Прецессия Томаса/Прецессия спина и момента импульса — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 +
Версия для печати: [http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf pdf]
 +
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
 
  | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Момент импульса и спин|Момент импульса и спин]] <<  
 
  | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Момент импульса и спин|Момент импульса и спин]] <<  
Строка 147: Строка 149:
  
 
если спин не ортогонален скорости или ускорению.
 
если спин не ортогонален скорости или ускорению.
 
+
Отметим также уравнение для ''модифицированного спина'' <math>\textstyle \tilde{\mathbf{S}}=\mathbf{S} M/\mathcal{E}=\mathbf{S}/\gamma</math>, равного чистой разности полного момента импулься и момента импульса центра энергии:
При
 
[[Прецессия Томаса/Неинерциальные системы отсчёта|равноускоренном движении]] (27) из состояния покоя, интегрирование уравнения прецессии (69) приводит к следующей зависимости продольной к скорости компоненты спина от времени:
 
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> S_x(t) = \frac{S_{x0}}{\sqrt{1-v^2(t)}}, </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\tilde{\mathbf{S}}}{dt} = \gamma^2 \,[\mathbf{a}\times[\mathbf{v}\times\tilde{\mathbf{S}}]. </math>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(74)'''</div>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(74)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
где <math>\textstyle S_{x0}=S_x(0)</math> &mdash; начальное значение спина в системе, в которой его суммарный импульс был равен нулю. Это же соотношение следует также из преобразования (64). Таким образом, продольная компонента спина увеличивается при ускорении гироскопа, а поперечная компонента остаётся без изменений.
+
При равноускоренном движении (27) из состояния покоя, интегрирование уравнения прецессии (69) приводит к следующей зависимости продольной к скорости компоненты спина от времени:
 
 
На самом деле зависимость (74) получается не только при равноускоренном движении, но и при любом движении вдоль прямой, для которого уравнение (69) имеет вид:
 
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{dS_x}{S_x} = \frac{va\,dt}{1-v^2(t)} = -\frac{1}{2} \,d \bigl[\ln (1-v^2(t))\bigr]. </math>
+
  | width="90%" align="center"|<math> S_x(t) = \frac{S_{x0}}{\sqrt{1-v^2(t)}}, </math>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(75)'''</div>
 
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(75)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Его интегрирование приводит к (74).
+
где <math>\textstyle S_{x0}=S_x(0)</math> &mdash; начальное значение спина в системе, в которой его суммарный импульс был равен нулю. Это же соотношение следует также из преобразования (64). Таким образом, продольная компонента спина увеличивается при ускорении гироскопа, а поперечная компонента остаётся без изменений. На самом деле зависимость (75) получается не только при равноускоренном движении, но и при любом движении вдоль прямой.
 +
 
  
 
Хотя момент импульса и спин в системе, в которой гироскоп покоится, совпадают, при движении гироскопа &mdash; это различные величины, имеющие различные уравнения, описывающие прецессию при криволинейном движении гироскопа. Пусть в системе <math>\textstyle K''</math> находится неподвижный, вращающийся гироскоп с моментом импульса <math>\textstyle \mathbf{L}''</math> и с центром энергии в начале координат: <math>\textstyle \mathbf{G}''=0</math>.  
 
Хотя момент импульса и спин в системе, в которой гироскоп покоится, совпадают, при движении гироскопа &mdash; это различные величины, имеющие различные уравнения, описывающие прецессию при криволинейном движении гироскопа. Пусть в системе <math>\textstyle K''</math> находится неподвижный, вращающийся гироскоп с моментом импульса <math>\textstyle \mathbf{L}''</math> и с центром энергии в начале координат: <math>\textstyle \mathbf{G}''=0</math>.  
Строка 208: Строка 207:
 
  |}
 
  |}
  
Это уравнение описывает изменение момента импульса гироскопа при изменении им скорости. Если скорость и ускорение перпендикулярны (<math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{a}=0</math>), например, при движении по окружности, уравнение (80) совпадает с уравнением (25) для ускоренного стержня.
+
Это уравнение описывает изменение момента импульса гироскопа при изменении им скорости. Если скорость и ускорение перпендикулярны (<math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{a}=0</math>), например, при движении по окружности, уравнение (80) совпадает с [[Прецессия Томаса/Уравнение для стержня|уравнением]] (25) для ускоренного стержня.
  
 
=== Примчания ===
 
=== Примчания ===

Текущая версия на 17:28, 26 марта 2011

Версия для печати: pdf


Момент импульса и спин << Оглавление >> Движение гироскопа по окружности

Введём три системы отсчёта , и . Пусть скорость системы относительно равна , а скорость системы относительно равна . Соответственно, скорость относительно равна .


2gyro.png

Рисунок 13. Два вращающихся гироскопа, неподвижные относительно систем и

Эти скорости связаны при помощи преобразования (20):

(57)

Так как мало, разложим в ряд знаменатель:

(58)

где учтено тождество (8). Умножая левую и правую части на , имеем:

(59)

При помощи этого соотношения можно обратить выражение (58):

(60)

Рассмотрим прецессию (изменение величины и ориентации) спина системы. Последующие рассуждения справедливы для любого 4-вектора , ортогонального в 4-пространстве к 4-скорости :

(61)

Из этого соотношения следует, что . Запишем преобразования для 3-вектора спина (заменяя в (7) и ):

(62)

Обратное преобразование получается заменой скорости :

(63)

так как в любой системе отсчёта .

Если гироскоп неподвижен () относительно системы , то:

(64)

Обратное преобразование получается при помощи тождества (8) из соотношения (62) после подстановки :

(65)

Применим преобразование (64) между ИСО и . Пусть в системе находится неподвижный (но вращающийся) гироскоп со спином . В этом случае в преобразовании (64) необходимо добавить всем величинам штрих и заменить . В результате в первом приближении по спин остаётся в системе без изменений:

(66)

Рассмотрим теперь "точно такой же" гироскоп, неподвижный в системе со спином (рис.13). Когда начала систем и совпадают, аналогично стержням из раздела , "совпадают" и гороскопы. Поэтому будем считать, что гироскоп системы получается при изменении на скорости гироскопа системы . Спин гироскопа в соответствии с (63) и (66) относительно равен:

(67)

Это значение спина гироскопа в момент времени после изменения им скорости на относительно системы . Вычитая из этого выражение значение спина (64) в момент времени , получаем:

(68)

где во втором равенстве , при помощи (60), выражено через , а вместо подставлено выражение (65). Вводя вектор 3-мерного ускорения , окончательно получаем:

(69)

Если ускорение остаётся перпендикулярным вектору спина (), то спин при таком движении не изменяется. В остальных случаях при ускоренном движении происходит изменение спина. Обратим внимание на то, что уравнение (69) отличается от уравнения (25), описывающего поворот "жёсткого" стержня при криволинейном движении. Поэтому повороты стержня и спина различны.

Уравнению (69) можно придать ковариантную форму:

(70)

где — 4-скорость, а — 4-ускорение:

(71)

и — собственное время системы .

Дифференциальное уравнение (70) называется уравнением переноса Ферми. Оно может быть получено [1] в предположении, что изменение 4-вектора спина при изменении скорости системы отсчёта пропорционально 4-скорости . При таком переносе, в силу , остаётся без изменений квадрат 4-вектора спина:

(72)

хотя квадрат 3-вектора спина изменяется:

(73)

если спин не ортогонален скорости или ускорению. Отметим также уравнение для модифицированного спина , равного чистой разности полного момента импулься и момента импульса центра энергии:

(74)

При равноускоренном движении (27) из состояния покоя, интегрирование уравнения прецессии (69) приводит к следующей зависимости продольной к скорости компоненты спина от времени:

(75)

где — начальное значение спина в системе, в которой его суммарный импульс был равен нулю. Это же соотношение следует также из преобразования (64). Таким образом, продольная компонента спина увеличивается при ускорении гироскопа, а поперечная компонента остаётся без изменений. На самом деле зависимость (75) получается не только при равноускоренном движении, но и при любом движении вдоль прямой.


Хотя момент импульса и спин в системе, в которой гироскоп покоится, совпадают, при движении гироскопа — это различные величины, имеющие различные уравнения, описывающие прецессию при криволинейном движении гироскопа. Пусть в системе находится неподвижный, вращающийся гироскоп с моментом импульса и с центром энергии в начале координат: . Записав преобразования (49), (50) между системами и с , в первом порядке малости по , имеем:

(76)

Рассмотрим теперь точно такой же гироскоп с моментом , центр энергии которого расположен в начале системы (). Когда начала систем и совпадают, "совпадают" и гироскопы. Будем считать, что гироскоп системы получается при изменении на скорости гироскопа системы . При этом момент импульса не изменяется, однако сдвигается центр энергии гироскопа.

Найдём, как изменение поступательной скорости гироскопа выглядит с точки зрения неподвижных наблюдателей в . Гироскоп имеет момент импульса:

(77)

где учтено (49) и (76), а гироскоп :

(78)

Разница этих двух выражений даёт изменение момента импульса при изменении скорости гироскопа на .

Считая, что (78) соответствует моменту времени , а (77) — бесконечно близкому моменту , имеем:

(79)

Учтём инвариантность , уравнение (59) и подставим из (78). Выражая при помощи (60) скорость через и вводя ускорение , получаем:

(80)

Это уравнение описывает изменение момента импульса гироскопа при изменении им скорости. Если скорость и ускорение перпендикулярны (), например, при движении по окружности, уравнение (80) совпадает с уравнением (25) для ускоренного стержня.

Примчания

  1. Вейнберг С. — "Гравитация и космология", М.:Мир (1975)

Момент импульса и спин << Оглавление >> Движение гироскопа по окружности