Прецессия Томаса/Приложение B. Вигнеровское вращение для стержня — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «Приведём ещё один вывод уравнения (), описывающего изменение вектора <math>\textstyle \mathbf{s}</math>, с…»)
 
 
(не показано 8 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
Приведём ещё один вывод уравнения (), описывающего изменение вектора <math>\textstyle \mathbf{s}</math>, связанного со стержнем при его криволинейном движении. При этом, в явном виде будет использоваться вигнеровское вращение.
+
Версия для печати: [http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf pdf]
 +
----
 +
{| width="100%" 
 +
| width="40%"|[[Прецессия Томаса/Приложение A. Вигнеровское вращение|Приложение A: Вигнеровское вращение]] <<
 +
! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]]
 +
| width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Литература|Литература]]
 +
|}
 +
----
  
Запишем выражение для угла вигнеровского поворота (), полученное в приложении А:
+
Приведём ещё один вывод уравнения (25), описывающего изменение вектора <math>\textstyle \mathbf{s}</math>, связанного со стержнем при его криволинейном движении. При этом, в явном виде будет использоваться вигнеровское вращение.
 +
 
 +
Запишем выражение для угла вигнеровского поворота (122), полученное в приложении А:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}]. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}]. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(123)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Этот угол является поворотом, выполняемым ''после'' лоренцевского буста со скоростью (), равной <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Фактор Лоренца для такой скорости равен:
+
Этот угол является поворотом, выполняемым ''после'' лоренцевского буста со скоростью (120), равной <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Фактор Лоренца для такой скорости равен:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \gamma_{\mathbf{v}+d\mathbf{v}}=(1-(\mathbf{v}+d\mathbf{v})^2)^{-1/2}\approx (1-\mathbf{v}^2-2\mathbf{v}d\mathbf{v})^{-1/2} \approx \gamma + \gamma^3\mathbf{v}d\mathbf{v}, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \gamma_{\mathbf{v}+d\mathbf{v}}=(1-(\mathbf{v}+d\mathbf{v})^2)^{-1/2}\approx (1-\mathbf{v}^2-2\mathbf{v}d\mathbf{v})^{-1/2} \approx \gamma + \gamma^3\mathbf{v}d\mathbf{v}, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(124)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 19: Строка 28:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{\gamma_{\mathbf{v}+d\mathbf{v}}}{\gamma_{\mathbf{v}+d\mathbf{v}}+1}\approx\frac{\gamma}{\gamma+1} + \frac{\gamma^3 \,\mathbf{v}d\mathbf{v}}{(\gamma+1)^2}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{\gamma_{\mathbf{v}+d\mathbf{v}}}{\gamma_{\mathbf{v}+d\mathbf{v}}+1}\approx\frac{\gamma}{\gamma+1} + \frac{\gamma^3 \,\mathbf{v}d\mathbf{v}}{(\gamma+1)^2}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(125)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Обозначим со штрихами координаты преобразования с <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Делая в () замену <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto\mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>) и сохраняя первый порядок малости по <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>, получаем ориентацию осей системы координат с изменённой скоростью:
+
Обозначим со штрихами координаты преобразования с <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Делая в (10) замену <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto\mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>) и сохраняя первый порядок малости по <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>, получаем ориентацию осей системы координат с изменённой скоростью:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}= \mathbf{r}' - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \bigl\{\mathbf{v}(\mathbf{v}\,\mathbf{r}') + \mathbf{v}(d\mathbf{v}\,\mathbf{r}')+ d\mathbf{v}(\mathbf{v}\,\mathbf{r}')\bigr\} -\frac{\gamma^3 \,}{(\gamma+1)^2}\,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{r}')\,(\mathbf{v}d\mathbf{v}). </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}= \mathbf{r}' - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \bigl\{\mathbf{v}(\mathbf{v}\,\mathbf{r}') + \mathbf{v}(d\mathbf{v}\,\mathbf{r}')+ d\mathbf{v}(\mathbf{v}\,\mathbf{r}')\bigr\} -\frac{\gamma^3 \,}{(\gamma+1)^2}\,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{r}')\,(\mathbf{v}d\mathbf{v}). </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(126)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 33: Строка 42:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}'' + [\mathbf{n}\times\mathbf{r}'']\,d\phi, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}'' + [\mathbf{n}\times\mathbf{r}'']\,d\phi, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(127)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
или, используя выражение для угла ():
+
или, используя выражение для угла (123):
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}''+ \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\bigl\{\mathbf{v}(\mathbf{r}''d\mathbf{v})-(\mathbf{r}''\mathbf{v})d\mathbf{v}\bigr\}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}''+ \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\bigl\{\mathbf{v}(\mathbf{r}''d\mathbf{v})-(\mathbf{r}''\mathbf{v})d\mathbf{v}\bigr\}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(128)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Подставляя <math>\textstyle \mathbf{r}'</math> в (), получаем:
+
Подставляя <math>\textstyle \mathbf{r}'</math> в (126), получаем:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}= \mathbf{r}'' -\frac{\gamma}{\gamma+1}\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}'') - \gamma (\mathbf{v}\mathbf{r}'')d\mathbf{v}, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}= \mathbf{r}'' -\frac{\gamma}{\gamma+1}\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}'') - \gamma (\mathbf{v}\mathbf{r}'')d\mathbf{v}, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(129)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 56: Строка 65:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}= \bar{\mathbf{r}}' - \frac{\gamma}{\gamma+1}\,\mathbf{v}(\mathbf{v}\,\bar{\mathbf{r}}'). </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}= \bar{\mathbf{r}}' - \frac{\gamma}{\gamma+1}\,\mathbf{v}(\mathbf{v}\,\bar{\mathbf{r}}'). </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(130)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Если координаты стержня в движущейся системе отсчёта до изменения скорости <math>\textstyle \bar{\mathbf{r}}'</math> и после изменения <math>\textstyle \mathbf{r}''</math> остались неизменными, то для неподвижных наблюдателей их изменение описывается разностью уравнений () и (). Учитывая <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{r}=\mathbf{v}\bar{\mathbf{r}}'/\gamma</math> и вводя вектор, соединяющий концы стержня <math>\textstyle \mathbf{s}=\mathbf{r}</math> мы снова приходим к уравнению ():
+
Если координаты стержня в движущейся системе отсчёта до изменения скорости <math>\textstyle \bar{\mathbf{r}}'</math> и после изменения <math>\textstyle \mathbf{r}''</math> остались неизменными, то для неподвижных наблюдателей их изменение описывается разностью уравнений (129) и (130). Учитывая <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{r}=\mathbf{v}\bar{\mathbf{r}}'/\gamma</math> и вводя вектор, соединяющий концы стержня <math>\textstyle \mathbf{s}=\mathbf{r}</math> мы снова приходим к уравнению (25):
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{s}}{dt} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,\mathbf{a}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{s}}{dt} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,\mathbf{a}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(131)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Наглядно вращение движущейся с переменной скоростью НИСО изображено на рисунке . Если ИСО <math>\textstyle K'</math> движется относительно <math>\textstyle K</math> с произвольной скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, то линии координатной сетки будут определённым образом "сплюснуты" и повёрнуты относительно лабораторной системы отсчёта (первая картинка). Если скорость системы изменяется, то координатная сетка получает новый поворот и деформацию (вторая картинка). Если некоторый вектор имеет фиксированные координаты в движущейся системе отсчёта, то, в результате изменения скорости, они изменятся относительно лабораторной системы.
+
Наглядно вращение движущейся с переменной скоростью НИСО изображено на рисунке 15. Если ИСО <math>\textstyle K'</math> движется относительно <math>\textstyle K</math> с произвольной скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, то линии координатной сетки будут определённым образом "сплюснуты" и повёрнуты относительно лабораторной системы отсчёта (первая картинка). Если скорость системы изменяется, то координатная сетка получает новый поворот и деформацию (вторая картинка). Если некоторый вектор имеет фиксированные координаты в движущейся системе отсчёта, то, в результате изменения скорости, они изменятся относительно лабораторной системы.
  
  
  
<center>[[File:main.png]]</center>
+
<center>[[File:Thomas_main.png]]</center>
  
\parbox{14cm}{\large \fig При изменение скорости системы отсчёта происходит вигнеровский поворот и лоренцевская деформация координатной сетки.}
+
<blockquote> '''Рисунок 15'''. При изменение скорости системы отсчёта происходит вигнеровский поворот и лоренцевская деформация координатной сетки.
 +
</blockquote>
  
 
Это изменение, вообще говоря, зависит от того, как получается система <math>\textstyle K''</math>. Если с системой <math>\textstyle K</math> она составляет чистый буст (подход Джексона, см. приложение А), то относительно лабораторной системы вигнеровского вращения нет и поворот будет возникать только в результате эффекта лоренцевского сокращения длины. В случае же, если <math>\textstyle K''</math> получается чистым бустом из системы <math>\textstyle K'</math>, то относительно <math>\textstyle K</math> будет наблюдаться как вигнеровское вращение, так и деформация координатной сетки, обусловленная лоренцевским сокращением длины. Именно второй случай был рассмотрен выше.
 
Это изменение, вообще говоря, зависит от того, как получается система <math>\textstyle K''</math>. Если с системой <math>\textstyle K</math> она составляет чистый буст (подход Джексона, см. приложение А), то относительно лабораторной системы вигнеровского вращения нет и поворот будет возникать только в результате эффекта лоренцевского сокращения длины. В случае же, если <math>\textstyle K''</math> получается чистым бустом из системы <math>\textstyle K'</math>, то относительно <math>\textstyle K</math> будет наблюдаться как вигнеровское вращение, так и деформация координатной сетки, обусловленная лоренцевским сокращением длины. Именно второй случай был рассмотрен выше.
 +
 +
----
 +
{| width="100%" 
 +
| width="40%"|[[Прецессия Томаса/Приложение A. Вигнеровское вращение|Приложение A: Вигнеровское вращение]] <<
 +
! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]]
 +
| width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Литература|Литература]]
 +
|}

Текущая версия на 10:30, 14 марта 2011

Версия для печати: pdf


Приложение A: Вигнеровское вращение << Оглавление >> Литература

Приведём ещё один вывод уравнения (25), описывающего изменение вектора , связанного со стержнем при его криволинейном движении. При этом, в явном виде будет использоваться вигнеровское вращение.

Запишем выражение для угла вигнеровского поворота (122), полученное в приложении А:

(123)

Этот угол является поворотом, выполняемым после лоренцевского буста со скоростью (120), равной . Фактор Лоренца для такой скорости равен:

(124)

где . Соответственно:

(125)

Обозначим со штрихами координаты преобразования с . Делая в (10) замену ) и сохраняя первый порядок малости по , получаем ориентацию осей системы координат с изменённой скоростью:

(126)

Поворот, на угол осуществляет преобразование . Обратное преобразование получается заменой :

(127)

или, используя выражение для угла (123):

(128)

Подставляя в (126), получаем:

(129)

где сохранён первый порядок малости по .

До изменения скорости координаты были равны:

(130)

Если координаты стержня в движущейся системе отсчёта до изменения скорости и после изменения остались неизменными, то для неподвижных наблюдателей их изменение описывается разностью уравнений (129) и (130). Учитывая и вводя вектор, соединяющий концы стержня мы снова приходим к уравнению (25):

(131)

Наглядно вращение движущейся с переменной скоростью НИСО изображено на рисунке 15. Если ИСО движется относительно с произвольной скоростью , то линии координатной сетки будут определённым образом "сплюснуты" и повёрнуты относительно лабораторной системы отсчёта (первая картинка). Если скорость системы изменяется, то координатная сетка получает новый поворот и деформацию (вторая картинка). Если некоторый вектор имеет фиксированные координаты в движущейся системе отсчёта, то, в результате изменения скорости, они изменятся относительно лабораторной системы.


Thomas main.png

Рисунок 15. При изменение скорости системы отсчёта происходит вигнеровский поворот и лоренцевская деформация координатной сетки.

Это изменение, вообще говоря, зависит от того, как получается система . Если с системой она составляет чистый буст (подход Джексона, см. приложение А), то относительно лабораторной системы вигнеровского вращения нет и поворот будет возникать только в результате эффекта лоренцевского сокращения длины. В случае же, если получается чистым бустом из системы , то относительно будет наблюдаться как вигнеровское вращение, так и деформация координатной сетки, обусловленная лоренцевским сокращением длины. Именно второй случай был рассмотрен выше.


Приложение A: Вигнеровское вращение << Оглавление >> Литература