Произвольные неинерциальные системы

Материал из synset
Версия от 21:56, 4 июля 2013; WikiSysop (обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Нежёсткая равноускоренная система отсчёта << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Физические длина и время

Подведём некоторые итоги. Систему отсчёта можно определять, задавая законы движения каждой её точки относительно лабораторной системы . Пусть — координаты, однозначно фиксирующие данную точку системы . Эта точка движется относительно лабораторной системы по траектории:

(EQN)

В общем случае различные точки могут двигаться по различным траекториям. Естественно, предполагается, что функции являются гладкими (дифференцируемыми по каждому аргументу).

Время неинерциальной системы, можно определить любым удобным способом, при помощи произвольной функции . Предполагается только, что более ранние события в соответствуют меньшим значениям , чем более поздние. Такое время является координатным и, вообще говоря, не совпадает с физическим временем часов, связанных с точкой . На первый взгляд, подобный произвол в определении времени выглядит довольно странным. Однако, в следующем разделе мы увидим, что для любого данного выбора функции можно указать правило вычисления физического времени и физической длины в неинерциальной системе отсчёта.

Заменяя в траектории () время на , мы получаем преобразования от системы к лабораторной системе :

Подстановка этих преобразований в () даёт интервал между событиями в неинерциальной системе отсчёта:

Метрические коэффициенты являются функциями 4-координат события и полностью определяют свойства системы отсчёта.

В рамках данной системы отсчёта (не меняя её) всегда можно перейти к другому способу нумерации событий:

Первое преобразование определяет новое координатное время, а оставшиеся — другой способ нумерации пространственных точек системы. Важно, что последние не зависят от времени , т.к., в противном случае мы бы получили другую систему отсчёта. Рассмотрим несколько примеров.

Пусть точка неинерциальной системы движется по траектории:

В этих функциях , и — это фиксированные числа, характеризующие данную точку. Они соответствуют её положению в лабораторной системе при . Преобразование для времени выберем в следующем виде: . Такой выбор диктуется только соображениями простоты. Если подставить в траекторию точки, то получится простое выражение для преобразования координат:

(EQN)

Дифференциалы этих преобразований равны:

и , . Подставляя их в интервал между событиями лабораторной системы отсчёта , получаем этот же интервал в жесткой равноускоренной неинерциальной системе:

(EQN)

в которой ненулевые метрические коэффициенты равны и Для фиксированной точки () интервал равен её собственному времени: Чтобы выяснить, как такие часы идут по отношению к часам в лабораторной системе, надо записать связь и из преобразований между системами (при фиксированных координатах):

где в последнем равенстве — это скорость точки в лабораторной системе, равная что снова получается из выражений для дифференциалов. Таким образом, собственное время часов неинерциальной системы связано со временем лабораторной при помощи стандартной релятивистской формулы (), стр.\,\pageref{time_delay}.

Можно изменить способ нумерации точек неинерциальной системы при помощи преобразований координат:

что приводит к интервалу

Естественно, система отсчёта при этом не меняется.

В случае вращения, интервал лабораторной системы () запишем в цилиндрических координатах , :

(EQN)

где — полярный угол, а — расстояние от оси вращения.

Будем нумеровать точки вращающейся системы при помощи трёх чисел . Представим себе диск, вращающихся с постоянной угловой скоростью в плоскости . Траектория любой его точки может быть задана следующими уравнениями:

При данном значении и угловая координата точки меняется со временем с постоянной скоростью . Преобразование времени выберем максимально простым способом: . В результате, преобразования между вращающейся и лабораторной системами отсчёта имеют вид:

(EQN)

где координаты называются координатами Борна. Подставляя дифференциалы этих преобразований

в интервал (), получаем:

(EQN)

Собственное время фиксированной точки () равно:

Так как — это скорость точки в лабораторной системе отсчёта, мы снова имеем стандартную формулу замедления времени.

Равенство нулю интервала () приводит к уравнению для траектории светового импульса. Например, если при помощи зеркал или световода организовано его движение по окружности , то это уравнение имеет вид:

Из него следует, что угловая координата светового импульса линейно зависит от координатного времени .

В общем случае преобразование от неинерциальной системы отсчета к инерциальной системе имеет вид:

(EQN)

где . Распишем дифференциал :

(EQN)

где и по повторяющимся индексам проводится суммирование. Подставляя , в интервал , получаем:

(EQN)

где коэффициенты метрического тензора равны (по сумма от 1 до 3):

(EQN)

Из () следует, что компоненты скорости фиксированной точки неинерциальной системы отсчёта () равны:

(EQN)

Поэтому коэффициент можно переписать в следующем виде:

где . Определяя собственное время часов при помощи интервала в котором , имеем:

где в последнем равенстве подставлено () при . Таким образом, и в общем случае мы имеем релятивистское замедление времени.

Иногда удобнее использовать частный случай преобразований:

(EQN)

где функция задает траекторию движения данной точки () неинерциальной системы относительно лабораторной. Соответствующий им интервал равен:

(EQN)

где — скорость точки в лабораторной системе.

Рассмотрим ещё один специальный, но важный класс неинерциальных систем отсчёта (НИСО), в которых интервал между двумя событиями имеет очень простой вид. Пусть начало НИСО движется вдоль оси лабораторной системы c переменной скоростью. Запишем линейные по координате преобразования \cite{Myelller1987}:

(EQN)

где произвольная функция времени и . Если скорость постоянна, то () приводят к преобразованиям Лоренца. В общем же случае имеем:

где учтено, что

и точка — производная по . Подставляя эти дифференциалы в интервал лабораторной системы , получаем:

(EQN)

Таким образом, в этой системе нетривиальное значение имеет только . При , мы возвращаемся к жесткой равноускоренной системе отсчета в координатах Меллера, для которой:

(EQN)

Подстановка этой скорости в (), дает ().

В общем случае произвольная фиксированная () точка системы с координатой движется относительно лабораторной системы отсчета со скоростью:

где в функции необходимо перейти от координатного времени к лоренцевому времени лабораторной системы, которое находится из первого преобразования () и, вообще говоря, зависит от .

Жесткая равноускоренная система () из всего класса поступательно движущихся НИСО () выделяется тем, что она имеет не только евклидовый вид у пространственной части интервала , но и постоянное собственное время ( зависит от координаты , но не зависит от времени ).

К преобразованиям () можно прийти рассматривая сопутствующую к НИСО инерциальную систему отсчета (ИСО). Такая система в данный момент времени имеет такую же скорость относительно лабораторной системы как и скорость наблюдателя расположенного в начале НИСО. Два относительно неподвижных наблюдателя в НИСО и ИСО находящиеся рядом имеют одинаковые эталоны времени и длины.

Пусть начало НИСО в лабораторной системе отсчета имеет скорость . К моменту времени его координата равна

где во втором равенстве совершен переход к собственному времени начала или и, как обычно, . Момент времени также выражается через интеграл по собственному времени:

Если в момент времени часы сопутствующей системы отсчёта в точке показывают время , то преобразования между и можно записать следующим образом:

Преобразования () получаются, если при координаты точек НИСО совпадают с координатами сопутствующей ИСО, а координатное время НИСО равно собственному времени: , , .

В случае произвольного движения начала неинерциальной системы в пространстве можно написать более общее преобразование Лоренца-Мёллера-Нэльсона:

(EQN)

интервал которого в координатах предлагается найти в качестве упражнения (\,H). Анализ физики в такой системе можно найти в работе \cite{Voitik2012}.



Нежёсткая равноускоренная система отсчёта << Оглавление (Последняя версия в:Глава 4) >> Физические длина и время

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии