></center>
 +
 +
В качестве решения квадратного уравнения относительно <math>\textstyle e^{at'_2}</math> выбран положительный корень, подставляя который во второе уравнение системы, получаем искомую траекторию <math>\textstyle f(t)</math>:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> a\,f(t)=\sqrt{e^{a\tau_0}+(at)^2}-1=\sqrt{(1+ax_0)^2+(at)^2}-1, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.4)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где в последнем равенстве учтено начальное условие <math>\textstyle f(0)=x_0</math>. Назовём ''радиолокационным расстоянием'' половину времени <math>\textstyle \tau_0</math> от движения сигнала в обе стороны:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> x'_0 = \frac{t'_2-t'_1}{2} =\frac{\tau_0}{2} = \frac{1}{a}\ln(1+ax_0). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.5)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Скорость второго корабля относительно неподвижной системы отсчёта <math>\textstyle S</math> равна <math>\textstyle u_2(t)=df(t)/dt</math>, поэтому:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> u_2(t) = \frac{at}{\sqrt{(1+ax_0)^2+(at)^2}},\;\;\;или\;\;\;\frac{u_2(t)}{\sqrt{1-u^2_2(t)}} = \frac{at}{1+ax_0}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(4.6)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Сравнивая это выражение с формулой [[Ускоренное движение|равноускоренного движения]] (2.19), приходим к выводу, что второй корабль также движется равноускоренно, но с собственным ускорением <math>\textstyle a_2=a/(1+a x_0)</math>.
 +
 +
== Литература ==
 +
 +
<references />
  
 
----
 
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
  | width="40%"|[[Ускоренное движение]] <<  
+
  | width="40%"|[[Мир элементарных частиц]] <<  
 
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
 
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]]  
  | width="40%" align="right"| >> [[Неинерциальные координаты и время]]
+
  | width="40%" align="right"| >> [[Время и расстояние в равноускоренной системе]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Текущая версия на 09:36, 12 апреля 2011

Мир элементарных частиц << Оглавление >> Время и расстояние в равноускоренной системе

Рассмотрим систему , точка которой движется равноускоренно относительно инерциальной системы . Будем считать, что оси и параллельны и направлены в одну сторону. Во второй главе был найден закон движении релятивистски равноускоренной частицы, координата которой изменяется со временем следующим образом:

(4.1)

Будем считать, что начало системы (и наблюдатель находящийся в этой точке) движутся в соответствии с уравнением (4.1)

Nonin SSp.png

Основная особенность неинерциальной системы — это неизотропность пространства внутри неё. Точнее, пространство изотропно в плоскости , перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси .

Пусть ускорение невелико (хотя, возможно, велика скорость системы относительно ). Тогда наблюдатель, находящийся в начале системы , по крайней мере локально, воспринимает окружающие физические явления подобно "наблюдателю классической механики". В частности, он может пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Это означает, что игнорируется возможность их деформации или вводятся соответствующие поправки на упругость материала, из которого сделаны линейки. В результате линейки можно поворачивать, считая что они не изменяются при повороте из изотропной плоскости в направлении ускорения. Аналогично мы, находясь на поверхности Земли и испытывая ускорение , пользуемся "жёсткими" линейками в своей непосредственной окрестности.

Неизотропность приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся по прямолинейным траекториям. Эти траектории изгибаются в направлении, противоположном вектору ускорения. Естественно относительно инерциальной системы отсчёта они по-прежнему движутся равномерно и прямолинейно. Так как физика в инерциальной системе нам известна, можно описать и многие из явления, с точки зрения неинерциальных наблюдателей.

Кроме линеек наблюдателю необходимы часы. Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости . Например, это может быть шарик, катящийся без трения по круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов, которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси под воздействием постоянных сил инерции будут равномерно "тикать", а при переходе в инерциальную систему — сломаются, так как возникнет "невесомость".

Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует достаточно широкий класс синхронно идущих часов в данной точке пространства. Синхронность подразумевает, что законы движения частиц получаются одинаковыми при использовании различных часов. При этом, как и раньше, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят наиболее просто (см. Глава 1.). Например, координата свободно движущейся частицы, в силу изотропности пространства в плоскости , за равные промежутки времени должна изменяться на равные величины. Далее нам потребуется важное допущение о том, что

темп времени движущихся часов относительно неподвижных часов зависит только от их скорости и не зависит от ускорения.

Если в момент времени начала систем совпадали и скорость относительно была нулевой, то спустя некоторое время, связь показаний движущихся часов (находящихся в начале координат) и синхронизированых неподвижных, расставленых вдоль траектории движения будет иметь вид:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle t'=\frac{1}{a}\,\mathrm{ash}\,(at)\;\;\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;at=\mathrm{ch}(at'). }
(4.2)

Каким бы ни было значение , всегда можно выбрать малый интервал времени, при котором скорость ускоряющихся часов меняется незначительно, и их можно рассматривать как локально инерциальную систему отсчета. Это общее соображение имеет и экспериментальные подтверждения. Так, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе [1] в пределах относительной ошибки увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляет и время замедляется в раз. При 7 метровом радиусе кольца, ускорение достигает значений , где .



Представим теперь эскадру из двух космических кораблей, разделённых расстоянием , которая начинает ускоренное движение относительно инерциальной системы отсчёта . Пока корабли стояли в космопортах, их экипажи синхронизовали свои часы друг с другом и остальными наблюдателями в системе . Время на часах первого корабля, стартовавшего из , обозначим через , а второго, стартовавшего из , через . В инерциальной системе отсчёта время единое и равно . При корабли начинают равноускоренное движение, постоянно увеличивая свою скорость.

Nonin 2space.png

Координата первого (левого) корабля, находящегося в начале системы изменяется со временем в соответствии с (4.1)

(4.3)

где во втором равенстве подставлено собственное время корабля (4.2).

Жёсткая система отсчёта — это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию начала системы отсчёта . Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с их точки зрения? Ответ "так же" не является верным. События, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы , то это ускорение не будет синхронным в , и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками неинерциальной системы отсчёта понятие относительное. Если наблюдатели в "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе будут регистрировать, её сжатие в направлении движения. События (ускорительные импульсы корабля) по ходу движения в системе происходят позже по сравнению с событиями расположенными против хода (см. Время), и второй корабль в системе разгоняется медленнее.

Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется "радиолокационный метод". Один корабль посылает световой сигнал в сторону второго корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по локальным часам корабля не должно изменяться. Выясним, по какой траектории должен двигаться второй корабль относительно системы , чтобы система отсчёта для её экипажей была жесткой.

Расчёты проведём в неподвижной системе . Пусть первый корабль в момент времени отправляет вперёд световой сигнал, который достигает второго корабля в момент времени , отражается и возвращается обратно в момент времени :

Noninerframe1.png

Все времена измеряются по часам инерциальной системы отсчёта . Координата первого корабля равна , см. (4.3), второго — . Запишем время ухода и возвращения сигнала по часам первого корабля ( и ):

Если расстояние между кораблями неизменно, то время движения сигнала "туда и обратно" не зависит от момента его посылки . Вычитая уравнения системы, находим:

В качестве решения квадратного уравнения относительно выбран положительный корень, подставляя который во второе уравнение системы, получаем искомую траекторию :

(4.4)

где в последнем равенстве учтено начальное условие . Назовём радиолокационным расстоянием половину времени от движения сигнала в обе стороны:

(4.5)

Скорость второго корабля относительно неподвижной системы отсчёта равна , поэтому:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle u_2(t) = \frac{at}{\sqrt{(1+ax_0)^2+(at)^2}},\;\;\;или\;\;\;\frac{u_2(t)}{\sqrt{1-u^2_2(t)}} = \frac{at}{1+ax_0}. }
(4.6)

Сравнивая это выражение с формулой равноускоренного движения (2.19), приходим к выводу, что второй корабль также движется равноускоренно, но с собственным ускорением .

Литература

  1. Bailey J. et al. — "Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit", Nature, v.268, p.301-305 (1977)

Мир элементарных частиц << Оглавление >> Время и расстояние в равноускоренной системе

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии