Введём три системы отсчёта , и . Пусть скорость системы относительно равна , а скорость системы относительно равна . Соответственно, скорость относительно равна .
\parbox{14cm}{\large \fig Два вращающихся гироскопа, неподвижные относительно систем и }
Эти скорости связаны при помощи преобразования ():
|
(EQN)
|
Так как мало, разложим в ряд знаменатель:
|
(EQN)
|
где учтено тождество (). Умножая левую и правую части на , имеем:
|
(EQN)
|
При помощи этого соотношения можно обратить выражение ():
|
(EQN)
|
Рассмотрим прецессию (изменение величины и ориентации) спина системы. Последующие рассуждения справедливы для любого 4-вектора , ортогонального в 4-пространстве к 4-скорости :
|
(EQN)
|
Из этого соотношения следует, что . Запишем преобразования для 3-вектора спина (заменяя в () и ):
|
(EQN)
|
Обратное преобразование получается заменой скорости :
|
(EQN)
|
так как в любой системе отсчёта .
Если гироскоп неподвижен () относительно системы , то:
|
(EQN)
|
Обратное преобразование получается при помощи тождества () из соотношения () после подстановки :
|
(EQN)
|
Применим преобразование () между ИСО и . Пусть в системе находится неподвижный (но вращающийся) гироскоп со спином . В этом случае в преобразовании () необходимо добавить всем величинам штрих и заменить . В результате в первом приближении по спин остаётся в системе без изменений:
|
(EQN)
|
Рассмотрим теперь "точно такой же" гироскоп, неподвижный в системе со спином (рис.). Когда начала систем и совпадают, аналогично стержням из раздела , "совпадают" и гороскопы. Поэтому будем считать, что гироскоп системы получается при изменении на скорости гироскопа системы . Спин гироскопа в соответствии с () и () относительно равен:
|
(EQN)
|
Это значение спина гироскопа в момент времени после изменения им скорости на относительно системы . Вычитая из этого выражение значение спина () в момент времени , получаем:
|
(EQN)
|
где во втором равенстве , при помощи (), выражено через , а вместо подставлено выражение (). Вводя вектор 3-мерного ускорения , окончательно получаем:
|
(EQN)
|
Если ускорение остаётся перпендикулярным вектору спина (), то спин при таком движении не изменяется. В остальных случаях при ускоренном движении происходит изменение спина. Обратим внимание на то, что уравнение () отличается от уравнения (), описывающего поворот "жёсткого" стержня при криволинейном движении. Поэтому повороты стержня и спина различны.
Уравнению () можно придать ковариантную форму:
|
(EQN)
|
где — 4-скорость, а — 4-ускорение:
|
(EQN)
|
и — собственное время системы .
Дифференциальное уравнение () называется уравнением переноса Ферми. Оно может быть получено \cite{Weinberg1975} в предположении, что изменение 4-вектора спина при изменении скорости системы отсчёта пропорционально 4-скорости . При таком переносе, в силу , остаётся без изменений квадрат 4-вектора спина:
|
(EQN)
|
хотя квадрат 3-вектора спина изменяется:
|
(EQN)
|
если спин не ортогонален скорости или ускорению.
При равноускоренном движении () из состояния покоя, интегрирование уравнения прецессии () приводит к следующей зависимости продольной к скорости компоненты спина от времени:
|
(EQN)
|
где — начальное значение спина в системе, в которой его суммарный импульс был равен нулю. Это же соотношение следует также из преобразования (). Таким образом, продольная компонента спина увеличивается при ускорении гироскопа, а поперечная компонента остаётся без изменений.
На самом деле зависимость () получается не только при равноускоренном движении, но и при любом движении вдоль прямой, для которого уравнение () имеет вид:
|
(EQN)
|
Его интегрирование приводит к ().
Хотя момент импульса и спин в системе, в которой гироскоп покоится, совпадают, при движении гироскопа — это различные величины, имеющие различные уравнения, описывающие прецессию при криволинейном движении гироскопа. Пусть в системе находится неподвижный, вращающийся гироскоп с моментом импульса и с центром энергии в начале координат: . Записав преобразования (), () между системами и с , в первом порядке малости по , имеем:
|
(EQN)
|
Рассмотрим теперь точно такой же гироскоп с моментом , центр энергии которого расположен в начале системы (). Когда начала систем и совпадают, "совпадают" и гироскопы. Будем считать, что гироскоп системы получается при изменении на скорости гироскопа системы . При этом момент импульса не изменяется, однако сдвигается центр энергии гироскопа.
Найдём, как изменение поступательной скорости гироскопа выглядит с точки зрения неподвижных наблюдателей в . Гироскоп имеет момент импульса:
|
(EQN)
|
где учтено () и (), а гироскоп :
|
(EQN)
|
Разница этих двух выражений даёт изменение момента импульса при изменении скорости гироскопа на .
Считая, что () соответствует моменту времени , а () — бесконечно близкому моменту , имеем:
|
(EQN)
|
Учтём инвариантность , уравнение () и подставим из (). Выражая при помощи () скорость через и вводя ускорение , получаем:
|
(EQN)
|
Это уравнение описывает изменение момента импульса гироскопа при изменении им скорости. Если скорость и ускорение перпендикулярны (), например, при движении по окружности, уравнение () совпадает с уравнением () для ускоренного стержня.