Прецессия Томаса/Прецессия спина и момента импульса — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) (Новая страница: «Введём три системы отсчёта <math>\textstyle K</math>, <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math>. Пусть скорость …») |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
(не показано 13 промежуточных версий этого же участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | Версия для печати: [http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf pdf] | ||
+ | ---- | ||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Момент импульса и спин|Момент импульса и спин]] << | ||
+ | ! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]] | ||
+ | | width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Движение гироскопа по окружности|Движение гироскопа по окружности]] | ||
+ | |} | ||
+ | ---- | ||
+ | |||
Введём три системы отсчёта <math>\textstyle K</math>, <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math>. Пусть скорость системы <math>\textstyle K'</math> относительно <math>\textstyle K</math> равна <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, а скорость системы <math>\textstyle K''</math> относительно <math>\textstyle K'</math> равна <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math>. Соответственно, скорость <math>\textstyle K''</math> относительно <math>\textstyle K</math> равна <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. | Введём три системы отсчёта <math>\textstyle K</math>, <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math>. Пусть скорость системы <math>\textstyle K'</math> относительно <math>\textstyle K</math> равна <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, а скорость системы <math>\textstyle K''</math> относительно <math>\textstyle K'</math> равна <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math>. Соответственно, скорость <math>\textstyle K''</math> относительно <math>\textstyle K</math> равна <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>. | ||
Строка 5: | Строка 14: | ||
<center>[[File:2gyro.png]]</center> | <center>[[File:2gyro.png]]</center> | ||
− | + | <blockquote> '''Рисунок 13'''. Два вращающихся гироскопа, неподвижные относительно систем <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> | |
+ | </blockquote> | ||
− | Эти скорости связаны при помощи преобразования (): | + | Эти скорости связаны при помощи |
+ | [[Прецессия_Томаса/Уравнение_для_стержня|преобразования]] (20): | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> {\mathbf v} + d\mathbf{v} = \frac{d{\mathbf v}' + \gamma{\mathbf v} + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}d{\mathbf v}')} {\gamma\, (1+{\mathbf v}d{\mathbf v}')}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> {\mathbf v} + d\mathbf{v} = \frac{d{\mathbf v}' + \gamma{\mathbf v} + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}d{\mathbf v}')} {\gamma\, (1+{\mathbf v}d{\mathbf v}')}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(57)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 18: | Строка 29: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v} \approx \frac{d{\mathbf v}'}{\gamma} + \frac{\Gamma}{\gamma}\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}d{\mathbf v}') - \mathbf{v}({\mathbf v}d{\mathbf v}') = \frac{d\mathbf{v}'}{\gamma}- \frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma+1}, </math> | | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v} \approx \frac{d{\mathbf v}'}{\gamma} + \frac{\Gamma}{\gamma}\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}d{\mathbf v}') - \mathbf{v}({\mathbf v}d{\mathbf v}') = \frac{d\mathbf{v}'}{\gamma}- \frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma+1}, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(58)'''</div> |
|} | |} | ||
− | где учтено тождество (). Умножая левую и правую части на <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, имеем: | + | где учтено |
+ | [[Прецессия_Томаса/Преобразования_Лоренца|тождество]] (8). Умножая левую и правую части на <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, имеем: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{v}d\mathbf{v}' \approx \gamma^2\,\mathbf{v}d\mathbf{v}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{v}d\mathbf{v}' \approx \gamma^2\,\mathbf{v}d\mathbf{v}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(59)'''</div> |
|} | |} | ||
− | При помощи этого соотношения можно обратить выражение (): | + | При помощи этого соотношения можно обратить выражение (58): |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v}' \approx \gamma d\mathbf{v} + \frac{\gamma^3 \mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v})}{\gamma+1}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v}' \approx \gamma d\mathbf{v} + \frac{\gamma^3 \mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v})}{\gamma+1}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(60)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 39: | Строка 51: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> U\cdot S = U^0 S^0 - \mathbf{U}\mathbf{S} = 0. </math> | | width="90%" align="center"|<math> U\cdot S = U^0 S^0 - \mathbf{U}\mathbf{S} = 0. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(61)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Из этого соотношения следует, что <math>\textstyle S^0=\mathbf{u}\mathbf{S}</math>. Запишем преобразования для 3-вектора спина (заменяя в () <math>\textstyle t\mapsto S^0=\mathbf{u}\mathbf{S}</math> и <math>\textstyle \mathbf{r}\mapsto \mathbf{S}</math>): | + | Из этого соотношения следует, что <math>\textstyle S^0=\mathbf{u}\mathbf{S}</math>. Запишем преобразования для 3-вектора спина (заменяя в (7) <math>\textstyle t\mapsto S^0=\mathbf{u}\mathbf{S}</math> и <math>\textstyle \mathbf{r}\mapsto \mathbf{S}</math>): |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S} - \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}\mathbf{S}) + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S} - \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}\mathbf{S}) + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(62)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 53: | Строка 65: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}'\mathbf{S}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'), </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}'\mathbf{S}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'), </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(63)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 62: | Строка 74: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(64)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Обратное преобразование получается при помощи тождества () из соотношения () после подстановки <math>\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{v}</math>: | + | Обратное преобразование получается при помощи тождества (8) из соотношения (62) после подстановки <math>\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{v}</math>: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S} - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S} - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(65)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Применим преобразование () между ИСО <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math>. Пусть в системе <math>\textstyle K''</math> находится неподвижный (но вращающийся) гироскоп со спином <math>\textstyle \mathbf{S}''</math>. В этом случае в преобразовании () необходимо добавить всем величинам штрих и заменить <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto d\mathbf{v}'</math>. В результате в первом приближении по <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> спин остаётся в системе <math>\textstyle K'</math> без изменений: | + | Применим преобразование (64) между ИСО <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math>. Пусть в системе <math>\textstyle K''</math> находится неподвижный (но вращающийся) гироскоп со спином <math>\textstyle \mathbf{S}''</math>. В этом случае в преобразовании (64) необходимо добавить всем величинам штрих и заменить <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto d\mathbf{v}'</math>. В результате в первом приближении по <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> спин остаётся в системе <math>\textstyle K'</math> без изменений: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S}''. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S}''. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(66)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Рассмотрим теперь "точно такой же" гироскоп, неподвижный в системе <math>\textstyle K'</math> со спином <math>\textstyle \mathbf{S}'</math> (рис.). Когда начала систем <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> совпадают, аналогично стержням из раздела , "совпадают" и гороскопы. Поэтому будем считать, что гироскоп системы <math>\textstyle K''</math> получается при изменении на <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> скорости гироскопа системы <math>\textstyle K'</math>. Спин гироскопа <math>\textstyle K''</math> в соответствии с () и () относительно <math>\textstyle K</math> равен: | + | Рассмотрим теперь "точно такой же" гироскоп, неподвижный в системе <math>\textstyle K'</math> со спином <math>\textstyle \mathbf{S}'</math> (рис.13). Когда начала систем <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> совпадают, аналогично стержням из раздела , "совпадают" и гороскопы. Поэтому будем считать, что гироскоп системы <math>\textstyle K''</math> получается при изменении на <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> скорости гироскопа системы <math>\textstyle K'</math>. Спин гироскопа <math>\textstyle K''</math> в соответствии с (63) и (66) относительно <math>\textstyle K</math> равен: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(67)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Это значение спина гироскопа в момент времени <math>\textstyle t+dt</math> после изменения им скорости на <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> относительно системы <math>\textstyle K'</math>. Вычитая из этого выражение значение спина () в момент времени <math>\textstyle t</math>, получаем: | + | Это значение спина гироскопа в момент времени <math>\textstyle t+dt</math> после изменения им скорости на <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> относительно системы <math>\textstyle K'</math>. Вычитая из этого выражение значение спина (64) в момент времени <math>\textstyle t</math>, получаем: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{S} = \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') = \gamma^2 \mathbf{v}(\mathbf{S}d\mathbf{v}), </math> | | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{S} = \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') = \gamma^2 \mathbf{v}(\mathbf{S}d\mathbf{v}), </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(68)'''</div> |
|} | |} | ||
− | где во втором равенстве <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math>, при помощи (), выражено через <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>, а вместо <math>\textstyle \mathbf{S}'</math> подставлено выражение (). Вводя вектор 3-мерного ускорения <math>\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt</math>, окончательно получаем: | + | где во втором равенстве <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math>, при помощи (60), выражено через <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>, а вместо <math>\textstyle \mathbf{S}'</math> подставлено выражение (65). Вводя вектор 3-мерного ускорения <math>\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt</math>, окончательно получаем: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}}{dt} = \gamma^2 \mathbf{v}\,(\mathbf{a}\mathbf{S}). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}}{dt} = \gamma^2 \mathbf{v}\,(\mathbf{a}\mathbf{S}). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(69)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Если ускорение <math>\textstyle \mathbf{a}</math> остаётся перпендикулярным вектору спина (<math>\textstyle \mathbf{a}\mathbf{S}=0</math>), то спин при таком движении не изменяется. В остальных случаях при ускоренном движении происходит изменение спина. Обратим внимание на то, что уравнение () отличается от уравнения (), описывающего поворот "жёсткого" стержня при криволинейном движении. Поэтому повороты стержня и спина различны. | + | Если ускорение <math>\textstyle \mathbf{a}</math> остаётся перпендикулярным вектору спина (<math>\textstyle \mathbf{a}\mathbf{S}=0</math>), то спин при таком движении не изменяется. В остальных случаях при ускоренном движении происходит изменение спина. Обратим внимание на то, что уравнение (69) отличается от [[Прецессия Томаса/Уравнение для стержня|уравнения]] (25), описывающего поворот "жёсткого" стержня при криволинейном движении. Поэтому повороты стержня и спина различны. |
− | Уравнению () можно придать ковариантную форму: | + | Уравнению (69) можно придать ковариантную форму: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \frac{dS^\alpha}{d\tau} = -V^\alpha A^\beta S_\beta, </math> | | width="90%" align="center"|<math> \frac{dS^\alpha}{d\tau} = -V^\alpha A^\beta S_\beta, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(70)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 113: | Строка 125: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> A^\alpha =\frac{dV^\alpha}{d\tau} = \gamma\,\frac{d}{dt} \{\gamma,\;\mathbf{v}\gamma\} = \{(\mathbf{v}\mathbf{a})\gamma^4,\;\mathbf{a}\gamma^2+ \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{a})\gamma^4\} </math> | | width="90%" align="center"|<math> A^\alpha =\frac{dV^\alpha}{d\tau} = \gamma\,\frac{d}{dt} \{\gamma,\;\mathbf{v}\gamma\} = \{(\mathbf{v}\mathbf{a})\gamma^4,\;\mathbf{a}\gamma^2+ \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{a})\gamma^4\} </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(71)'''</div> |
|} | |} | ||
и <math>\textstyle d\tau=\sqrt{1-\mathbf{v}^2}\,dt</math> — собственное время системы <math>\textstyle K'</math>. | и <math>\textstyle d\tau=\sqrt{1-\mathbf{v}^2}\,dt</math> — собственное время системы <math>\textstyle K'</math>. | ||
− | Дифференциальное уравнение () называется уравнением переноса Ферми. Оно может быть получено | + | Дифференциальное уравнение (70) называется уравнением переноса Ферми. Оно может быть получено |
+ | <ref> | ||
+ | Вейнберг С. — "''Гравитация и космология''", М.:Мир (1975) | ||
+ | </ref> | ||
+ | в предположении, что изменение 4-вектора спина <math>\textstyle dS^\alpha</math> при изменении скорости системы отсчёта пропорционально 4-скорости <math>\textstyle V^\alpha</math>. При таком переносе, в силу <math>\textstyle V\cdot S=0</math>, остаётся без изменений квадрат 4-вектора спина: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d(S^\alpha S_\alpha)}{d\tau} = 0, </math> | | width="90%" align="center"|<math> \frac{d(S^\alpha S_\alpha)}{d\tau} = 0, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(72)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 129: | Строка 145: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}^2}{dt} = 2\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{S})(\mathbf{a}\mathbf{S}), </math> | | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}^2}{dt} = 2\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{S})(\mathbf{a}\mathbf{S}), </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(73)'''</div> |
|} | |} | ||
если спин не ортогонален скорости или ускорению. | если спин не ортогонален скорости или ускорению. | ||
− | + | Отметим также уравнение для ''модифицированного спина'' <math>\textstyle \tilde{\mathbf{S}}=\mathbf{S} M/\mathcal{E}=\mathbf{S}/\gamma</math>, равного чистой разности полного момента импулься и момента импульса центра энергии: | |
− | |||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
− | | width="90%" align="center"|<math> | + | | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\tilde{\mathbf{S}}}{dt} = \gamma^2 \,[\mathbf{a}\times[\mathbf{v}\times\tilde{\mathbf{S}}]. </math> |
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(74)'''</div> |
|} | |} | ||
− | + | При равноускоренном движении (27) из состояния покоя, интегрирование уравнения прецессии (69) приводит к следующей зависимости продольной к скорости компоненты спина от времени: | |
− | |||
− | |||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
− | | width="90%" align="center"|<math> \frac{ | + | | width="90%" align="center"|<math> S_x(t) = \frac{S_{x0}}{\sqrt{1-v^2(t)}}, </math> |
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(75)'''</div> |
|} | |} | ||
− | + | где <math>\textstyle S_{x0}=S_x(0)</math> — начальное значение спина в системе, в которой его суммарный импульс был равен нулю. Это же соотношение следует также из преобразования (64). Таким образом, продольная компонента спина увеличивается при ускорении гироскопа, а поперечная компонента остаётся без изменений. На самом деле зависимость (75) получается не только при равноускоренном движении, но и при любом движении вдоль прямой. | |
+ | |||
− | Хотя момент импульса и спин в системе, в которой гироскоп покоится, совпадают, при движении гироскопа — это различные величины, имеющие различные уравнения, описывающие прецессию при криволинейном движении гироскопа. Пусть в системе <math>\textstyle K''</math> находится неподвижный, вращающийся гироскоп с моментом импульса <math>\textstyle \mathbf{L}''</math> и с центром энергии в начале координат: <math>\textstyle \mathbf{G}''=0</math>. Записав преобразования (), () между системами <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> с <math>\textstyle \mathbf{v}=d\mathbf{v}'</math>, в первом порядке малости по <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math>, имеем: | + | Хотя момент импульса и спин в системе, в которой гироскоп покоится, совпадают, при движении гироскопа — это различные величины, имеющие различные уравнения, описывающие прецессию при криволинейном движении гироскопа. Пусть в системе <math>\textstyle K''</math> находится неподвижный, вращающийся гироскоп с моментом импульса <math>\textstyle \mathbf{L}''</math> и с центром энергии в начале координат: <math>\textstyle \mathbf{G}''=0</math>. |
+ | Записав | ||
+ | [[Прецессия Томаса/Момент импульса и спин|преобразования]] (49), (50) между системами <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> с <math>\textstyle \mathbf{v}=d\mathbf{v}'</math>, в первом порядке малости по <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math>, имеем: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L'}=\mathbf{L}'',\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{G}'= [d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}'']. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L'}=\mathbf{L}'',\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{G}'= [d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}'']. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(76)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 165: | Строка 181: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L}=\gamma\mathbf{L}' -\gamma [\mathbf{v}\times[d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}']]- \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'), </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L}=\gamma\mathbf{L}' -\gamma [\mathbf{v}\times[d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}']]- \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'), </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(77)'''</div> |
|} | |} | ||
− | где учтено () и (), а гироскоп <math>\textstyle K'</math>: | + | где учтено ([[Прецессия Томаса/Момент импульса и спин|49]]) и (76), а гироскоп <math>\textstyle K'</math>: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L}=\gamma\mathbf{L}'- \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L}=\gamma\mathbf{L}'- \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(78)'''</div> |
|} | |} | ||
Разница этих двух выражений даёт изменение момента импульса при изменении скорости гироскопа <math>\textstyle K'</math> на <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math>. | Разница этих двух выражений даёт изменение момента импульса при изменении скорости гироскопа <math>\textstyle K'</math> на <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math>. | ||
− | Считая, что () соответствует моменту времени <math>\textstyle t</math>, а () — бесконечно близкому моменту <math>\textstyle t+dt</math>, имеем: | + | Считая, что (78) соответствует моменту времени <math>\textstyle t</math>, а (77) — бесконечно близкому моменту <math>\textstyle t+dt</math>, имеем: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{L}=-\gamma [\mathbf{v}\times[d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}']] = -\gamma \,(\mathbf{v}\mathbf{L}')d\mathbf{v}' +\gamma \mathbf{L}' (\mathbf{v}d\mathbf{v}'). </math> | | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{L}=-\gamma [\mathbf{v}\times[d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}']] = -\gamma \,(\mathbf{v}\mathbf{L}')d\mathbf{v}' +\gamma \mathbf{L}' (\mathbf{v}d\mathbf{v}'). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(79)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Учтём инвариантность <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{L}'=\mathbf{v}\mathbf{L}</math>, уравнение () и подставим <math>\textstyle \gamma\mathbf{L}'</math> из (). Выражая при помощи () скорость <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> через <math>\textstyle d\mathbf{v}</math> и вводя ускорение <math>\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt</math>, получаем: | + | Учтём инвариантность <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{L}'=\mathbf{v}\mathbf{L}</math>, уравнение (59) и подставим <math>\textstyle \gamma\mathbf{L}'</math> из (78). Выражая при помощи (60) скорость <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> через <math>\textstyle d\mathbf{v}</math> и вводя ускорение <math>\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt</math>, получаем: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{L}}{dt}=\gamma^2 \,(\mathbf{v}\mathbf{a})\, \mathbf{L} - \gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{L}) \mathbf{a}=\gamma^2 \,\mathbf{v}\times [\mathbf{L}\times \mathbf{a}]. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{L}}{dt}=\gamma^2 \,(\mathbf{v}\mathbf{a})\, \mathbf{L} - \gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{L}) \mathbf{a}=\gamma^2 \,\mathbf{v}\times [\mathbf{L}\times \mathbf{a}]. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(80)'''</div> |
|} | |} | ||
− | Это уравнение описывает изменение момента импульса гироскопа при изменении им скорости. Если скорость и ускорение перпендикулярны (<math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{a}=0</math>), например, при движении по окружности, уравнение () совпадает с уравнением () для ускоренного стержня. | + | Это уравнение описывает изменение момента импульса гироскопа при изменении им скорости. Если скорость и ускорение перпендикулярны (<math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{a}=0</math>), например, при движении по окружности, уравнение (80) совпадает с [[Прецессия Томаса/Уравнение для стержня|уравнением]] (25) для ускоренного стержня. |
+ | |||
+ | === Примчания === | ||
+ | <references/> | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Момент импульса и спин|Момент импульса и спин]] << | ||
+ | ! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]] | ||
+ | | width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Движение гироскопа по окружности|Движение гироскопа по окружности]] | ||
+ | |} |
Текущая версия на 17:28, 26 марта 2011
Версия для печати: pdf
Момент импульса и спин << | Оглавление | >> Движение гироскопа по окружности |
---|
Введём три системы отсчёта , и . Пусть скорость системы относительно равна , а скорость системы относительно равна . Соответственно, скорость относительно равна .
Рисунок 13. Два вращающихся гироскопа, неподвижные относительно систем и
Эти скорости связаны при помощи преобразования (20):
(57)
|
Так как мало, разложим в ряд знаменатель:
(58)
|
где учтено тождество (8). Умножая левую и правую части на , имеем:
(59)
|
При помощи этого соотношения можно обратить выражение (58):
(60)
|
Рассмотрим прецессию (изменение величины и ориентации) спина системы. Последующие рассуждения справедливы для любого 4-вектора , ортогонального в 4-пространстве к 4-скорости :
(61)
|
Из этого соотношения следует, что . Запишем преобразования для 3-вектора спина (заменяя в (7) и ):
(62)
|
Обратное преобразование получается заменой скорости :
(63)
|
так как в любой системе отсчёта .
Если гироскоп неподвижен () относительно системы , то:
(64)
|
Обратное преобразование получается при помощи тождества (8) из соотношения (62) после подстановки :
(65)
|
Применим преобразование (64) между ИСО и . Пусть в системе находится неподвижный (но вращающийся) гироскоп со спином . В этом случае в преобразовании (64) необходимо добавить всем величинам штрих и заменить . В результате в первом приближении по спин остаётся в системе без изменений:
(66)
|
Рассмотрим теперь "точно такой же" гироскоп, неподвижный в системе со спином (рис.13). Когда начала систем и совпадают, аналогично стержням из раздела , "совпадают" и гороскопы. Поэтому будем считать, что гироскоп системы получается при изменении на скорости гироскопа системы . Спин гироскопа в соответствии с (63) и (66) относительно равен:
(67)
|
Это значение спина гироскопа в момент времени после изменения им скорости на относительно системы . Вычитая из этого выражение значение спина (64) в момент времени , получаем:
(68)
|
где во втором равенстве , при помощи (60), выражено через , а вместо подставлено выражение (65). Вводя вектор 3-мерного ускорения , окончательно получаем:
(69)
|
Если ускорение остаётся перпендикулярным вектору спина (), то спин при таком движении не изменяется. В остальных случаях при ускоренном движении происходит изменение спина. Обратим внимание на то, что уравнение (69) отличается от уравнения (25), описывающего поворот "жёсткого" стержня при криволинейном движении. Поэтому повороты стержня и спина различны.
Уравнению (69) можно придать ковариантную форму:
(70)
|
где — 4-скорость, а — 4-ускорение:
(71)
|
и — собственное время системы .
Дифференциальное уравнение (70) называется уравнением переноса Ферми. Оно может быть получено [1] в предположении, что изменение 4-вектора спина при изменении скорости системы отсчёта пропорционально 4-скорости . При таком переносе, в силу , остаётся без изменений квадрат 4-вектора спина:
(72)
|
хотя квадрат 3-вектора спина изменяется:
(73)
|
если спин не ортогонален скорости или ускорению. Отметим также уравнение для модифицированного спина , равного чистой разности полного момента импулься и момента импульса центра энергии:
(74)
|
При равноускоренном движении (27) из состояния покоя, интегрирование уравнения прецессии (69) приводит к следующей зависимости продольной к скорости компоненты спина от времени:
(75)
|
где — начальное значение спина в системе, в которой его суммарный импульс был равен нулю. Это же соотношение следует также из преобразования (64). Таким образом, продольная компонента спина увеличивается при ускорении гироскопа, а поперечная компонента остаётся без изменений. На самом деле зависимость (75) получается не только при равноускоренном движении, но и при любом движении вдоль прямой.
Хотя момент импульса и спин в системе, в которой гироскоп покоится, совпадают, при движении гироскопа — это различные величины, имеющие различные уравнения, описывающие прецессию при криволинейном движении гироскопа. Пусть в системе находится неподвижный, вращающийся гироскоп с моментом импульса и с центром энергии в начале координат: .
Записав
преобразования (49), (50) между системами и с , в первом порядке малости по , имеем:
(76)
|
Рассмотрим теперь точно такой же гироскоп с моментом , центр энергии которого расположен в начале системы (). Когда начала систем и совпадают, "совпадают" и гироскопы. Будем считать, что гироскоп системы получается при изменении на скорости гироскопа системы . При этом момент импульса не изменяется, однако сдвигается центр энергии гироскопа.
Найдём, как изменение поступательной скорости гироскопа выглядит с точки зрения неподвижных наблюдателей в . Гироскоп имеет момент импульса:
(77)
|
где учтено (49) и (76), а гироскоп :
(78)
|
Разница этих двух выражений даёт изменение момента импульса при изменении скорости гироскопа на .
Считая, что (78) соответствует моменту времени , а (77) — бесконечно близкому моменту , имеем:
(79)
|
Учтём инвариантность , уравнение (59) и подставим из (78). Выражая при помощи (60) скорость через и вводя ускорение , получаем:
(80)
|
Это уравнение описывает изменение момента импульса гироскопа при изменении им скорости. Если скорость и ускорение перпендикулярны (), например, при движении по окружности, уравнение (80) совпадает с уравнением (25) для ускоренного стержня.
Примчания
- ↑ Вейнберг С. — "Гравитация и космология", М.:Мир (1975)
Момент импульса и спин << | Оглавление | >> Движение гироскопа по окружности |
---|