Примеры и определения — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 6: Строка 6:
 
----
 
----
  
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Самой простой является группа циклических перестановок <math>\textstyle n</math> элементов <math>\textstyle \mathbf{C_n}</math>. Пронумеруем углы правильного <math>\textstyle n</math>-угольника. Пусть его вращают в плоскости на углы <math>\textstyle 2\pi m/n</math>, где <math>\textstyle m=0,...,n-1</math> без переворотов. Ниже представлены такие преобразования треугольника (<math>\textstyle \mathbf{C_3}</math>) и квадрата (<math>\textstyle \mathbf{C_4}</math>):
 +
 +
<center>[[File:group_Cn.png]]</center>
 +
 +
Понятно, что это абелева группа. Поворот <math>\textstyle m</math> раз на угол <math>\textstyle a:\;2\pi/n</math> ''порождает'' любой элемент группы. Для именования <math>\textstyle n</math> элементов группы <math>\textstyle \mathbf{C_n}</math> удобно использовать следующие обозначения: <math>\textstyle \mathbf{C_n} = \{e, a, a^2, a^3, ..., a^{n-1}\}:</math>
 +
 +
:<center><math>\begin{array}{r|c|} \multicolumn{1}{r}{\mathbf{C_2}} & \multicolumn{1}{c}{a} \\ \cline{2-2} a & \bullet \\ \cline{2-2} \multicolumn{1}{c}{}\\ \multicolumn{1}{c}{}\\ \end{array} \;\;\;\;\;\; \begin{array}{r|cc|} \multicolumn{1}{c}{\mathbf{C_3}} & \multicolumn{1}{c}{a} & \multicolumn{1}{c}{a^2}\\ \cline{2-3} a & a^2 & \bullet \\ a^2 & \bullet & a \\ \cline{2-3} \multicolumn{1}{c}{}\\ \end{array} \;\;\;\;\;\; \begin{array}{r|ccc|} \multicolumn{1}{c}{\mathbf{C_4}} & \multicolumn{1}{c}{a} & \multicolumn{1}{c}{a^2} & \multicolumn{1}{c}{a^3}\\ \cline{2-4} a & a^2 & a^3 &\bullet \\ a^2 & a^3 & \bullet &a \\ a^3 &\bullet & a & a^2\\ \cline{2-4} \end{array} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin{array}{r|ccc|} \multicolumn{1}{c}{\mathbf{D_2}} & \multicolumn{1}{c}{a} & \multicolumn{1}{c}{b} & \multicolumn{1}{c}{c}\\ \cline{2-4} a & \bullet & c & b\\ b & c & \bullet &a \\ c & b & a & \bullet \\ \cline{2-4} \end{array}</math></center>
 +
 +
Имеется одна группа 2-го (<math>\textstyle \mathbf{C}_2</math>) и одна 3-го порядка (<math>\textstyle \mathbf{C}_3</math>). Для 4-х элементов возможны две группы <math>\textstyle \mathbf{C}_4</math> и <math>\textstyle \mathbf{D}_2</math> (см.выше). Для 5-ти &mdash; одна (<math>\textstyle \mathbf{C}_5</math>).
 +
 +
Если правильному <math>\textstyle n</math>-угольнику разрешено вращаться в плоскости вокруг центра симметрии, и переворачиваться вокруг осей симметрии, то получается ''группа диэдра'' <math>\textstyle \mathbf{D_n}=\left\langle a, b | a^n =e,\;b^2=e,\;(ab)^2=e\right\rangle </math> порядка <math>\textstyle 2n</math>. К <math>\textstyle \mathbf{D_n}</math> относят и группу <math>\textstyle \mathbf{D}_2</math> преобразований прямоугольника (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H). Для треугольника (<math>\textstyle \mathbf{D_3}</math>) имеем (для квадрата см.стр.\,\pageref{sym_D3_pic}):
 +
 +
<center>[[File:group_D3.png]]</center>
 +
 +
:<center><math>\begin{array}{r|cc|ccc|} \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{a}& \multicolumn{1}{c}{a^2} & \multicolumn{1}{c}{b} & \multicolumn{1}{c}{c} & \multicolumn{1}{c}{d}\\ \cline{2-6} a & a^2 & \bullet & c & d & b \\ a^2 & \bullet & a & d & b & c \\ \cline{2-6} \mathbf{D_3}:\; b & d & c & \bullet & a^2 & a \\ c & b & d & a & \bullet & a^2 \\ d & c & b & a^2 & a & \bullet \\ \cline{2-6} \end{array} \;\;\;\;\;\;\; \begin{array}{ll|ccc|cccc|} \multicolumn{2}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{a} & \multicolumn{1}{c}{a^2} & \multicolumn{1}{c}{a^3} & \multicolumn{1}{c}{b}& \multicolumn{1}{c}{c}& \multicolumn{1}{c}{d}& \multicolumn{1}{c}{f}\\ \cline{3-9} & a & a^2 & a^3 & \bullet& f & d & b & c \\ & a^2& a^3 &\bullet & a & c & b & f & d \\ & a^3&\bullet & a & a^2 & d & f & c & b \\ \cline{3-9} \mathbf{D_4}: & b & d & c & f &\bullet & a^2 & a & a^3 \\ & c & f & b & d & a^2 &\bullet & a^3 & a \\ & d & c & f & b & a^3 & a &\bullet & a^2 \\ & f & b & d & c & a & a^3 & a^2 &\bullet \\ \cline{3-9} \end{array}</math></center>
 +
 +
Кроме наименьшей неабелевой группы <math>\textstyle \mathbf{D_3}</math> для 6 элементов существует ещё абелева группа <math>\textstyle \mathbf{C_6}</math>. Группа 7-го порядка одна (<math>\textstyle \mathbf{C_7}</math>); 8-й порядок допускает уже 5 групп, две из которых неабелевы. Это <math>\textstyle \mathbf{D_4}</math> и группа кватернионов <math>\textstyle \mathbf{Q}</math> (см.стр.\,\pageref{quat_basis_def1}).
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> В левом верхнем углу таблиц <math>\textstyle \mathbf{D_n}</math> находится блок, совпадающий с циклической группой. Говорят, что <math>\textstyle \mathbf{C_n}</math> является {подгруппой} группы <math>\textstyle \mathbf{D_{n}}</math>.
 +
 +
''Подгруппа'' <math>\textstyle \mathbf{H}</math>, это подмножество <math>\textstyle \mathbf{H}\subset \mathbf{G}</math>, элементов группы <math>\textstyle \mathbf{G}</math> для которых выполняются ''все'' групповые свойства (есть единичный, у каждого элемента &mdash; обратный, и при умножении возникают только элементы из подгруппы <math>\textstyle \mathbf{H}</math>: <math>\textstyle h_i, \;h_j, \;h_i\, h_j\in \mathbf{H}</math>). Так, <math>\textstyle {\mathbf C}_3 \subset {\mathbf D}_3</math>.
 +
 +
Единичный элемент <math>\textstyle \{e\}</math> и сама группа <math>\textstyle \mathbf{G}</math> являются подгруппами <math>\textstyle \mathbf{G}</math>. Их называют ''собственными''. Выявление остальных (''несобственных'') подгрупп данной группы позволяет лучше понять её свойства.
 +
 +
Если <math>\textstyle \mathbf{F}\subset \mathbf{H}</math>, а <math>\textstyle \mathbf{H}\subset \mathbf{G}</math> то <math>\textstyle \mathbf{F}\subset \mathbf{G}</math> (отношение ''транзитивности''). Для обозначения "вложенности" подгрупп иногда переворачивают значок подгруппы: <math>\textstyle \mathbf{D_4}\supset \mathbf{C_4}\supset \mathbf{C_2}</math>. Пересечение подгрупп также является подгруппой (иногда это только <math>\textstyle \{e\}</math>). Стоит найти (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) подгруппы группы <math>\textstyle \mathbf{D_3}</math> и построить (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) иерархию подгрупп группы <math>\textstyle \mathbf{D_4}</math>.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Если у группы <math>\textstyle \mathbf{G}</math> известна некоторая подгруппа <math>\textstyle \mathbf{H}</math>, то можно попытаться найти другие подгруппы. Для этого, выбирается фиксированный элемент <math>\textstyle g</math> группы (<math>\textstyle g\in \mathbf{G}</math>), не принадлежащий <math>\textstyle \mathbf{H}</math> (<math>\textstyle g\not\in \mathbf{H}</math>) и строится ''сопряжённая подгруппа'' <math>\textstyle \mathbf{H}'=g\mathbf{H}g^{-1}</math>, элементы которой получаются умножением всех элементов <math>\textstyle \mathbf{H}</math> слева на <math>\textstyle g</math>, а справа на <math>\textstyle g^{-1}</math>. То, что такое множество элементов образует группу, легко проверяется (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H). Так, результат умножения остаётся внутри <math>\textstyle \mathbf{H}'</math>:
 +
 +
:<center><math>h'_i h'_j = (g\, h_i\, g^{-1})\cdot(g\, h_j\, g^{-1}) = g\, (h_i\, h_j)\, g^{-1}=g h_k g^{-1}=h'_k\in \mathbf{H}'.</math></center>
 +
 +
Например, для <math>\textstyle \{e,b\}\subset\mathbf{D_3}</math> имеем <math>\textstyle a\cdot\{e,b\}\cdot a^{-1}=\{a,c\}\cdot a^{2}=\{e,d\}\subset \mathbf{D_3}</math>.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Подгруппа <math>\textstyle \mathbf{H}\subset\mathbf{G}</math> называется ''инвариантной'', если её сопряжение с ''любым'' элементом <math>\textstyle \mathbf{G}</math> снова дает <math>\textstyle \mathbf{H}</math> (новая подгруппа не возникает). В этом случае для любого <math>\textstyle g\in \mathbf{G}</math> имеем: <math>\textstyle g^{-1}\, h_i\, g = h_j\in \mathbf{H}</math> или иначе <math>\textstyle h_i\, g = g \, h_j</math>. Заметим, что при сопряжении элемента <math>\textstyle h_i</math> получается вообще говоря ''другой'' элемент <math>\textstyle h_j</math> инвариантной подгруппы. Несложно видеть, что все подгруппы абелевой группы являются инвариантными.
 +
 +
Группа, не имеющая инвариантных подгрупп (кроме себя самой и единичного элемента) называется ''простой''. Группа <math>\textstyle \mathbf{D}_3</math> не простая, так как <math>\textstyle \mathbf{C}_3\subset\mathbf{D}_3</math> инвариантна (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H). ''Полупростой'' называется группа у которой все инвариантные подгруппы неабелевы.
 +
 +
Если <math>\textstyle \mathbf{H}_1</math> инвариантная подгруппа группы <math>\textstyle \mathbf{G} \supset \mathbf{H}_1</math>, а <math>\textstyle \mathbf{H}_2</math> инвариантная подгруппа группы <math>\textstyle \mathbf{H}_1\supset \mathbf{H}_2</math>, то в общем случае <math>\textstyle \mathbf{H}_2</math> не является инвариантной подгруппой группы <math>\textstyle \mathbf{G}</math> (хотя конечно <math>\textstyle \mathbf{H}_2</math> является подгруппой <math>\textstyle \mathbf{G}</math>). Т.е. инвариантность подгрупп не обладает транзитивностью.
 +
 +
}<math>\textstyle } </math>\bullet<math>\textstyle Циклическая группа </math>'''C_n'''<math>\textstyle , в отличие от групп диэдра </math>'''D_n'''<math>\textstyle , </math>n>3<math>\textstyle , является абелевой группой. Естественно это не единственный пример семейства абелевых групп. В циклической группе один производящий элемент генерит все остальные элементы группы. Однако производящих элементов может быть несколько. Рассмотрим, например, группу </math>'''C_{n,m'''}$, задав её при помощи определяющих соотношений:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{C_{n,m}} = \left\langle a, b| \;a^n=e,\;\;b^m=e,\;\;ab=ba\;\right\rangle .</math></center>
 +
 +
Эта группа имеет порядок <math>\textstyle n\cdot m</math> и является абелевой, с двумя порождающими элементами. Например:
 +
 +
:<center><math>\begin{array}{rl|c|cc|cc|} \multicolumn{2}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{a} & \multicolumn{1}{c}{b} & \multicolumn{1}{c}{b^2}& \multicolumn{1}{c}{ab}& \multicolumn{1}{c}{ab^2}\\ \cline{3-7} & a & \bullet & ab & ab^2 & b & b^2 \\ \cline{3-7} & b & ab & b^2 & \bullet & ab^2 & a \\ \mathbf{C_{2,3}}:\;\;& b^2 & ab^2 & \bullet & b & a & ab \\ \cline{3-7} & ab & b & ab^2 & a & b^2 & \bullet \\ & ab^2& b^2 & a & ab & \bullet & b \\ \cline{3-7} \end{array}</math></center>
 +
 +
Для наглядности, мы не стали вводить имена для двух новых элементов <math>\textstyle c=ab</math> и <math>\textstyle d=ab^2</math>, оставив в таблице только производящие элементы. Хорошо видно, что эта группа симметрична относительно ''главной диагонали'' (из левого верхнего угла в правый нижний).
 +
 +
Аналогично можно определить абелеву группу с тремя, и т.д. порождающими элементами. Они имеют наглядное представление в виде дисков открывающих замок в сейфе или камере хранения. Так, элементы группы <math>\textstyle \mathbf{C_{2,3}}</math> могут быть представлены при помощи следующих картинок (два диска замка нарисованы один в другом):
 +
 +
 +
 +
<center>[[File:C23.png]]</center>
 +
 +
Вращение дисков независимы друг от друга, и это собственно и приводит к абелевости группы. Если мы имеем <math>\textstyle n</math> дисков, с количеством цифр <math>\textstyle k_1</math>,...,<math>\textstyle k_n</math>, то порядок такой группы <math>\textstyle \mathbf{C_{k_1...k_n}}</math> будет равен <math>\textstyle k_1\cdot ...\cdot k_n</math>. Любой элемент группы <math>\textstyle \mathbf{C}_{\mathbf k_1...k_n}</math> раскладывается на коммутирующие множители порождающих элементов: <math>\textstyle a^{m_1}_1\cdot ... a^{m_n}_n</math>, где <math>\textstyle m_i<k_i</math>.
 +
 +
Эти группы покрывают все возможные абелевы группы. Простые циклические группы являются их вырожденным случаем, когда порождающий элемент единственен или <math>\textstyle k_i</math> &mdash; ''взаимопростые''.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Две группы называются ''изоморфными'', если с точностью до переобозначения элементов их таблицы умножения совпадают. Сравним таблицы группы <math>\textstyle \mathbf{C_{2,3}}</math> и циклической группы <math>\textstyle \mathbf{C_6}</math> (см. ниже). Так как порядки порождающих элементов взаимопростые, можно сделать такие соответствия от группы <math>\textstyle \mathbf{C_{2,3}}</math> к группе <math>\textstyle \mathbf{C_{6}}</math>: <math>\textstyle a \mapsto a^3</math> и <math>\textstyle b\mapsto a^2</math> (их 2-я и 3-я степени дают единичный элемент). Аналогично <math>\textstyle ab\mapsto a^3\cdot a^2 = a^5</math>, и т.д. В результате между элементами групп <math>\textstyle \mathbf{C_{2,3}}</math> и <math>\textstyle \mathbf{C_6}</math> устанавливается взаимооднозначное соответствие, ''сохраняющее'' групповое умножение, что обозначается следующим образом: <math>\textstyle \mathbf{C_{2,3}}\approx \mathbf{C_{6}}</math>. Это соответствие записано ниже справа в виде функции:
 +
 +
:<center><math>\begin{array}{rl|ccccc|} \multicolumn{2}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{a} & \multicolumn{1}{c}{a^2} & \multicolumn{1}{c}{a^3}& \multicolumn{1}{c}{a^4}& \multicolumn{1}{c}{a^5}\\ \cline{3-7} & a & a^2 & a^3 & a^4 & a^5 & \bullet \\ & a^2 & a^3 & a^4 & a^5 & \bullet & a \\ \mathbf{C_{6}}:\;\; & a^3 & a^4 & a^5 & \bullet & a & a^2 \\ & a^4 & a^5 &\bullet & a & a^2 & a^3 \\ & a^5 & \bullet & a & a^2 & a^3 & a^4 \\ \cline{3-7} \end{array}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Psi \begin{pmatrix} a \\ b \\ b^2 \\ ab \\ ab^2 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a^3 \\ a^2 \\ a^4 \\ a^5 \\ a \\ \end{pmatrix}.</math></center>
 +
 +
Две группы <math>\textstyle \mathbf{G}</math> и <math>\textstyle \mathbf{G}'</math> является ''гомоморфными'' если существует соответствие между их элементами, т.е. всюду определённая функция <math>\textstyle \Psi</math> из <math>\textstyle \mathbf{G}</math> в <math>\textstyle \mathbf{G}'</math>: <math>\textstyle g_k' = \Psi(g_i)</math> ''сохраняющая умножения'': <math>\textstyle \Psi(g_i\,g_j)=\Psi(g_i)\Psi(g_j). </math> Множество <math>\textstyle \mathbf{G}'</math> называется ''образом'' отображения: <math>\textstyle \mathbf{G}'=\Psi(\mathbf{G})</math>. Иногда пишут <math>\textstyle \mathbf{G}'={\rm Im}\,\Psi</math>. Если функция <math>\textstyle \Psi</math> имеет обратную, т.е. соответствие взаимно-однозначно, то это изоморфизм. Поэтому изоморфизм является частным случаем гомоморфизма, когда отображение групп существует в обе стороны. Наглядно это можно представить в следующем виде:
 +
 +
<center>[[File:isom_gom.png]]</center>
 +
 +
В качестве примера рассмотрим множество несингулярных (с ненулевыми определителями) матриц <math>\textstyle n</math>x<math>\textstyle n</math>. Они имеют обратные, а, следовательно, их умножение удовлетворяет групповым аксиомам. Определитель произведения <math>\textstyle \det(\mathbf{A}\mathbf{B})=\det\mathbf{A} \det\mathbf{B}</math> устанавливает гомоморфное отображение из группы матриц в группу ненулевых вещественных чисел.
 +
 +
Множество элементов переходящих при гомоморфизме <math>\textstyle \mathbf{G}'=\Psi(\mathbf{G})</math> в единичный элемент <math>\textstyle e'\in \mathbf{G}'</math> называется ''ядром гомоморфизма'' и обозначается <math>\textstyle {\rm ker}\,\Psi</math>. В примере с матрицами ядром является множество всех матриц с единичным определителем. Они образуют группу <math>\textstyle \mathbf{SL}(n,C)</math>.
  
 
----
 
----

Версия 16:58, 27 сентября 2012

Что такое симметрия? << Оглавление (Последняя версия в: Глава 5) >> Группа перестановок

Самой простой является группа циклических перестановок элементов . Пронумеруем углы правильного -угольника. Пусть его вращают в плоскости на углы , где без переворотов. Ниже представлены такие преобразования треугольника () и квадрата ():

Group Cn.png

Понятно, что это абелева группа. Поворот раз на угол порождает любой элемент группы. Для именования элементов группы удобно использовать следующие обозначения:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\multicolumn»): {\displaystyle \begin{array}{r|c|} \multicolumn{1}{r}{\mathbf{C_2}} & \multicolumn{1}{c}{a} \\ \cline{2-2} a & \bullet \\ \cline{2-2} \multicolumn{1}{c}{}\\ \multicolumn{1}{c}{}\\ \end{array} \;\;\;\;\;\; \begin{array}{r|cc|} \multicolumn{1}{c}{\mathbf{C_3}} & \multicolumn{1}{c}{a} & \multicolumn{1}{c}{a^2}\\ \cline{2-3} a & a^2 & \bullet \\ a^2 & \bullet & a \\ \cline{2-3} \multicolumn{1}{c}{}\\ \end{array} \;\;\;\;\;\; \begin{array}{r|ccc|} \multicolumn{1}{c}{\mathbf{C_4}} & \multicolumn{1}{c}{a} & \multicolumn{1}{c}{a^2} & \multicolumn{1}{c}{a^3}\\ \cline{2-4} a & a^2 & a^3 &\bullet \\ a^2 & a^3 & \bullet &a \\ a^3 &\bullet & a & a^2\\ \cline{2-4} \end{array} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin{array}{r|ccc|} \multicolumn{1}{c}{\mathbf{D_2}} & \multicolumn{1}{c}{a} & \multicolumn{1}{c}{b} & \multicolumn{1}{c}{c}\\ \cline{2-4} a & \bullet & c & b\\ b & c & \bullet &a \\ c & b & a & \bullet \\ \cline{2-4} \end{array}}

Имеется одна группа 2-го () и одна 3-го порядка (). Для 4-х элементов возможны две группы и (см.выше). Для 5-ти — одна ().

Если правильному -угольнику разрешено вращаться в плоскости вокруг центра симметрии, и переворачиваться вокруг осей симметрии, то получается группа диэдра порядка . К относят и группу преобразований прямоугольника (\,H). Для треугольника () имеем (для квадрата см.стр.\,\pageref{sym_D3_pic}):

Group D3.png
Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\multicolumn»): {\displaystyle \begin{array}{r|cc|ccc|} \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{a}& \multicolumn{1}{c}{a^2} & \multicolumn{1}{c}{b} & \multicolumn{1}{c}{c} & \multicolumn{1}{c}{d}\\ \cline{2-6} a & a^2 & \bullet & c & d & b \\ a^2 & \bullet & a & d & b & c \\ \cline{2-6} \mathbf{D_3}:\; b & d & c & \bullet & a^2 & a \\ c & b & d & a & \bullet & a^2 \\ d & c & b & a^2 & a & \bullet \\ \cline{2-6} \end{array} \;\;\;\;\;\;\; \begin{array}{ll|ccc|cccc|} \multicolumn{2}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{a} & \multicolumn{1}{c}{a^2} & \multicolumn{1}{c}{a^3} & \multicolumn{1}{c}{b}& \multicolumn{1}{c}{c}& \multicolumn{1}{c}{d}& \multicolumn{1}{c}{f}\\ \cline{3-9} & a & a^2 & a^3 & \bullet& f & d & b & c \\ & a^2& a^3 &\bullet & a & c & b & f & d \\ & a^3&\bullet & a & a^2 & d & f & c & b \\ \cline{3-9} \mathbf{D_4}: & b & d & c & f &\bullet & a^2 & a & a^3 \\ & c & f & b & d & a^2 &\bullet & a^3 & a \\ & d & c & f & b & a^3 & a &\bullet & a^2 \\ & f & b & d & c & a & a^3 & a^2 &\bullet \\ \cline{3-9} \end{array}}

Кроме наименьшей неабелевой группы для 6 элементов существует ещё абелева группа . Группа 7-го порядка одна (); 8-й порядок допускает уже 5 групп, две из которых неабелевы. Это и группа кватернионов (см.стр.\,\pageref{quat_basis_def1}).

В левом верхнем углу таблиц находится блок, совпадающий с циклической группой. Говорят, что является {подгруппой} группы .

Подгруппа , это подмножество , элементов группы для которых выполняются все групповые свойства (есть единичный, у каждого элемента — обратный, и при умножении возникают только элементы из подгруппы : ). Так, .

Единичный элемент и сама группа являются подгруппами . Их называют собственными. Выявление остальных (несобственных) подгрупп данной группы позволяет лучше понять её свойства.

Если , а то (отношение транзитивности). Для обозначения "вложенности" подгрупп иногда переворачивают значок подгруппы: . Пересечение подгрупп также является подгруппой (иногда это только ). Стоит найти (\,H) подгруппы группы и построить (\,H) иерархию подгрупп группы .

Если у группы известна некоторая подгруппа , то можно попытаться найти другие подгруппы. Для этого, выбирается фиксированный элемент группы (), не принадлежащий () и строится сопряжённая подгруппа , элементы которой получаются умножением всех элементов слева на , а справа на . То, что такое множество элементов образует группу, легко проверяется (\,H). Так, результат умножения остаётся внутри :

Например, для имеем .

Подгруппа называется инвариантной, если её сопряжение с любым элементом снова дает (новая подгруппа не возникает). В этом случае для любого имеем: или иначе . Заметим, что при сопряжении элемента получается вообще говоря другой элемент инвариантной подгруппы. Несложно видеть, что все подгруппы абелевой группы являются инвариантными.

Группа, не имеющая инвариантных подгрупп (кроме себя самой и единичного элемента) называется простой. Группа не простая, так как инвариантна (\,H). Полупростой называется группа у которой все инвариантные подгруппы неабелевы.

Если инвариантная подгруппа группы , а инвариантная подгруппа группы , то в общем случае не является инвариантной подгруппой группы (хотя конечно является подгруппой ). Т.е. инвариантность подгрупп не обладает транзитивностью.

}Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle } } \bulletНевозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle Циклическая группа } C_nНевозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle , в отличие от групп диэдра } D_nn>3Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle , является абелевой группой. Естественно это не единственный пример семейства абелевых групп. В циклической группе один производящий элемент генерит все остальные элементы группы. Однако производящих элементов может быть несколько. Рассмотрим, например, группу } C_{n,m}$, задав её при помощи определяющих соотношений:

Эта группа имеет порядок и является абелевой, с двумя порождающими элементами. Например:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\multicolumn»): {\displaystyle \begin{array}{rl|c|cc|cc|} \multicolumn{2}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{a} & \multicolumn{1}{c}{b} & \multicolumn{1}{c}{b^2}& \multicolumn{1}{c}{ab}& \multicolumn{1}{c}{ab^2}\\ \cline{3-7} & a & \bullet & ab & ab^2 & b & b^2 \\ \cline{3-7} & b & ab & b^2 & \bullet & ab^2 & a \\ \mathbf{C_{2,3}}:\;\;& b^2 & ab^2 & \bullet & b & a & ab \\ \cline{3-7} & ab & b & ab^2 & a & b^2 & \bullet \\ & ab^2& b^2 & a & ab & \bullet & b \\ \cline{3-7} \end{array}}

Для наглядности, мы не стали вводить имена для двух новых элементов и , оставив в таблице только производящие элементы. Хорошо видно, что эта группа симметрична относительно главной диагонали (из левого верхнего угла в правый нижний).

Аналогично можно определить абелеву группу с тремя, и т.д. порождающими элементами. Они имеют наглядное представление в виде дисков открывающих замок в сейфе или камере хранения. Так, элементы группы могут быть представлены при помощи следующих картинок (два диска замка нарисованы один в другом):


C23.png

Вращение дисков независимы друг от друга, и это собственно и приводит к абелевости группы. Если мы имеем дисков, с количеством цифр ,...,, то порядок такой группы будет равен . Любой элемент группы раскладывается на коммутирующие множители порождающих элементов: , где .

Эти группы покрывают все возможные абелевы группы. Простые циклические группы являются их вырожденным случаем, когда порождающий элемент единственен или взаимопростые.

Две группы называются изоморфными, если с точностью до переобозначения элементов их таблицы умножения совпадают. Сравним таблицы группы и циклической группы (см. ниже). Так как порядки порождающих элементов взаимопростые, можно сделать такие соответствия от группы к группе : и (их 2-я и 3-я степени дают единичный элемент). Аналогично , и т.д. В результате между элементами групп и устанавливается взаимооднозначное соответствие, сохраняющее групповое умножение, что обозначается следующим образом: . Это соответствие записано ниже справа в виде функции:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\multicolumn»): {\displaystyle \begin{array}{rl|ccccc|} \multicolumn{2}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{a} & \multicolumn{1}{c}{a^2} & \multicolumn{1}{c}{a^3}& \multicolumn{1}{c}{a^4}& \multicolumn{1}{c}{a^5}\\ \cline{3-7} & a & a^2 & a^3 & a^4 & a^5 & \bullet \\ & a^2 & a^3 & a^4 & a^5 & \bullet & a \\ \mathbf{C_{6}}:\;\; & a^3 & a^4 & a^5 & \bullet & a & a^2 \\ & a^4 & a^5 &\bullet & a & a^2 & a^3 \\ & a^5 & \bullet & a & a^2 & a^3 & a^4 \\ \cline{3-7} \end{array}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Psi \begin{pmatrix} a \\ b \\ b^2 \\ ab \\ ab^2 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a^3 \\ a^2 \\ a^4 \\ a^5 \\ a \\ \end{pmatrix}.}

Две группы и является гомоморфными если существует соответствие между их элементами, т.е. всюду определённая функция из в : сохраняющая умножения: Множество называется образом отображения: . Иногда пишут . Если функция имеет обратную, т.е. соответствие взаимно-однозначно, то это изоморфизм. Поэтому изоморфизм является частным случаем гомоморфизма, когда отображение групп существует в обе стороны. Наглядно это можно представить в следующем виде:

Isom gom.png

В качестве примера рассмотрим множество несингулярных (с ненулевыми определителями) матриц x. Они имеют обратные, а, следовательно, их умножение удовлетворяет групповым аксиомам. Определитель произведения устанавливает гомоморфное отображение из группы матриц в группу ненулевых вещественных чисел.

Множество элементов переходящих при гомоморфизме в единичный элемент называется ядром гомоморфизма и обозначается . В примере с матрицами ядром является множество всех матриц с единичным определителем. Они образуют группу .


Что такое симметрия? << Оглавление (Последняя версия в: Глава 5) >> Группа перестановок

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии