Прецессия Томаса/Приложение B. Вигнеровское вращение для стержня — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) (Новая страница: «Приведём ещё один вывод уравнения (), описывающего изменение вектора <math>\textstyle \mathbf{s}</math>, с…») |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
(не показано 8 промежуточных версий этого же участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | + | Версия для печати: [http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf pdf] | |
+ | ---- | ||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Приложение A. Вигнеровское вращение|Приложение A: Вигнеровское вращение]] << | ||
+ | ! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]] | ||
+ | | width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Литература|Литература]] | ||
+ | |} | ||
+ | ---- | ||
− | Запишем выражение для угла вигнеровского поворота (), полученное в приложении А: | + | Приведём ещё один вывод уравнения (25), описывающего изменение вектора <math>\textstyle \mathbf{s}</math>, связанного со стержнем при его криволинейном движении. При этом, в явном виде будет использоваться вигнеровское вращение. |
+ | |||
+ | Запишем выражение для угла вигнеровского поворота (122), полученное в приложении А: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}]. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}]. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(123)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Этот угол является поворотом, выполняемым ''после'' лоренцевского буста со скоростью (), равной <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Фактор Лоренца для такой скорости равен: | + | Этот угол является поворотом, выполняемым ''после'' лоренцевского буста со скоростью (120), равной <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Фактор Лоренца для такой скорости равен: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \gamma_{\mathbf{v}+d\mathbf{v}}=(1-(\mathbf{v}+d\mathbf{v})^2)^{-1/2}\approx (1-\mathbf{v}^2-2\mathbf{v}d\mathbf{v})^{-1/2} \approx \gamma + \gamma^3\mathbf{v}d\mathbf{v}, </math> | | width="90%" align="center"|<math> \gamma_{\mathbf{v}+d\mathbf{v}}=(1-(\mathbf{v}+d\mathbf{v})^2)^{-1/2}\approx (1-\mathbf{v}^2-2\mathbf{v}d\mathbf{v})^{-1/2} \approx \gamma + \gamma^3\mathbf{v}d\mathbf{v}, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(124)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 19: | Строка 28: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \frac{\gamma_{\mathbf{v}+d\mathbf{v}}}{\gamma_{\mathbf{v}+d\mathbf{v}}+1}\approx\frac{\gamma}{\gamma+1} + \frac{\gamma^3 \,\mathbf{v}d\mathbf{v}}{(\gamma+1)^2}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \frac{\gamma_{\mathbf{v}+d\mathbf{v}}}{\gamma_{\mathbf{v}+d\mathbf{v}}+1}\approx\frac{\gamma}{\gamma+1} + \frac{\gamma^3 \,\mathbf{v}d\mathbf{v}}{(\gamma+1)^2}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(125)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Обозначим со штрихами координаты преобразования с <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Делая в () замену <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto\mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>) и сохраняя первый порядок малости по <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>, получаем ориентацию осей системы координат с изменённой скоростью: | + | Обозначим со штрихами координаты преобразования с <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Делая в (10) замену <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto\mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>) и сохраняя первый порядок малости по <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>, получаем ориентацию осей системы координат с изменённой скоростью: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}= \mathbf{r}' - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \bigl\{\mathbf{v}(\mathbf{v}\,\mathbf{r}') + \mathbf{v}(d\mathbf{v}\,\mathbf{r}')+ d\mathbf{v}(\mathbf{v}\,\mathbf{r}')\bigr\} -\frac{\gamma^3 \,}{(\gamma+1)^2}\,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{r}')\,(\mathbf{v}d\mathbf{v}). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}= \mathbf{r}' - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \bigl\{\mathbf{v}(\mathbf{v}\,\mathbf{r}') + \mathbf{v}(d\mathbf{v}\,\mathbf{r}')+ d\mathbf{v}(\mathbf{v}\,\mathbf{r}')\bigr\} -\frac{\gamma^3 \,}{(\gamma+1)^2}\,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{r}')\,(\mathbf{v}d\mathbf{v}). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(126)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 33: | Строка 42: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}'' + [\mathbf{n}\times\mathbf{r}'']\,d\phi, </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}'' + [\mathbf{n}\times\mathbf{r}'']\,d\phi, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(127)'''</div> |
|} | |} | ||
− | или, используя выражение для угла (): | + | или, используя выражение для угла (123): |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}''+ \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\bigl\{\mathbf{v}(\mathbf{r}''d\mathbf{v})-(\mathbf{r}''\mathbf{v})d\mathbf{v}\bigr\}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}''+ \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\bigl\{\mathbf{v}(\mathbf{r}''d\mathbf{v})-(\mathbf{r}''\mathbf{v})d\mathbf{v}\bigr\}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(128)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Подставляя <math>\textstyle \mathbf{r}'</math> в (), получаем: | + | Подставляя <math>\textstyle \mathbf{r}'</math> в (126), получаем: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}= \mathbf{r}'' -\frac{\gamma}{\gamma+1}\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}'') - \gamma (\mathbf{v}\mathbf{r}'')d\mathbf{v}, </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}= \mathbf{r}'' -\frac{\gamma}{\gamma+1}\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}'') - \gamma (\mathbf{v}\mathbf{r}'')d\mathbf{v}, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(129)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 56: | Строка 65: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}= \bar{\mathbf{r}}' - \frac{\gamma}{\gamma+1}\,\mathbf{v}(\mathbf{v}\,\bar{\mathbf{r}}'). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}= \bar{\mathbf{r}}' - \frac{\gamma}{\gamma+1}\,\mathbf{v}(\mathbf{v}\,\bar{\mathbf{r}}'). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(130)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Если координаты стержня в движущейся системе отсчёта до изменения скорости <math>\textstyle \bar{\mathbf{r}}'</math> и после изменения <math>\textstyle \mathbf{r}''</math> остались неизменными, то для неподвижных наблюдателей их изменение описывается разностью уравнений () и (). Учитывая <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{r}=\mathbf{v}\bar{\mathbf{r}}'/\gamma</math> и вводя вектор, соединяющий концы стержня <math>\textstyle \mathbf{s}=\mathbf{r}</math> мы снова приходим к уравнению (): | + | Если координаты стержня в движущейся системе отсчёта до изменения скорости <math>\textstyle \bar{\mathbf{r}}'</math> и после изменения <math>\textstyle \mathbf{r}''</math> остались неизменными, то для неподвижных наблюдателей их изменение описывается разностью уравнений (129) и (130). Учитывая <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{r}=\mathbf{v}\bar{\mathbf{r}}'/\gamma</math> и вводя вектор, соединяющий концы стержня <math>\textstyle \mathbf{s}=\mathbf{r}</math> мы снова приходим к уравнению (25): |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{s}}{dt} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,\mathbf{a}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{s}}{dt} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,\mathbf{a}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(131)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Наглядно вращение движущейся с переменной скоростью НИСО изображено на рисунке . Если ИСО <math>\textstyle K'</math> движется относительно <math>\textstyle K</math> с произвольной скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, то линии координатной сетки будут определённым образом "сплюснуты" и повёрнуты относительно лабораторной системы отсчёта (первая картинка). Если скорость системы изменяется, то координатная сетка получает новый поворот и деформацию (вторая картинка). Если некоторый вектор имеет фиксированные координаты в движущейся системе отсчёта, то, в результате изменения скорости, они изменятся относительно лабораторной системы. | + | Наглядно вращение движущейся с переменной скоростью НИСО изображено на рисунке 15. Если ИСО <math>\textstyle K'</math> движется относительно <math>\textstyle K</math> с произвольной скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, то линии координатной сетки будут определённым образом "сплюснуты" и повёрнуты относительно лабораторной системы отсчёта (первая картинка). Если скорость системы изменяется, то координатная сетка получает новый поворот и деформацию (вторая картинка). Если некоторый вектор имеет фиксированные координаты в движущейся системе отсчёта, то, в результате изменения скорости, они изменятся относительно лабораторной системы. |
− | <center>[[File: | + | <center>[[File:Thomas_main.png]]</center> |
− | + | <blockquote> '''Рисунок 15'''. При изменение скорости системы отсчёта происходит вигнеровский поворот и лоренцевская деформация координатной сетки. | |
+ | </blockquote> | ||
Это изменение, вообще говоря, зависит от того, как получается система <math>\textstyle K''</math>. Если с системой <math>\textstyle K</math> она составляет чистый буст (подход Джексона, см. приложение А), то относительно лабораторной системы вигнеровского вращения нет и поворот будет возникать только в результате эффекта лоренцевского сокращения длины. В случае же, если <math>\textstyle K''</math> получается чистым бустом из системы <math>\textstyle K'</math>, то относительно <math>\textstyle K</math> будет наблюдаться как вигнеровское вращение, так и деформация координатной сетки, обусловленная лоренцевским сокращением длины. Именно второй случай был рассмотрен выше. | Это изменение, вообще говоря, зависит от того, как получается система <math>\textstyle K''</math>. Если с системой <math>\textstyle K</math> она составляет чистый буст (подход Джексона, см. приложение А), то относительно лабораторной системы вигнеровского вращения нет и поворот будет возникать только в результате эффекта лоренцевского сокращения длины. В случае же, если <math>\textstyle K''</math> получается чистым бустом из системы <math>\textstyle K'</math>, то относительно <math>\textstyle K</math> будет наблюдаться как вигнеровское вращение, так и деформация координатной сетки, обусловленная лоренцевским сокращением длины. Именно второй случай был рассмотрен выше. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Приложение A. Вигнеровское вращение|Приложение A: Вигнеровское вращение]] << | ||
+ | ! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]] | ||
+ | | width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Литература|Литература]] | ||
+ | |} |
Текущая версия на 10:30, 14 марта 2011
Версия для печати: pdf
Приложение A: Вигнеровское вращение << | Оглавление | >> Литература |
---|
Приведём ещё один вывод уравнения (25), описывающего изменение вектора , связанного со стержнем при его криволинейном движении. При этом, в явном виде будет использоваться вигнеровское вращение.
Запишем выражение для угла вигнеровского поворота (122), полученное в приложении А:
(123)
|
Этот угол является поворотом, выполняемым после лоренцевского буста со скоростью (120), равной . Фактор Лоренца для такой скорости равен:
(124)
|
где . Соответственно:
(125)
|
Обозначим со штрихами координаты преобразования с . Делая в (10) замену ) и сохраняя первый порядок малости по , получаем ориентацию осей системы координат с изменённой скоростью:
(126)
|
Поворот, на угол осуществляет преобразование . Обратное преобразование получается заменой :
(127)
|
или, используя выражение для угла (123):
(128)
|
Подставляя в (126), получаем:
(129)
|
где сохранён первый порядок малости по .
До изменения скорости координаты были равны:
(130)
|
Если координаты стержня в движущейся системе отсчёта до изменения скорости и после изменения остались неизменными, то для неподвижных наблюдателей их изменение описывается разностью уравнений (129) и (130). Учитывая и вводя вектор, соединяющий концы стержня мы снова приходим к уравнению (25):
(131)
|
Наглядно вращение движущейся с переменной скоростью НИСО изображено на рисунке 15. Если ИСО движется относительно с произвольной скоростью , то линии координатной сетки будут определённым образом "сплюснуты" и повёрнуты относительно лабораторной системы отсчёта (первая картинка). Если скорость системы изменяется, то координатная сетка получает новый поворот и деформацию (вторая картинка). Если некоторый вектор имеет фиксированные координаты в движущейся системе отсчёта, то, в результате изменения скорости, они изменятся относительно лабораторной системы.
Рисунок 15. При изменение скорости системы отсчёта происходит вигнеровский поворот и лоренцевская деформация координатной сетки.
Это изменение, вообще говоря, зависит от того, как получается система . Если с системой она составляет чистый буст (подход Джексона, см. приложение А), то относительно лабораторной системы вигнеровского вращения нет и поворот будет возникать только в результате эффекта лоренцевского сокращения длины. В случае же, если получается чистым бустом из системы , то относительно будет наблюдаться как вигнеровское вращение, так и деформация координатной сетки, обусловленная лоренцевским сокращением длины. Именно второй случай был рассмотрен выше.
Приложение A: Вигнеровское вращение << | Оглавление | >> Литература |
---|