Простые стохастические модели — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
м (Защищена страница «Простые стохастические модели» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
Строка 5: Строка 5:
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 +
  
 
<math>\textstyle \bullet</math> ''Логарифмическое блуждание'' определяется уравнением:
 
<math>\textstyle \bullet</math> ''Логарифмическое блуждание'' определяется уравнением:
  
:<center><math> { \;\;dx = \mu \,x\,dt + \sigma\,x\,\delta W\; }, </math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> { \;\;dx = \mu \,x\,dt + \sigma\,x\,\delta W\; }, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
 
где <math>\textstyle \mu</math> и <math>\textstyle \sigma</math> &mdash; константы модели. Часто () называют геометрическим или экспоненциальным броуновским блужданием.
 
где <math>\textstyle \mu</math> и <math>\textstyle \sigma</math> &mdash; константы модели. Часто () называют геометрическим или экспоненциальным броуновским блужданием.
Строка 20: Строка 24:
 
Случайное воздействие вносит в гладкую динамику определённые коррективы. Подставим функции сноса <math>\textstyle a(x,t)=\mu\,x</math> и волатильности <math>\textstyle b(x,t)=\sigma\,x</math> в условие совместности () на стр. \pageref{ito_main_def}. В результате для <math>\textstyle s(t)</math> получается тривиальное уравнение <math>\textstyle \dot{s}(t)=0</math>, где точка сверху обозначает производную по времени. Следовательно, <math>\textstyle s(t)</math> &mdash; это константа, которую удобно выбрать равной <math>\textstyle \sigma</math>. Интегрирование первого уравнения () даёт <math>\textstyle F(x,t)=\ln x</math>, и, соответственно, функция <math>\textstyle f(t)</math> равна <math>\textstyle \mu-\sigma^2/2</math>. Окончательное решение (<math>\textstyle t_0=0</math>) имеет вид:
 
Случайное воздействие вносит в гладкую динамику определённые коррективы. Подставим функции сноса <math>\textstyle a(x,t)=\mu\,x</math> и волатильности <math>\textstyle b(x,t)=\sigma\,x</math> в условие совместности () на стр. \pageref{ito_main_def}. В результате для <math>\textstyle s(t)</math> получается тривиальное уравнение <math>\textstyle \dot{s}(t)=0</math>, где точка сверху обозначает производную по времени. Следовательно, <math>\textstyle s(t)</math> &mdash; это константа, которую удобно выбрать равной <math>\textstyle \sigma</math>. Интегрирование первого уравнения () даёт <math>\textstyle F(x,t)=\ln x</math>, и, соответственно, функция <math>\textstyle f(t)</math> равна <math>\textstyle \mu-\sigma^2/2</math>. Окончательное решение (<math>\textstyle t_0=0</math>) имеет вид:
  
:<center><math> x(t)= x_0\, e^{\left(\mu -\sigma^2/2 \right)\, t + \sigma\sqrt{t}\, \varepsilon}. </math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> x(t)= x_0\, e^{\left(\mu -\sigma^2/2 \right)\, t + \sigma\sqrt{t}\, \varepsilon}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
 
Если в процессе Винера <math>\textstyle x</math> может "уползти" при блуждании в область отрицательных значений <math>\textstyle x<0</math>, то для логарифмической модели это невозможно. Подобное свойство можно было ожидать сразу по виду (). По мере приближения к значению <math>\textstyle x=0</math> снос и волатильность уменьшаются. В результате динамика как бы замораживается при <math>\textstyle x\to 0</math>.
 
Если в процессе Винера <math>\textstyle x</math> может "уползти" при блуждании в область отрицательных значений <math>\textstyle x<0</math>, то для логарифмической модели это невозможно. Подобное свойство можно было ожидать сразу по виду (). По мере приближения к значению <math>\textstyle x=0</math> снос и волатильность уменьшаются. В результате динамика как бы замораживается при <math>\textstyle x\to 0</math>.
  
Используя [[Нормальное распределение|интеграл]], легко вычислить среднее значение и волатильность в произвольный момент времени:
+
Используя интеграл () на стр. \pageref{aver_exp_gauss}, легко вычислить среднее значение и волатильность в произвольный момент времени:
  
 
:<center><math>\bar{x}(t)=x_0\,e^{\mu t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma_x(t)=\bar{x}(t) \cdot \sqrt{e^{\sigma^2 t}-1} .</math></center>
 
:<center><math>\bar{x}(t)=x_0\,e^{\mu t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma_x(t)=\bar{x}(t) \cdot \sqrt{e^{\sigma^2 t}-1} .</math></center>
  
Заметим, что необходимо решительно бороться с искушением "по обычному" обращаться со стохастическими уравнениями. Например, разделив () на <math>\textstyle x</math>, нельзя внести его под дифференциал: <math>\textstyle dx/x \neq d\ln x</math>. Для подобных действий служит лемма Ито () по которой для процесса логарифмического блуждания <math>\textstyle d(\ln x)=(\mu-\sigma^2/2)\,dt + \sigma \, \delta W</math>. Фактически, при помощи этой замены, найденной по [[Точные решения уравнения Ито|алгоритму]], мы и получили решение ().
+
Заметим, что необходимо решительно бороться с искушением "по обычному" обращаться со стохастическими уравнениями. Например, разделив () на <math>\textstyle x</math>, нельзя внести его под дифференциал: <math>\textstyle dx/x \neq d\ln x</math>. Для подобных действий служит лемма Ито () по которой для процесса логарифмического блуждания <math>\textstyle d(\ln x)=(\mu-\sigma^2/2)\,dt + \sigma \, \delta W</math>. Фактически, при помощи этой замены, найденной по алгоритму стр. \pageref{ito_main_def}, мы и получили решение ().
  
Ниже на левом рисунке приведены логарифмические блуждания с нулевым сносом: <math>\textstyle dx = x\delta W</math>. Видно, как они, прижимаясь к <math>\textstyle x=0</math>, тем не менее, остаются в положительной области. В результате получается несимметричное распределение для <math>\textstyle x</math>, которое в данном случае имеет логнормальный вид. Справа динамика дополнена детерминированным сносом: <math>\textstyle dx = 0.05\cdot x\cdot (dt + \delta W)</math>. Она имеет ярко выраженный экспоненциальный рост со стохастическими колебаниями вокруг экспоненты.  
+
Ниже на левом рисунке приведены логарифмические блуждания с нулевым сносом: <math>\textstyle dx = x\delta W</math>. Видно, как они, прижимаясь к <math>\textstyle x=0</math>, тем не менее, остаются в положительной области. В результате получается несимметричное распределение для <math>\textstyle x</math>, которое в данном случае имеет логнормальный вид. Справа динамика дополнена детерминированным сносом: <math>\textstyle dx = 0.05\cdot x\cdot (dt + \delta W)</math>. Она имеет ярко выраженный экспоненциальный рост со стохастическими колебаниями вокруг экспоненты. \includegraphics{pic/log_winer.eps}\\ Эти два примера напоминают нам, что стохастические процессы могут быть как малыми поправками к детерминированной динамике (справа), так и основной сутью исследуемой системы (слева).
<center>
 
[[File:log_winer.png]]
 
</center>
 
Эти два примера напоминают нам, что стохастические процессы могут быть как малыми поправками к детерминированной динамике (справа), так и основной сутью исследуемой системы (слева).
 
  
 
Введя винеровский процесс <math>\textstyle W_t=W(t)=\varepsilon\sqrt{t}</math>, решение для логарифмического блуждания можно записать в следующем виде:
 
Введя винеровский процесс <math>\textstyle W_t=W(t)=\varepsilon\sqrt{t}</math>, решение для логарифмического блуждания можно записать в следующем виде:
Строка 50: Строка 53:
 
Роль <math>\textstyle x</math> теперь играет процесс <math>\textstyle W</math>, а функция <math>\textstyle F</math> &mdash; это <math>\textstyle x</math>.
 
Роль <math>\textstyle x</math> теперь играет процесс <math>\textstyle W</math>, а функция <math>\textstyle F</math> &mdash; это <math>\textstyle x</math>.
  
Задавая различные функции <math>\textstyle x=F(t, W_t)</math>, удовлетворяющие начальному условию <math>\textstyle x_0=F(0, 0)</math>, можно найти целый класс точно решаемых стохастических уравнений. После подстановки <math>\textstyle F(t, W_t)</math> в лемму Ито необходимо исключить <math>\textstyle W_t</math>, заменив её на <math>\textstyle W_t=G(t, x)</math>, где <math>\textstyle G</math> &mdash; обратная к <math>\textstyle F</math> функция. Кроме этого константа <math>\textstyle x_0</math> должна сократиться, так как это "внешнее" к динамике условие и "порядочное уравнение" не должно зависеть от него. К сожалению, чаще таким методом получаются уравнения, в которых снос зависит от волатильности шума, что не очень естественно для практических приложений.
+
Задавая различные функции <math>\textstyle x=F(t, W_t)</math>, удовлетворяющие начальному условию <math>\textstyle x_0=F(0, 0)</math>, можно найти целый класс точно решаемых стохастических уравнений. После подстановки <math>\textstyle F(t, W_t)</math> в лемму Ито необходимо исключить <math>\textstyle W_t</math>, заменив её на <math>\textstyle W_t=G(t, x)</math>, где <math>\textstyle G</math> &mdash; обратная к <math>\textstyle F</math> функция. Кроме этого константа <math>\textstyle x_0</math> должна сократиться, так как это "внешнее" к динамике условие и "порядочное уравнение" не должно зависеть от него. В качестве упражнения стоит проверить решения (<math>\textstyle \mathbf{R}_{}</math>) &mdash; (<math>\textstyle \mathbf{R}_{}</math>) из Справочника (стр. \pageref{r_exact_from_W_1}). К сожалению, чаще таким методом получаются уравнения, в которых снос зависит от волатильности шума, что не очень естественно для практических приложений.
  
 
<math>\textstyle \bullet</math> ''Процесс Орнштейна - Уленбека'':
 
<math>\textstyle \bullet</math> ''Процесс Орнштейна - Уленбека'':
  
:<center><math> { \;dx = -\beta\cdot (x-\alpha)\,dt + \sigma\,\delta W } </math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> { \;dx = -\beta\cdot (x-\alpha)\,dt + \sigma\,\delta W } </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
 
описывает блуждание, в котором <math>\textstyle x</math> притягивается к уровню, определяемому константой <math>\textstyle \alpha</math>. При этом волатильность <math>\textstyle \sigma</math> считается постоянной. Если <math>\textstyle x\gg\alpha</math>, то снос становится заметно отрицательным и тянет процесс вниз. При опускании <math>\textstyle x</math> ниже <math>\textstyle \alpha</math> снос оказывается положительным и в среднем поднимает <math>\textstyle x(t)</math> вверх. Параметр <math>\textstyle \beta>0</math> характеризует величину "силы притяжения" к равновесному значению <math>\textstyle \alpha</math>.
 
описывает блуждание, в котором <math>\textstyle x</math> притягивается к уровню, определяемому константой <math>\textstyle \alpha</math>. При этом волатильность <math>\textstyle \sigma</math> считается постоянной. Если <math>\textstyle x\gg\alpha</math>, то снос становится заметно отрицательным и тянет процесс вниз. При опускании <math>\textstyle x</math> ниже <math>\textstyle \alpha</math> снос оказывается положительным и в среднем поднимает <math>\textstyle x(t)</math> вверх. Параметр <math>\textstyle \beta>0</math> характеризует величину "силы притяжения" к равновесному значению <math>\textstyle \alpha</math>.
Строка 64: Строка 70:
 
В результате решение записывается в следующем виде (<math>\textstyle t_0=0</math>):
 
В результате решение записывается в следующем виде (<math>\textstyle t_0=0</math>):
  
:<center><math> x(t) = \alpha + \bigl(x_0-\alpha\bigr) e^{-\beta t} + \frac{\sigma}{\sqrt{2\beta}}\, \sqrt{1-e^{-2\beta t}}\cdot \; \varepsilon. </math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> x(t) = \alpha + \bigl(x_0-\alpha\bigr) e^{-\beta t} + \frac{\sigma}{\sqrt{2\beta}}\, \sqrt{1-e^{-2\beta t}}\cdot \; \varepsilon. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
 
Несложно увидеть, что <math>\textstyle x(t)</math> оказывается гауссово распределённой величиной со средним и дисперсией, зависящими от времени.
 
Несложно увидеть, что <math>\textstyle x(t)</math> оказывается гауссово распределённой величиной со средним и дисперсией, зависящими от времени.
Строка 72: Строка 81:
 
При малых <math>\textstyle \beta</math> процесс Орнштейна-Уленбека по своему поведению становится очень близким к обычному винеровскому блужданию. Траектория <math>\textstyle x(t)</math> достаточно долго блуждает выше или ниже <math>\textstyle \alpha</math>, не уходя, тем не менее, на бесконечность. Волатильность стремится к <math>\textstyle \sigma/\sqrt{2\beta}</math>, и тем больше, чем меньше <math>\textstyle \beta</math>. Следовательно, характерный коридор, в котором происходит блуждание, при малых <math>\textstyle \beta</math> расширяется. Если и <math>\textstyle \sigma</math>, и <math>\textstyle \beta</math> достаточно большие, <math>\textstyle x(t)</math> часто пересекает равновесный уровень, начиная напоминать обычный белый шум.
 
При малых <math>\textstyle \beta</math> процесс Орнштейна-Уленбека по своему поведению становится очень близким к обычному винеровскому блужданию. Траектория <math>\textstyle x(t)</math> достаточно долго блуждает выше или ниже <math>\textstyle \alpha</math>, не уходя, тем не менее, на бесконечность. Волатильность стремится к <math>\textstyle \sigma/\sqrt{2\beta}</math>, и тем больше, чем меньше <math>\textstyle \beta</math>. Следовательно, характерный коридор, в котором происходит блуждание, при малых <math>\textstyle \beta</math> расширяется. Если и <math>\textstyle \sigma</math>, и <math>\textstyle \beta</math> достаточно большие, <math>\textstyle x(t)</math> часто пересекает равновесный уровень, начиная напоминать обычный белый шум.
  
Наличие равновесного уровня в модели Орнштейна-Уленбека полезно для различных финансовых приложений. Например, в случае курсов валют <math>\textstyle \alpha</math> может быть паритетом покупательной способности, а для процентной ставки - её долгосрочным значением.
+
Наличие равновесного уровня в модели Орнштейна-Уленбека полезно для различных финансовых приложений. Например, в случае курсов валют <math>\textstyle \alpha</math> может быть паритетом покупательной способности (<math>\textstyle \lessdot</math> C), а для процентной ставки - её долгосрочным значением.
  
Примеры реализаций блуждания Орнштейна-Уленбека при различных параметрах приведены ниже. На левом рисунке <math>\textstyle \beta=0.1</math>, <math>\textstyle \sigma=0.1</math>. На правом &mdash; <math>\textstyle \beta=1</math>, <math>\textstyle \sigma=0.5</math>. Величина <math>\textstyle \alpha</math> в обоих случаях равна единице.  
+
Примеры реализаций блуждания Орнштейна-Уленбека при различных параметрах приведены ниже. На левом рисунке <math>\textstyle \beta=0.1</math>, <math>\textstyle \sigma=0.1</math>. На правом &mdash; <math>\textstyle \beta=1</math>, <math>\textstyle \sigma=0.5</math>. Величина <math>\textstyle \alpha</math> в обоих случаях равна единице. \includegraphics{pic/ol.eps}\\
<center>
 
[[File:ol.png]]
 
</center>
 
  
Необходимо помнить, что, если решение выражено через винеровскую переменную <math>\textstyle W_t</math>, её всегда можно переписать через гауссову случайную величину, заменив <math>\textstyle W_t=\varepsilon\sqrt{t}</math>. Обратное, вообще говоря, не верно. Если в решении есть <math>\textstyle \varepsilon</math>, нельзя его выразить через <math>\textstyle W_t</math>, подставив <math>\textstyle \varepsilon\to W_t/\sqrt{t}</math>. В качестве упражнения имеет смысл проверить, что подобная замена в () приводит к случайной функции, не удовлетворяющей ().
+
Необходимо помнить, что, если решение выражено через винеровскую переменную <math>\textstyle W_t</math>, её всегда можно переписать через гауссову случайную величину, заменив <math>\textstyle W_t=\varepsilon\sqrt{t}</math>. Обратное, вообще говоря, не верно. Если в решении есть <math>\textstyle \varepsilon</math>, нельзя его выразить через <math>\textstyle W_t</math>, подставив <math>\textstyle \varepsilon\to W_t/\sqrt{t}</math>. В качестве упражнения имеет смысл проверить, что подобная замена в (<math>\textstyle </math>) приводит к случайной функции, не удовлетворяющей ().
  
 
Можно объединить положительность <math>\textstyle x</math> и его притяжение к равновесному уровню в следующей логарифмической модели с притяжением:
 
Можно объединить положительность <math>\textstyle x</math> и его притяжение к равновесному уровню в следующей логарифмической модели с притяжением:
  
:<center><math> dx = -\beta \cdot x\cdot\left(\ln \frac{x}{\alpha} - 1\right)\, dt + \sigma \,x \,\delta W. </math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> dx = -\beta \cdot x\cdot\left(\ln \frac{x}{\alpha} - 1\right)\, dt + \sigma \,x \,\delta W. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Если <math>\textstyle x>\alpha</math>, то снос отрицательный, а при <math>\textstyle x<\alpha</math> &mdash; положительный. Множитель <math>\textstyle x</math> "замораживает" динамику при приближении к <math>\textstyle x=0</math>. Для этой модели несложно найти точное решение.
+
Если <math>\textstyle x>\alpha</math>, то снос отрицательный, а при <math>\textstyle x<\alpha</math> &mdash; положительный. Множитель <math>\textstyle x</math> "замораживает" динамику при приближении к <math>\textstyle x=0</math>. Для этой модели несложно найти точное решение (<math>\textstyle \lessdot</math> H).
  
 
На самом деле логарифмическая модель с притяжением является простой деформацией процесса Орнштейна-Уленбека. Действительно, если <math>\textstyle x</math> удовлетворяет уравнению (), то несложно проверить, что <math>\textstyle y=e^x</math> будет удовлетворять (). Уравнение () так же соотносится с (), как логарифмическое блуждание с процессом Винера.
 
На самом деле логарифмическая модель с притяжением является простой деформацией процесса Орнштейна-Уленбека. Действительно, если <math>\textstyle x</math> удовлетворяет уравнению (), то несложно проверить, что <math>\textstyle y=e^x</math> будет удовлетворять (). Уравнение () так же соотносится с (), как логарифмическое блуждание с процессом Винера.
Строка 91: Строка 100:
 
Ещё одну модель уместно назвать ''броуновской ловушкой'':
 
Ещё одну модель уместно назвать ''броуновской ловушкой'':
  
:<center><math> dx = -\beta \cdot (x-\alpha)\,dt \;+\; \sigma \cdot(x-\alpha) \, \delta W. </math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> dx = -\beta \cdot (x-\alpha)\,dt \;+\; \sigma \cdot(x-\alpha) \, \delta W. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
Член со сносом обеспечивает притяжение к уровню <math>\textstyle x=\alpha</math>, в окрестности которого волатильность становится очень маленькой, а динамика &mdash; детерминированной. В результате процесс рано или поздно гарантированно притягивается к значению <math>\textstyle x=\alpha</math>.
+
Член со сносом обеспечивает притяжение к уровню <math>\textstyle x=\alpha</math>, в окрестности которого волатильность становится очень маленькой, а динамика &mdash; детерминированной. В результате процесс рано или поздно гарантированно притягивается к значению <math>\textstyle x=\alpha</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H).
  
 
<math>\textstyle \bullet</math> Можно рассмотреть общее ''стационарное уравнение'', снос и волатильность которого не зависят от времени:
 
<math>\textstyle \bullet</math> Можно рассмотреть общее ''стационарное уравнение'', снос и волатильность которого не зависят от времени:
Строка 101: Строка 113:
 
Условие совместности записывается следующим образом:
 
Условие совместности записывается следующим образом:
  
:<center><math> \frac{\dot{s}(t)}{s(t)} = \frac{1}{2} \,b\cdot b'' - b \cdot \left(\frac{a}{b}\right)' = \gamma, </math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{\dot{s}(t)}{s(t)} = \frac{1}{2} \,b\cdot b'' - b \cdot \left(\frac{a}{b}\right)' = \gamma, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
 
где штрих производная по <math>\textstyle x</math>, точка &mdash; по времени, и опущены аргументы у функций. Левая часть зависит только от времени, правая &mdash; только от <math>\textstyle x</math>, поэтому это выражение равно некоторой константе, которую мы обозначили через <math>\textstyle \gamma</math>. Проинтегрировав это уравнение, найдём связь между сносом и волатильностью:
 
где штрих производная по <math>\textstyle x</math>, точка &mdash; по времени, и опущены аргументы у функций. Левая часть зависит только от времени, правая &mdash; только от <math>\textstyle x</math>, поэтому это выражение равно некоторой константе, которую мы обозначили через <math>\textstyle \gamma</math>. Проинтегрировав это уравнение, найдём связь между сносом и волатильностью:
Строка 129: Строка 144:
 
<math>\textstyle \bullet</math> ''Броуновский мост''. Рассмотрим теперь уравнение Ито со сносом, зависящим не только от <math>\textstyle x</math>, но и от времени <math>\textstyle t</math>:
 
<math>\textstyle \bullet</math> ''Броуновский мост''. Рассмотрим теперь уравнение Ито со сносом, зависящим не только от <math>\textstyle x</math>, но и от времени <math>\textstyle t</math>:
  
:<center><math> { \;dx = -\frac{x-\alpha}{T-t} \, dt + \sigma\,\delta W\; }. </math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> { \;dx = -\frac{x-\alpha}{T-t} \, dt + \sigma\,\delta W\; }. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
 
Константа <math>\textstyle T</math> &mdash; это выделенное время в будущем (<math>\textstyle t<T</math>), когда снос становится бесконечным. Условие совместности даёт:
 
Константа <math>\textstyle T</math> &mdash; это выделенное время в будущем (<math>\textstyle t<T</math>), когда снос становится бесконечным. Условие совместности даёт:
  
:<center><math> s(t)=\frac{\sigma}{T-t},\;\;\;\;\;\;F(x,t)= \frac{x}{T-t},\;\;\;\;\;\;\;f(t)=\frac{\alpha}{(T-t)^2}. </math></center>
+
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> s(t)=\frac{\sigma}{T-t},\;\;\;\;\;\;F(x,t)= \frac{x}{T-t},\;\;\;\;\;\;\;f(t)=\frac{\alpha}{(T-t)^2}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
  
 
В результате получаем решение в следующем виде (<math>\textstyle x_0=x(t_0)</math>):
 
В результате получаем решение в следующем виде (<math>\textstyle x_0=x(t_0)</math>):
Строка 139: Строка 160:
 
:<center><math>x(t) = \alpha + (x_0-\alpha)\, \frac {T-t}{T-t_0} + \sigma\, \sqrt{\frac{(t-t_0)(T-t)}{T-t_0}}\cdot \varepsilon.</math></center>
 
:<center><math>x(t) = \alpha + (x_0-\alpha)\, \frac {T-t}{T-t_0} + \sigma\, \sqrt{\frac{(t-t_0)(T-t)}{T-t_0}}\cdot \varepsilon.</math></center>
  
Среднее процесса при <math>\textstyle t\to T</math> стремится к <math>\textstyle \alpha</math>. При этом волатильность оказывается равной нулю. Это означает, что <math>\textstyle x(t)</math> ''гарантированно'' в процессе блуждания достигает равновесного значения <math>\textstyle x(T)=\alpha</math>:  
+
Среднее процесса при <math>\textstyle t\to T</math> стремится к <math>\textstyle \alpha</math>. При этом волатильность оказывается равной нулю. Это означает, что <math>\textstyle x(t)</math> ''гарантированно'' в процессе блуждания достигает равновесного значения <math>\textstyle x(T)=\alpha</math>: \includegraphics{pic/bridge.eps}\\ На рисунках в обоих случаях <math>\textstyle \alpha=1</math>. Слева <math>\textstyle \sigma=0.1</math>, справа <math>\textstyle \sigma=0.05</math>. Соединение начального условия <math>\textstyle x_0=x(0)</math> и "конечного" <math>\textstyle x(T)=\alpha</math> стохастическими траекториями и дало живописное название процессу.
<center>
 
[[File:bridge.png]]
 
</center>
 
На рисунках в обоих случаях <math>\textstyle \alpha=1</math>. Слева <math>\textstyle \sigma=0.1</math>, справа <math>\textstyle \sigma=0.05</math>. Соединение начального условия <math>\textstyle x_0=x(0)</math> и "конечного" <math>\textstyle x(T)=\alpha</math> стохастическими траекториями и дало живописное название процессу.
 
  
 
Можно рассмотреть броуновский мост в более общем случае, с произвольными коэффициентами, зависящими от времени:
 
Можно рассмотреть броуновский мост в более общем случае, с произвольными коэффициентами, зависящими от времени:
Строка 158: Строка 175:
  
 
Заданием функции <math>\textstyle \alpha(t)</math> можно добиться произвольного выгиба "моста" вверх или вниз.
 
Заданием функции <math>\textstyle \alpha(t)</math> можно добиться произвольного выгиба "моста" вверх или вниз.
 +
 +
 
----
 
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   

Версия 18:34, 9 марта 2010

Точные решения уравнения Ито << Оглавление >> Представление стохастических решений


Логарифмическое блуждание определяется уравнением:

(EQN)

где и — константы модели. Часто () называют геометрическим или экспоненциальным броуновским блужданием.

Если стохастического члена нет (), то это обычное уравнение экспоненциального роста () или снижения ():

Подобная зависимость возникает во многих физических, биологических и социальных системах, от радиоактивного распада до роста экономики.

Случайное воздействие вносит в гладкую динамику определённые коррективы. Подставим функции сноса и волатильности в условие совместности () на стр. \pageref{ito_main_def}. В результате для получается тривиальное уравнение , где точка сверху обозначает производную по времени. Следовательно, — это константа, которую удобно выбрать равной . Интегрирование первого уравнения () даёт , и, соответственно, функция равна . Окончательное решение () имеет вид:

(EQN)

Если в процессе Винера может "уползти" при блуждании в область отрицательных значений , то для логарифмической модели это невозможно. Подобное свойство можно было ожидать сразу по виду (). По мере приближения к значению снос и волатильность уменьшаются. В результате динамика как бы замораживается при .

Используя интеграл () на стр. \pageref{aver_exp_gauss}, легко вычислить среднее значение и волатильность в произвольный момент времени:

Заметим, что необходимо решительно бороться с искушением "по обычному" обращаться со стохастическими уравнениями. Например, разделив () на , нельзя внести его под дифференциал: . Для подобных действий служит лемма Ито () по которой для процесса логарифмического блуждания . Фактически, при помощи этой замены, найденной по алгоритму стр. \pageref{ito_main_def}, мы и получили решение ().

Ниже на левом рисунке приведены логарифмические блуждания с нулевым сносом: . Видно, как они, прижимаясь к , тем не менее, остаются в положительной области. В результате получается несимметричное распределение для , которое в данном случае имеет логнормальный вид. Справа динамика дополнена детерминированным сносом: . Она имеет ярко выраженный экспоненциальный рост со стохастическими колебаниями вокруг экспоненты. \includegraphics{pic/log_winer.eps}\\ Эти два примера напоминают нам, что стохастические процессы могут быть как малыми поправками к детерминированной динамике (справа), так и основной сутью исследуемой системы (слева).

Введя винеровский процесс , решение для логарифмического блуждания можно записать в следующем виде:

Действительно, производные для равны:

Винеровское блуждание имеет нулевой снос и единичную волатильность . Поэтому по лемме Ито () имеем:

Роль теперь играет процесс , а функция — это .

Задавая различные функции , удовлетворяющие начальному условию , можно найти целый класс точно решаемых стохастических уравнений. После подстановки в лемму Ито необходимо исключить , заменив её на , где — обратная к функция. Кроме этого константа должна сократиться, так как это "внешнее" к динамике условие и "порядочное уравнение" не должно зависеть от него. В качестве упражнения стоит проверить решения () — () из Справочника (стр. \pageref{r_exact_from_W_1}). К сожалению, чаще таким методом получаются уравнения, в которых снос зависит от волатильности шума, что не очень естественно для практических приложений.

Процесс Орнштейна - Уленбека:

(EQN)

описывает блуждание, в котором притягивается к уровню, определяемому константой . При этом волатильность считается постоянной. Если , то снос становится заметно отрицательным и тянет процесс вниз. При опускании ниже снос оказывается положительным и в среднем поднимает вверх. Параметр характеризует величину "силы притяжения" к равновесному значению .

Условие совместности () даёт уравнение . Решая его и первое уравнение () для , мы каждый раз выбираем константы интегрирования наиболее "удобным способом", так как начальные условия уже учтены в (), а нам необходимо найти простейшую замену, исключающую из сноса и волатильности:

В результате решение записывается в следующем виде ():

(EQN)

Несложно увидеть, что оказывается гауссово распределённой величиной со средним и дисперсией, зависящими от времени.

Если , то среднее при больших временах стремится к равновесному уровню . Волатильность становится равной . При винеровском или логарифмическом блуждании может уйти как угодно далеко от своего начального значения . Для процесса () "заперта" в статистическом коридоре с шириной, равной двойной волатильности .

При малых процесс Орнштейна-Уленбека по своему поведению становится очень близким к обычному винеровскому блужданию. Траектория достаточно долго блуждает выше или ниже , не уходя, тем не менее, на бесконечность. Волатильность стремится к , и тем больше, чем меньше . Следовательно, характерный коридор, в котором происходит блуждание, при малых расширяется. Если и , и достаточно большие, часто пересекает равновесный уровень, начиная напоминать обычный белый шум.

Наличие равновесного уровня в модели Орнштейна-Уленбека полезно для различных финансовых приложений. Например, в случае курсов валют может быть паритетом покупательной способности ( C), а для процентной ставки - её долгосрочным значением.

Примеры реализаций блуждания Орнштейна-Уленбека при различных параметрах приведены ниже. На левом рисунке , . На правом — , . Величина в обоих случаях равна единице. \includegraphics{pic/ol.eps}\\

Необходимо помнить, что, если решение выражено через винеровскую переменную , её всегда можно переписать через гауссову случайную величину, заменив . Обратное, вообще говоря, не верно. Если в решении есть , нельзя его выразить через , подставив . В качестве упражнения имеет смысл проверить, что подобная замена в () приводит к случайной функции, не удовлетворяющей ().

Можно объединить положительность и его притяжение к равновесному уровню в следующей логарифмической модели с притяжением:

(EQN)

Если , то снос отрицательный, а при — положительный. Множитель "замораживает" динамику при приближении к . Для этой модели несложно найти точное решение ( H).

На самом деле логарифмическая модель с притяжением является простой деформацией процесса Орнштейна-Уленбека. Действительно, если удовлетворяет уравнению (), то несложно проверить, что будет удовлетворять (). Уравнение () так же соотносится с (), как логарифмическое блуждание с процессом Винера.

Ещё одну модель уместно назвать броуновской ловушкой:

(EQN)

Член со сносом обеспечивает притяжение к уровню , в окрестности которого волатильность становится очень маленькой, а динамика — детерминированной. В результате процесс рано или поздно гарантированно притягивается к значению ( H).

Можно рассмотреть общее стационарное уравнение, снос и волатильность которого не зависят от времени:

Условие совместности записывается следующим образом:

(EQN)

где штрих производная по , точка — по времени, и опущены аргументы у функций. Левая часть зависит только от времени, правая — только от , поэтому это выражение равно некоторой константе, которую мы обозначили через . Проинтегрировав это уравнение, найдём связь между сносом и волатильностью:

где — ещё один параметр.

Если — мы приходим к уравнению Орнштейна-Уленбека (), стр. \pageref{equat_OU}. Для точно решаемой задачей является логарифмическая модель с притяжением (), частным случаем которой является логарифмическое блуждание. При снос должен явным образом зависеть от :

Решение такого уравнения имеет вид (, ):

Если , или сноса при блуждании нет , то условие совместности () упрощается:

Умножая его на интегрирующий множитель , получаем решение в неявной форме:

где и — константы интегрирования.

Броуновский мост. Рассмотрим теперь уравнение Ито со сносом, зависящим не только от , но и от времени :

(EQN)

Константа — это выделенное время в будущем (), когда снос становится бесконечным. Условие совместности даёт:

(EQN)

В результате получаем решение в следующем виде ():

Среднее процесса при стремится к . При этом волатильность оказывается равной нулю. Это означает, что гарантированно в процессе блуждания достигает равновесного значения : \includegraphics{pic/bridge.eps}\\ На рисунках в обоих случаях . Слева , справа . Соединение начального условия и "конечного" стохастическими траекториями и дало живописное название процессу.

Можно рассмотреть броуновский мост в более общем случае, с произвольными коэффициентами, зависящими от времени:

Условия совместности дают:

Для частного выбора , , , где , и — константы модели, получаем решение в следующем виде ():

Заданием функции можно добиться произвольного выгиба "моста" вверх или вниз.



Точные решения уравнения Ито << Оглавление >> Представление стохастических решений

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения