Прецессия Томаса/Уравнение для стержня

Лоренцевское сокращение <<	Оглавление	>> Неинерциальные системы отсчёта

---

Пусть в НИСО находится стержень, один из концов которого (точка $\textstyle A$) расположен в начале системы отсчёта. Это начало НИСО движется с переменной скоростью $\textstyle \mathbf {v} (t)$ и ускорением $\textstyle \mathbf {a} (t)$ относительно неподвижной (лабораторной) системы $\textstyle K$. Стержень перемещается параллельно с точки зрения наблюдателей в мгновенно сопутствующей к стержню ИСО. Нас интересует: как такое движение выглядит для наблюдателей в системе $\textstyle K$? Для них положение второго конца стержня (точка $\textstyle B$) относительно точки $\textstyle A$ будет изменяться. Что бы описать это изменение можно рассмотреть две ИСО $\textstyle K'$ и $\textstyle K''$, сопутствующих к НИСО, учесть вигнеровское вращение и результаты предыдущего раздела (см. приложение B). Однако в этом разделе мы будем использовать более простые рассуждения.

Рассмотрим неподвижный относительно ИСО $\textstyle K'$ стержень, один конец которого находится в начале системы (точка $\textstyle A$ на рисунке ). Пусть другой "точно такой же" стержень движется относительно первого с небольшой постоянной скоростью $\textstyle d\mathbf {v} '$ (относительно $\textstyle K'$) так, что в момент времени $\textstyle t'=0$ все точки обоих стержней совпадают. Можно считать, что второй стержень эквивалентен первому стержню, который в момент времени $\textstyle t'=0$ (в системе $\textstyle K'$) приобрел небольшую поступательную скорость $\textstyle d\mathbf {v} '$ в произвольном направлении. Разница ориентации этих двух стержней для наблюдателей в лабораторной системе $\textstyle K$ даст требуемый поворот ускоренно движущегося стержня.

Пусть система отсчёта $\textstyle K'$ движется относительно "неподвижной" системы отсчёта $\textstyle K$ со скоростью $\textstyle \mathbf {v}$. В момент времени $\textstyle t=0$ концы стержней в точке $\textstyle A$ и начала систем отсчёта $\textstyle K$ и $\textstyle K'$ совпадают. Однако, в силу относительности одновременности, вторые концы стержней (точки $\textstyle B$) совпадать не будут (хотя это так в системе $\textstyle K'$). Для неподвижных наблюдателей в $\textstyle K$ стержни оказываются повёрнутыми вокруг точки $\textstyle A$.

\parbox{14cm}{\large \fig Левый рисунок выполнен с точки зрения наблюдателя в системе $\textstyle K'$, в которой находятся два совпадающих при $\textstyle t'=0$ стержня, один из которых неподвижен, а второй движется со скоростью $\textstyle d\mathbf {v} '$. На правом рисунке для наблюдателей в $\textstyle K$ стержни не совпадают. }

Уравнения движения некоторой точки, имеющей постоянную скорость в системах $\textstyle K'$ и $\textstyle K$, имеют вид:

$\mathbf {r} '=\mathbf {r} _{0}'+\mathbf {u} 't',\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {u} t.$

(EQN)

Найдём связь скоростей $\textstyle \mathbf {u}$, $\textstyle \mathbf {u} '$ и начальных положений $\textstyle \mathbf {r} _{0}$, $\textstyle \mathbf {r} _{0}'$ точки в момент времени $\textstyle t=0$ и $\textstyle t'=0$ соответственно. Подставим уравнения движения в обратные преобразования Лоренца ():

$t=\gamma \,(t'+\mathbf {v} \mathbf {r} '_{0}+(\mathbf {v} \mathbf {u} ')t')$

(EQN)

$\mathbf {r} _{0}+\mathbf {u} t=\mathbf {r} _{0}'+\mathbf {u} 't'+\mathbf {v} \gamma t'+\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {r} _{0}')+\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {u} ')t'.$

(EQN)

В левую часть уравнения () подставим время $\textstyle t$ из () и сгруппируем слагаемые при $\textstyle t'$:

$\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{0}'+\gamma \mathbf {u} \,(\mathbf {v} \mathbf {r} '_{0})-\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {r} _{0}')={\bigl [}\mathbf {u} '+\gamma \mathbf {v} +\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {u} ')-\gamma \mathbf {u} \,(1+\mathbf {v} \mathbf {u} '){\bigr ]}t'.$

(EQN)

Это соотношение выполняется при любом $\textstyle t'$, если его левая и правая части равны нулю. В результате приходим к известной формуле сложения скоростей:

$\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {u} '+\mathbf {v} \gamma +\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {u} ')}{\gamma \,(1+\mathbf {v} \mathbf {u} ')}}$

(EQN)

и получаем связь начальных положений точки в двух системах отсчёта:

$\mathbf {r} _{0}=\mathbf {r} '_{0}-\gamma \mathbf {u} (\mathbf {v} \mathbf {r} _{0}')+\Gamma \mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {r} '_{0}).$

(EQN)

В момент времени $\textstyle t=t'=0$ точки $\textstyle A$ первого и второго стержня совпадают и находятся в началах систем отсчёта ($\textstyle \mathbf {r} _{0}=\mathbf {r} '_{0}=0$). Точка $\textstyle B$ первого стержня имеет скорость $\textstyle \mathbf {u} =\mathbf {v}$ и $\textstyle \mathbf {u} '=0$. Поэтому из () следует, что в момент времени $\textstyle t=0$ в системе $\textstyle K$ она имеет координаты:

$\mathbf {r} _{0_{1}}=\mathbf {r} '_{0}-{\frac {\gamma }{\gamma +1}}\,\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \mathbf {r} _{0}'),$

(EQN)

где учтено . Как и следовало ожидать, это соотношение совпадает с () при $\textstyle t=0$.

Точка $\textstyle B$ второго стержня имеет скорости $\textstyle \mathbf {u} =\mathbf {v} +d\mathbf {v}$ и $\textstyle \mathbf {u} '=d\mathbf {v} '$. Из () получаем её положение в момент $\textstyle t=0$ в системе $\textstyle K$:

$\mathbf {r} _{0_{2}}=\mathbf {r} '_{0}-{\frac {\gamma }{\gamma +1}}\,\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \mathbf {r} _{0}')-\gamma (\mathbf {v} \mathbf {r} _{0}')d\mathbf {v} .$

(EQN)

Вычитая из () уравнение (), мы получим изменение положения точки $\textstyle B$ относительно точки $\textstyle A$ (смещение конца $\textstyle B$ второго стержня относительно первого) для наблюдателей в системе $\textstyle K$. Значение $\textstyle \mathbf {r} '_{0}$ точек $\textstyle B$ для обоих стержней в системе $\textstyle K'$ одинаковы (стержни при $\textstyle t'=0$ совпадают).

Введём вектор $\textstyle \mathbf {s}$, соединяющий концы стержня $\textstyle A$ и $\textstyle B$. Так как радиус-вектор точки $\textstyle A$ нулевой, имеем $\textstyle \mathbf {s} =\mathbf {r} _{0_{1}}$. После изменения стержнем скорости в () $\textstyle \mathbf {r} _{0_{2}}=\mathbf {s} +d\mathbf {s}$. Поэтому:

$d\mathbf {s} =-\gamma (\mathbf {v} \mathbf {s} ')d\mathbf {v} =-\gamma ^{2}\,(\mathbf {v} \mathbf {s} )\,d\mathbf {v} ,$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf {s} '=\mathbf {r} '_{0_{1}}=\mathbf {r} '_{0_{2}}$ — положение точки $\textstyle B$ стержней в системе $\textstyle K'$. Во втором равенстве, c учётом (), подставлено $\textstyle \mathbf {v} \mathbf {s} '=\gamma (\mathbf {v} \mathbf {s} )$. Вводя вектор 3-мерного ускорения $\textstyle \mathbf {a} =d\mathbf {v} /dt$, окончательно приходим к уравнению: \parbox{7.5cm}{

(EQN)

Так как точки $\textstyle A$ обоих стержней совпадали, в уравнении () производная по времени от $\textstyle \mathbf {s}$ имеет смысл скорости изменения ориентации и длины стержня (изменение положения точки $\textstyle B$ относительно $\textstyle A$). Сама же точка $\textstyle A$ независимо движется с переменной скоростью $\textstyle \mathbf {v} (t)$.

В результате изменения скорости происходит как изменение длины стержня, так и его ориентации. Можно разделить эти два эффекта. Вводя длину стержня $\textstyle l={\sqrt {\mathbf {s} ^{2}}}$ и единичный вектор в его направлении $\textstyle \mathbf {n} =\mathbf {s} /l$, из () несложно получить:

${\frac {d\ln l}{dt}}=-\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {n} )(\mathbf {a} \mathbf {n} ),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d\mathbf {n} }{dt}}=\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {n} )[\mathbf {a} \times \mathbf {n} ]\times \mathbf {n} .$

(EQN)

Из последнего уравнения следует, что угловая скорость поворота зависит от ориентации стержня $\textstyle \mathbf {n}$. Это существенно отличает полученные уравнения от формулы Томаса ().

При помощи уравнения () несложно проанализировать рассмотренное во введении изменение вертикальной скорости стержня, который движется в горизонтальном направлении. Если стержень перед началом ускорения был ориентирован горизонтально вдоль его скорости, то $\textstyle \mathbf {v} \mathbf {n} =v$ и угловая скорость поворота будет перпендикулярна рисунку. Угол поворота равен $\textstyle d\phi =\gamma ^{2}vdv$, где $\textstyle dv$ — приращение вертикальной составляющей скорости. Угол же поворота в соответствии с формулой Томаса составит $\textstyle \gamma ^{2}\,vdv/(\gamma +1)$ и при малых скоростях оказывается в два раза меньше.

Если стержень ориентирован перпендикулярно к движению, то $\textstyle \mathbf {v} \mathbf {n} =0$, и никакого поворота не будет. Этот же результат следует из соображений, основанных на относительности одновременности. Как отмечалось во введении, формула Томаса в этом случае, тем не менее, предсказывает вращение стержня.

---

Лоренцевское сокращение <<	Оглавление	>> Неинерциальные системы отсчёта