Простые стохастические модели — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) м (Защищена страница «Простые стохастические модели» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
Строка 5: | Строка 5: | ||
|} | |} | ||
---- | ---- | ||
+ | |||
<math>\textstyle \bullet</math> ''Логарифмическое блуждание'' определяется уравнением: | <math>\textstyle \bullet</math> ''Логарифмическое блуждание'' определяется уравнением: | ||
− | + | {| width="100%" | |
+ | | width="90%" align="center"|<math> { \;\;dx = \mu \,x\,dt + \sigma\,x\,\delta W\; }, </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
где <math>\textstyle \mu</math> и <math>\textstyle \sigma</math> — константы модели. Часто () называют геометрическим или экспоненциальным броуновским блужданием. | где <math>\textstyle \mu</math> и <math>\textstyle \sigma</math> — константы модели. Часто () называют геометрическим или экспоненциальным броуновским блужданием. | ||
Строка 20: | Строка 24: | ||
Случайное воздействие вносит в гладкую динамику определённые коррективы. Подставим функции сноса <math>\textstyle a(x,t)=\mu\,x</math> и волатильности <math>\textstyle b(x,t)=\sigma\,x</math> в условие совместности () на стр. \pageref{ito_main_def}. В результате для <math>\textstyle s(t)</math> получается тривиальное уравнение <math>\textstyle \dot{s}(t)=0</math>, где точка сверху обозначает производную по времени. Следовательно, <math>\textstyle s(t)</math> — это константа, которую удобно выбрать равной <math>\textstyle \sigma</math>. Интегрирование первого уравнения () даёт <math>\textstyle F(x,t)=\ln x</math>, и, соответственно, функция <math>\textstyle f(t)</math> равна <math>\textstyle \mu-\sigma^2/2</math>. Окончательное решение (<math>\textstyle t_0=0</math>) имеет вид: | Случайное воздействие вносит в гладкую динамику определённые коррективы. Подставим функции сноса <math>\textstyle a(x,t)=\mu\,x</math> и волатильности <math>\textstyle b(x,t)=\sigma\,x</math> в условие совместности () на стр. \pageref{ito_main_def}. В результате для <math>\textstyle s(t)</math> получается тривиальное уравнение <math>\textstyle \dot{s}(t)=0</math>, где точка сверху обозначает производную по времени. Следовательно, <math>\textstyle s(t)</math> — это константа, которую удобно выбрать равной <math>\textstyle \sigma</math>. Интегрирование первого уравнения () даёт <math>\textstyle F(x,t)=\ln x</math>, и, соответственно, функция <math>\textstyle f(t)</math> равна <math>\textstyle \mu-\sigma^2/2</math>. Окончательное решение (<math>\textstyle t_0=0</math>) имеет вид: | ||
− | + | {| width="100%" | |
+ | | width="90%" align="center"|<math> x(t)= x_0\, e^{\left(\mu -\sigma^2/2 \right)\, t + \sigma\sqrt{t}\, \varepsilon}. </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
Если в процессе Винера <math>\textstyle x</math> может "уползти" при блуждании в область отрицательных значений <math>\textstyle x<0</math>, то для логарифмической модели это невозможно. Подобное свойство можно было ожидать сразу по виду (). По мере приближения к значению <math>\textstyle x=0</math> снос и волатильность уменьшаются. В результате динамика как бы замораживается при <math>\textstyle x\to 0</math>. | Если в процессе Винера <math>\textstyle x</math> может "уползти" при блуждании в область отрицательных значений <math>\textstyle x<0</math>, то для логарифмической модели это невозможно. Подобное свойство можно было ожидать сразу по виду (). По мере приближения к значению <math>\textstyle x=0</math> снос и волатильность уменьшаются. В результате динамика как бы замораживается при <math>\textstyle x\to 0</math>. | ||
− | Используя | + | Используя интеграл () на стр. \pageref{aver_exp_gauss}, легко вычислить среднее значение и волатильность в произвольный момент времени: |
:<center><math>\bar{x}(t)=x_0\,e^{\mu t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma_x(t)=\bar{x}(t) \cdot \sqrt{e^{\sigma^2 t}-1} .</math></center> | :<center><math>\bar{x}(t)=x_0\,e^{\mu t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sigma_x(t)=\bar{x}(t) \cdot \sqrt{e^{\sigma^2 t}-1} .</math></center> | ||
− | Заметим, что необходимо решительно бороться с искушением "по обычному" обращаться со стохастическими уравнениями. Например, разделив () на <math>\textstyle x</math>, нельзя внести его под дифференциал: <math>\textstyle dx/x \neq d\ln x</math>. Для подобных действий служит лемма Ито () по которой для процесса логарифмического блуждания <math>\textstyle d(\ln x)=(\mu-\sigma^2/2)\,dt + \sigma \, \delta W</math>. Фактически, при помощи этой замены, найденной по | + | Заметим, что необходимо решительно бороться с искушением "по обычному" обращаться со стохастическими уравнениями. Например, разделив () на <math>\textstyle x</math>, нельзя внести его под дифференциал: <math>\textstyle dx/x \neq d\ln x</math>. Для подобных действий служит лемма Ито () по которой для процесса логарифмического блуждания <math>\textstyle d(\ln x)=(\mu-\sigma^2/2)\,dt + \sigma \, \delta W</math>. Фактически, при помощи этой замены, найденной по алгоритму стр. \pageref{ito_main_def}, мы и получили решение (). |
− | Ниже на левом рисунке приведены логарифмические блуждания с нулевым сносом: <math>\textstyle dx = x\delta W</math>. Видно, как они, прижимаясь к <math>\textstyle x=0</math>, тем не менее, остаются в положительной области. В результате получается несимметричное распределение для <math>\textstyle x</math>, которое в данном случае имеет логнормальный вид. Справа динамика дополнена детерминированным сносом: <math>\textstyle dx = 0.05\cdot x\cdot (dt + \delta W)</math>. Она имеет ярко выраженный экспоненциальный рост со стохастическими колебаниями вокруг экспоненты. | + | Ниже на левом рисунке приведены логарифмические блуждания с нулевым сносом: <math>\textstyle dx = x\delta W</math>. Видно, как они, прижимаясь к <math>\textstyle x=0</math>, тем не менее, остаются в положительной области. В результате получается несимметричное распределение для <math>\textstyle x</math>, которое в данном случае имеет логнормальный вид. Справа динамика дополнена детерминированным сносом: <math>\textstyle dx = 0.05\cdot x\cdot (dt + \delta W)</math>. Она имеет ярко выраженный экспоненциальный рост со стохастическими колебаниями вокруг экспоненты. \includegraphics{pic/log_winer.eps}\\ Эти два примера напоминают нам, что стохастические процессы могут быть как малыми поправками к детерминированной динамике (справа), так и основной сутью исследуемой системы (слева). |
− | |||
− | |||
− | |||
− | Эти два примера напоминают нам, что стохастические процессы могут быть как малыми поправками к детерминированной динамике (справа), так и основной сутью исследуемой системы (слева). | ||
Введя винеровский процесс <math>\textstyle W_t=W(t)=\varepsilon\sqrt{t}</math>, решение для логарифмического блуждания можно записать в следующем виде: | Введя винеровский процесс <math>\textstyle W_t=W(t)=\varepsilon\sqrt{t}</math>, решение для логарифмического блуждания можно записать в следующем виде: | ||
Строка 50: | Строка 53: | ||
Роль <math>\textstyle x</math> теперь играет процесс <math>\textstyle W</math>, а функция <math>\textstyle F</math> — это <math>\textstyle x</math>. | Роль <math>\textstyle x</math> теперь играет процесс <math>\textstyle W</math>, а функция <math>\textstyle F</math> — это <math>\textstyle x</math>. | ||
− | Задавая различные функции <math>\textstyle x=F(t, W_t)</math>, удовлетворяющие начальному условию <math>\textstyle x_0=F(0, 0)</math>, можно найти целый класс точно решаемых стохастических уравнений. После подстановки <math>\textstyle F(t, W_t)</math> в лемму Ито необходимо исключить <math>\textstyle W_t</math>, заменив её на <math>\textstyle W_t=G(t, x)</math>, где <math>\textstyle G</math> — обратная к <math>\textstyle F</math> функция. Кроме этого константа <math>\textstyle x_0</math> должна сократиться, так как это "внешнее" к динамике условие и "порядочное уравнение" не должно зависеть от него. | + | Задавая различные функции <math>\textstyle x=F(t, W_t)</math>, удовлетворяющие начальному условию <math>\textstyle x_0=F(0, 0)</math>, можно найти целый класс точно решаемых стохастических уравнений. После подстановки <math>\textstyle F(t, W_t)</math> в лемму Ито необходимо исключить <math>\textstyle W_t</math>, заменив её на <math>\textstyle W_t=G(t, x)</math>, где <math>\textstyle G</math> — обратная к <math>\textstyle F</math> функция. Кроме этого константа <math>\textstyle x_0</math> должна сократиться, так как это "внешнее" к динамике условие и "порядочное уравнение" не должно зависеть от него. В качестве упражнения стоит проверить решения (<math>\textstyle \mathbf{R}_{}</math>) — (<math>\textstyle \mathbf{R}_{}</math>) из Справочника (стр. \pageref{r_exact_from_W_1}). К сожалению, чаще таким методом получаются уравнения, в которых снос зависит от волатильности шума, что не очень естественно для практических приложений. |
<math>\textstyle \bullet</math> ''Процесс Орнштейна - Уленбека'': | <math>\textstyle \bullet</math> ''Процесс Орнштейна - Уленбека'': | ||
− | + | {| width="100%" | |
+ | | width="90%" align="center"|<math> { \;dx = -\beta\cdot (x-\alpha)\,dt + \sigma\,\delta W } </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
описывает блуждание, в котором <math>\textstyle x</math> притягивается к уровню, определяемому константой <math>\textstyle \alpha</math>. При этом волатильность <math>\textstyle \sigma</math> считается постоянной. Если <math>\textstyle x\gg\alpha</math>, то снос становится заметно отрицательным и тянет процесс вниз. При опускании <math>\textstyle x</math> ниже <math>\textstyle \alpha</math> снос оказывается положительным и в среднем поднимает <math>\textstyle x(t)</math> вверх. Параметр <math>\textstyle \beta>0</math> характеризует величину "силы притяжения" к равновесному значению <math>\textstyle \alpha</math>. | описывает блуждание, в котором <math>\textstyle x</math> притягивается к уровню, определяемому константой <math>\textstyle \alpha</math>. При этом волатильность <math>\textstyle \sigma</math> считается постоянной. Если <math>\textstyle x\gg\alpha</math>, то снос становится заметно отрицательным и тянет процесс вниз. При опускании <math>\textstyle x</math> ниже <math>\textstyle \alpha</math> снос оказывается положительным и в среднем поднимает <math>\textstyle x(t)</math> вверх. Параметр <math>\textstyle \beta>0</math> характеризует величину "силы притяжения" к равновесному значению <math>\textstyle \alpha</math>. | ||
Строка 64: | Строка 70: | ||
В результате решение записывается в следующем виде (<math>\textstyle t_0=0</math>): | В результате решение записывается в следующем виде (<math>\textstyle t_0=0</math>): | ||
− | + | {| width="100%" | |
+ | | width="90%" align="center"|<math> x(t) = \alpha + \bigl(x_0-\alpha\bigr) e^{-\beta t} + \frac{\sigma}{\sqrt{2\beta}}\, \sqrt{1-e^{-2\beta t}}\cdot \; \varepsilon. </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
Несложно увидеть, что <math>\textstyle x(t)</math> оказывается гауссово распределённой величиной со средним и дисперсией, зависящими от времени. | Несложно увидеть, что <math>\textstyle x(t)</math> оказывается гауссово распределённой величиной со средним и дисперсией, зависящими от времени. | ||
Строка 72: | Строка 81: | ||
При малых <math>\textstyle \beta</math> процесс Орнштейна-Уленбека по своему поведению становится очень близким к обычному винеровскому блужданию. Траектория <math>\textstyle x(t)</math> достаточно долго блуждает выше или ниже <math>\textstyle \alpha</math>, не уходя, тем не менее, на бесконечность. Волатильность стремится к <math>\textstyle \sigma/\sqrt{2\beta}</math>, и тем больше, чем меньше <math>\textstyle \beta</math>. Следовательно, характерный коридор, в котором происходит блуждание, при малых <math>\textstyle \beta</math> расширяется. Если и <math>\textstyle \sigma</math>, и <math>\textstyle \beta</math> достаточно большие, <math>\textstyle x(t)</math> часто пересекает равновесный уровень, начиная напоминать обычный белый шум. | При малых <math>\textstyle \beta</math> процесс Орнштейна-Уленбека по своему поведению становится очень близким к обычному винеровскому блужданию. Траектория <math>\textstyle x(t)</math> достаточно долго блуждает выше или ниже <math>\textstyle \alpha</math>, не уходя, тем не менее, на бесконечность. Волатильность стремится к <math>\textstyle \sigma/\sqrt{2\beta}</math>, и тем больше, чем меньше <math>\textstyle \beta</math>. Следовательно, характерный коридор, в котором происходит блуждание, при малых <math>\textstyle \beta</math> расширяется. Если и <math>\textstyle \sigma</math>, и <math>\textstyle \beta</math> достаточно большие, <math>\textstyle x(t)</math> часто пересекает равновесный уровень, начиная напоминать обычный белый шум. | ||
− | Наличие равновесного уровня в модели Орнштейна-Уленбека полезно для различных финансовых приложений. Например, в случае курсов валют <math>\textstyle \alpha</math> может быть паритетом покупательной способности, а для процентной ставки - её долгосрочным значением. | + | Наличие равновесного уровня в модели Орнштейна-Уленбека полезно для различных финансовых приложений. Например, в случае курсов валют <math>\textstyle \alpha</math> может быть паритетом покупательной способности (<math>\textstyle \lessdot</math> C), а для процентной ставки - её долгосрочным значением. |
− | Примеры реализаций блуждания Орнштейна-Уленбека при различных параметрах приведены ниже. На левом рисунке <math>\textstyle \beta=0.1</math>, <math>\textstyle \sigma=0.1</math>. На правом — <math>\textstyle \beta=1</math>, <math>\textstyle \sigma=0.5</math>. Величина <math>\textstyle \alpha</math> в обоих случаях равна единице. | + | Примеры реализаций блуждания Орнштейна-Уленбека при различных параметрах приведены ниже. На левом рисунке <math>\textstyle \beta=0.1</math>, <math>\textstyle \sigma=0.1</math>. На правом — <math>\textstyle \beta=1</math>, <math>\textstyle \sigma=0.5</math>. Величина <math>\textstyle \alpha</math> в обоих случаях равна единице. \includegraphics{pic/ol.eps}\\ |
− | |||
− | |||
− | |||
− | Необходимо помнить, что, если решение выражено через винеровскую переменную <math>\textstyle W_t</math>, её всегда можно переписать через гауссову случайную величину, заменив <math>\textstyle W_t=\varepsilon\sqrt{t}</math>. Обратное, вообще говоря, не верно. Если в решении есть <math>\textstyle \varepsilon</math>, нельзя его выразить через <math>\textstyle W_t</math>, подставив <math>\textstyle \varepsilon\to W_t/\sqrt{t}</math>. В качестве упражнения имеет смысл проверить, что подобная замена в () приводит к случайной функции, не удовлетворяющей (). | + | Необходимо помнить, что, если решение выражено через винеровскую переменную <math>\textstyle W_t</math>, её всегда можно переписать через гауссову случайную величину, заменив <math>\textstyle W_t=\varepsilon\sqrt{t}</math>. Обратное, вообще говоря, не верно. Если в решении есть <math>\textstyle \varepsilon</math>, нельзя его выразить через <math>\textstyle W_t</math>, подставив <math>\textstyle \varepsilon\to W_t/\sqrt{t}</math>. В качестве упражнения имеет смысл проверить, что подобная замена в (<math>\textstyle </math>) приводит к случайной функции, не удовлетворяющей (). |
Можно объединить положительность <math>\textstyle x</math> и его притяжение к равновесному уровню в следующей логарифмической модели с притяжением: | Можно объединить положительность <math>\textstyle x</math> и его притяжение к равновесному уровню в следующей логарифмической модели с притяжением: | ||
− | + | {| width="100%" | |
+ | | width="90%" align="center"|<math> dx = -\beta \cdot x\cdot\left(\ln \frac{x}{\alpha} - 1\right)\, dt + \sigma \,x \,\delta W. </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
− | Если <math>\textstyle x>\alpha</math>, то снос отрицательный, а при <math>\textstyle x<\alpha</math> — положительный. Множитель <math>\textstyle x</math> "замораживает" динамику при приближении к <math>\textstyle x=0</math>. Для этой модели несложно найти точное решение. | + | Если <math>\textstyle x>\alpha</math>, то снос отрицательный, а при <math>\textstyle x<\alpha</math> — положительный. Множитель <math>\textstyle x</math> "замораживает" динамику при приближении к <math>\textstyle x=0</math>. Для этой модели несложно найти точное решение (<math>\textstyle \lessdot</math> H). |
На самом деле логарифмическая модель с притяжением является простой деформацией процесса Орнштейна-Уленбека. Действительно, если <math>\textstyle x</math> удовлетворяет уравнению (), то несложно проверить, что <math>\textstyle y=e^x</math> будет удовлетворять (). Уравнение () так же соотносится с (), как логарифмическое блуждание с процессом Винера. | На самом деле логарифмическая модель с притяжением является простой деформацией процесса Орнштейна-Уленбека. Действительно, если <math>\textstyle x</math> удовлетворяет уравнению (), то несложно проверить, что <math>\textstyle y=e^x</math> будет удовлетворять (). Уравнение () так же соотносится с (), как логарифмическое блуждание с процессом Винера. | ||
Строка 91: | Строка 100: | ||
Ещё одну модель уместно назвать ''броуновской ловушкой'': | Ещё одну модель уместно назвать ''броуновской ловушкой'': | ||
− | + | {| width="100%" | |
+ | | width="90%" align="center"|<math> dx = -\beta \cdot (x-\alpha)\,dt \;+\; \sigma \cdot(x-\alpha) \, \delta W. </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
− | Член со сносом обеспечивает притяжение к уровню <math>\textstyle x=\alpha</math>, в окрестности которого волатильность становится очень маленькой, а динамика — детерминированной. В результате процесс рано или поздно гарантированно притягивается к значению <math>\textstyle x=\alpha</math>. | + | Член со сносом обеспечивает притяжение к уровню <math>\textstyle x=\alpha</math>, в окрестности которого волатильность становится очень маленькой, а динамика — детерминированной. В результате процесс рано или поздно гарантированно притягивается к значению <math>\textstyle x=\alpha</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H). |
<math>\textstyle \bullet</math> Можно рассмотреть общее ''стационарное уравнение'', снос и волатильность которого не зависят от времени: | <math>\textstyle \bullet</math> Можно рассмотреть общее ''стационарное уравнение'', снос и волатильность которого не зависят от времени: | ||
Строка 101: | Строка 113: | ||
Условие совместности записывается следующим образом: | Условие совместности записывается следующим образом: | ||
− | + | {| width="100%" | |
+ | | width="90%" align="center"|<math> \frac{\dot{s}(t)}{s(t)} = \frac{1}{2} \,b\cdot b'' - b \cdot \left(\frac{a}{b}\right)' = \gamma, </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
где штрих производная по <math>\textstyle x</math>, точка — по времени, и опущены аргументы у функций. Левая часть зависит только от времени, правая — только от <math>\textstyle x</math>, поэтому это выражение равно некоторой константе, которую мы обозначили через <math>\textstyle \gamma</math>. Проинтегрировав это уравнение, найдём связь между сносом и волатильностью: | где штрих производная по <math>\textstyle x</math>, точка — по времени, и опущены аргументы у функций. Левая часть зависит только от времени, правая — только от <math>\textstyle x</math>, поэтому это выражение равно некоторой константе, которую мы обозначили через <math>\textstyle \gamma</math>. Проинтегрировав это уравнение, найдём связь между сносом и волатильностью: | ||
Строка 129: | Строка 144: | ||
<math>\textstyle \bullet</math> ''Броуновский мост''. Рассмотрим теперь уравнение Ито со сносом, зависящим не только от <math>\textstyle x</math>, но и от времени <math>\textstyle t</math>: | <math>\textstyle \bullet</math> ''Броуновский мост''. Рассмотрим теперь уравнение Ито со сносом, зависящим не только от <math>\textstyle x</math>, но и от времени <math>\textstyle t</math>: | ||
− | + | {| width="100%" | |
+ | | width="90%" align="center"|<math> { \;dx = -\frac{x-\alpha}{T-t} \, dt + \sigma\,\delta W\; }. </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
Константа <math>\textstyle T</math> — это выделенное время в будущем (<math>\textstyle t<T</math>), когда снос становится бесконечным. Условие совместности даёт: | Константа <math>\textstyle T</math> — это выделенное время в будущем (<math>\textstyle t<T</math>), когда снос становится бесконечным. Условие совместности даёт: | ||
− | + | {| width="100%" | |
+ | | width="90%" align="center"|<math> s(t)=\frac{\sigma}{T-t},\;\;\;\;\;\;F(x,t)= \frac{x}{T-t},\;\;\;\;\;\;\;f(t)=\frac{\alpha}{(T-t)^2}. </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div> | ||
+ | |} | ||
В результате получаем решение в следующем виде (<math>\textstyle x_0=x(t_0)</math>): | В результате получаем решение в следующем виде (<math>\textstyle x_0=x(t_0)</math>): | ||
Строка 139: | Строка 160: | ||
:<center><math>x(t) = \alpha + (x_0-\alpha)\, \frac {T-t}{T-t_0} + \sigma\, \sqrt{\frac{(t-t_0)(T-t)}{T-t_0}}\cdot \varepsilon.</math></center> | :<center><math>x(t) = \alpha + (x_0-\alpha)\, \frac {T-t}{T-t_0} + \sigma\, \sqrt{\frac{(t-t_0)(T-t)}{T-t_0}}\cdot \varepsilon.</math></center> | ||
− | Среднее процесса при <math>\textstyle t\to T</math> стремится к <math>\textstyle \alpha</math>. При этом волатильность оказывается равной нулю. Это означает, что <math>\textstyle x(t)</math> ''гарантированно'' в процессе блуждания достигает равновесного значения <math>\textstyle x(T)=\alpha</math>: | + | Среднее процесса при <math>\textstyle t\to T</math> стремится к <math>\textstyle \alpha</math>. При этом волатильность оказывается равной нулю. Это означает, что <math>\textstyle x(t)</math> ''гарантированно'' в процессе блуждания достигает равновесного значения <math>\textstyle x(T)=\alpha</math>: \includegraphics{pic/bridge.eps}\\ На рисунках в обоих случаях <math>\textstyle \alpha=1</math>. Слева <math>\textstyle \sigma=0.1</math>, справа <math>\textstyle \sigma=0.05</math>. Соединение начального условия <math>\textstyle x_0=x(0)</math> и "конечного" <math>\textstyle x(T)=\alpha</math> стохастическими траекториями и дало живописное название процессу. |
− | |||
− | |||
− | |||
− | На рисунках в обоих случаях <math>\textstyle \alpha=1</math>. Слева <math>\textstyle \sigma=0.1</math>, справа <math>\textstyle \sigma=0.05</math>. Соединение начального условия <math>\textstyle x_0=x(0)</math> и "конечного" <math>\textstyle x(T)=\alpha</math> стохастическими траекториями и дало живописное название процессу. | ||
Можно рассмотреть броуновский мост в более общем случае, с произвольными коэффициентами, зависящими от времени: | Можно рассмотреть броуновский мост в более общем случае, с произвольными коэффициентами, зависящими от времени: | ||
Строка 158: | Строка 175: | ||
Заданием функции <math>\textstyle \alpha(t)</math> можно добиться произвольного выгиба "моста" вверх или вниз. | Заданием функции <math>\textstyle \alpha(t)</math> можно добиться произвольного выгиба "моста" вверх или вниз. | ||
+ | |||
+ | |||
---- | ---- | ||
{| width="100%" | {| width="100%" |
Версия 18:34, 9 марта 2010
Точные решения уравнения Ито << | Оглавление | >> Представление стохастических решений |
---|
Логарифмическое блуждание определяется уравнением:
(EQN)
|
где и — константы модели. Часто () называют геометрическим или экспоненциальным броуновским блужданием.
Если стохастического члена нет (), то это обычное уравнение экспоненциального роста () или снижения ():
Подобная зависимость возникает во многих физических, биологических и социальных системах, от радиоактивного распада до роста экономики.
Случайное воздействие вносит в гладкую динамику определённые коррективы. Подставим функции сноса и волатильности в условие совместности () на стр. \pageref{ito_main_def}. В результате для получается тривиальное уравнение , где точка сверху обозначает производную по времени. Следовательно, — это константа, которую удобно выбрать равной . Интегрирование первого уравнения () даёт , и, соответственно, функция равна . Окончательное решение () имеет вид:
(EQN)
|
Если в процессе Винера может "уползти" при блуждании в область отрицательных значений , то для логарифмической модели это невозможно. Подобное свойство можно было ожидать сразу по виду (). По мере приближения к значению снос и волатильность уменьшаются. В результате динамика как бы замораживается при .
Используя интеграл () на стр. \pageref{aver_exp_gauss}, легко вычислить среднее значение и волатильность в произвольный момент времени:
Заметим, что необходимо решительно бороться с искушением "по обычному" обращаться со стохастическими уравнениями. Например, разделив () на , нельзя внести его под дифференциал: . Для подобных действий служит лемма Ито () по которой для процесса логарифмического блуждания . Фактически, при помощи этой замены, найденной по алгоритму стр. \pageref{ito_main_def}, мы и получили решение ().
Ниже на левом рисунке приведены логарифмические блуждания с нулевым сносом: . Видно, как они, прижимаясь к , тем не менее, остаются в положительной области. В результате получается несимметричное распределение для , которое в данном случае имеет логнормальный вид. Справа динамика дополнена детерминированным сносом: . Она имеет ярко выраженный экспоненциальный рост со стохастическими колебаниями вокруг экспоненты. \includegraphics{pic/log_winer.eps}\\ Эти два примера напоминают нам, что стохастические процессы могут быть как малыми поправками к детерминированной динамике (справа), так и основной сутью исследуемой системы (слева).
Введя винеровский процесс , решение для логарифмического блуждания можно записать в следующем виде:
Действительно, производные для равны:
Винеровское блуждание имеет нулевой снос и единичную волатильность . Поэтому по лемме Ито () имеем:
Роль теперь играет процесс , а функция — это .
Задавая различные функции , удовлетворяющие начальному условию , можно найти целый класс точно решаемых стохастических уравнений. После подстановки в лемму Ито необходимо исключить , заменив её на , где — обратная к функция. Кроме этого константа должна сократиться, так как это "внешнее" к динамике условие и "порядочное уравнение" не должно зависеть от него. В качестве упражнения стоит проверить решения () — () из Справочника (стр. \pageref{r_exact_from_W_1}). К сожалению, чаще таким методом получаются уравнения, в которых снос зависит от волатильности шума, что не очень естественно для практических приложений.
Процесс Орнштейна - Уленбека:
(EQN)
|
описывает блуждание, в котором притягивается к уровню, определяемому константой . При этом волатильность считается постоянной. Если , то снос становится заметно отрицательным и тянет процесс вниз. При опускании ниже снос оказывается положительным и в среднем поднимает вверх. Параметр характеризует величину "силы притяжения" к равновесному значению .
Условие совместности () даёт уравнение . Решая его и первое уравнение () для , мы каждый раз выбираем константы интегрирования наиболее "удобным способом", так как начальные условия уже учтены в (), а нам необходимо найти простейшую замену, исключающую из сноса и волатильности:
В результате решение записывается в следующем виде ():
(EQN)
|
Несложно увидеть, что оказывается гауссово распределённой величиной со средним и дисперсией, зависящими от времени.
Если , то среднее при больших временах стремится к равновесному уровню . Волатильность становится равной . При винеровском или логарифмическом блуждании может уйти как угодно далеко от своего начального значения . Для процесса () "заперта" в статистическом коридоре с шириной, равной двойной волатильности .
При малых процесс Орнштейна-Уленбека по своему поведению становится очень близким к обычному винеровскому блужданию. Траектория достаточно долго блуждает выше или ниже , не уходя, тем не менее, на бесконечность. Волатильность стремится к , и тем больше, чем меньше . Следовательно, характерный коридор, в котором происходит блуждание, при малых расширяется. Если и , и достаточно большие, часто пересекает равновесный уровень, начиная напоминать обычный белый шум.
Наличие равновесного уровня в модели Орнштейна-Уленбека полезно для различных финансовых приложений. Например, в случае курсов валют может быть паритетом покупательной способности ( C), а для процентной ставки - её долгосрочным значением.
Примеры реализаций блуждания Орнштейна-Уленбека при различных параметрах приведены ниже. На левом рисунке , . На правом — , . Величина в обоих случаях равна единице. \includegraphics{pic/ol.eps}\\
Необходимо помнить, что, если решение выражено через винеровскую переменную , её всегда можно переписать через гауссову случайную величину, заменив . Обратное, вообще говоря, не верно. Если в решении есть , нельзя его выразить через , подставив . В качестве упражнения имеет смысл проверить, что подобная замена в () приводит к случайной функции, не удовлетворяющей ().
Можно объединить положительность и его притяжение к равновесному уровню в следующей логарифмической модели с притяжением:
(EQN)
|
Если , то снос отрицательный, а при — положительный. Множитель "замораживает" динамику при приближении к . Для этой модели несложно найти точное решение ( H).
На самом деле логарифмическая модель с притяжением является простой деформацией процесса Орнштейна-Уленбека. Действительно, если удовлетворяет уравнению (), то несложно проверить, что будет удовлетворять (). Уравнение () так же соотносится с (), как логарифмическое блуждание с процессом Винера.
Ещё одну модель уместно назвать броуновской ловушкой:
(EQN)
|
Член со сносом обеспечивает притяжение к уровню , в окрестности которого волатильность становится очень маленькой, а динамика — детерминированной. В результате процесс рано или поздно гарантированно притягивается к значению ( H).
Можно рассмотреть общее стационарное уравнение, снос и волатильность которого не зависят от времени:
Условие совместности записывается следующим образом:
(EQN)
|
где штрих производная по , точка — по времени, и опущены аргументы у функций. Левая часть зависит только от времени, правая — только от , поэтому это выражение равно некоторой константе, которую мы обозначили через . Проинтегрировав это уравнение, найдём связь между сносом и волатильностью:
где — ещё один параметр.
Если — мы приходим к уравнению Орнштейна-Уленбека (), стр. \pageref{equat_OU}. Для точно решаемой задачей является логарифмическая модель с притяжением (), частным случаем которой является логарифмическое блуждание. При снос должен явным образом зависеть от :
Решение такого уравнения имеет вид (, ):
Если , или сноса при блуждании нет , то условие совместности () упрощается:
Умножая его на интегрирующий множитель , получаем решение в неявной форме:
где и — константы интегрирования.
Броуновский мост. Рассмотрим теперь уравнение Ито со сносом, зависящим не только от , но и от времени :
(EQN)
|
Константа — это выделенное время в будущем (), когда снос становится бесконечным. Условие совместности даёт:
(EQN)
|
В результате получаем решение в следующем виде ():
Среднее процесса при стремится к . При этом волатильность оказывается равной нулю. Это означает, что гарантированно в процессе блуждания достигает равновесного значения : \includegraphics{pic/bridge.eps}\\ На рисунках в обоих случаях . Слева , справа . Соединение начального условия и "конечного" стохастическими траекториями и дало живописное название процессу.
Можно рассмотреть броуновский мост в более общем случае, с произвольными коэффициентами, зависящими от времени:
Условия совместности дают:
Для частного выбора , , , где , и — константы модели, получаем решение в следующем виде ():
Заданием функции можно добиться произвольного выгиба "моста" вверх или вниз.
Точные решения уравнения Ито << | Оглавление | >> Представление стохастических решений |
---|
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения