Простые стохастические модели — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
Строка 37: | Строка 37: | ||
Заметим, что необходимо решительно бороться с искушением "по обычному" обращаться со стохастическими уравнениями. Например, разделив () на <math>\textstyle x</math>, нельзя внести его под дифференциал: <math>\textstyle dx/x \neq d\ln x</math>. Для подобных действий служит лемма Ито () по которой для процесса логарифмического блуждания <math>\textstyle d(\ln x)=(\mu-\sigma^2/2)\,dt + \sigma \, \delta W</math>. Фактически, при помощи этой замены, найденной по алгоритму стр. \pageref{ito_main_def}, мы и получили решение (). | Заметим, что необходимо решительно бороться с искушением "по обычному" обращаться со стохастическими уравнениями. Например, разделив () на <math>\textstyle x</math>, нельзя внести его под дифференциал: <math>\textstyle dx/x \neq d\ln x</math>. Для подобных действий служит лемма Ито () по которой для процесса логарифмического блуждания <math>\textstyle d(\ln x)=(\mu-\sigma^2/2)\,dt + \sigma \, \delta W</math>. Фактически, при помощи этой замены, найденной по алгоритму стр. \pageref{ito_main_def}, мы и получили решение (). | ||
− | Ниже на левом рисунке приведены логарифмические блуждания с нулевым сносом: <math>\textstyle dx = x\delta W</math>. Видно, как они, прижимаясь к <math>\textstyle x=0</math>, тем не менее, остаются в положительной области. В результате получается несимметричное распределение для <math>\textstyle x</math>, которое в данном случае имеет логнормальный вид. Справа динамика дополнена детерминированным сносом: <math>\textstyle dx = 0.05\cdot x\cdot (dt + \delta W)</math>. Она имеет ярко выраженный экспоненциальный рост со стохастическими колебаниями вокруг экспоненты. | + | Ниже на левом рисунке приведены логарифмические блуждания с нулевым сносом: <math>\textstyle dx = x\delta W</math>. Видно, как они, прижимаясь к <math>\textstyle x=0</math>, тем не менее, остаются в положительной области. В результате получается несимметричное распределение для <math>\textstyle x</math>, которое в данном случае имеет логнормальный вид. Справа динамика дополнена детерминированным сносом: <math>\textstyle dx = 0.05\cdot x\cdot (dt + \delta W)</math>. Она имеет ярко выраженный экспоненциальный рост со стохастическими колебаниями вокруг экспоненты. |
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | [[File:log_winer.png]] | ||
+ | </center> | ||
+ | Эти два примера напоминают нам, что стохастические процессы могут быть как малыми поправками к детерминированной динамике (справа), так и основной сутью исследуемой системы (слева). | ||
Введя винеровский процесс <math>\textstyle W_t=W(t)=\varepsilon\sqrt{t}</math>, решение для логарифмического блуждания можно записать в следующем виде: | Введя винеровский процесс <math>\textstyle W_t=W(t)=\varepsilon\sqrt{t}</math>, решение для логарифмического блуждания можно записать в следующем виде: | ||
Строка 83: | Строка 88: | ||
Наличие равновесного уровня в модели Орнштейна-Уленбека полезно для различных финансовых приложений. Например, в случае курсов валют <math>\textstyle \alpha</math> может быть паритетом покупательной способности (<math>\textstyle \lessdot</math> C), а для процентной ставки - её долгосрочным значением. | Наличие равновесного уровня в модели Орнштейна-Уленбека полезно для различных финансовых приложений. Например, в случае курсов валют <math>\textstyle \alpha</math> может быть паритетом покупательной способности (<math>\textstyle \lessdot</math> C), а для процентной ставки - её долгосрочным значением. | ||
− | Примеры реализаций блуждания Орнштейна-Уленбека при различных параметрах приведены ниже. На левом рисунке <math>\textstyle \beta=0.1</math>, <math>\textstyle \sigma=0.1</math>. На правом — <math>\textstyle \beta=1</math>, <math>\textstyle \sigma=0.5</math>. Величина <math>\textstyle \alpha</math> в обоих случаях равна единице. | + | Примеры реализаций блуждания Орнштейна-Уленбека при различных параметрах приведены ниже. На левом рисунке <math>\textstyle \beta=0.1</math>, <math>\textstyle \sigma=0.1</math>. На правом — <math>\textstyle \beta=1</math>, <math>\textstyle \sigma=0.5</math>. Величина <math>\textstyle \alpha</math> в обоих случаях равна единице. |
+ | <center> | ||
+ | [[File:ol.png]] | ||
+ | </center> | ||
Необходимо помнить, что, если решение выражено через винеровскую переменную <math>\textstyle W_t</math>, её всегда можно переписать через гауссову случайную величину, заменив <math>\textstyle W_t=\varepsilon\sqrt{t}</math>. Обратное, вообще говоря, не верно. Если в решении есть <math>\textstyle \varepsilon</math>, нельзя его выразить через <math>\textstyle W_t</math>, подставив <math>\textstyle \varepsilon\to W_t/\sqrt{t}</math>. В качестве упражнения имеет смысл проверить, что подобная замена в (<math>\textstyle </math>) приводит к случайной функции, не удовлетворяющей (). | Необходимо помнить, что, если решение выражено через винеровскую переменную <math>\textstyle W_t</math>, её всегда можно переписать через гауссову случайную величину, заменив <math>\textstyle W_t=\varepsilon\sqrt{t}</math>. Обратное, вообще говоря, не верно. Если в решении есть <math>\textstyle \varepsilon</math>, нельзя его выразить через <math>\textstyle W_t</math>, подставив <math>\textstyle \varepsilon\to W_t/\sqrt{t}</math>. В качестве упражнения имеет смысл проверить, что подобная замена в (<math>\textstyle </math>) приводит к случайной функции, не удовлетворяющей (). | ||
Строка 160: | Строка 168: | ||
:<center><math>x(t) = \alpha + (x_0-\alpha)\, \frac {T-t}{T-t_0} + \sigma\, \sqrt{\frac{(t-t_0)(T-t)}{T-t_0}}\cdot \varepsilon.</math></center> | :<center><math>x(t) = \alpha + (x_0-\alpha)\, \frac {T-t}{T-t_0} + \sigma\, \sqrt{\frac{(t-t_0)(T-t)}{T-t_0}}\cdot \varepsilon.</math></center> | ||
− | Среднее процесса при <math>\textstyle t\to T</math> стремится к <math>\textstyle \alpha</math>. При этом волатильность оказывается равной нулю. Это означает, что <math>\textstyle x(t)</math> ''гарантированно'' в процессе блуждания достигает равновесного значения <math>\textstyle x(T)=\alpha</math>: | + | Среднее процесса при <math>\textstyle t\to T</math> стремится к <math>\textstyle \alpha</math>. При этом волатильность оказывается равной нулю. Это означает, что <math>\textstyle x(t)</math> ''гарантированно'' в процессе блуждания достигает равновесного значения <math>\textstyle x(T)=\alpha</math>: |
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | [[File:bridge.eps]] | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | На рисунках в обоих случаях <math>\textstyle \alpha=1</math>. Слева <math>\textstyle \sigma=0.1</math>, справа <math>\textstyle \sigma=0.05</math>. Соединение начального условия <math>\textstyle x_0=x(0)</math> и "конечного" <math>\textstyle x(T)=\alpha</math> стохастическими траекториями и дало живописное название процессу. | ||
Можно рассмотреть броуновский мост в более общем случае, с произвольными коэффициентами, зависящими от времени: | Можно рассмотреть броуновский мост в более общем случае, с произвольными коэффициентами, зависящими от времени: |
Версия 18:36, 9 марта 2010
Точные решения уравнения Ито << | Оглавление | >> Представление стохастических решений |
---|
Логарифмическое блуждание определяется уравнением:
(EQN)
|
где и — константы модели. Часто () называют геометрическим или экспоненциальным броуновским блужданием.
Если стохастического члена нет (), то это обычное уравнение экспоненциального роста () или снижения ():
Подобная зависимость возникает во многих физических, биологических и социальных системах, от радиоактивного распада до роста экономики.
Случайное воздействие вносит в гладкую динамику определённые коррективы. Подставим функции сноса и волатильности в условие совместности () на стр. \pageref{ito_main_def}. В результате для получается тривиальное уравнение , где точка сверху обозначает производную по времени. Следовательно, — это константа, которую удобно выбрать равной . Интегрирование первого уравнения () даёт , и, соответственно, функция равна . Окончательное решение () имеет вид:
(EQN)
|
Если в процессе Винера может "уползти" при блуждании в область отрицательных значений , то для логарифмической модели это невозможно. Подобное свойство можно было ожидать сразу по виду (). По мере приближения к значению снос и волатильность уменьшаются. В результате динамика как бы замораживается при .
Используя интеграл () на стр. \pageref{aver_exp_gauss}, легко вычислить среднее значение и волатильность в произвольный момент времени:
Заметим, что необходимо решительно бороться с искушением "по обычному" обращаться со стохастическими уравнениями. Например, разделив () на , нельзя внести его под дифференциал: . Для подобных действий служит лемма Ито () по которой для процесса логарифмического блуждания . Фактически, при помощи этой замены, найденной по алгоритму стр. \pageref{ito_main_def}, мы и получили решение ().
Ниже на левом рисунке приведены логарифмические блуждания с нулевым сносом: . Видно, как они, прижимаясь к , тем не менее, остаются в положительной области. В результате получается несимметричное распределение для , которое в данном случае имеет логнормальный вид. Справа динамика дополнена детерминированным сносом: . Она имеет ярко выраженный экспоненциальный рост со стохастическими колебаниями вокруг экспоненты.
Эти два примера напоминают нам, что стохастические процессы могут быть как малыми поправками к детерминированной динамике (справа), так и основной сутью исследуемой системы (слева).
Введя винеровский процесс , решение для логарифмического блуждания можно записать в следующем виде:
Действительно, производные для равны:
Винеровское блуждание имеет нулевой снос и единичную волатильность . Поэтому по лемме Ито () имеем:
Роль теперь играет процесс , а функция — это .
Задавая различные функции , удовлетворяющие начальному условию , можно найти целый класс точно решаемых стохастических уравнений. После подстановки в лемму Ито необходимо исключить , заменив её на , где — обратная к функция. Кроме этого константа должна сократиться, так как это "внешнее" к динамике условие и "порядочное уравнение" не должно зависеть от него. В качестве упражнения стоит проверить решения () — () из Справочника (стр. \pageref{r_exact_from_W_1}). К сожалению, чаще таким методом получаются уравнения, в которых снос зависит от волатильности шума, что не очень естественно для практических приложений.
Процесс Орнштейна - Уленбека:
(EQN)
|
описывает блуждание, в котором притягивается к уровню, определяемому константой . При этом волатильность считается постоянной. Если , то снос становится заметно отрицательным и тянет процесс вниз. При опускании ниже снос оказывается положительным и в среднем поднимает вверх. Параметр характеризует величину "силы притяжения" к равновесному значению .
Условие совместности () даёт уравнение . Решая его и первое уравнение () для , мы каждый раз выбираем константы интегрирования наиболее "удобным способом", так как начальные условия уже учтены в (), а нам необходимо найти простейшую замену, исключающую из сноса и волатильности:
В результате решение записывается в следующем виде ():
(EQN)
|
Несложно увидеть, что оказывается гауссово распределённой величиной со средним и дисперсией, зависящими от времени.
Если , то среднее при больших временах стремится к равновесному уровню . Волатильность становится равной . При винеровском или логарифмическом блуждании может уйти как угодно далеко от своего начального значения . Для процесса () "заперта" в статистическом коридоре с шириной, равной двойной волатильности .
При малых процесс Орнштейна-Уленбека по своему поведению становится очень близким к обычному винеровскому блужданию. Траектория достаточно долго блуждает выше или ниже , не уходя, тем не менее, на бесконечность. Волатильность стремится к , и тем больше, чем меньше . Следовательно, характерный коридор, в котором происходит блуждание, при малых расширяется. Если и , и достаточно большие, часто пересекает равновесный уровень, начиная напоминать обычный белый шум.
Наличие равновесного уровня в модели Орнштейна-Уленбека полезно для различных финансовых приложений. Например, в случае курсов валют может быть паритетом покупательной способности ( C), а для процентной ставки - её долгосрочным значением.
Примеры реализаций блуждания Орнштейна-Уленбека при различных параметрах приведены ниже. На левом рисунке , . На правом — , . Величина в обоих случаях равна единице.
Необходимо помнить, что, если решение выражено через винеровскую переменную , её всегда можно переписать через гауссову случайную величину, заменив . Обратное, вообще говоря, не верно. Если в решении есть , нельзя его выразить через , подставив . В качестве упражнения имеет смысл проверить, что подобная замена в () приводит к случайной функции, не удовлетворяющей ().
Можно объединить положительность и его притяжение к равновесному уровню в следующей логарифмической модели с притяжением:
(EQN)
|
Если , то снос отрицательный, а при — положительный. Множитель "замораживает" динамику при приближении к . Для этой модели несложно найти точное решение ( H).
На самом деле логарифмическая модель с притяжением является простой деформацией процесса Орнштейна-Уленбека. Действительно, если удовлетворяет уравнению (), то несложно проверить, что будет удовлетворять (). Уравнение () так же соотносится с (), как логарифмическое блуждание с процессом Винера.
Ещё одну модель уместно назвать броуновской ловушкой:
(EQN)
|
Член со сносом обеспечивает притяжение к уровню , в окрестности которого волатильность становится очень маленькой, а динамика — детерминированной. В результате процесс рано или поздно гарантированно притягивается к значению ( H).
Можно рассмотреть общее стационарное уравнение, снос и волатильность которого не зависят от времени:
Условие совместности записывается следующим образом:
(EQN)
|
где штрих производная по , точка — по времени, и опущены аргументы у функций. Левая часть зависит только от времени, правая — только от , поэтому это выражение равно некоторой константе, которую мы обозначили через . Проинтегрировав это уравнение, найдём связь между сносом и волатильностью:
где — ещё один параметр.
Если — мы приходим к уравнению Орнштейна-Уленбека (), стр. \pageref{equat_OU}. Для точно решаемой задачей является логарифмическая модель с притяжением (), частным случаем которой является логарифмическое блуждание. При снос должен явным образом зависеть от :
Решение такого уравнения имеет вид (, ):
Если , или сноса при блуждании нет , то условие совместности () упрощается:
Умножая его на интегрирующий множитель , получаем решение в неявной форме:
где и — константы интегрирования.
Броуновский мост. Рассмотрим теперь уравнение Ито со сносом, зависящим не только от , но и от времени :
(EQN)
|
Константа — это выделенное время в будущем (), когда снос становится бесконечным. Условие совместности даёт:
(EQN)
|
В результате получаем решение в следующем виде ():
Среднее процесса при стремится к . При этом волатильность оказывается равной нулю. Это означает, что гарантированно в процессе блуждания достигает равновесного значения :
На рисунках в обоих случаях . Слева , справа . Соединение начального условия и "конечного" стохастическими траекториями и дало живописное название процессу.
Можно рассмотреть броуновский мост в более общем случае, с произвольными коэффициентами, зависящими от времени:
Условия совместности дают:
Для частного выбора , , , где , и — константы модели, получаем решение в следующем виде ():
Заданием функции можно добиться произвольного выгиба "моста" вверх или вниз.
Точные решения уравнения Ито << | Оглавление | >> Представление стохастических решений |
---|
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения