Обозначим через 4-вектор события в пространстве-времени. Лоренцевский буст (чистое преобразование Лоренца без вращения) будем обозначать в матричном виде как или в явной компонентной записи (см. раздел 2):
|
(100)
|
Поворот декартовой системы координат вокруг единичного вектора на угол в матричном виде обозначим как или
|
(101)
|
при неизменности времени ().
Необходимо различать пассивное и активное вращения. При пассивном вращении точка пространства считается фиксированной, а поворачивается по часовой стрелке вокруг вектора одна система координат относительно другой. Расписав преобразования (101) в компонентах и , мы получим связь проекций одного и того же радиус-вектора на оси каждой системы координат. При этом компоненты вектора берутся относительно первой системы. При активном вращении координатная система одна, а поворачивается вектор . В этом случае, после замены , формула (101) устанавливает векторную связь двух различных векторов и .
Далее вращение всегда понимается в пассивном смысле. Преобразования Лоренца также являются пассивными преобразованиями, так как связывают результаты наблюдения одного и того же события из двух систем отсчёта.
Инфинитезимальные преобразования Лоренца :
|
(102)
|
и вращения :
|
(103)
|
записываются с точностью до первого порядка малости по параметрам.
Рассмотрим композицию бустов. Пусть ИСО движется относительно со скоростью , а относительно со скоростью . Тогда
|
(104)
|
или
|
(105)
|
Обратим внимание, что произведение матриц осуществляется в обратном порядке к выполнению преобразований.
Результат произведения матриц (105) может быть найден при помощи прямых, достаточно громоздких алгебраических вычислений. Для этого в (100) исключаются промежуточные координаты и время. Существенно более простые в математическом отношении вычисления получаются при использовании кватернионной техники \cite{Stepanov2010r}. Результирующая матрица произведения бустов не является бустом, но может быть представлена в виде композиции буста, а затем 3-мерного вращения:
|
(106)
|
Угол поворота и единичный вектор находятся из уравнения:
|
(107)
|
а итоговая скорость имеет смысл скорости начала системы относительно :
|
(108)
|
Факторы и относятся к скорости , а — к скорости . Фактор Лоренца для скорости равен:
|
(109)
|
Формула (107) была получена Стаппом в 1956 г. \cite{Stapp1956}, а поворот, возникающий в результирующем преобразовании, называется вигнеровским вращением \cite{Wigner1939}.
Аналогичное разложение произведения двух бустов на буст и вращение можно выполнить в обратном порядке:
|
(110)
|
когда сначала выполняется поворот, а затем буст. В этом случае угол и единичный вектор (107) остаются без изменений, а итоговая скорость получается из (108) перестановкой индексов 1 и 2:
|
(111)
|
Эта скорость с обратным знаком имеет смысл скорости движения начала системы относительно . Заметим, что , поэтому факторы Лоренца для этих двух скоростей совпадают. Отметим также соотношение
|
(112)
|
из которого следует, что угол между векторами скоростей и соответствует вигнеровскому повороту (107).
Рассмотрим в единых обозначениях описание прецессии Томаса, приведенное в книгах Джексона \cite{Jackson_1965} и Мёллера \cite{Myoler_1975}. Пусть есть три системы отсчёта: , и , описанные в первом разделе, где и — сопутствующие ИСО к движущейся по криволинейной траектории НИСО, а — лабораторная ИСО.
В \cite{Jackson_1965} предполагается, что и связаны с бустами:
|
(113)
|
откуда, учитывая, что , получаем:
|
(114)
|
Используя общие соотношения (107), (108) с , , в первом приближении по , находим бесконечно малый угол поворота:
|
(115)
|
где учтено, что в векторном произведении (107) стоит малая величина , поэтому в множителе после него все величины можно взять в нулевом порядке по : , . В явном виде преобразование между и записывается следующим образом:
|
(116)
|
где
В первом приближении по скорости и совпадают и равны .
Полученное 3-мерное вращение возникает между сопутствующими системами и . При этом предполагается, что эти системы получаются из лабораторной системы при помощи бустов (113). Таким образом, их оси "параллельны" , а не друг другу. Слово "параллельно" взято в кавычки, так как мгновенное положение осей движущейся с произвольной скоростью ИСО не параллельно лабораторной ИСО (раздел 3). Поэтому под "параллельностью" мы подразумеваем выполнение чистого лоренцевского буста.
В исходной постановке задачи предполагалось, что при изменении скорости НИСО, сопутствующие к ней ИСО связаны лоренцевским преобразованием (т.е. их оси переносятся параллельно, со сделанной выше оговоркой). Поэтому в подходе Джексона, очевидно, рассматривается иная задача.
Идеологии параллельного переноса осей сопутствующих систем больше соответствует вывод Мёллера \cite{Myoler_1975}, который рассматривает последовательность преобразований:
|
(117)
|
откуда
|
(118)
|
Подставляя , в соотношения (107), (108), в первом приближении по имеем:
|
(119)
|
где учтено, что и . Итоговая скорость (108) равна:
|
(120)
|
где приближенное равенство записано в первом порядке малости по . Величина является скоростью относительно и имеет смысл изменения скорости НИСО относительно своего предыдущего мгновенного положения .
Скорость имеет смысл скорости системы относительно , поэтому Мёллер вводит изменение скорости НИСО относительно лабораторной системы:
|
(121)
|
Умножая её векторно на , несложно переписать (119) в виде:
|
(122)
|
что с точностью до знака совпадает с выражением (115) Джексона, однако имеет другой смысл, так как определяет поворот системы, полученной из лабораторной системы в результате лоренцевского буста. Фактически, в соотношении участвует четыре ИСО. В левой части записан последовательный переход от к , а затем к . В правой части лоренцевское преобразование осуществляет переход от к системе , из которой (в результате поворота) получается система . Поэтому 3-мерное вращение осуществляется не относительно лабораторной системы , а относительно .