Применения теоремы Нётер

Материал из synset
Версия от 19:05, 2 июля 2013; WikiSysop (обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Теорема Нётер << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Неоднозначность и ковариантность

Рассмотрим трансляционные преобразования в пространстве и во времени без изменения полевых функций:

(EQN)

Физически подобные преобразования можно реализовать следующим образом. Пусть есть две системы отсчёта и , которые неподвижны относительно друг друга. Наблюдатели в измеряют координаты и время относительно выбранного ими начала отсчёта. Начало отсчёта системы сдвинуто в 3-мерном пространстве относительно начала на вектор . Отсчёт времени также сдвинут на . Так как системы неподвижны, любая функция (неважно скалярная или векторная) будет иметь одно и тоже значение в данной точке пространства, которая имеет разные координаты в обоих системах. Именно это и записано в ().

Если лагранжиан не зависит явно от (только через полевые функции), то действие и уравнения движения будут инвариантны относительно трансляционных преобразований. В данном случае индекс , нумерующий параметры, пробегает значения от 0 до 3 и является обычным индексом 4-мерного ковариантного формализма:

Поэтому сохраняющийся нётеровский ток () с обратным знаком равен каноническому тензору энергии-импульса (), стр.\,\pageref{canon_stres_ten_em}:

(EQN)

Таким образом, сохранение энергии и импульса поля связано с симметрией уравнений движения относительно сдвигов во времени и трансляций (сдвигов на вектор ) в 3-мерном пространстве .

Теорема Нётер при произвольных преобразованиях может быть записана в более компактной форме при помощи канонического тензора энергии импульса:

(EQN)

Следовательно, канонический тензор энергии-импульса будет входить в любой закон сохранения, связанный симметрией, которая затрагивает координаты (коэффициенты отличны от нуля).

Уравнения движения и действие должны быть одинаковыми для различных инерциальных наблюдателей, связанных преобразованиями Лоренца. Мы запишем их в матричном виде (стр.\,\pageref{matrix_transorm}):

Напомним, что преобразования Лоренца можно интерпретировать как повороты 4-пространства с координатами . Они содержат в себе как чистое преобразование Лоренца (буст), описывающее относительное движение систем отсчёта со скоростью , так и обычные 3-мерные вращения на угол вокруг одной из пространственных осей. Поэтому, преобразования Лоренца, в общем случае, зависят от 6 параметров . Пусть эти параметры малы так, что матрицу можно разложить в окрестности единичной матрицы:

Элементы матрицы являются малыми величинами, линейно зависящими от параметров преобразования Лоренца. Соответственно сами преобразования в этом приближении имеют вид:

(EQN)

Запишем с точностью до первого порядка малости по условие инвариантности интервала:

Учитывая, что и переименовывая индексы можно записать . Поэтому, чтобы интервал был инвариантен (), должно выполнятся соотношение:

Это выражение является свёрткой тензора с симметричным тензором . Так как от координат не зависит, ноль получится, только если коэффициенты будут антисимметричными (стр.\,\pageref{m_antisym_sym}):

У антисимметричной матрицы диагональные элементы равны нулю, а ненулевых независимых элементов будет 6. Эти 6 элементов и соответствуют 6 параметрам преобразований. Их можно выразить через относительную скорость инерциальных систем отсчёта и углы поворота их координатных осей (см. главу ).

Так как параметры преобразования записаны в виде матрицы, индекс "" в токе теоремы Нётер состоит из двух индексов и суммирование по нему эквивалентно двойной сумме. Найдём коэффициенты варьирования координат:

Поясним взятие производной. Пусть индексы имеют конкретное значение, например , . Ненулевая производная по получится от слагаемых и . Первое из них соответствует , а второе . Поэтому либо либо . В остальных случаях имеем ноль.

Подставляя в сохраняющийся ток () и опуская индекс вниз, получаем:

Сворачивая с символами Кронекера, окончательно получаем:

(EQN)

где первое слагаемое принято называть угловым моментом вращения поля, а второе слагаемое — спиновым моментом поля:

Угловой момент определяется каноническим тензором энергии-импульса. Спиновый момент зависит от трансформационных свойств поля относительно преобразований Лоренца (коэффициенты ). Оба эти тензора являются антисимметричными по индексам и .

Подчеркнём, что названия "угловой" и "спиновый" моменты достаточно условны. Ранее (стр.\,\pageref{sec_spin}) мы определили спин, как полный момент в системе отсчёта, где суммарный импульс равен нулю. В этой системе интегральный угловой момент не обязательно равен нулю:

Название "спин" для тензора связано лишь с тем, что в его определение не входят явно координаты . В тоже время их наличие в подобно тому, как они входят в момент импульса точечной частицы: .

Спиновый момент зависит от трансформационных свойств поля. Например, для векторного электромагнитного поля закон преобразования точно такой же, как и закон преобразования для координат. Только вместо координат в производных по будут стоять полевые функции. Поэтому:

Вместо символов Кронекера записаны коэффициенты метрического тензора, так как индекс опущен вниз. В результате, спиновый момент равен:

где индекс опущен вниз.

Для лагранжиана электромагнитного поля

производная лагранжиана по равна , поэтому:

Выразим компоненты через напряжённости поля. По индексам тензор антисимметричен. Его пространственные компоненты образуют 3-вектор , а временные . Учитывая что (стр.\,\pageref{F_E_B_def}), получаем:

Как мы видим, результат получается калибровочно зависимым. Т.е. если произвести замены , , где — произвольная функция, напряжённости поля не изменятся. Однако векторы и при этом поменяются. Аналогично изменится канонический тензор энергии-импульса (стр.\,\pageref{h_bk_fl_df_Lan_dA}), который также зависит не только от напряжённости поля (тензора ), но и от потенциалов.

Заметим, что до сих пор мы рассматриваем поле не взаимодействующее с его источниками (зарядами). Экспериментально измеримым, однако, будет суммарный закон сохранения поля и зарядов, так как непосредственно наблюдаем мы именно заряды.

Бывают также симметрии которые не затрагивают преобразования координат. Рассмотрим два скалярных поля и динамика которых описывается следующим лагранжианом ( — константа):

(EQN)

Уравнения движения имеют вид (\,H):

(EQN)

где — оператор Д'Аламбера. Если бы , то эти уравнения совпадали с волновыми уравнениями для напряжённостей или потенциалов электромагнитного поля. Отличная от нуля константа приводит к тому, что волны полей всегда распространяются со скоростью меньшей фундаментальной скорости (которая равна скорости света).

Лагранжиан двухкомпонентного скалярного поля, дополнительно к симметриям трансляции и лоренц-преобразований, инвариантен относительно поворотов в пространстве компонент поля:

(EQN)

Так как это преобразование не затрагивает координат, величины . Параметр один, поэтому индекс опустим, и считая поле в теореме Нётер двухкомпонентным , запишем:

Поэтому сохраняющийся ток имеет вид:

(EQN)

или, учитывая явный вид лагранжиана:

(EQN)

Проверим выполнимость уравнения непрерывности:

где ноль получается после подстановки уравнений движения (). Заметим, что если бы в () параметр у каждого поля был бы свой, ноль в уравнении непрерывности не получился бы. Однако в этом случае отсутствовала бы и симметрия лагранжиана.

От действительных полей можно переходить к комплексным. Например, рассмотренное выше двухкомпонентное скалярное поле может быть переформулировано в терминах однокомпонентного комплексного поля. Его действительной и мнимой частью выступают два действительных поля:

(EQN)

Несложно проверить, что лагранжиан, эквивалентный () имеет вид:

(EQN)

где звёздочка — это комплексное сопряжение. Внешне функция стала одна. Однако она по-прежнему двухкомпонентна, поэтому все вычисления (получение уравнений движения, законов сохранения и т.д.) должны проводится так, как будто и — это два независимых поля. Например, уравнения Лагранжа дают:

Симметрия лагранжиана () записывается в более компактном виде:

Поэтому два коэффициента равны:

Суммируя в теореме Нётер и его комплексное сопряжение, получаем:

Используя лагранжиан (), выражение для тока в явном виде можно записать следующим образом:

(EQN)

Подставляя () несложно проверить, что этот ток эквивалентен ().

В физике элементарных частиц многие поля имеют более компактное представление в комплексных обозначениях. Связано это с разнообразными симметриями, которые приводят к законам сохранения различных зарядов.


Теорема Нётер << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Неоднозначность и ковариантность

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии