Прецессия Томаса/Приложение B. Вигнеровское вращение для стержня — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
Строка 6: | Строка 6: | ||
---- | ---- | ||
− | Приведём ещё один вывод уравнения (), описывающего изменение вектора <math>\textstyle \mathbf{s}</math>, связанного со стержнем при его криволинейном движении. При этом, в явном виде будет использоваться вигнеровское вращение. | + | Приведём ещё один вывод уравнения (25), описывающего изменение вектора <math>\textstyle \mathbf{s}</math>, связанного со стержнем при его криволинейном движении. При этом, в явном виде будет использоваться вигнеровское вращение. |
− | Запишем выражение для угла вигнеровского поворота (), полученное в приложении А: | + | Запишем выражение для угла вигнеровского поворота (122), полученное в приложении А: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
Строка 15: | Строка 15: | ||
|} | |} | ||
− | Этот угол является поворотом, выполняемым ''после'' лоренцевского буста со скоростью (), равной <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Фактор Лоренца для такой скорости равен: | + | Этот угол является поворотом, выполняемым ''после'' лоренцевского буста со скоростью (120), равной <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Фактор Лоренца для такой скорости равен: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
Строка 29: | Строка 29: | ||
|} | |} | ||
− | Обозначим со штрихами координаты преобразования с <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Делая в () замену <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto\mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>) и сохраняя первый порядок малости по <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>, получаем ориентацию осей системы координат с изменённой скоростью: | + | Обозначим со штрихами координаты преобразования с <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. Делая в (10) замену <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto\mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>) и сохраняя первый порядок малости по <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>, получаем ориентацию осей системы координат с изменённой скоростью: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
Строка 43: | Строка 43: | ||
|} | |} | ||
− | или, используя выражение для угла (): | + | или, используя выражение для угла (123): |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
Строка 50: | Строка 50: | ||
|} | |} | ||
− | Подставляя <math>\textstyle \mathbf{r}'</math> в (), получаем: | + | Подставляя <math>\textstyle \mathbf{r}'</math> в (126), получаем: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
Строка 66: | Строка 66: | ||
|} | |} | ||
− | Если координаты стержня в движущейся системе отсчёта до изменения скорости <math>\textstyle \bar{\mathbf{r}}'</math> и после изменения <math>\textstyle \mathbf{r}''</math> остались неизменными, то для неподвижных наблюдателей их изменение описывается разностью уравнений () и (). Учитывая <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{r}=\mathbf{v}\bar{\mathbf{r}}'/\gamma</math> и вводя вектор, соединяющий концы стержня <math>\textstyle \mathbf{s}=\mathbf{r}</math> мы снова приходим к уравнению (): | + | Если координаты стержня в движущейся системе отсчёта до изменения скорости <math>\textstyle \bar{\mathbf{r}}'</math> и после изменения <math>\textstyle \mathbf{r}''</math> остались неизменными, то для неподвижных наблюдателей их изменение описывается разностью уравнений (129) и (130). Учитывая <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{r}=\mathbf{v}\bar{\mathbf{r}}'/\gamma</math> и вводя вектор, соединяющий концы стержня <math>\textstyle \mathbf{s}=\mathbf{r}</math> мы снова приходим к уравнению (25): |
{| width="100%" | {| width="100%" |
Версия 20:22, 13 марта 2011
Приложение A: Вигнеровское вращение << | Оглавление | >> Литература |
---|
Приведём ещё один вывод уравнения (25), описывающего изменение вектора , связанного со стержнем при его криволинейном движении. При этом, в явном виде будет использоваться вигнеровское вращение.
Запишем выражение для угла вигнеровского поворота (122), полученное в приложении А:
(123)
|
Этот угол является поворотом, выполняемым после лоренцевского буста со скоростью (120), равной . Фактор Лоренца для такой скорости равен:
(124)
|
где . Соответственно:
(125)
|
Обозначим со штрихами координаты преобразования с . Делая в (10) замену ) и сохраняя первый порядок малости по , получаем ориентацию осей системы координат с изменённой скоростью:
(126)
|
Поворот, на угол осуществляет преобразование . Обратное преобразование получается заменой :
(127)
|
или, используя выражение для угла (123):
(128)
|
Подставляя в (126), получаем:
(129)
|
где сохранён первый порядок малости по .
До изменения скорости координаты были равны:
(130)
|
Если координаты стержня в движущейся системе отсчёта до изменения скорости и после изменения остались неизменными, то для неподвижных наблюдателей их изменение описывается разностью уравнений (129) и (130). Учитывая и вводя вектор, соединяющий концы стержня мы снова приходим к уравнению (25):
(131)
|
Наглядно вращение движущейся с переменной скоростью НИСО изображено на рисунке . Если ИСО движется относительно с произвольной скоростью , то линии координатной сетки будут определённым образом "сплюснуты" и повёрнуты относительно лабораторной системы отсчёта (первая картинка). Если скорость системы изменяется, то координатная сетка получает новый поворот и деформацию (вторая картинка). Если некоторый вектор имеет фиксированные координаты в движущейся системе отсчёта, то, в результате изменения скорости, они изменятся относительно лабораторной системы.
Рисунок 15. При изменение скорости системы отсчёта происходит вигнеровский поворот и лоренцевская деформация координатной сетки.
Это изменение, вообще говоря, зависит от того, как получается система . Если с системой она составляет чистый буст (подход Джексона, см. приложение А), то относительно лабораторной системы вигнеровского вращения нет и поворот будет возникать только в результате эффекта лоренцевского сокращения длины. В случае же, если получается чистым бустом из системы , то относительно будет наблюдаться как вигнеровское вращение, так и деформация координатной сетки, обусловленная лоренцевским сокращением длины. Именно второй случай был рассмотрен выше.
Приложение A: Вигнеровское вращение << | Оглавление | >> Литература |
---|