Прецессия Томаса/Приложение B. Вигнеровское вращение для стержня — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 6: Строка 6:
 
----
 
----
  
Приведём ещё один вывод уравнения (), описывающего изменение вектора <math>\textstyle \mathbf{s}</math>, связанного со стержнем при его криволинейном движении. При этом, в явном виде будет использоваться вигнеровское вращение.
+
Приведём ещё один вывод уравнения (25), описывающего изменение вектора <math>\textstyle \mathbf{s}</math>, связанного со стержнем при его криволинейном движении. При этом, в явном виде будет использоваться вигнеровское вращение.
  
Запишем выражение для угла вигнеровского поворота (), полученное в приложении А:
+
Запишем выражение для угла вигнеровского поворота (122), полученное в приложении А:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
Строка 15: Строка 15:
 
  |}
 
  |}
  
Этот угол является поворотом, выполняемым ''после'' лоренцевского буста со скоростью (), равной <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Фактор Лоренца для такой скорости равен:
+
Этот угол является поворотом, выполняемым ''после'' лоренцевского буста со скоростью (120), равной <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Фактор Лоренца для такой скорости равен:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
Строка 29: Строка 29:
 
  |}
 
  |}
  
Обозначим со штрихами координаты преобразования с <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Делая в () замену <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto\mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>) и сохраняя первый порядок малости по <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>, получаем ориентацию осей системы координат с изменённой скоростью:
+
Обозначим со штрихами координаты преобразования с <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Делая в (10) замену <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto\mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>) и сохраняя первый порядок малости по <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>, получаем ориентацию осей системы координат с изменённой скоростью:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
Строка 43: Строка 43:
 
  |}
 
  |}
  
или, используя выражение для угла ():
+
или, используя выражение для угла (123):
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
Строка 50: Строка 50:
 
  |}
 
  |}
  
Подставляя <math>\textstyle \mathbf{r}'</math> в (), получаем:
+
Подставляя <math>\textstyle \mathbf{r}'</math> в (126), получаем:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
Строка 66: Строка 66:
 
  |}
 
  |}
  
Если координаты стержня в движущейся системе отсчёта до изменения скорости <math>\textstyle \bar{\mathbf{r}}'</math> и после изменения <math>\textstyle \mathbf{r}''</math> остались неизменными, то для неподвижных наблюдателей их изменение описывается разностью уравнений () и (). Учитывая <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{r}=\mathbf{v}\bar{\mathbf{r}}'/\gamma</math> и вводя вектор, соединяющий концы стержня <math>\textstyle \mathbf{s}=\mathbf{r}</math> мы снова приходим к уравнению ():
+
Если координаты стержня в движущейся системе отсчёта до изменения скорости <math>\textstyle \bar{\mathbf{r}}'</math> и после изменения <math>\textstyle \mathbf{r}''</math> остались неизменными, то для неподвижных наблюдателей их изменение описывается разностью уравнений (129) и (130). Учитывая <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{r}=\mathbf{v}\bar{\mathbf{r}}'/\gamma</math> и вводя вектор, соединяющий концы стержня <math>\textstyle \mathbf{s}=\mathbf{r}</math> мы снова приходим к уравнению (25):
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  

Версия 20:22, 13 марта 2011

Приложение A: Вигнеровское вращение << Оглавление >> Литература

Приведём ещё один вывод уравнения (25), описывающего изменение вектора , связанного со стержнем при его криволинейном движении. При этом, в явном виде будет использоваться вигнеровское вращение.

Запишем выражение для угла вигнеровского поворота (122), полученное в приложении А:

(123)

Этот угол является поворотом, выполняемым после лоренцевского буста со скоростью (120), равной . Фактор Лоренца для такой скорости равен:

(124)

где . Соответственно:

(125)

Обозначим со штрихами координаты преобразования с . Делая в (10) замену ) и сохраняя первый порядок малости по , получаем ориентацию осей системы координат с изменённой скоростью:

(126)

Поворот, на угол осуществляет преобразование . Обратное преобразование получается заменой :

(127)

или, используя выражение для угла (123):

(128)

Подставляя в (126), получаем:

(129)

где сохранён первый порядок малости по .

До изменения скорости координаты были равны:

(130)

Если координаты стержня в движущейся системе отсчёта до изменения скорости и после изменения остались неизменными, то для неподвижных наблюдателей их изменение описывается разностью уравнений (129) и (130). Учитывая и вводя вектор, соединяющий концы стержня мы снова приходим к уравнению (25):

(131)

Наглядно вращение движущейся с переменной скоростью НИСО изображено на рисунке . Если ИСО движется относительно с произвольной скоростью , то линии координатной сетки будут определённым образом "сплюснуты" и повёрнуты относительно лабораторной системы отсчёта (первая картинка). Если скорость системы изменяется, то координатная сетка получает новый поворот и деформацию (вторая картинка). Если некоторый вектор имеет фиксированные координаты в движущейся системе отсчёта, то, в результате изменения скорости, они изменятся относительно лабораторной системы.


Thomas main.png

Рисунок 15. При изменение скорости системы отсчёта происходит вигнеровский поворот и лоренцевская деформация координатной сетки.

Это изменение, вообще говоря, зависит от того, как получается система . Если с системой она составляет чистый буст (подход Джексона, см. приложение А), то относительно лабораторной системы вигнеровского вращения нет и поворот будет возникать только в результате эффекта лоренцевского сокращения длины. В случае же, если получается чистым бустом из системы , то относительно будет наблюдаться как вигнеровское вращение, так и деформация координатной сетки, обусловленная лоренцевским сокращением длины. Именно второй случай был рассмотрен выше.


Приложение A: Вигнеровское вращение << Оглавление >> Литература