Равноускоренная система отсчета — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 6 промежуточных версий этого же участника)
Строка 18: Строка 18:
 
Основная особенность неинерциальной системы &mdash; это неизотропность пространства внутри неё. Точнее, пространство изотропно в плоскости <math>\textstyle (y',z')</math>, перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси <math>\textstyle x'</math>.
 
Основная особенность неинерциальной системы &mdash; это неизотропность пространства внутри неё. Точнее, пространство изотропно в плоскости <math>\textstyle (y',z')</math>, перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси <math>\textstyle x'</math>.
  
Пусть ускорение невелико (хотя, возможно, велика скорость системы <math>\textstyle S'</math> относительно <math>\textstyle S</math>). Тогда наблюдатель, находящийся в начале системы <math>\textstyle S'</math>, по крайней мере локально, воспринимает окружающие физические явления подобно "наблюдателю классической механики". В частности, он может пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Это означает, что игнорируется возможность их деформации или вводятся соответствующие поправки на упругость материала, из которого сделаны линейки. В результате линейки можно поворачивать, считая что они не изменяются при повороте из изотропной плоскости <math>\textstyle (y',z')</math> в направлении ускорения. Аналогично мы, находясь на поверхности Земли и испытывая ускорение <math>\textstyle g=9.8\;м/c^2</math>, пользуемся "жёсткими" линейками в своей непосредственной окрестности.
+
Пусть ускорение невелико (хотя, возможно, велика скорость системы <math>\textstyle S'</math> относительно <math>\textstyle S</math>). Тогда наблюдатель, находящийся в начале системы <math>\textstyle S'</math>, по крайней мере локально, воспринимает окружающие физические явления подобно "наблюдателю классической механики". В частности, он может пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Это означает, что игнорируется возможность их деформации или вводятся соответствующие поправки на упругость материала, из которого сделаны линейки. В результате линейки можно поворачивать, считая что они не изменяются при повороте из изотропной плоскости <math>\textstyle (y',z')</math> в направлении ускорения. Аналогично мы, находясь на поверхности Земли и испытывая ускорение <math>\textstyle g=9.8\;m/s^2</math>, пользуемся "жёсткими" линейками в своей непосредственной окрестности.
  
 
Неизотропность приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся по прямолинейным траекториям. Эти траектории изгибаются в направлении, противоположном вектору ускорения. Естественно относительно инерциальной системы отсчёта они по-прежнему движутся равномерно и прямолинейно. Так как физика в инерциальной системе нам известна, можно описать и многие из явления, с точки зрения неинерциальных наблюдателей.
 
Неизотропность приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся по прямолинейным траекториям. Эти траектории изгибаются в направлении, противоположном вектору ускорения. Естественно относительно инерциальной системы отсчёта они по-прежнему движутся равномерно и прямолинейно. Так как физика в инерциальной системе нам известна, можно описать и многие из явления, с точки зрения неинерциальных наблюдателей.
  
Кроме линеек наблюдателю необходимы часы. Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости <math>\textstyle (y',z')</math>. Например, это может быть шарик, катящийся без трения по круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов, которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси <math>\textstyle x'</math> под воздействием ''постоянных'' сил инерции будут ''равномерно''"тикать", а при переходе в инерциальную систему &mdash; сломаются, так как возникнет "невесомость".
+
Кроме линеек наблюдателю необходимы часы. Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости <math>\textstyle (y',z')</math>. Например, это может быть шарик, катящийся без трения по круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов, которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси <math>\textstyle x'</math> под воздействием ''постоянных'' сил инерции будут ''равномерно'' "тикать", а при переходе в инерциальную систему &mdash; сломаются, так как возникнет "невесомость".
  
Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует достаточно широкий класс синхронно идущих часов в данной точке пространства. Синхронность подразумевает, что законы движения частиц получаются одинаковыми при использовании различных часов. При этом, как и раньше, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят наиболее просто (стр. \pageref{princip_simplisity}). Например, координата <math>\textstyle y'</math> свободно движущейся частицы, в силу изотропности пространства в плоскости <math>\textstyle (y',z')</math>, за равные промежутки времени должна изменяться на равные величины. Далее нам потребуется важное ''допущение'' о том, что <blockquote> темп времени движущихся часов относительно неподвижных часов зависит только от их скорости и ''не зависит от ускорения''. </blockquote> Если в момент времени <math>\textstyle t'=t=0</math> начала систем совпадали и скорость <math>\textstyle S'</math> относительно <math>\textstyle S</math> была нулевой, то спустя некоторое время, связь показаний движущихся часов <math>\textstyle t'</math> (находящихся в начале координат) и синхронизированых неподвижных, расставленых вдоль траектории движения будет иметь [[Ускоренное движение|вид]]:
+
Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует достаточно широкий класс синхронно идущих часов в данной точке пространства. Синхронность подразумевает, что законы движения частиц получаются одинаковыми при использовании различных часов. При этом, как и раньше, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят [[Неподвижные наблюдатели|наиболее просто (см. Глава 1.)]]. Например, координата <math>\textstyle y'</math> свободно движущейся частицы, в силу изотропности пространства в плоскости <math>\textstyle (y',z')</math>, за равные промежутки времени должна изменяться на равные величины. Далее нам потребуется важное ''допущение'' о том, что <blockquote> темп времени движущихся часов относительно неподвижных часов зависит только от их скорости и ''не зависит от ускорения''. </blockquote> Если в момент времени <math>\textstyle t'=t=0</math> начала систем совпадали и скорость <math>\textstyle S'</math> относительно <math>\textstyle S</math> была нулевой, то спустя некоторое время, связь показаний движущихся часов <math>\textstyle t'</math> (находящихся в начале координат) и синхронизированых неподвижных, расставленых вдоль траектории движения [[Ускоренное движение|будет иметь вид]]:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
Строка 31: Строка 31:
 
  |}
 
  |}
  
Каким бы ни было значение <math>\textstyle a</math>, всегда можно выбрать малый интервал времени, при котором скорость ускоряющихся часов меняется незначительно, и их можно рассматривать как локально инерциальную систему отсчета. Это общее соображение имеет и экспериментальные подтверждения. Так, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе \cite{Bailey1977} в пределах относительной ошибки <math>\textstyle 2\cdot 10^{-3}</math> увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляет <math>\textstyle v=0.9994</math> и время замедляется в <math>\textstyle 1/\sqrt{1-v^2}=29</math> раз. При 7 метровом радиусе кольца, ускорение достигает значений <math>\textstyle a\sim 10^{18}\cdot g</math>, где <math>\textstyle g=9.8\,м/с^2</math>.
+
Каким бы ни было значение <math>\textstyle a</math>, всегда можно выбрать малый интервал времени, при котором скорость ускоряющихся часов меняется незначительно, и их можно рассматривать как локально инерциальную систему отсчета. Это общее соображение имеет и экспериментальные подтверждения. Так, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе
 +
<ref>Bailey J. et al. &mdash; "''Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit''", Nature, v.268, p.301-305 (1977)
 +
</ref> в пределах относительной ошибки <math>\textstyle 2\cdot 10^{-3}</math> увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляет <math>\textstyle v=0.9994</math> и время замедляется в <math>\textstyle 1/\sqrt{1-v^2}=29</math> раз. При 7 метровом радиусе кольца, ускорение достигает значений <math>\textstyle a\sim 10^{18}\cdot g</math>, где <math>\textstyle g=9.8\,m/s^2</math>.
  
 
----
 
----
Строка 49: Строка 51:
 
где во втором равенстве подставлено собственное время корабля (4.2).
 
где во втором равенстве подставлено собственное время корабля (4.2).
  
''Жёсткая система отсчёта'' &mdash; это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию <math>\textstyle x(t)</math> начала системы отсчёта <math>\textstyle S'</math>. Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с ''их точки зрения''? Ответ "так же" не является верным. События, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы <math>\textstyle S</math>, то это ускорение не будет синхронным в <math>\textstyle S'</math>, и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками неинерциальной системы отсчёта <math>\textstyle S'</math> &mdash; ''понятие относительное''. Если наблюдатели в <math>\textstyle S'</math> "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе <math>\textstyle S</math> будут регистрировать, её сжатие в направлении движения. События (ускорительные импульсы корабля) по ходу движения в системе <math>\textstyle S'</math> происходят позже по сравнению с событиями расположенными против хода (стр. \pageref{delta_lorenz1}), и второй корабль в системе <math>\textstyle S</math> разгоняется медленнее.
+
''Жёсткая система отсчёта'' &mdash; это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию <math>\textstyle x(t)</math> начала системы отсчёта <math>\textstyle S'</math>. Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с ''их точки зрения''? Ответ "так же" не является верным. События, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы <math>\textstyle S</math>, то это ускорение не будет синхронным в <math>\textstyle S'</math>, и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками неинерциальной системы отсчёта <math>\textstyle S'</math> &mdash; ''понятие относительное''. Если наблюдатели в <math>\textstyle S'</math> "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе <math>\textstyle S</math> будут регистрировать, её сжатие в направлении движения. События (ускорительные импульсы корабля) по ходу движения в системе <math>\textstyle S'</math> происходят позже по сравнению с событиями расположенными против хода (см. [[Время]]), и второй корабль в системе <math>\textstyle S</math> разгоняется медленнее.
  
 
Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется "радиолокационный метод". Один корабль посылает световой сигнал в сторону второго корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по ''локальным часам'' корабля не должно изменяться. Выясним, по какой траектории <math>\textstyle f(t)</math> должен двигаться второй корабль ''относительно системы'' <math>\textstyle S</math>, чтобы система отсчёта <math>\textstyle S'</math> ''для её экипажей'' была жесткой.
 
Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется "радиолокационный метод". Один корабль посылает световой сигнал в сторону второго корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по ''локальным часам'' корабля не должно изменяться. Выясним, по какой траектории <math>\textstyle f(t)</math> должен двигаться второй корабль ''относительно системы'' <math>\textstyle S</math>, чтобы система отсчёта <math>\textstyle S'</math> ''для её экипажей'' была жесткой.
Строка 87: Строка 89:
  
 
Сравнивая это выражение с формулой [[Ускоренное движение|равноускоренного движения]] (2.19), приходим к выводу, что второй корабль также движется равноускоренно, но с собственным ускорением <math>\textstyle a_2=a/(1+a x_0)</math>.
 
Сравнивая это выражение с формулой [[Ускоренное движение|равноускоренного движения]] (2.19), приходим к выводу, что второй корабль также движется равноускоренно, но с собственным ускорением <math>\textstyle a_2=a/(1+a x_0)</math>.
 +
 +
== Литература ==
 +
 +
<references />
  
 
----
 
----

Текущая версия на 09:36, 12 апреля 2011

Мир элементарных частиц << Оглавление >> Время и расстояние в равноускоренной системе

Рассмотрим систему , точка которой движется равноускоренно относительно инерциальной системы . Будем считать, что оси и параллельны и направлены в одну сторону. Во второй главе был найден закон движении релятивистски равноускоренной частицы, координата которой изменяется со временем следующим образом:

(4.1)

Будем считать, что начало системы (и наблюдатель находящийся в этой точке) движутся в соответствии с уравнением (4.1)

Nonin SSp.png

Основная особенность неинерциальной системы — это неизотропность пространства внутри неё. Точнее, пространство изотропно в плоскости , перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси .

Пусть ускорение невелико (хотя, возможно, велика скорость системы относительно ). Тогда наблюдатель, находящийся в начале системы , по крайней мере локально, воспринимает окружающие физические явления подобно "наблюдателю классической механики". В частности, он может пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Это означает, что игнорируется возможность их деформации или вводятся соответствующие поправки на упругость материала, из которого сделаны линейки. В результате линейки можно поворачивать, считая что они не изменяются при повороте из изотропной плоскости в направлении ускорения. Аналогично мы, находясь на поверхности Земли и испытывая ускорение , пользуемся "жёсткими" линейками в своей непосредственной окрестности.

Неизотропность приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся по прямолинейным траекториям. Эти траектории изгибаются в направлении, противоположном вектору ускорения. Естественно относительно инерциальной системы отсчёта они по-прежнему движутся равномерно и прямолинейно. Так как физика в инерциальной системе нам известна, можно описать и многие из явления, с точки зрения неинерциальных наблюдателей.

Кроме линеек наблюдателю необходимы часы. Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости . Например, это может быть шарик, катящийся без трения по круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов, которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси под воздействием постоянных сил инерции будут равномерно "тикать", а при переходе в инерциальную систему — сломаются, так как возникнет "невесомость".

Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует достаточно широкий класс синхронно идущих часов в данной точке пространства. Синхронность подразумевает, что законы движения частиц получаются одинаковыми при использовании различных часов. При этом, как и раньше, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят наиболее просто (см. Глава 1.). Например, координата свободно движущейся частицы, в силу изотропности пространства в плоскости , за равные промежутки времени должна изменяться на равные величины. Далее нам потребуется важное допущение о том, что

темп времени движущихся часов относительно неподвижных часов зависит только от их скорости и не зависит от ускорения.

Если в момент времени начала систем совпадали и скорость относительно была нулевой, то спустя некоторое время, связь показаний движущихся часов (находящихся в начале координат) и синхронизированых неподвижных, расставленых вдоль траектории движения будет иметь вид:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle t'=\frac{1}{a}\,\mathrm{ash}\,(at)\;\;\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;at=\mathrm{ch}(at'). }
(4.2)

Каким бы ни было значение , всегда можно выбрать малый интервал времени, при котором скорость ускоряющихся часов меняется незначительно, и их можно рассматривать как локально инерциальную систему отсчета. Это общее соображение имеет и экспериментальные подтверждения. Так, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе [1] в пределах относительной ошибки увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляет и время замедляется в раз. При 7 метровом радиусе кольца, ускорение достигает значений , где .



Представим теперь эскадру из двух космических кораблей, разделённых расстоянием , которая начинает ускоренное движение относительно инерциальной системы отсчёта . Пока корабли стояли в космопортах, их экипажи синхронизовали свои часы друг с другом и остальными наблюдателями в системе . Время на часах первого корабля, стартовавшего из , обозначим через , а второго, стартовавшего из , через . В инерциальной системе отсчёта время единое и равно . При корабли начинают равноускоренное движение, постоянно увеличивая свою скорость.

Nonin 2space.png

Координата первого (левого) корабля, находящегося в начале системы изменяется со временем в соответствии с (4.1)

(4.3)

где во втором равенстве подставлено собственное время корабля (4.2).

Жёсткая система отсчёта — это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию начала системы отсчёта . Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с их точки зрения? Ответ "так же" не является верным. События, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы , то это ускорение не будет синхронным в , и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками неинерциальной системы отсчёта понятие относительное. Если наблюдатели в "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе будут регистрировать, её сжатие в направлении движения. События (ускорительные импульсы корабля) по ходу движения в системе происходят позже по сравнению с событиями расположенными против хода (см. Время), и второй корабль в системе разгоняется медленнее.

Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется "радиолокационный метод". Один корабль посылает световой сигнал в сторону второго корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по локальным часам корабля не должно изменяться. Выясним, по какой траектории должен двигаться второй корабль относительно системы , чтобы система отсчёта для её экипажей была жесткой.

Расчёты проведём в неподвижной системе . Пусть первый корабль в момент времени отправляет вперёд световой сигнал, который достигает второго корабля в момент времени , отражается и возвращается обратно в момент времени :

Noninerframe1.png

Все времена измеряются по часам инерциальной системы отсчёта . Координата первого корабля равна , см. (4.3), второго — . Запишем время ухода и возвращения сигнала по часам первого корабля ( и ):

Если расстояние между кораблями неизменно, то время движения сигнала "туда и обратно" не зависит от момента его посылки . Вычитая уравнения системы, находим:

В качестве решения квадратного уравнения относительно выбран положительный корень, подставляя который во второе уравнение системы, получаем искомую траекторию :

(4.4)

где в последнем равенстве учтено начальное условие . Назовём радиолокационным расстоянием половину времени от движения сигнала в обе стороны:

(4.5)

Скорость второго корабля относительно неподвижной системы отсчёта равна , поэтому:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle u_2(t) = \frac{at}{\sqrt{(1+ax_0)^2+(at)^2}},\;\;\;или\;\;\;\frac{u_2(t)}{\sqrt{1-u^2_2(t)}} = \frac{at}{1+ax_0}. }
(4.6)

Сравнивая это выражение с формулой равноускоренного движения (2.19), приходим к выводу, что второй корабль также движется равноускоренно, но с собственным ускорением .

Литература

  1. Bailey J. et al. — "Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit", Nature, v.268, p.301-305 (1977)

Мир элементарных частиц << Оглавление >> Время и расстояние в равноускоренной системе

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии