Прецессия Томаса/Приложение A. Вигнеровское вращение

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Заключение << Оглавление >> Приложение B: Вигнеровское вращение для стержня

Обозначим через 4-вектор события в пространстве-времени. Лоренцевский буст (чистое преобразование Лоренца без вращения) будем обозначать в матричном виде как или в явной компонентной записи (см. раздел 2):

(100)

Поворот декартовой системы координат вокруг единичного вектора на угол в матричном виде обозначим как или

(101)

при неизменности времени ().

Необходимо различать пассивное и активное вращения. При пассивном вращении точка пространства считается фиксированной, а поворачивается по часовой стрелке вокруг вектора одна система координат относительно другой. Расписав преобразования (101) в компонентах и , мы получим связь проекций одного и того же радиус-вектора на оси каждой системы координат. При этом компоненты вектора берутся относительно первой системы. При активном вращении координатная система одна, а поворачивается вектор . В этом случае, после замены , формула (101) устанавливает векторную связь двух различных векторов и .

Далее вращение всегда понимается в пассивном смысле. Преобразования Лоренца также являются пассивными преобразованиями, так как связывают результаты наблюдения одного и того же события из двух систем отсчёта.

Инфинитезимальные преобразования Лоренца :

(102)

и вращения :

(103)

записываются с точностью до первого порядка малости по параметрам.

Рассмотрим композицию бустов. Пусть ИСО движется относительно со скоростью , а относительно со скоростью . Тогда

(104)

или

(105)

Обратим внимание, что произведение матриц осуществляется в обратном порядке к выполнению преобразований.

Результат произведения матриц (105) может быть найден при помощи прямых, достаточно громоздких алгебраических вычислений. Для этого в (100) исключаются промежуточные координаты и время. Существенно более простые в математическом отношении вычисления получаются при использовании кватернионной техники \cite{Stepanov2010r}. Результирующая матрица произведения бустов не является бустом, но может быть представлена в виде композиции буста, а затем 3-мерного вращения:

(106)

Угол поворота и единичный вектор находятся из уравнения:

(107)

а итоговая скорость имеет смысл скорости начала системы относительно :

(108)

Факторы и относятся к скорости , а — к скорости . Фактор Лоренца для скорости равен:

(109)

Формула (107) была получена Стаппом в 1956 г. \cite{Stapp1956}, а поворот, возникающий в результирующем преобразовании, называется вигнеровским вращением \cite{Wigner1939}.

Аналогичное разложение произведения двух бустов на буст и вращение можно выполнить в обратном порядке:

(110)

когда сначала выполняется поворот, а затем буст. В этом случае угол и единичный вектор (107) остаются без изменений, а итоговая скорость получается из (108) перестановкой индексов 1 и 2:

(111)

Эта скорость с обратным знаком имеет смысл скорости движения начала системы относительно . Заметим, что , поэтому факторы Лоренца для этих двух скоростей совпадают. Отметим также соотношение

(112)

из которого следует, что угол между векторами скоростей и соответствует вигнеровскому повороту (107).

Рассмотрим в единых обозначениях описание прецессии Томаса, приведенное в книгах Джексона \cite{Jackson_1965} и Мёллера \cite{Myoler_1975}. Пусть есть три системы отсчёта: , и , описанные в первом разделе, где и — сопутствующие ИСО к движущейся по криволинейной траектории НИСО, а — лабораторная ИСО.

В \cite{Jackson_1965} предполагается, что и связаны с бустами:

(113)

откуда, учитывая, что , получаем:

(114)

Используя общие соотношения (107), (108) с , , в первом приближении по , находим бесконечно малый угол поворота:

(115)

где учтено, что в векторном произведении (107) стоит малая величина , поэтому в множителе после него все величины можно взять в нулевом порядке по : , . В явном виде преобразование между и записывается следующим образом:

(116)

где

В первом приближении по скорости и совпадают и равны .

Полученное 3-мерное вращение возникает между сопутствующими системами и . При этом предполагается, что эти системы получаются из лабораторной системы при помощи бустов (113). Таким образом, их оси "параллельны" , а не друг другу. Слово "параллельно" взято в кавычки, так как мгновенное положение осей движущейся с произвольной скоростью ИСО не параллельно лабораторной ИСО (раздел 3). Поэтому под "параллельностью" мы подразумеваем выполнение чистого лоренцевского буста.

В исходной постановке задачи предполагалось, что при изменении скорости НИСО, сопутствующие к ней ИСО связаны лоренцевским преобразованием (т.е. их оси переносятся параллельно, со сделанной выше оговоркой). Поэтому в подходе Джексона, очевидно, рассматривается иная задача.

Идеологии параллельного переноса осей сопутствующих систем больше соответствует вывод Мёллера \cite{Myoler_1975}, который рассматривает последовательность преобразований:

(117)

откуда

(118)

Подставляя , в соотношения (107), (108), в первом приближении по имеем:

(119)

где учтено, что и . Итоговая скорость (108) равна:

(120)

где приближенное равенство записано в первом порядке малости по . Величина является скоростью относительно и имеет смысл изменения скорости НИСО относительно своего предыдущего мгновенного положения .

Скорость имеет смысл скорости системы относительно , поэтому Мёллер вводит изменение скорости НИСО относительно лабораторной системы:

(121)

Умножая её векторно на , несложно переписать (119) в виде:

(122)

что с точностью до знака совпадает с выражением (115) Джексона, однако имеет другой смысл, так как определяет поворот системы, полученной из лабораторной системы в результате лоренцевского буста. Фактически, в соотношении участвует четыре ИСО. В левой части записан последовательный переход от к , а затем к . В правой части лоренцевское преобразование осуществляет переход от к системе , из которой (в результате поворота) получается система . Поэтому 3-мерное вращение осуществляется не относительно лабораторной системы , а относительно .


Заключение << Оглавление >> Приложение B: Вигнеровское вращение для стержня