Прецессия Томаса/Приложение A. Вигнеровское вращение — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
м (Защищена страница «Прецессия Томаса/Приложение A. Вигнеровское вращение» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
Строка 10: Строка 10:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - \gamma{\mathbf v} t + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}). </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - \gamma{\mathbf v} t + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}). </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(100)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 17: Строка 17:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}\,\cos\phi + \mathbf{n}(\mathbf{n}\mathbf{r})(1-\cos\phi) - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}] \sin\phi </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}\,\cos\phi + \mathbf{n}(\mathbf{n}\mathbf{r})(1-\cos\phi) - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}] \sin\phi </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(101)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 30: Строка 30:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> t'=t-{\mathbf r}d{\mathbf v},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - t d{\mathbf v} </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> t'=t-{\mathbf r}d{\mathbf v},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - t d{\mathbf v} </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(102)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 37: Строка 37:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r} - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}] d\phi </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r} - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}] d\phi </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(103)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 46: Строка 46:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> X_1=\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)\,X,\;\;\;\;\;\;\;\;\;X_2=\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,X_1 </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> X_1=\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)\,X,\;\;\;\;\;\;\;\;\;X_2=\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,X_1 </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(104)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 53: Строка 53:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> X_2=\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)\,X. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> X_2=\mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)\,X. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(105)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 62: Строка 62:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)= \mathbb{R}(\mathbf{n},\,\phi) \,\mathbb{L}(\mathbf{w}). </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)= \mathbb{R}(\mathbf{n},\,\phi) \,\mathbb{L}(\mathbf{w}). </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(106)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 69: Строка 69:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,\sin \phi = -[\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2]\, \frac{\gamma_1\gamma_2\,(1+\gamma_w+\gamma_1+\gamma_2)}{(1+\gamma_w)(1+\gamma_1)(1+\gamma_2)}, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,\sin \phi = -[\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2]\, \frac{\gamma_1\gamma_2\,(1+\gamma_w+\gamma_1+\gamma_2)}{(1+\gamma_w)(1+\gamma_1)(1+\gamma_2)}, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(107)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 76: Строка 76:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{w} = \frac{\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_1\gamma_1 + \Gamma_1\mathbf{v}_1(\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}{\gamma_1\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{w} = \frac{\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_1\gamma_1 + \Gamma_1\mathbf{v}_1(\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}{\gamma_1\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(108)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 83: Строка 83:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \gamma_w=\gamma_1\gamma_2\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2). </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \gamma_w=\gamma_1\gamma_2\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2). </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(109)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 92: Строка 92:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)= \mathbb{L}(\tilde{\mathbf{w}})\,\mathbb{R}(\mathbf{n},\,\phi), </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbb{L}(\mathbf{v}_2)\,\mathbb{L}(\mathbf{v}_1)= \mathbb{L}(\tilde{\mathbf{w}})\,\mathbb{R}(\mathbf{n},\,\phi), </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(110)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 99: Строка 99:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \tilde{\mathbf{w}} = \frac{\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\gamma_2 + \Gamma_2\mathbf{v}_2(\mathbf{v}_2\mathbf{v}_1)}{\gamma_2\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \tilde{\mathbf{w}} = \frac{\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\gamma_2 + \Gamma_2\mathbf{v}_2(\mathbf{v}_2\mathbf{v}_1)}{\gamma_2\,(1+\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2)}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(111)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 106: Строка 106:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{\tilde{\mathbf{w}}\times\mathbf{w}}{w^2} = \mathbf{n}\,\sin \phi, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{\tilde{\mathbf{w}}\times\mathbf{w}}{w^2} = \mathbf{n}\,\sin \phi, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(112)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 117: Строка 117:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})\,X,\;\;\;\;\;\;X''=\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})\,X, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})\,X,\;\;\;\;\;\;X''=\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})\,X, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(113)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 124: Строка 124:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> X''=\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})\mathbb{L}(-\mathbf{v})\, X'. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> X''=\mathbb{L}(\mathbf{v}+d\mathbf{v})\mathbb{L}(-\mathbf{v})\, X'. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(114)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 131: Строка 131:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}], </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}], </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(115)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 138: Строка 138:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> t'' = t' - \mathbf{r}'\Delta \mathbf{v},\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{r}''=\mathbf{r}'-d\phi\, [\mathbf{n}\times\mathbf{r}'] - t'\Delta \mathbf{v}, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> t'' = t' - \mathbf{r}'\Delta \mathbf{v},\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{r}''=\mathbf{r}'-d\phi\, [\mathbf{n}\times\mathbf{r}'] - t'\Delta \mathbf{v}, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(116)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 155: Строка 155:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})X,\;\;\;\;X''=\mathbb{L}(d\mathbf{v}')X', </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> X'=\mathbb{L}(\mathbf{v})X,\;\;\;\;X''=\mathbb{L}(d\mathbf{v}')X', </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(117)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 162: Строка 162:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> X''=\mathbb{L}(d\mathbf{v}')\mathbb{L}(\mathbf{v}) X. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> X''=\mathbb{L}(d\mathbf{v}')\mathbb{L}(\mathbf{v}) X. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(118)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 169: Строка 169:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}'] , </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}'] , </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(119)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 176: Строка 176:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{w} = \frac{d\mathbf{v}'+\mathbf{v}\gamma + \Gamma \mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma\,(1+\mathbf{v}d\mathbf{v}')}\approx \mathbf{v}+\frac{d\mathbf{v}'}{\gamma}- \frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma+1}, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{w} = \frac{d\mathbf{v}'+\mathbf{v}\gamma + \Gamma \mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma\,(1+\mathbf{v}d\mathbf{v}')}\approx \mathbf{v}+\frac{d\mathbf{v}'}{\gamma}- \frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma+1}, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(120)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 185: Строка 185:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v} = \mathbf{w} - \mathbf{v}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v} = \mathbf{w} - \mathbf{v}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(121)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 192: Строка 192:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}], </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{n}\,d\phi = -\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}], </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(122)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  

Версия 19:45, 13 марта 2011

Заключение << Оглавление >> Приложение B: Вигнеровское вращение для стержня

Обозначим через 4-вектор события в пространстве-времени. Лоренцевский буст (чистое преобразование Лоренца без вращения) будем обозначать в матричном виде как или в явной компонентной записи (см. раздел 2):

(100)

Поворот декартовой системы координат вокруг единичного вектора на угол в матричном виде обозначим как или

(101)

при неизменности времени ().

Необходимо различать пассивное и активное вращения. При пассивном вращении точка пространства считается фиксированной, а поворачивается по часовой стрелке вокруг вектора одна система координат относительно другой. Расписав преобразования () в компонентах и , мы получим связь проекций одного и того же радиус-вектора на оси каждой системы координат. При этом компоненты вектора берутся относительно первой системы. При активном вращении координатная система одна, а поворачивается вектор . В этом случае, после замены , формула () устанавливает векторную связь двух различных векторов и .

Далее вращение всегда понимается в пассивном смысле. Преобразования Лоренца также являются пассивными преобразованиями, так как связывают результаты наблюдения одного и того же события из двух систем отсчёта.

Инфинитезимальные преобразования Лоренца :

(102)

и вращения :

(103)

записываются с точностью до первого порядка малости по параметрам.

Рассмотрим композицию бустов. Пусть ИСО движется относительно со скоростью , а относительно со скоростью . Тогда

(104)

или

(105)

Обратим внимание, что произведение матриц осуществляется в обратном порядке к выполнению преобразований.

Результат произведения матриц () может быть найден при помощи прямых, достаточно громоздких алгебраических вычислений. Для этого в () исключаются промежуточные координаты и время. Существенно более простые в математическом отношении вычисления получаются при использовании кватернионной техники \cite{Stepanov2010r}. Результирующая матрица произведения бустов не является бустом, но может быть представлена в виде композиции буста, а затем 3-мерного вращения:

(106)

Угол поворота и единичный вектор находятся из уравнения:

(107)

а итоговая скорость имеет смысл скорости начала системы относительно :

(108)

Факторы и относятся к скорости , а — к скорости . Фактор Лоренца для скорости равен:

(109)

Формула () была получена Стаппом в 1956 г. \cite{Stapp1956}, а поворот, возникающий в результирующем преобразовании, называется вигнеровским вращением \cite{Wigner1939}.

Аналогичное разложение произведения двух бустов на буст и вращение можно выполнить в обратном порядке:

(110)

когда сначала выполняется поворот, а затем буст. В этом случае угол и единичный вектор () остаются без изменений, а итоговая скорость получается из () перестановкой индексов 1 и 2:

(111)

Эта скорость с обратным знаком имеет смысл скорости движения начала системы относительно . Заметим, что , поэтому факторы Лоренца для этих двух скоростей совпадают. Отметим также соотношение

(112)

из которого следует, что угол между векторами скоростей и соответствует вигнеровскому повороту ().

Рассмотрим в единых обозначениях описание прецессии Томаса, приведенное в книгах Джексона \cite{Jackson_1965} и Мёллера \cite{Myoler_1975}. Пусть есть три системы отсчёта: , и , описанные в первом разделе, где и — сопутствующие ИСО к движущейся по криволинейной траектории НИСО, а — лабораторная ИСО.

В \cite{Jackson_1965} предполагается, что и связаны с бустами:

(113)

откуда, учитывая, что , получаем:

(114)

Используя общие соотношения (), () с , , в первом приближении по , находим бесконечно малый угол поворота:

(115)

где учтено, что в векторном произведении () стоит малая величина , поэтому в множителе после него все величины можно взять в нулевом порядке по : , . В явном виде преобразование между и записывается следующим образом:

(116)

где

В первом приближении по скорости и совпадают и равны .

Полученное 3-мерное вращение возникает между сопутствующими системами и . При этом предполагается, что эти системы получаются из лабораторной системы при помощи бустов (). Таким образом, их оси "параллельны" , а не друг другу. Слово "параллельно" взято в кавычки, так как мгновенное положение осей движущейся с произвольной скоростью ИСО не параллельно лабораторной ИСО (раздел 3). Поэтому под "параллельностью" мы подразумеваем выполнение чистого лоренцевского буста.

В исходной постановке задачи предполагалось, что при изменении скорости НИСО, сопутствующие к ней ИСО связаны лоренцевским преобразованием (т.е. их оси переносятся параллельно, со сделанной выше оговоркой). Поэтому в подходе Джексона, очевидно, рассматривается иная задача.

Идеологии параллельного переноса осей сопутствующих систем больше соответствует вывод Мёллера \cite{Myoler_1975}, который рассматривает последовательность преобразований:

(117)

откуда

(118)

Подставляя , в соотношения (), (), в первом приближении по имеем:

(119)

где учтено, что и . Итоговая скорость () равна:

(120)

где приближенное равенство записано в первом порядке малости по . Величина является скоростью относительно и имеет смысл изменения скорости НИСО относительно своего предыдущего мгновенного положения .

Скорость имеет смысл скорости системы относительно , поэтому Мёллер вводит изменение скорости НИСО относительно лабораторной системы:

(121)

Умножая её векторно на , несложно переписать () в виде:

(122)

что с точностью до знака совпадает с выражением () Джексона, однако имеет другой смысл, так как определяет поворот системы, полученной из лабораторной системы в результате лоренцевского буста. Фактически, в соотношении участвует четыре ИСО. В левой части записан последовательный переход от к , а затем к . В правой части лоренцевское преобразование осуществляет переход от к системе , из которой (в результате поворота) получается система . Поэтому 3-мерное вращение осуществляется не относительно лабораторной системы , а относительно .


Заключение << Оглавление >> Приложение B: Вигнеровское вращение для стержня