Прецессия Томаса/Приложение A. Вигнеровское вращение — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) м (Защищена страница «Прецессия Томаса/Приложение A. Вигнеровское вращение» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно))) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
Строка 10: | Строка 10: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - \gamma{\mathbf v} t + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}). </math> | | width="90%" align="center"|<math> t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - \gamma{\mathbf v} t + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(100)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 17: | Строка 17: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}\,\cos\phi + \mathbf{n}(\mathbf{n}\mathbf{r})(1-\cos\phi) - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}] \sin\phi </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}\,\cos\phi + \mathbf{n}(\mathbf{n}\mathbf{r})(1-\cos\phi) - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}] \sin\phi </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(101)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 30: | Строка 30: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> t'=t-{\mathbf r}d{\mathbf v},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - t d{\mathbf v} </math> | | width="90%" align="center"|<math> t'=t-{\mathbf r}d{\mathbf v},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - t d{\mathbf v} </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(102)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 37: | Строка 37: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r} - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}] d\phi </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r} - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}] d\phi </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(103)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 46: | Строка 46: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> X_1=\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)\,X,\;\;\;\;\;\;\;\;\;X_2=\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,X_1 </math> | | width="90%" align="center"|<math> X_1=\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)\,X,\;\;\;\;\;\;\;\;\;X_2=\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,X_1 </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(104)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 53: | Строка 53: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> X_2=\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)\,X. </math> | | width="90%" align="center"|<math> X_2=\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)\,X. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(105)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 62: | Строка 62: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)= \mathbb{R}(\mathbf{n},\,\phi) \,\mathbb{L}(\mathbf{w}). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)= \mathbb{R}(\mathbf{n},\,\phi) \,\mathbb{L}(\mathbf{w}). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(106)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 69: | Строка 69: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,\sin \phi = -[\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2]\, \frac{\gamma_1\gamma_2\,(1+\gamma_w+\gamma_1+\gamma_2)}{(1+\gamma_w)(1+\gamma_1)(1+\gamma_2)}, </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,\sin \phi = -[\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2]\, \frac{\gamma_1\gamma_2\,(1+\gamma_w+\gamma_1+\gamma_2)}{(1+\gamma_w)(1+\gamma_1)(1+\gamma_2)}, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(107)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 76: | Строка 76: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{w} = \frac{\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_1\gamma_1 + \Gamma_1\mathbf{v}_1(\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}{\gamma_1\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{w} = \frac{\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_1\gamma_1 + \Gamma_1\mathbf{v}_1(\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}{\gamma_1\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(108)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 83: | Строка 83: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \gamma_w=\gamma_1\gamma_2\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \gamma_w=\gamma_1\gamma_2\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(109)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 92: | Строка 92: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)= \mathbb{L}(\tilde{\mathbf{w}})\,\mathbb{R}(\mathbf{n},\,\phi), </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)= \mathbb{L}(\tilde{\mathbf{w}})\,\mathbb{R}(\mathbf{n},\,\phi), </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(110)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 99: | Строка 99: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \tilde{\mathbf{w}} = \frac{\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\gamma_2 + \Gamma_2\mathbf{v}_2(\mathbf{v}_2\mathbf{v}_1)}{\gamma_2\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \tilde{\mathbf{w}} = \frac{\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\gamma_2 + \Gamma_2\mathbf{v}_2(\mathbf{v}_2\mathbf{v}_1)}{\gamma_2\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(111)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 106: | Строка 106: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \frac{\tilde{\mathbf{w}}\times\mathbf{w}}{w^2} = \mathbf{n}\,\sin \phi, </math> | | width="90%" align="center"|<math> \frac{\tilde{\mathbf{w}}\times\mathbf{w}}{w^2} = \mathbf{n}\,\sin \phi, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(112)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 117: | Строка 117: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})\,X,\;\;\;\;\;\;X''=\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})\,X, </math> | | width="90%" align="center"|<math> X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})\,X,\;\;\;\;\;\;X''=\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})\,X, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(113)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 124: | Строка 124: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> X''=\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})\mathbb{L}(-\mathbf{v})\, X'. </math> | | width="90%" align="center"|<math> X''=\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})\mathbb{L}(-\mathbf{v})\, X'. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(114)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 131: | Строка 131: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}], </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}], </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(115)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 138: | Строка 138: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> t'' = t' - \mathbf{r}'\Delta \mathbf{v},\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{r}''=\mathbf{r}'-d\phi\, [\mathbf{n}\times\mathbf{r}'] - t'\Delta \mathbf{v}, </math> | | width="90%" align="center"|<math> t'' = t' - \mathbf{r}'\Delta \mathbf{v},\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{r}''=\mathbf{r}'-d\phi\, [\mathbf{n}\times\mathbf{r}'] - t'\Delta \mathbf{v}, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(116)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 155: | Строка 155: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})X,\;\;\;\;X''=\mathbb{L}(d\mathbf{v}')X', </math> | | width="90%" align="center"|<math> X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})X,\;\;\;\;X''=\mathbb{L}(d\mathbf{v}')X', </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(117)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 162: | Строка 162: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> X''=\mathbb{L}(d\mathbf{v}')\mathbb{L}(\mathbf{v}) X. </math> | | width="90%" align="center"|<math> X''=\mathbb{L}(d\mathbf{v}')\mathbb{L}(\mathbf{v}) X. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(118)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 169: | Строка 169: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}'] , </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}'] , </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(119)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 176: | Строка 176: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{w} = \frac{d\mathbf{v}'+\mathbf{v}\gamma + \Gamma \mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma\,(1+\mathbf{v}d\mathbf{v}')}\approx \mathbf{v}+\frac{d\mathbf{v}'}{\gamma}- \frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma+1}, </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{w} = \frac{d\mathbf{v}'+\mathbf{v}\gamma + \Gamma \mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma\,(1+\mathbf{v}d\mathbf{v}')}\approx \mathbf{v}+\frac{d\mathbf{v}'}{\gamma}- \frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma+1}, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(120)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 185: | Строка 185: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v} = \mathbf{w} - \mathbf{v}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v} = \mathbf{w} - \mathbf{v}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(121)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 192: | Строка 192: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}], </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}], </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(122)'''</div> |
|} | |} | ||
Версия 19:45, 13 марта 2011
Заключение << | Оглавление | >> Приложение B: Вигнеровское вращение для стержня |
---|
Обозначим через 4-вектор события в пространстве-времени. Лоренцевский буст (чистое преобразование Лоренца без вращения) будем обозначать в матричном виде как или в явной компонентной записи (см. раздел 2):
(100)
|
Поворот декартовой системы координат вокруг единичного вектора на угол в матричном виде обозначим как или
(101)
|
при неизменности времени ().
Необходимо различать пассивное и активное вращения. При пассивном вращении точка пространства считается фиксированной, а поворачивается по часовой стрелке вокруг вектора одна система координат относительно другой. Расписав преобразования () в компонентах и , мы получим связь проекций одного и того же радиус-вектора на оси каждой системы координат. При этом компоненты вектора берутся относительно первой системы. При активном вращении координатная система одна, а поворачивается вектор . В этом случае, после замены , формула () устанавливает векторную связь двух различных векторов и .
Далее вращение всегда понимается в пассивном смысле. Преобразования Лоренца также являются пассивными преобразованиями, так как связывают результаты наблюдения одного и того же события из двух систем отсчёта.
Инфинитезимальные преобразования Лоренца :
(102)
|
и вращения :
(103)
|
записываются с точностью до первого порядка малости по параметрам.
Рассмотрим композицию бустов. Пусть ИСО движется относительно со скоростью , а относительно со скоростью . Тогда
(104)
|
или
(105)
|
Обратим внимание, что произведение матриц осуществляется в обратном порядке к выполнению преобразований.
Результат произведения матриц () может быть найден при помощи прямых, достаточно громоздких алгебраических вычислений. Для этого в () исключаются промежуточные координаты и время. Существенно более простые в математическом отношении вычисления получаются при использовании кватернионной техники \cite{Stepanov2010r}. Результирующая матрица произведения бустов не является бустом, но может быть представлена в виде композиции буста, а затем 3-мерного вращения:
(106)
|
Угол поворота и единичный вектор находятся из уравнения:
(107)
|
а итоговая скорость имеет смысл скорости начала системы относительно :
(108)
|
Факторы и относятся к скорости , а — к скорости . Фактор Лоренца для скорости равен:
(109)
|
Формула () была получена Стаппом в 1956 г. \cite{Stapp1956}, а поворот, возникающий в результирующем преобразовании, называется вигнеровским вращением \cite{Wigner1939}.
Аналогичное разложение произведения двух бустов на буст и вращение можно выполнить в обратном порядке:
(110)
|
когда сначала выполняется поворот, а затем буст. В этом случае угол и единичный вектор () остаются без изменений, а итоговая скорость получается из () перестановкой индексов 1 и 2:
(111)
|
Эта скорость с обратным знаком имеет смысл скорости движения начала системы относительно . Заметим, что , поэтому факторы Лоренца для этих двух скоростей совпадают. Отметим также соотношение
(112)
|
из которого следует, что угол между векторами скоростей и соответствует вигнеровскому повороту ().
Рассмотрим в единых обозначениях описание прецессии Томаса, приведенное в книгах Джексона \cite{Jackson_1965} и Мёллера \cite{Myoler_1975}. Пусть есть три системы отсчёта: , и , описанные в первом разделе, где и — сопутствующие ИСО к движущейся по криволинейной траектории НИСО, а — лабораторная ИСО.
В \cite{Jackson_1965} предполагается, что и связаны с бустами:
(113)
|
откуда, учитывая, что , получаем:
(114)
|
Используя общие соотношения (), () с , , в первом приближении по , находим бесконечно малый угол поворота:
(115)
|
где учтено, что в векторном произведении () стоит малая величина , поэтому в множителе после него все величины можно взять в нулевом порядке по : , . В явном виде преобразование между и записывается следующим образом:
(116)
|
где
В первом приближении по скорости и совпадают и равны .
Полученное 3-мерное вращение возникает между сопутствующими системами и . При этом предполагается, что эти системы получаются из лабораторной системы при помощи бустов (). Таким образом, их оси "параллельны" , а не друг другу. Слово "параллельно" взято в кавычки, так как мгновенное положение осей движущейся с произвольной скоростью ИСО не параллельно лабораторной ИСО (раздел 3). Поэтому под "параллельностью" мы подразумеваем выполнение чистого лоренцевского буста.
В исходной постановке задачи предполагалось, что при изменении скорости НИСО, сопутствующие к ней ИСО связаны лоренцевским преобразованием (т.е. их оси переносятся параллельно, со сделанной выше оговоркой). Поэтому в подходе Джексона, очевидно, рассматривается иная задача.
Идеологии параллельного переноса осей сопутствующих систем больше соответствует вывод Мёллера \cite{Myoler_1975}, который рассматривает последовательность преобразований:
(117)
|
откуда
(118)
|
Подставляя , в соотношения (), (), в первом приближении по имеем:
(119)
|
где учтено, что и . Итоговая скорость () равна:
(120)
|
где приближенное равенство записано в первом порядке малости по . Величина является скоростью относительно и имеет смысл изменения скорости НИСО относительно своего предыдущего мгновенного положения .
Скорость имеет смысл скорости системы относительно , поэтому Мёллер вводит изменение скорости НИСО относительно лабораторной системы:
(121)
|
Умножая её векторно на , несложно переписать () в виде:
(122)
|
что с точностью до знака совпадает с выражением () Джексона, однако имеет другой смысл, так как определяет поворот системы, полученной из лабораторной системы в результате лоренцевского буста. Фактически, в соотношении участвует четыре ИСО. В левой части записан последовательный переход от к , а затем к . В правой части лоренцевское преобразование осуществляет переход от к системе , из которой (в результате поворота) получается система . Поэтому 3-мерное вращение осуществляется не относительно лабораторной системы , а относительно .
Заключение << | Оглавление | >> Приложение B: Вигнеровское вращение для стержня |
---|