Произвольно движущийся заряд — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 1: Строка 1:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
 
  | width="40%"|[[Немного комплексных чисел]] <<  
 
  | width="40%"|[[Немного комплексных чисел]] <<  
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])  
+
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf Глава 5])  
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Что такое симметрия?]]
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Что такое симметрия?]]
 
|}
 
|}
Строка 162: Строка 162:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
 
  | width="40%"|[[Немного комплексных чисел]] <<  
 
  | width="40%"|[[Немного комплексных чисел]] <<  
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_04.pdf Глава 4])
+
  ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf Глава 5])
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Что такое симметрия?]]
 
  | width="40%" align="right"| >> [[Что такое симметрия?]]
 
|}
 
|}
 
----
 
----
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии
 
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Текущая версия на 18:56, 2 июля 2013

Немного комплексных чисел << Оглавление (Глава 5) >> Что такое симметрия?


Пусть заряд движется с переменной скоростью . Найдём электромагнитное поле, создаваемое зарядом в момент времени в точке пространства . Рассмотрим момент времени в прошлом, когда заряд находился на расстоянии от точки наблюдения и имел скорость . Выделенность этого момента состоит в том, что информация об изменении скорости заряда, распространяясь с фундаментальной единичной скоростью, к текущему моменту времени как раз проходит расстояние . Все величины, относящиеся к прошлому, будем обозначать заглавными буквами. Так, — единичный вектор от заряда в точку наблюдения в момент времени .

Из решения уравнений для потенциалов (), () следует, что их значения в момент времени определяются положением заряда и его скоростью в момент времени и не зависят от ускорения заряда. Поэтому заряд, движущийся с переменной скоростью в момент времени , неотличим от совпадающего с ним в прошлом (время ) заряда, движущегося далее равномерно и прямолинейно со скоростью . Такое движение будем называть "фантомным". Ниже на рисунке оно представлено в виде пунктирной прямой линии. Сам заряд движется по, вообще говоря, искривлённой траектории с переменной скоростью. Однако, так как от ускорения заряда в момент времени потенциалы не зависят, удобно считать, что в этот момент от заряда "отрывается" его двойник-фантом, который движется равномерно и прямолинейно, проходя за время расстояние . Основные соотношения, следующие из геометрии введенных величин, приведены справа от рисунка:

Move Q va.png

где . Последняя формула проверяется возведением в квадрат и подстановкой вместо .

Заметим, что является функцией текущего времени и точки наблюдения. Её вид определяется траекторией заряда и получается из решения уравнения (). При этом .

Свяжем с фантомным зарядом в момент времени инерциальную систему отсчёта . Так как в ней он покоится, для потенциалов поля справедливы кулоновские выражения:

Подставим их в обратные преобразования Лоренца для потенциалов [(), стр.\pageref{transf_poten}] переставим местами штрихованные и нештрихованные величины и сделаем замену ]:

(EQN)

где для расстояния от фантомного заряда в момент времени до точки наблюдения использовано преобразование для модуля радиус-вектора (см. стр. \pageref{force_transf_electro}). При помощи () потенциалы можно также переписать следующим образом:

(EQN)

Эти потенциалы для произвольно движущегося заряда называют потенциалами Лиенара-Вихерта. В качестве полезного упражнения по работе с дельта-функцией стоит вывести эти же соотношения непосредственно из общего решения (), (). Например, для плотности заряда необходимо записать выражение .

Отметим один любопытный момент. Уравнения Максвелла были получены для системы равномерно движущихся зарядов. Затем постулировалось, что они справедливы и для ускоренного движения зарядов. Хотя уравнения Максвелла явно не зависят от ускорений, это не означает, что от ускорений не зависят напряжённости поля. Дело в том, что уравнения Максвелла в исходной записи являются системой дифференциальных уравнений первого порядка. Из этой системы можно исключить, например, магнитное поле, получив для электрического поля уравнение второго порядка:

Оно имеет форму уравнения Д'Аламбера, однако источники, стоящие в правой части, содержат производную по времени от тока. Именно это и приводит к тому, что напряжённости окажутся зависящими от ускорения заряда (в то время как потенциалы - нет).

Найдём напряженности электрического и магнитного полей

Производные потенциалов берутся по координатам фиксированной точки пространства и по текущему моменту времени , а выражения для потенциалов () зависят (в правых частях) от величин в момент времени . Поэтому потребуются определённые математические хитрости. Возьмём дифференциал от условия запаздывания:

где — скорость в момент времени , а . По определению дифференциала функции имеем:

Потенциалы зависят от явно и неявно через . Например, скалярный потенциал () имеет вид:

Поэтому градиент и производная по равны:

Для получения ротора векторного потенциала

необходимо найти также ротор от скорости

где — ускорение частицы в момент времени . Вычисляя все производные и проводя несложные алгебраические преобразования ( H), получим:

(EQN)
(EQN)

где . Магнитное поле оказывается перпендикулярным электрическому и радиус-вектору от заряда в момент времени .

При помощи радиус-вектора от фантомного заряда к точке наблюдения электрическое поле можно записать в следующем виде:

Первое слагаемое является напряжённостью электрического поля равномерно движущегося со скоростью фантомного заряда. Если бы заряд не менял свою скорость, он совпадал бы с этим фантомом.

Напряжённость электрического поля можно также переписать в следующем изящном виде, найденном Ричардом Фейнманом ( H):

Обратим внимание, что все производные вычисляются по текущему времени , а не по , к которому относятся величины и .

Если скорость заряда мала, то напряжённость электрического поля можно приближённо записать следующим образом:

Второе слагаемое убывает, как . Первый же ("кулоновский") член убывает, как , т.е. существенно быстрее. Пренебрегая на больших расстояниях первым слагаемым, найдём импульс электромагнитной волны. Так как второе слагаемое перпендикулярно , т.е. , имеем:

Интенсивность излучения в направлении телесного угла определяется, как поток энергии, проходящий в единицу времени через элемент поверхности сферы радиуса (см. стр.\pageref{intens_dipol_rad}).

где — угол между ускорением и направлением в точку наблюдения из запаздывающего положения заряда . Интеграл по всему телесному углу даёт полное излучение заряда (формула Лармора):

Его можно сравнить с излучением в дипольном приближении (стр.\pageref{intens_dipol_rad}). Для одиночного заряда и, соответственно, .

Изучим теперь излучение заряда, не считая его скорость маленькой. На больших расстояниях от заряда напряжённости поля равны:

Пусть скорость и ускорение параллельны, так что . В этом случае интенсивность излучения равна:

Для медленного заряда излучение максимально в направлении, перпендикулярном ускорению. Чем ближе скорость заряда к скорости света, тем сильнее максимум излучения смещается в направлении движения (см. ниже первые два рисунка). Похожим свойством обладает движущийся изотропный (в собственной системе отсчёта) источник света в результате аберрации (стр.\pageref{aberr_isotr_source}).

Mov E chage.png

Найдём суммарную интенсивность излучения. Интеграл по даст , а для интегрирования по сделаем замену :

(EQN)

Интеграл по находится при помощи дифференцирования определённого интеграла по параметру. Эти вычисления несложны, но сравнительно громоздки ( H).

Найдём энергию, теряемую зарядом при излучении за единицу времени. Её величина для движущегося заряда отличается от . Действительно, проследим за излучённой в прошлом энергией между моментами времени и . Если бы заряд был неподвижен, к текущему моменту эта энергия была бы сконцентрирована между двумя сферами с радиусами и и совпадающими центрами. При движении заряда за время центр внутренней сферы смещается на , а её поверхность прижимается к внешней сфере в направлении движения (3-й рисунок).

В результате толщина зазора между сферами в направлении уменьшается на . Если , то толщина зазора равна . При она равна . Соответственно, в раз изменяется элемент объёма сферического слоя в направлении (хотя суммарный объём между сферами, конечно, не меняется). Энергия, расположенная между слоями в телесном углу , равна:

Поэтому интенсивность теряемой энергии отличается от множителем . Интегрирование по всем телесным углам даёт ( H):

Кроме линейного торможения (например, рентгеновское излучение при ударе электрона об электрод) существует ещё одна важная разновидность излучения. В магнитном поле заряд движется по окружности (или спирали). В этом случае скорость и ускорение перпендикулярны. При малой скорости заряда излучение направлено перпендикулярно плоскости орбиты и называется циклотронным. Если же скорость заряда ультрарелятивистская, то максимум излучения сконцентрирован в направлении текущего (с учётом запаздывания) мгновенного вектора скорости. Подобное излучение (касательное к окружности или спирали) называют синхротронным. Оно возникает в круговых ускорителях частиц (отсюда и происходит название). Его же регулярно наблюдают астрономы в окрестности самых разнообразных космических объектов.

Для произвольной ориентации скорости и ускорения теряемая в единицу времени энергия даётся формулой Льенара (1898 г.):

(EQN)

Вывести её предлагается самостоятельно ( H). Стоит также проверить, что формула Льенара может быть записана в следующем инвариантном виде:

где — 4-импульс частицы с компонентами , а — её собственное время с учётом эффекта запаздывания.


Немного комплексных чисел << Оглавление (Глава 5) >> Что такое симметрия?

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии