Рассмотрим трансляционные преобразования в пространстве и во времени без изменения полевых функций:
|
(EQN)
|
Физически подобные преобразования можно реализовать следующим образом. Пусть есть две системы отсчёта и , которые неподвижны относительно друг друга. Наблюдатели в измеряют координаты и время относительно выбранного ими начала отсчёта. Начало отсчёта системы сдвинуто в 3-мерном пространстве относительно начала на вектор . Отсчёт времени также сдвинут на . Так как системы неподвижны, любая функция (неважно скалярная или векторная) будет иметь одно и тоже значение в данной точке пространства, которая имеет разные координаты в обоих системах. Именно это и записано в ().
Если лагранжиан не зависит явно от (только через полевые функции), то действие и уравнения движения будут инвариантны относительно трансляционных преобразований. В данном случае индекс , нумерующий параметры, пробегает значения от 0 до 3 и является обычным индексом 4-мерного ковариантного формализма:
Поэтому сохраняющийся нётеровский ток () с обратным знаком равен каноническому тензору энергии-импульса (), стр.\,\pageref{canon_stres_ten_em}:
|
(EQN)
|
Таким образом, сохранение энергии и импульса поля связано с симметрией уравнений движения относительно сдвигов во времени и трансляций (сдвигов на вектор ) в 3-мерном пространстве .
Теорема Нётер при произвольных преобразованиях может быть записана в более компактной форме при помощи канонического тензора энергии импульса:
|
(EQN)
|
Следовательно, канонический тензор энергии-импульса будет входить в любой закон сохранения, связанный симметрией, которая затрагивает координаты (коэффициенты отличны от нуля).
Уравнения движения и действие должны быть одинаковыми для различных инерциальных наблюдателей, связанных преобразованиями Лоренца. Мы запишем их в матричном виде (стр.\,\pageref{matrix_transorm}):
Напомним, что преобразования Лоренца можно интерпретировать как повороты 4-пространства с координатами . Они содержат в себе как чистое преобразование Лоренца (буст), описывающее относительное движение систем отсчёта со скоростью , так и обычные 3-мерные вращения на угол вокруг одной из пространственных осей. Поэтому, преобразования Лоренца, в общем случае, зависят от 6 параметров . Пусть эти параметры малы так, что матрицу можно разложить в окрестности единичной матрицы:
Элементы матрицы являются малыми величинами, линейно зависящими от параметров преобразования Лоренца. Соответственно сами преобразования в этом приближении имеют вид:
|
(EQN)
|
Запишем с точностью до первого порядка малости по условие инвариантности интервала:
Учитывая, что и переименовывая индексы можно записать . Поэтому, чтобы интервал был инвариантен (), должно выполнятся соотношение:
Это выражение является свёрткой тензора с симметричным тензором . Так как от координат не зависит, ноль получится, только если коэффициенты будут антисимметричными (стр.\,\pageref{m_antisym_sym}):
У антисимметричной матрицы диагональные элементы равны нулю, а ненулевых независимых элементов будет 6. Эти 6 элементов и соответствуют 6 параметрам преобразований. Их можно выразить через относительную скорость инерциальных систем отсчёта и углы поворота их координатных осей (см. главу ).
Так как параметры преобразования записаны в виде матрицы, индекс "" в токе теоремы Нётер состоит из двух индексов и суммирование по нему эквивалентно двойной сумме. Найдём коэффициенты варьирования координат:
Поясним взятие производной. Пусть индексы имеют конкретное значение, например , . Ненулевая производная по получится от слагаемых и . Первое из них соответствует , а второе . Поэтому либо либо . В остальных случаях имеем ноль.
Подставляя в сохраняющийся ток () и опуская индекс вниз, получаем:
Сворачивая с символами Кронекера, окончательно получаем:
|
(EQN)
|
где первое слагаемое принято называть угловым моментом вращения поля, а второе слагаемое — спиновым моментом поля:
Угловой момент определяется каноническим тензором энергии-импульса. Спиновый момент зависит от трансформационных свойств поля относительно преобразований Лоренца (коэффициенты ). Оба эти тензора являются антисимметричными по индексам и .
Подчеркнём, что названия "угловой" и "спиновый" моменты достаточно условны. Ранее (стр.\,\pageref{sec_spin}) мы определили спин, как полный момент в системе отсчёта, где суммарный импульс равен нулю. В этой системе интегральный угловой момент не обязательно равен нулю:
Название "спин" для тензора связано лишь с тем, что в его определение не входят явно координаты . В тоже время их наличие в подобно тому, как они входят в момент импульса точечной частицы: .
Спиновый момент зависит от трансформационных свойств поля. Например, для векторного электромагнитного поля закон преобразования точно такой же, как и закон преобразования для координат. Только вместо координат в производных по будут стоять полевые функции. Поэтому:
Вместо символов Кронекера записаны коэффициенты метрического тензора, так как индекс опущен вниз. В результате, спиновый момент равен:
где индекс опущен вниз.
Для лагранжиана электромагнитного поля
производная лагранжиана по равна , поэтому:
Выразим компоненты через напряжённости поля. По индексам тензор антисимметричен. Его пространственные компоненты образуют 3-вектор , а временные . Учитывая что (стр.\,\pageref{F_E_B_def}), получаем:
Как мы видим, результат получается калибровочно зависимым. Т.е. если произвести замены , , где — произвольная функция, напряжённости поля не изменятся. Однако векторы и при этом поменяются. Аналогично изменится канонический тензор энергии-импульса (стр.\,\pageref{h_bk_fl_df_Lan_dA}), который также зависит не только от напряжённости поля (тензора ), но и от потенциалов.
Заметим, что до сих пор мы рассматриваем поле не взаимодействующее с его источниками (зарядами). Экспериментально измеримым, однако, будет суммарный закон сохранения поля и зарядов, так как непосредственно наблюдаем мы именно заряды.
Бывают также симметрии которые не затрагивают преобразования координат. Рассмотрим два скалярных поля и динамика которых описывается следующим лагранжианом ( — константа):
|
(EQN)
|
Уравнения движения имеют вид (\,H):
|
(EQN)
|
где — оператор Д'Аламбера. Если бы , то эти уравнения совпадали с волновыми уравнениями для напряжённостей или потенциалов электромагнитного поля. Отличная от нуля константа приводит к тому, что волны полей всегда распространяются со скоростью меньшей фундаментальной скорости (которая равна скорости света).
Лагранжиан двухкомпонентного скалярного поля, дополнительно к симметриям трансляции и лоренц-преобразований, инвариантен относительно поворотов в пространстве компонент поля:
|
(EQN)
|
Так как это преобразование не затрагивает координат, величины . Параметр один, поэтому индекс опустим, и считая поле в теореме Нётер двухкомпонентным , запишем:
Поэтому сохраняющийся ток имеет вид:
|
(EQN)
|
или, учитывая явный вид лагранжиана:
|
(EQN)
|
Проверим выполнимость уравнения непрерывности:
где ноль получается после подстановки уравнений движения (). Заметим, что если бы в () параметр у каждого поля был бы свой, ноль в уравнении непрерывности не получился бы. Однако в этом случае отсутствовала бы и симметрия лагранжиана.
От действительных полей можно переходить к комплексным. Например, рассмотренное выше двухкомпонентное скалярное поле может быть переформулировано в терминах однокомпонентного комплексного поля. Его действительной и мнимой частью выступают два действительных поля:
|
(EQN)
|
Несложно проверить, что лагранжиан, эквивалентный () имеет вид:
|
(EQN)
|
где звёздочка — это комплексное сопряжение. Внешне функция стала одна. Однако она по-прежнему двухкомпонентна, поэтому все вычисления (получение уравнений движения, законов сохранения и т.д.) должны проводится так, как будто и — это два независимых поля. Например, уравнения Лагранжа дают:
Симметрия лагранжиана () записывается в более компактном виде:
Поэтому два коэффициента равны:
Суммируя в теореме Нётер и его комплексное сопряжение, получаем:
Используя лагранжиан (), выражение для тока в явном виде можно записать следующим образом:
|
(EQN)
|
Подставляя () несложно проверить, что этот ток эквивалентен ().
В физике элементарных частиц многие поля имеют более компактное представление в комплексных обозначениях. Связано это с разнообразными симметриями, которые приводят к законам сохранения различных зарядов.
Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии