Прецессия Томаса/Приложение A. Вигнеровское вращение — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
(не показано 6 промежуточных версий этого же участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | Версия для печати: [http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf pdf] | ||
+ | ---- | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="40%"|[[Прецессия Томаса/Заключение|Заключение]] << | | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Заключение|Заключение]] << | ||
Строка 6: | Строка 8: | ||
---- | ---- | ||
− | Обозначим через <math>\textstyle X=\{t,\,\mathbf{r}\}</math> 4-вектор события в пространстве-времени. Лоренцевский буст (чистое преобразование Лоренца без вращения) будем обозначать в матричном виде как <math>\textstyle X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})\,X</math> или в явной компонентной записи (см. раздел 2): | + | Обозначим через <math>\textstyle X=\{t,\,\mathbf{r}\}</math> 4-вектор события в пространстве-времени. Лоренцевский буст (чистое преобразование Лоренца без вращения) будем обозначать в матричном виде как <math>\textstyle X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})\,X</math> или в явной компонентной записи |
+ | (см. [[Прецессия Томаса/Преобразования Лоренца|раздел 2]]): | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - \gamma{\mathbf v} t + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}). </math> | | width="90%" align="center"|<math> t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - \gamma{\mathbf v} t + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(100)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 17: | Строка 20: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}\,\cos\phi + \mathbf{n}(\mathbf{n}\mathbf{r})(1-\cos\phi) - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}] \sin\phi </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}\,\cos\phi + \mathbf{n}(\mathbf{n}\mathbf{r})(1-\cos\phi) - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}] \sin\phi </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(101)'''</div> |
|} | |} | ||
при неизменности времени (<math>\textstyle t'=t</math>). | при неизменности времени (<math>\textstyle t'=t</math>). | ||
− | Необходимо различать пассивное и активное вращения. При ''пассивном вращении'' точка пространства считается фиксированной, а поворачивается по часовой стрелке вокруг вектора <math>\textstyle \mathbf{n}</math> одна система координат относительно другой. Расписав преобразования () в компонентах <math>\textstyle \mathbf{r}=\{x,y,z\}</math> и <math>\textstyle \mathbf{r}'=\{x',y',z'\}</math>, мы получим связь проекций ''одного и того же'' радиус-вектора на оси каждой системы координат. При этом компоненты вектора <math>\textstyle \mathbf{n}=\{n_x,n_y,n_z\}</math> берутся относительно первой системы. При ''активном вращении'' координатная система одна, а поворачивается вектор <math>\textstyle \mathbf{r}</math>. В этом случае, после замены <math>\textstyle \phi\mapsto -\phi</math>, формула () устанавливает векторную связь двух ''различных'' векторов <math>\textstyle \mathbf{r}'</math> и <math>\textstyle \mathbf{r}</math>. | + | Необходимо различать пассивное и активное вращения. При ''пассивном вращении'' точка пространства считается фиксированной, а поворачивается по часовой стрелке вокруг вектора <math>\textstyle \mathbf{n}</math> одна система координат относительно другой. Расписав преобразования (101) в компонентах <math>\textstyle \mathbf{r}=\{x,y,z\}</math> и <math>\textstyle \mathbf{r}'=\{x',y',z'\}</math>, мы получим связь проекций ''одного и того же'' радиус-вектора на оси каждой системы координат. При этом компоненты вектора <math>\textstyle \mathbf{n}=\{n_x,n_y,n_z\}</math> берутся относительно первой системы. При ''активном вращении'' координатная система одна, а поворачивается вектор <math>\textstyle \mathbf{r}</math>. В этом случае, после замены <math>\textstyle \phi\mapsto -\phi</math>, формула (101) устанавливает векторную связь двух ''различных'' векторов <math>\textstyle \mathbf{r}'</math> и <math>\textstyle \mathbf{r}</math>. |
Далее вращение всегда понимается в пассивном смысле. Преобразования Лоренца также являются пассивными преобразованиями, так как связывают результаты наблюдения одного и того же события из двух систем отсчёта. | Далее вращение всегда понимается в пассивном смысле. Преобразования Лоренца также являются пассивными преобразованиями, так как связывают результаты наблюдения одного и того же события из двух систем отсчёта. | ||
Строка 30: | Строка 33: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> t'=t-{\mathbf r}d{\mathbf v},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - t d{\mathbf v} </math> | | width="90%" align="center"|<math> t'=t-{\mathbf r}d{\mathbf v},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - t d{\mathbf v} </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(102)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 37: | Строка 40: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r} - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}] d\phi </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r} - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}] d\phi </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(103)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 46: | Строка 49: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> X_1=\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)\,X,\;\;\;\;\;\;\;\;\;X_2=\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,X_1 </math> | | width="90%" align="center"|<math> X_1=\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)\,X,\;\;\;\;\;\;\;\;\;X_2=\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,X_1 </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(104)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 53: | Строка 56: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> X_2=\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)\,X. </math> | | width="90%" align="center"|<math> X_2=\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)\,X. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(105)'''</div> |
|} | |} | ||
Обратим внимание, что произведение матриц осуществляется в обратном порядке к выполнению преобразований. | Обратим внимание, что произведение матриц осуществляется в обратном порядке к выполнению преобразований. | ||
− | Результат произведения матриц () может быть найден при помощи прямых, достаточно громоздких алгебраических вычислений. Для этого в () исключаются промежуточные координаты и время. Существенно более простые в математическом отношении вычисления получаются при использовании кватернионной техники | + | Результат произведения матриц (105) может быть найден при помощи прямых, достаточно громоздких алгебраических вычислений. Для этого в (100) исключаются промежуточные координаты и время. Существенно более простые в математическом отношении вычисления получаются при использовании [[Кватернионы|кватернионной техники]]. Результирующая матрица произведения бустов не является бустом, но может быть представлена в виде композиции буста, а затем 3-мерного вращения: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)= \mathbb{R}(\mathbf{n},\,\phi) \,\mathbb{L}(\mathbf{w}). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)= \mathbb{R}(\mathbf{n},\,\phi) \,\mathbb{L}(\mathbf{w}). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(106)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 69: | Строка 72: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,\sin \phi = -[\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2]\, \frac{\gamma_1\gamma_2\,(1+\gamma_w+\gamma_1+\gamma_2)}{(1+\gamma_w)(1+\gamma_1)(1+\gamma_2)}, </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,\sin \phi = -[\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2]\, \frac{\gamma_1\gamma_2\,(1+\gamma_w+\gamma_1+\gamma_2)}{(1+\gamma_w)(1+\gamma_1)(1+\gamma_2)}, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(107)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 76: | Строка 79: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{w} = \frac{\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_1\gamma_1 + \Gamma_1\mathbf{v}_1(\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}{\gamma_1\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{w} = \frac{\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_1\gamma_1 + \Gamma_1\mathbf{v}_1(\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}{\gamma_1\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(108)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 83: | Строка 86: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \gamma_w=\gamma_1\gamma_2\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \gamma_w=\gamma_1\gamma_2\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(109)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Формула () была получена Стаппом в 1956 г. | + | Формула (107) была получена Стаппом в 1956 г. |
+ | <ref> | ||
+ | Stapp H. P. — "''Relativistic Theory of Polarization Phenomena''", Phys.Rev. '''103''', 2, pp.425-434, (1956) | ||
+ | </ref>, а поворот, возникающий в результирующем преобразовании, называется вигнеровским вращением | ||
+ | <ref> | ||
+ | Wigner E. P. — "''On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group''", Ann. Math. 40, pp.149-204 (1939). | ||
+ | </ref>. | ||
Аналогичное разложение произведения двух бустов на буст и вращение можно выполнить в обратном порядке: | Аналогичное разложение произведения двух бустов на буст и вращение можно выполнить в обратном порядке: | ||
Строка 92: | Строка 101: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)= \mathbb{L}(\tilde{\mathbf{w}})\,\mathbb{R}(\mathbf{n},\,\phi), </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)= \mathbb{L}(\tilde{\mathbf{w}})\,\mathbb{R}(\mathbf{n},\,\phi), </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(110)'''</div> |
|} | |} | ||
− | когда сначала выполняется поворот, а затем буст. В этом случае угол <math>\textstyle \phi</math> и единичный вектор <math>\textstyle \mathbf{n}</math> () остаются без изменений, а итоговая скорость <math>\textstyle \tilde{\mathbf{w}}</math> получается из () перестановкой индексов 1 и 2: | + | когда сначала выполняется поворот, а затем буст. В этом случае угол <math>\textstyle \phi</math> и единичный вектор <math>\textstyle \mathbf{n}</math> (107) остаются без изменений, а итоговая скорость <math>\textstyle \tilde{\mathbf{w}}</math> получается из (108) перестановкой индексов 1 и 2: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \tilde{\mathbf{w}} = \frac{\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\gamma_2 + \Gamma_2\mathbf{v}_2(\mathbf{v}_2\mathbf{v}_1)}{\gamma_2\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \tilde{\mathbf{w}} = \frac{\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\gamma_2 + \Gamma_2\mathbf{v}_2(\mathbf{v}_2\mathbf{v}_1)}{\gamma_2\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(111)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 106: | Строка 115: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \frac{\tilde{\mathbf{w}}\times\mathbf{w}}{w^2} = \mathbf{n}\,\sin \phi, </math> | | width="90%" align="center"|<math> \frac{\tilde{\mathbf{w}}\times\mathbf{w}}{w^2} = \mathbf{n}\,\sin \phi, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(112)'''</div> |
|} | |} | ||
− | из которого следует, что угол между векторами скоростей <math>\textstyle \mathbf{w}</math> и <math>\textstyle \tilde{\mathbf{w}}</math> соответствует вигнеровскому повороту (). | + | из которого следует, что угол между векторами скоростей <math>\textstyle \mathbf{w}</math> и <math>\textstyle \tilde{\mathbf{w}}</math> соответствует вигнеровскому повороту (107). |
− | Рассмотрим в единых обозначениях описание прецессии Томаса, приведенное в книгах Джексона | + | Рассмотрим в единых обозначениях описание прецессии Томаса, приведенное в книгах Джексона |
+ | <ref name="Jekson"> | ||
+ | Джексон Д. — "''Классическая электродинамика''", М. Мир. с.702, (1965) | ||
+ | </ref> и Мёллера | ||
+ | <ref name="Myoler"> | ||
+ | Мёллер К. — "''Теория относительности''", М. Атомиздат. с.400, (1975) | ||
+ | </ref>. Пусть есть три системы отсчёта: <math>\textstyle K</math>, <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math>, описанные в первом разделе, где <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> — сопутствующие ИСО к движущейся по криволинейной траектории НИСО, а <math>\textstyle K</math> — лабораторная ИСО. | ||
− | В | + | В <ref name="Jekson"/> предполагается, что <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> связаны с <math>\textstyle K</math> бустами: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})\,X,\;\;\;\;\;\;X''=\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})\,X, </math> | | width="90%" align="center"|<math> X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})\,X,\;\;\;\;\;\;X''=\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})\,X, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(113)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 124: | Строка 139: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> X''=\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})\mathbb{L}(-\mathbf{v})\, X'. </math> | | width="90%" align="center"|<math> X''=\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})\mathbb{L}(-\mathbf{v})\, X'. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(114)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Используя общие соотношения (), () с <math>\textstyle \mathbf{v}_1=-\mathbf{v}</math>, <math>\textstyle \mathbf{v}_2=\mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>, в первом приближении по <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>, находим бесконечно малый угол поворота: | + | Используя общие соотношения (107), (108) с <math>\textstyle \mathbf{v}_1=-\mathbf{v}</math>, <math>\textstyle \mathbf{v}_2=\mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>, в первом приближении по <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>, находим бесконечно малый угол поворота: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}], </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}], </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(115)'''</div> |
|} | |} | ||
− | где учтено, что в векторном произведении () стоит малая величина <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>, поэтому в множителе после него все величины можно взять в нулевом порядке по <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>: <math>\textstyle \gamma_1=\gamma_2=\gamma=1/\sqrt{1-\mathbf{v}^2}</math>, <math>\textstyle \gamma_w=\gamma^2(1-\mathbf{v}^2)=1</math>. В явном виде преобразование между <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> записывается следующим образом: | + | где учтено, что в векторном произведении (107) стоит малая величина <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>, поэтому в множителе после него все величины можно взять в нулевом порядке по <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>: <math>\textstyle \gamma_1=\gamma_2=\gamma=1/\sqrt{1-\mathbf{v}^2}</math>, <math>\textstyle \gamma_w=\gamma^2(1-\mathbf{v}^2)=1</math>. В явном виде преобразование между <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> записывается следующим образом: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> t'' = t' - \mathbf{r}'\Delta \mathbf{v},\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{r}''=\mathbf{r}'-d\phi\, [\mathbf{n}\times\mathbf{r}'] - t'\Delta \mathbf{v}, </math> | | width="90%" align="center"|<math> t'' = t' - \mathbf{r}'\Delta \mathbf{v},\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{r}''=\mathbf{r}'-d\phi\, [\mathbf{n}\times\mathbf{r}'] - t'\Delta \mathbf{v}, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(116)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 147: | Строка 162: | ||
В первом приближении по <math>\textstyle d\mathbf{v}</math> скорости <math>\textstyle \mathbf{w}</math> и <math>\textstyle \tilde{\mathbf{w}}</math> совпадают и равны <math>\textstyle \Delta \mathbf{v}</math>. | В первом приближении по <math>\textstyle d\mathbf{v}</math> скорости <math>\textstyle \mathbf{w}</math> и <math>\textstyle \tilde{\mathbf{w}}</math> совпадают и равны <math>\textstyle \Delta \mathbf{v}</math>. | ||
− | Полученное 3-мерное вращение возникает между сопутствующими системами <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math>. При этом предполагается, что эти системы получаются из лабораторной системы при помощи бустов (). Таким образом, их оси "параллельны" <math>\textstyle K</math>, а не друг другу. Слово "параллельно" взято в кавычки, так как мгновенное положение осей движущейся с произвольной скоростью ИСО не параллельно лабораторной ИСО (раздел 3). Поэтому под "параллельностью" мы подразумеваем выполнение чистого лоренцевского буста. | + | Полученное 3-мерное вращение возникает между сопутствующими системами <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math>. При этом предполагается, что эти системы получаются из лабораторной системы при помощи бустов (113). Таким образом, их оси "параллельны" <math>\textstyle K</math>, а не друг другу. Слово "параллельно" взято в кавычки, так как мгновенное положение осей движущейся с произвольной скоростью ИСО не параллельно лабораторной ИСО (раздел 3). Поэтому под "параллельностью" мы подразумеваем выполнение чистого лоренцевского буста. |
В исходной постановке задачи предполагалось, что при изменении скорости НИСО, сопутствующие к ней ИСО связаны лоренцевским преобразованием (т.е. их оси переносятся параллельно, со сделанной выше оговоркой). Поэтому в подходе Джексона, очевидно, рассматривается иная задача. | В исходной постановке задачи предполагалось, что при изменении скорости НИСО, сопутствующие к ней ИСО связаны лоренцевским преобразованием (т.е. их оси переносятся параллельно, со сделанной выше оговоркой). Поэтому в подходе Джексона, очевидно, рассматривается иная задача. | ||
− | Идеологии параллельного переноса осей сопутствующих систем больше соответствует вывод Мёллера | + | Идеологии параллельного переноса осей сопутствующих систем больше соответствует вывод Мёллера <ref name="Myoler"/>, который рассматривает последовательность преобразований: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})X,\;\;\;\;X''=\mathbb{L}(d\mathbf{v}')X', </math> | | width="90%" align="center"|<math> X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})X,\;\;\;\;X''=\mathbb{L}(d\mathbf{v}')X', </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(117)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 162: | Строка 177: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> X''=\mathbb{L}(d\mathbf{v}')\mathbb{L}(\mathbf{v}) X. </math> | | width="90%" align="center"|<math> X''=\mathbb{L}(d\mathbf{v}')\mathbb{L}(\mathbf{v}) X. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(118)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Подставляя <math>\textstyle \mathbf{v}_1=\mathbf{v}</math>, <math>\textstyle \mathbf{v}_2=d\mathbf{v}'</math> в соотношения (), (), в первом приближении по <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> имеем: | + | Подставляя <math>\textstyle \mathbf{v}_1=\mathbf{v}</math>, <math>\textstyle \mathbf{v}_2=d\mathbf{v}'</math> в соотношения (107), (108), в первом приближении по <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> имеем: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}'] , </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}'] , </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(119)'''</div> |
|} | |} | ||
− | где учтено, что <math>\textstyle \gamma_2\approx 1</math> и <math>\textstyle \gamma_w\approx\gamma_1=\gamma</math>. Итоговая скорость () равна: | + | где учтено, что <math>\textstyle \gamma_2\approx 1</math> и <math>\textstyle \gamma_w\approx\gamma_1=\gamma</math>. Итоговая скорость (108) равна: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{w} = \frac{d\mathbf{v}'+\mathbf{v}\gamma + \Gamma \mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma\,(1+\mathbf{v}d\mathbf{v}')}\approx \mathbf{v}+\frac{d\mathbf{v}'}{\gamma}- \frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma+1}, </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{w} = \frac{d\mathbf{v}'+\mathbf{v}\gamma + \Gamma \mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma\,(1+\mathbf{v}d\mathbf{v}')}\approx \mathbf{v}+\frac{d\mathbf{v}'}{\gamma}- \frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma+1}, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(120)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 185: | Строка 200: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v} = \mathbf{w} - \mathbf{v}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v} = \mathbf{w} - \mathbf{v}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(121)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Умножая её векторно на <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, несложно переписать () в виде: | + | Умножая её векторно на <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, несложно переписать (119) в виде: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}], </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}], </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(122)'''</div> |
|} | |} | ||
− | что с точностью до знака совпадает с выражением () Джексона, однако имеет другой смысл, так как определяет поворот системы, полученной из лабораторной системы <math>\textstyle K</math> в результате лоренцевского буста. Фактически, в соотношении <math>\textstyle \mathbb{L}(d\mathbf{v}')\mathbb{L}(\mathbf{v})=\mathbb{R}(\mathbf{n},d\phi)\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})</math> участвует четыре ИСО. В левой части записан последовательный переход от <math>\textstyle K</math> к <math>\textstyle K'</math>, а затем к <math>\textstyle K''</math>. В правой части лоренцевское преобразование <math>\textstyle \mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})</math> осуществляет переход от <math>\textstyle K</math> к системе <math>\textstyle \tilde{K}''</math>, из которой (в результате поворота) получается система <math>\textstyle K''</math>. Поэтому 3-мерное вращение осуществляется не относительно лабораторной системы <math>\textstyle K</math>, а относительно <math>\textstyle \tilde{K}''</math>. | + | что с точностью до знака совпадает с выражением (115) Джексона, однако имеет другой смысл, так как определяет поворот системы, полученной из лабораторной системы <math>\textstyle K</math> в результате лоренцевского буста. Фактически, в соотношении <math>\textstyle \mathbb{L}(d\mathbf{v}')\mathbb{L}(\mathbf{v})=\mathbb{R}(\mathbf{n},d\phi)\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})</math> участвует четыре ИСО. В левой части записан последовательный переход от <math>\textstyle K</math> к <math>\textstyle K'</math>, а затем к <math>\textstyle K''</math>. В правой части лоренцевское преобразование <math>\textstyle \mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})</math> осуществляет переход от <math>\textstyle K</math> к системе <math>\textstyle \tilde{K}''</math>, из которой (в результате поворота) получается система <math>\textstyle K''</math>. Поэтому 3-мерное вращение осуществляется не относительно лабораторной системы <math>\textstyle K</math>, а относительно <math>\textstyle \tilde{K}''</math>. |
+ | |||
+ | === Примчания === | ||
+ | <references/> | ||
---- | ---- |
Текущая версия на 10:30, 14 марта 2011
Версия для печати: pdf
Заключение << | Оглавление | >> Приложение B: Вигнеровское вращение для стержня |
---|
Обозначим через 4-вектор события в пространстве-времени. Лоренцевский буст (чистое преобразование Лоренца без вращения) будем обозначать в матричном виде как или в явной компонентной записи (см. раздел 2):
(100)
|
Поворот декартовой системы координат вокруг единичного вектора на угол в матричном виде обозначим как или
(101)
|
при неизменности времени ().
Необходимо различать пассивное и активное вращения. При пассивном вращении точка пространства считается фиксированной, а поворачивается по часовой стрелке вокруг вектора одна система координат относительно другой. Расписав преобразования (101) в компонентах и , мы получим связь проекций одного и того же радиус-вектора на оси каждой системы координат. При этом компоненты вектора берутся относительно первой системы. При активном вращении координатная система одна, а поворачивается вектор . В этом случае, после замены , формула (101) устанавливает векторную связь двух различных векторов и .
Далее вращение всегда понимается в пассивном смысле. Преобразования Лоренца также являются пассивными преобразованиями, так как связывают результаты наблюдения одного и того же события из двух систем отсчёта.
Инфинитезимальные преобразования Лоренца :
(102)
|
и вращения :
(103)
|
записываются с точностью до первого порядка малости по параметрам.
Рассмотрим композицию бустов. Пусть ИСО движется относительно со скоростью , а относительно со скоростью . Тогда
(104)
|
или
(105)
|
Обратим внимание, что произведение матриц осуществляется в обратном порядке к выполнению преобразований.
Результат произведения матриц (105) может быть найден при помощи прямых, достаточно громоздких алгебраических вычислений. Для этого в (100) исключаются промежуточные координаты и время. Существенно более простые в математическом отношении вычисления получаются при использовании кватернионной техники. Результирующая матрица произведения бустов не является бустом, но может быть представлена в виде композиции буста, а затем 3-мерного вращения:
(106)
|
Угол поворота и единичный вектор находятся из уравнения:
(107)
|
а итоговая скорость имеет смысл скорости начала системы относительно :
(108)
|
Факторы и относятся к скорости , а — к скорости . Фактор Лоренца для скорости равен:
(109)
|
Формула (107) была получена Стаппом в 1956 г. [1], а поворот, возникающий в результирующем преобразовании, называется вигнеровским вращением [2].
Аналогичное разложение произведения двух бустов на буст и вращение можно выполнить в обратном порядке:
(110)
|
когда сначала выполняется поворот, а затем буст. В этом случае угол и единичный вектор (107) остаются без изменений, а итоговая скорость получается из (108) перестановкой индексов 1 и 2:
(111)
|
Эта скорость с обратным знаком имеет смысл скорости движения начала системы относительно . Заметим, что , поэтому факторы Лоренца для этих двух скоростей совпадают. Отметим также соотношение
(112)
|
из которого следует, что угол между векторами скоростей и соответствует вигнеровскому повороту (107).
Рассмотрим в единых обозначениях описание прецессии Томаса, приведенное в книгах Джексона [3] и Мёллера [4]. Пусть есть три системы отсчёта: , и , описанные в первом разделе, где и — сопутствующие ИСО к движущейся по криволинейной траектории НИСО, а — лабораторная ИСО.
В [3] предполагается, что и связаны с бустами:
(113)
|
откуда, учитывая, что , получаем:
(114)
|
Используя общие соотношения (107), (108) с , , в первом приближении по , находим бесконечно малый угол поворота:
(115)
|
где учтено, что в векторном произведении (107) стоит малая величина , поэтому в множителе после него все величины можно взять в нулевом порядке по : , . В явном виде преобразование между и записывается следующим образом:
(116)
|
где
В первом приближении по скорости и совпадают и равны .
Полученное 3-мерное вращение возникает между сопутствующими системами и . При этом предполагается, что эти системы получаются из лабораторной системы при помощи бустов (113). Таким образом, их оси "параллельны" , а не друг другу. Слово "параллельно" взято в кавычки, так как мгновенное положение осей движущейся с произвольной скоростью ИСО не параллельно лабораторной ИСО (раздел 3). Поэтому под "параллельностью" мы подразумеваем выполнение чистого лоренцевского буста.
В исходной постановке задачи предполагалось, что при изменении скорости НИСО, сопутствующие к ней ИСО связаны лоренцевским преобразованием (т.е. их оси переносятся параллельно, со сделанной выше оговоркой). Поэтому в подходе Джексона, очевидно, рассматривается иная задача.
Идеологии параллельного переноса осей сопутствующих систем больше соответствует вывод Мёллера [4], который рассматривает последовательность преобразований:
(117)
|
откуда
(118)
|
Подставляя , в соотношения (107), (108), в первом приближении по имеем:
(119)
|
где учтено, что и . Итоговая скорость (108) равна:
(120)
|
где приближенное равенство записано в первом порядке малости по . Величина является скоростью относительно и имеет смысл изменения скорости НИСО относительно своего предыдущего мгновенного положения .
Скорость имеет смысл скорости системы относительно , поэтому Мёллер вводит изменение скорости НИСО относительно лабораторной системы:
(121)
|
Умножая её векторно на , несложно переписать (119) в виде:
(122)
|
что с точностью до знака совпадает с выражением (115) Джексона, однако имеет другой смысл, так как определяет поворот системы, полученной из лабораторной системы в результате лоренцевского буста. Фактически, в соотношении участвует четыре ИСО. В левой части записан последовательный переход от к , а затем к . В правой части лоренцевское преобразование осуществляет переход от к системе , из которой (в результате поворота) получается система . Поэтому 3-мерное вращение осуществляется не относительно лабораторной системы , а относительно .
Примчания
- ↑ Stapp H. P. — "Relativistic Theory of Polarization Phenomena", Phys.Rev. 103, 2, pp.425-434, (1956)
- ↑ Wigner E. P. — "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Ann. Math. 40, pp.149-204 (1939).
- ↑ 3,0 3,1 Джексон Д. — "Классическая электродинамика", М. Мир. с.702, (1965)
- ↑ 4,0 4,1 Мёллер К. — "Теория относительности", М. Атомиздат. с.400, (1975)
Заключение << | Оглавление | >> Приложение B: Вигнеровское вращение для стержня |
---|