Прецессия Томаса/Приложение A. Вигнеровское вращение — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
Строка 59: | Строка 59: | ||
Обратим внимание, что произведение матриц осуществляется в обратном порядке к выполнению преобразований. | Обратим внимание, что произведение матриц осуществляется в обратном порядке к выполнению преобразований. | ||
− | Результат произведения матриц (105) может быть найден при помощи прямых, достаточно громоздких алгебраических вычислений. Для этого в (100) исключаются промежуточные координаты и время. Существенно более простые в математическом отношении вычисления получаются при использовании кватернионной техники | + | Результат произведения матриц (105) может быть найден при помощи прямых, достаточно громоздких алгебраических вычислений. Для этого в (100) исключаются промежуточные координаты и время. Существенно более простые в математическом отношении вычисления получаются при использовании [[Кватернионы|кватернионной техники]]. Результирующая матрица произведения бустов не является бустом, но может быть представлена в виде композиции буста, а затем 3-мерного вращения: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
Строка 87: | Строка 87: | ||
|} | |} | ||
− | Формула (107) была получена Стаппом в 1956 г. | + | Формула (107) была получена Стаппом в 1956 г. |
+ | <ref> | ||
+ | Stapp H. P. — "''Relativistic Theory of Polarization Phenomena''", Phys.Rev. '''103''', 2, pp.425-434, (1956) | ||
+ | </ref>, а поворот, возникающий в результирующем преобразовании, называется вигнеровским вращением | ||
+ | <ref> | ||
+ | Wigner E. P. — "''On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group''", Ann. Math. 40, pp.149-204 (1939). | ||
+ | </ref>. | ||
Аналогичное разложение произведения двух бустов на буст и вращение можно выполнить в обратном порядке: | Аналогичное разложение произведения двух бустов на буст и вращение можно выполнить в обратном порядке: | ||
Строка 112: | Строка 118: | ||
из которого следует, что угол между векторами скоростей <math>\textstyle \mathbf{w}</math> и <math>\textstyle \tilde{\mathbf{w}}</math> соответствует вигнеровскому повороту (107). | из которого следует, что угол между векторами скоростей <math>\textstyle \mathbf{w}</math> и <math>\textstyle \tilde{\mathbf{w}}</math> соответствует вигнеровскому повороту (107). | ||
− | Рассмотрим в единых обозначениях описание прецессии Томаса, приведенное в книгах Джексона | + | Рассмотрим в единых обозначениях описание прецессии Томаса, приведенное в книгах Джексона |
+ | <ref name="Jekson"> | ||
+ | Джексон Д. — "''Классическая электродинамика''", М. Мир. с.702, (1965) | ||
+ | </ref> и Мёллера | ||
+ | <ref name="Myoler"> | ||
+ | Мёллер К. — "''Теория относительности''", М. Атомиздат. с.400, (1975) | ||
+ | </ref>. Пусть есть три системы отсчёта: <math>\textstyle K</math>, <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math>, описанные в первом разделе, где <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> — сопутствующие ИСО к движущейся по криволинейной траектории НИСО, а <math>\textstyle K</math> — лабораторная ИСО. | ||
− | В | + | В <ref name="Jekson"/> предполагается, что <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> связаны с <math>\textstyle K</math> бустами: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
Строка 152: | Строка 164: | ||
В исходной постановке задачи предполагалось, что при изменении скорости НИСО, сопутствующие к ней ИСО связаны лоренцевским преобразованием (т.е. их оси переносятся параллельно, со сделанной выше оговоркой). Поэтому в подходе Джексона, очевидно, рассматривается иная задача. | В исходной постановке задачи предполагалось, что при изменении скорости НИСО, сопутствующие к ней ИСО связаны лоренцевским преобразованием (т.е. их оси переносятся параллельно, со сделанной выше оговоркой). Поэтому в подходе Джексона, очевидно, рассматривается иная задача. | ||
− | Идеологии параллельного переноса осей сопутствующих систем больше соответствует вывод Мёллера | + | Идеологии параллельного переноса осей сопутствующих систем больше соответствует вывод Мёллера <ref name="Myoler">, который рассматривает последовательность преобразований: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
Строка 197: | Строка 209: | ||
что с точностью до знака совпадает с выражением (115) Джексона, однако имеет другой смысл, так как определяет поворот системы, полученной из лабораторной системы <math>\textstyle K</math> в результате лоренцевского буста. Фактически, в соотношении <math>\textstyle \mathbb{L}(d\mathbf{v}')\mathbb{L}(\mathbf{v})=\mathbb{R}(\mathbf{n},d\phi)\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})</math> участвует четыре ИСО. В левой части записан последовательный переход от <math>\textstyle K</math> к <math>\textstyle K'</math>, а затем к <math>\textstyle K''</math>. В правой части лоренцевское преобразование <math>\textstyle \mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})</math> осуществляет переход от <math>\textstyle K</math> к системе <math>\textstyle \tilde{K}''</math>, из которой (в результате поворота) получается система <math>\textstyle K''</math>. Поэтому 3-мерное вращение осуществляется не относительно лабораторной системы <math>\textstyle K</math>, а относительно <math>\textstyle \tilde{K}''</math>. | что с точностью до знака совпадает с выражением (115) Джексона, однако имеет другой смысл, так как определяет поворот системы, полученной из лабораторной системы <math>\textstyle K</math> в результате лоренцевского буста. Фактически, в соотношении <math>\textstyle \mathbb{L}(d\mathbf{v}')\mathbb{L}(\mathbf{v})=\mathbb{R}(\mathbf{n},d\phi)\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})</math> участвует четыре ИСО. В левой части записан последовательный переход от <math>\textstyle K</math> к <math>\textstyle K'</math>, а затем к <math>\textstyle K''</math>. В правой части лоренцевское преобразование <math>\textstyle \mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})</math> осуществляет переход от <math>\textstyle K</math> к системе <math>\textstyle \tilde{K}''</math>, из которой (в результате поворота) получается система <math>\textstyle K''</math>. Поэтому 3-мерное вращение осуществляется не относительно лабораторной системы <math>\textstyle K</math>, а относительно <math>\textstyle \tilde{K}''</math>. | ||
+ | |||
+ | === Примчания === | ||
+ | <references/> | ||
---- | ---- |
Версия 08:40, 14 марта 2011
Заключение << | Оглавление | >> Приложение B: Вигнеровское вращение для стержня |
---|
Обозначим через 4-вектор события в пространстве-времени. Лоренцевский буст (чистое преобразование Лоренца без вращения) будем обозначать в матричном виде как или в явной компонентной записи (см. раздел 2):
(100)
|
Поворот декартовой системы координат вокруг единичного вектора на угол в матричном виде обозначим как или
(101)
|
при неизменности времени ().
Необходимо различать пассивное и активное вращения. При пассивном вращении точка пространства считается фиксированной, а поворачивается по часовой стрелке вокруг вектора одна система координат относительно другой. Расписав преобразования (101) в компонентах и , мы получим связь проекций одного и того же радиус-вектора на оси каждой системы координат. При этом компоненты вектора берутся относительно первой системы. При активном вращении координатная система одна, а поворачивается вектор . В этом случае, после замены , формула (101) устанавливает векторную связь двух различных векторов и .
Далее вращение всегда понимается в пассивном смысле. Преобразования Лоренца также являются пассивными преобразованиями, так как связывают результаты наблюдения одного и того же события из двух систем отсчёта.
Инфинитезимальные преобразования Лоренца :
(102)
|
и вращения :
(103)
|
записываются с точностью до первого порядка малости по параметрам.
Рассмотрим композицию бустов. Пусть ИСО движется относительно со скоростью , а относительно со скоростью . Тогда
(104)
|
или
(105)
|
Обратим внимание, что произведение матриц осуществляется в обратном порядке к выполнению преобразований.
Результат произведения матриц (105) может быть найден при помощи прямых, достаточно громоздких алгебраических вычислений. Для этого в (100) исключаются промежуточные координаты и время. Существенно более простые в математическом отношении вычисления получаются при использовании кватернионной техники. Результирующая матрица произведения бустов не является бустом, но может быть представлена в виде композиции буста, а затем 3-мерного вращения:
(106)
|
Угол поворота и единичный вектор находятся из уравнения:
(107)
|
а итоговая скорость имеет смысл скорости начала системы относительно :
(108)
|
Факторы и относятся к скорости , а — к скорости . Фактор Лоренца для скорости равен:
(109)
|
Формула (107) была получена Стаппом в 1956 г. [1], а поворот, возникающий в результирующем преобразовании, называется вигнеровским вращением [2].
Аналогичное разложение произведения двух бустов на буст и вращение можно выполнить в обратном порядке:
(110)
|
когда сначала выполняется поворот, а затем буст. В этом случае угол и единичный вектор (107) остаются без изменений, а итоговая скорость получается из (108) перестановкой индексов 1 и 2:
(111)
|
Эта скорость с обратным знаком имеет смысл скорости движения начала системы относительно . Заметим, что , поэтому факторы Лоренца для этих двух скоростей совпадают. Отметим также соотношение
(112)
|
из которого следует, что угол между векторами скоростей и соответствует вигнеровскому повороту (107).
Рассмотрим в единых обозначениях описание прецессии Томаса, приведенное в книгах Джексона [3] и Мёллера [4]. Пусть есть три системы отсчёта: , и , описанные в первом разделе, где и — сопутствующие ИСО к движущейся по криволинейной траектории НИСО, а — лабораторная ИСО.
В [3] предполагается, что и связаны с бустами:
(113)
|
откуда, учитывая, что , получаем:
(114)
|
Используя общие соотношения (107), (108) с , , в первом приближении по , находим бесконечно малый угол поворота:
(115)
|
где учтено, что в векторном произведении (107) стоит малая величина , поэтому в множителе после него все величины можно взять в нулевом порядке по : , . В явном виде преобразование между и записывается следующим образом:
(116)
|
где
В первом приближении по скорости и совпадают и равны .
Полученное 3-мерное вращение возникает между сопутствующими системами и . При этом предполагается, что эти системы получаются из лабораторной системы при помощи бустов (113). Таким образом, их оси "параллельны" , а не друг другу. Слово "параллельно" взято в кавычки, так как мгновенное положение осей движущейся с произвольной скоростью ИСО не параллельно лабораторной ИСО (раздел 3). Поэтому под "параллельностью" мы подразумеваем выполнение чистого лоренцевского буста.
В исходной постановке задачи предполагалось, что при изменении скорости НИСО, сопутствующие к ней ИСО связаны лоренцевским преобразованием (т.е. их оси переносятся параллельно, со сделанной выше оговоркой). Поэтому в подходе Джексона, очевидно, рассматривается иная задача.
Идеологии параллельного переноса осей сопутствующих систем больше соответствует вывод Мёллера <ref name="Myoler">, который рассматривает последовательность преобразований:
(117)
|
откуда
(118)
|
Подставляя , в соотношения (107), (108), в первом приближении по имеем:
(119)
|
где учтено, что и . Итоговая скорость (108) равна:
(120)
|
где приближенное равенство записано в первом порядке малости по . Величина является скоростью относительно и имеет смысл изменения скорости НИСО относительно своего предыдущего мгновенного положения .
Скорость имеет смысл скорости системы относительно , поэтому Мёллер вводит изменение скорости НИСО относительно лабораторной системы:
(121)
|
Умножая её векторно на , несложно переписать (119) в виде:
(122)
|
что с точностью до знака совпадает с выражением (115) Джексона, однако имеет другой смысл, так как определяет поворот системы, полученной из лабораторной системы в результате лоренцевского буста. Фактически, в соотношении участвует четыре ИСО. В левой части записан последовательный переход от к , а затем к . В правой части лоренцевское преобразование осуществляет переход от к системе , из которой (в результате поворота) получается система . Поэтому 3-мерное вращение осуществляется не относительно лабораторной системы , а относительно .
Примчания
- ↑ Stapp H. P. — "Relativistic Theory of Polarization Phenomena", Phys.Rev. 103, 2, pp.425-434, (1956)
- ↑ Wigner E. P. — "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Ann. Math. 40, pp.149-204 (1939).
- ↑ 3,0 3,1 Джексон Д. — "Классическая электродинамика", М. Мир. с.702, (1965)
- ↑ Мёллер К. — "Теория относительности", М. Атомиздат. с.400, (1975)
Заключение << | Оглавление | >> Приложение B: Вигнеровское вращение для стержня |
---|