Прецессия Томаса/Прецессия спина и момента импульса

Материал из synset
Версия от 17:50, 13 марта 2011; WikiSysop (обсуждение | вклад) (Новая страница: «Введём три системы отсчёта <math>\textstyle K</math>, <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math>. Пусть скорость …»)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Введём три системы отсчёта , и . Пусть скорость системы относительно равна , а скорость системы относительно равна . Соответственно, скорость относительно равна .


2gyro.png

\parbox{14cm}{\large \fig Два вращающихся гироскопа, неподвижные относительно систем и }

Эти скорости связаны при помощи преобразования ():

(EQN)

Так как мало, разложим в ряд знаменатель:

(EQN)

где учтено тождество (). Умножая левую и правую части на , имеем:

(EQN)

При помощи этого соотношения можно обратить выражение ():

(EQN)

Рассмотрим прецессию (изменение величины и ориентации) спина системы. Последующие рассуждения справедливы для любого 4-вектора , ортогонального в 4-пространстве к 4-скорости :

(EQN)

Из этого соотношения следует, что . Запишем преобразования для 3-вектора спина (заменяя в () и ):

(EQN)

Обратное преобразование получается заменой скорости :

(EQN)

так как в любой системе отсчёта .

Если гироскоп неподвижен () относительно системы , то:

(EQN)

Обратное преобразование получается при помощи тождества () из соотношения () после подстановки :

(EQN)

Применим преобразование () между ИСО и . Пусть в системе находится неподвижный (но вращающийся) гироскоп со спином . В этом случае в преобразовании () необходимо добавить всем величинам штрих и заменить . В результате в первом приближении по спин остаётся в системе без изменений:

(EQN)

Рассмотрим теперь "точно такой же" гироскоп, неподвижный в системе со спином (рис.). Когда начала систем и совпадают, аналогично стержням из раздела , "совпадают" и гороскопы. Поэтому будем считать, что гироскоп системы получается при изменении на скорости гироскопа системы . Спин гироскопа в соответствии с () и () относительно равен:

(EQN)

Это значение спина гироскопа в момент времени после изменения им скорости на относительно системы . Вычитая из этого выражение значение спина () в момент времени , получаем:

(EQN)

где во втором равенстве , при помощи (), выражено через , а вместо подставлено выражение (). Вводя вектор 3-мерного ускорения , окончательно получаем:

(EQN)

Если ускорение остаётся перпендикулярным вектору спина (), то спин при таком движении не изменяется. В остальных случаях при ускоренном движении происходит изменение спина. Обратим внимание на то, что уравнение () отличается от уравнения (), описывающего поворот "жёсткого" стержня при криволинейном движении. Поэтому повороты стержня и спина различны.

Уравнению () можно придать ковариантную форму:

(EQN)

где — 4-скорость, а — 4-ускорение:

(EQN)

и — собственное время системы .

Дифференциальное уравнение () называется уравнением переноса Ферми. Оно может быть получено \cite{Weinberg1975} в предположении, что изменение 4-вектора спина при изменении скорости системы отсчёта пропорционально 4-скорости . При таком переносе, в силу , остаётся без изменений квадрат 4-вектора спина:

(EQN)

хотя квадрат 3-вектора спина изменяется:

(EQN)

если спин не ортогонален скорости или ускорению.

При равноускоренном движении () из состояния покоя, интегрирование уравнения прецессии () приводит к следующей зависимости продольной к скорости компоненты спина от времени:

(EQN)

где — начальное значение спина в системе, в которой его суммарный импульс был равен нулю. Это же соотношение следует также из преобразования (). Таким образом, продольная компонента спина увеличивается при ускорении гироскопа, а поперечная компонента остаётся без изменений.

На самом деле зависимость () получается не только при равноускоренном движении, но и при любом движении вдоль прямой, для которого уравнение () имеет вид:

(EQN)

Его интегрирование приводит к ().

Хотя момент импульса и спин в системе, в которой гироскоп покоится, совпадают, при движении гироскопа — это различные величины, имеющие различные уравнения, описывающие прецессию при криволинейном движении гироскопа. Пусть в системе находится неподвижный, вращающийся гироскоп с моментом импульса и с центром энергии в начале координат: . Записав преобразования (), () между системами и с , в первом порядке малости по , имеем:

(EQN)

Рассмотрим теперь точно такой же гироскоп с моментом , центр энергии которого расположен в начале системы (). Когда начала систем и совпадают, "совпадают" и гироскопы. Будем считать, что гироскоп системы получается при изменении на скорости гироскопа системы . При этом момент импульса не изменяется, однако сдвигается центр энергии гироскопа.

Найдём, как изменение поступательной скорости гироскопа выглядит с точки зрения неподвижных наблюдателей в . Гироскоп имеет момент импульса:

(EQN)

где учтено () и (), а гироскоп :

(EQN)

Разница этих двух выражений даёт изменение момента импульса при изменении скорости гироскопа на .

Считая, что () соответствует моменту времени , а () — бесконечно близкому моменту , имеем:

(EQN)

Учтём инвариантность , уравнение () и подставим из (). Выражая при помощи () скорость через и вводя ускорение , получаем:

(EQN)

Это уравнение описывает изменение момента импульса гироскопа при изменении им скорости. Если скорость и ускорение перпендикулярны (), например, при движении по окружности, уравнение () совпадает с уравнением () для ускоренного стержня.