Прецессия Томаса/Приложение B. Вигнеровское вращение для стержня

Приложение A: Вигнеровское вращение <<	Оглавление	>> Литература

---

Приведём ещё один вывод уравнения (), описывающего изменение вектора $\textstyle \mathbf {s}$, связанного со стержнем при его криволинейном движении. При этом, в явном виде будет использоваться вигнеровское вращение.

Запишем выражение для угла вигнеровского поворота (), полученное в приложении А:

$\mathbf {n} \,d\phi =-{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\,[\mathbf {v} \times d\mathbf {v} ].$

(123)

Этот угол является поворотом, выполняемым после лоренцевского буста со скоростью (), равной $\textstyle \mathbf {v} +d\mathbf {v}$. Фактор Лоренца для такой скорости равен:

$\gamma _{\mathbf {v} +d\mathbf {v} }=(1-(\mathbf {v} +d\mathbf {v} )^{2})^{-1/2}\approx (1-\mathbf {v} ^{2}-2\mathbf {v} d\mathbf {v} )^{-1/2}\approx \gamma +\gamma ^{3}\mathbf {v} d\mathbf {v} ,$

(124)

где $\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}}}$. Соответственно:

${\frac {\gamma _{\mathbf {v} +d\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} +d\mathbf {v} }+1}}\approx {\frac {\gamma }{\gamma +1}}+{\frac {\gamma ^{3}\,\mathbf {v} d\mathbf {v} }{(\gamma +1)^{2}}}.$

(125)

Обозначим со штрихами координаты преобразования с $\textstyle \mathbf {v} +d\mathbf {v}$. Делая в () замену $\textstyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} +d\mathbf {v}$) и сохраняя первый порядок малости по $\textstyle d\mathbf {v}$, получаем ориентацию осей системы координат с изменённой скоростью:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} '-{\frac {\gamma }{\gamma +1}}\,{\bigl \{}\mathbf {v} (\mathbf {v} \,\mathbf {r} ')+\mathbf {v} (d\mathbf {v} \,\mathbf {r} ')+d\mathbf {v} (\mathbf {v} \,\mathbf {r} '){\bigr \}}-{\frac {\gamma ^{3}\,}{(\gamma +1)^{2}}}\,\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \mathbf {r} ')\,(\mathbf {v} d\mathbf {v} ).$

(126)

Поворот, на угол $\textstyle d\phi$ осуществляет преобразование $\textstyle \mathbf {r} ''=\mathbf {r} '-[\mathbf {n} \times \mathbf {r} ']\,d\phi$. Обратное преобразование получается заменой $\textstyle d\phi \mapsto -d\phi$:

$\mathbf {r} '=\mathbf {r} ''+[\mathbf {n} \times \mathbf {r} '']\,d\phi ,$

(127)

или, используя выражение для угла ():

$\mathbf {r} '=\mathbf {r} ''+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\bigl \{}\mathbf {v} (\mathbf {r} ''d\mathbf {v} )-(\mathbf {r} ''\mathbf {v} )d\mathbf {v} {\bigr \}}.$

(128)

Подставляя $\textstyle \mathbf {r} '$ в (), получаем:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} ''-{\frac {\gamma }{\gamma +1}}\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {r} '')-\gamma (\mathbf {v} \mathbf {r} '')d\mathbf {v} ,$

(129)

где сохранён первый порядок малости по $\textstyle d\mathbf {v}$.

До изменения скорости координаты были равны:

$\mathbf {r} ={\bar {\mathbf {r} }}'-{\frac {\gamma }{\gamma +1}}\,\mathbf {v} (\mathbf {v} \,{\bar {\mathbf {r} }}').$

(130)

Если координаты стержня в движущейся системе отсчёта до изменения скорости $\textstyle {\bar {\mathbf {r} }}'$ и после изменения $\textstyle \mathbf {r} ''$ остались неизменными, то для неподвижных наблюдателей их изменение описывается разностью уравнений () и (). Учитывая $\textstyle \mathbf {v} \mathbf {r} =\mathbf {v} {\bar {\mathbf {r} }}'/\gamma$ и вводя вектор, соединяющий концы стержня $\textstyle \mathbf {s} =\mathbf {r}$ мы снова приходим к уравнению ():

${\frac {d\mathbf {s} }{dt}}=-\gamma ^{2}\,(\mathbf {v} \mathbf {s} )\,\mathbf {a} .$

(131)

Наглядно вращение движущейся с переменной скоростью НИСО изображено на рисунке . Если ИСО $\textstyle K'$ движется относительно $\textstyle K$ с произвольной скоростью $\textstyle \mathbf {v}$, то линии координатной сетки будут определённым образом "сплюснуты" и повёрнуты относительно лабораторной системы отсчёта (первая картинка). Если скорость системы изменяется, то координатная сетка получает новый поворот и деформацию (вторая картинка). Если некоторый вектор имеет фиксированные координаты в движущейся системе отсчёта, то, в результате изменения скорости, они изменятся относительно лабораторной системы.

Рисунок 15. При изменение скорости системы отсчёта происходит вигнеровский поворот и лоренцевская деформация координатной сетки.

Это изменение, вообще говоря, зависит от того, как получается система $\textstyle K''$. Если с системой $\textstyle K$ она составляет чистый буст (подход Джексона, см. приложение А), то относительно лабораторной системы вигнеровского вращения нет и поворот будет возникать только в результате эффекта лоренцевского сокращения длины. В случае же, если $\textstyle K''$ получается чистым бустом из системы $\textstyle K'$, то относительно $\textstyle K$ будет наблюдаться как вигнеровское вращение, так и деформация координатной сетки, обусловленная лоренцевским сокращением длины. Именно второй случай был рассмотрен выше.

---

Приложение A: Вигнеровское вращение <<	Оглавление	>> Литература