Прецессия Томаса/Прецессия спина и момента импульса — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
Строка 19: | Строка 19: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> {\mathbf v} + d\mathbf{v} = \frac{d{\mathbf v}' + \gamma{\mathbf v} + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}d{\mathbf v}')} {\gamma\, (1+{\mathbf v}d{\mathbf v}')}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> {\mathbf v} + d\mathbf{v} = \frac{d{\mathbf v}' + \gamma{\mathbf v} + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}d{\mathbf v}')} {\gamma\, (1+{\mathbf v}d{\mathbf v}')}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(57)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 26: | Строка 26: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v} \approx \frac{d{\mathbf v}'}{\gamma} + \frac{\Gamma}{\gamma}\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}d{\mathbf v}') - \mathbf{v}({\mathbf v}d{\mathbf v}') = \frac{d\mathbf{v}'}{\gamma}- \frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma+1}, </math> | | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v} \approx \frac{d{\mathbf v}'}{\gamma} + \frac{\Gamma}{\gamma}\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}d{\mathbf v}') - \mathbf{v}({\mathbf v}d{\mathbf v}') = \frac{d\mathbf{v}'}{\gamma}- \frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma+1}, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(58)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 33: | Строка 33: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{v}d\mathbf{v}' \approx \gamma^2\,\mathbf{v}d\mathbf{v}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{v}d\mathbf{v}' \approx \gamma^2\,\mathbf{v}d\mathbf{v}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(59)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 40: | Строка 40: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v}' \approx \gamma d\mathbf{v} + \frac{\gamma^3 \mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v})}{\gamma+1}. </math> | | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v}' \approx \gamma d\mathbf{v} + \frac{\gamma^3 \mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v})}{\gamma+1}. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(60)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 47: | Строка 47: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> U\cdot S = U^0 S^0 - \mathbf{U}\mathbf{S} = 0. </math> | | width="90%" align="center"|<math> U\cdot S = U^0 S^0 - \mathbf{U}\mathbf{S} = 0. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(61)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 54: | Строка 54: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S} - \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}\mathbf{S}) + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S} - \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}\mathbf{S}) + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(62)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 61: | Строка 61: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}'\mathbf{S}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'), </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}'\mathbf{S}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'), </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(63)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 70: | Строка 70: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(64)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 77: | Строка 77: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S} - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S} - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(65)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 84: | Строка 84: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S}''. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S}''. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(66)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 91: | Строка 91: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(67)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 98: | Строка 98: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{S} = \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') = \gamma^2 \mathbf{v}(\mathbf{S}d\mathbf{v}), </math> | | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{S} = \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') = \gamma^2 \mathbf{v}(\mathbf{S}d\mathbf{v}), </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(68)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 105: | Строка 105: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}}{dt} = \gamma^2 \mathbf{v}\,(\mathbf{a}\mathbf{S}). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}}{dt} = \gamma^2 \mathbf{v}\,(\mathbf{a}\mathbf{S}). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(69)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 114: | Строка 114: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \frac{dS^\alpha}{d\tau} = -V^\alpha A^\beta S_\beta, </math> | | width="90%" align="center"|<math> \frac{dS^\alpha}{d\tau} = -V^\alpha A^\beta S_\beta, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(70)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 121: | Строка 121: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> A^\alpha =\frac{dV^\alpha}{d\tau} = \gamma\,\frac{d}{dt} \{\gamma,\;\mathbf{v}\gamma\} = \{(\mathbf{v}\mathbf{a})\gamma^4,\;\mathbf{a}\gamma^2+ \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{a})\gamma^4\} </math> | | width="90%" align="center"|<math> A^\alpha =\frac{dV^\alpha}{d\tau} = \gamma\,\frac{d}{dt} \{\gamma,\;\mathbf{v}\gamma\} = \{(\mathbf{v}\mathbf{a})\gamma^4,\;\mathbf{a}\gamma^2+ \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{a})\gamma^4\} </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(71)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 130: | Строка 130: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d(S^\alpha S_\alpha)}{d\tau} = 0, </math> | | width="90%" align="center"|<math> \frac{d(S^\alpha S_\alpha)}{d\tau} = 0, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(72)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 137: | Строка 137: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}^2}{dt} = 2\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{S})(\mathbf{a}\mathbf{S}), </math> | | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}^2}{dt} = 2\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{S})(\mathbf{a}\mathbf{S}), </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(73)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 146: | Строка 146: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> S_x(t) = \frac{S_{x0}}{\sqrt{1-v^2(t)}}, </math> | | width="90%" align="center"|<math> S_x(t) = \frac{S_{x0}}{\sqrt{1-v^2(t)}}, </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(74)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 155: | Строка 155: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \frac{dS_x}{S_x} = \frac{va\,dt}{1-v^2(t)} = -\frac{1}{2} \,d \bigl[\ln (1-v^2(t))\bigr]. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \frac{dS_x}{S_x} = \frac{va\,dt}{1-v^2(t)} = -\frac{1}{2} \,d \bigl[\ln (1-v^2(t))\bigr]. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(75)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 164: | Строка 164: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L'}=\mathbf{L}'',\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{G}'= [d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}'']. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L'}=\mathbf{L}'',\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{G}'= [d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}'']. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(76)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 173: | Строка 173: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L}=\gamma\mathbf{L}' -\gamma [\mathbf{v}\times[d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}']]- \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'), </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L}=\gamma\mathbf{L}' -\gamma [\mathbf{v}\times[d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}']]- \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'), </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(77)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 180: | Строка 180: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L}=\gamma\mathbf{L}'- \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'). </math> | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L}=\gamma\mathbf{L}'- \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(78)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 189: | Строка 189: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{L}=-\gamma [\mathbf{v}\times[d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}']] = -\gamma \,(\mathbf{v}\mathbf{L}')d\mathbf{v}' +\gamma \mathbf{L}' (\mathbf{v}d\mathbf{v}'). </math> | | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{L}=-\gamma [\mathbf{v}\times[d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}']] = -\gamma \,(\mathbf{v}\mathbf{L}')d\mathbf{v}' +\gamma \mathbf{L}' (\mathbf{v}d\mathbf{v}'). </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(79)'''</div> |
|} | |} | ||
Строка 196: | Строка 196: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
| width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{L}}{dt}=\gamma^2 \,(\mathbf{v}\mathbf{a})\, \mathbf{L} - \gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{L}) \mathbf{a}=\gamma^2 \,\mathbf{v}\times [\mathbf{L}\times \mathbf{a}]. </math> | | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{L}}{dt}=\gamma^2 \,(\mathbf{v}\mathbf{a})\, \mathbf{L} - \gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{L}) \mathbf{a}=\gamma^2 \,\mathbf{v}\times [\mathbf{L}\times \mathbf{a}]. </math> | ||
− | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''( | + | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(80)'''</div> |
|} | |} | ||
Версия 19:39, 13 марта 2011
Момент импульса и спин << | Оглавление | >> Движение гироскопа по окружности |
---|
Введём три системы отсчёта , и . Пусть скорость системы относительно равна , а скорость системы относительно равна . Соответственно, скорость относительно равна .
Рисунок 13. Два вращающихся гироскопа, неподвижные относительно систем и
Эти скорости связаны при помощи преобразования ():
(57)
|
Так как мало, разложим в ряд знаменатель:
(58)
|
где учтено тождество (). Умножая левую и правую части на , имеем:
(59)
|
При помощи этого соотношения можно обратить выражение ():
(60)
|
Рассмотрим прецессию (изменение величины и ориентации) спина системы. Последующие рассуждения справедливы для любого 4-вектора , ортогонального в 4-пространстве к 4-скорости :
(61)
|
Из этого соотношения следует, что . Запишем преобразования для 3-вектора спина (заменяя в () и ):
(62)
|
Обратное преобразование получается заменой скорости :
(63)
|
так как в любой системе отсчёта .
Если гироскоп неподвижен () относительно системы , то:
(64)
|
Обратное преобразование получается при помощи тождества () из соотношения () после подстановки :
(65)
|
Применим преобразование () между ИСО и . Пусть в системе находится неподвижный (но вращающийся) гироскоп со спином . В этом случае в преобразовании () необходимо добавить всем величинам штрих и заменить . В результате в первом приближении по спин остаётся в системе без изменений:
(66)
|
Рассмотрим теперь "точно такой же" гироскоп, неподвижный в системе со спином (рис.). Когда начала систем и совпадают, аналогично стержням из раздела , "совпадают" и гороскопы. Поэтому будем считать, что гироскоп системы получается при изменении на скорости гироскопа системы . Спин гироскопа в соответствии с () и () относительно равен:
(67)
|
Это значение спина гироскопа в момент времени после изменения им скорости на относительно системы . Вычитая из этого выражение значение спина () в момент времени , получаем:
(68)
|
где во втором равенстве , при помощи (), выражено через , а вместо подставлено выражение (). Вводя вектор 3-мерного ускорения , окончательно получаем:
(69)
|
Если ускорение остаётся перпендикулярным вектору спина (), то спин при таком движении не изменяется. В остальных случаях при ускоренном движении происходит изменение спина. Обратим внимание на то, что уравнение () отличается от уравнения (), описывающего поворот "жёсткого" стержня при криволинейном движении. Поэтому повороты стержня и спина различны.
Уравнению () можно придать ковариантную форму:
(70)
|
где — 4-скорость, а — 4-ускорение:
(71)
|
и — собственное время системы .
Дифференциальное уравнение () называется уравнением переноса Ферми. Оно может быть получено \cite{Weinberg1975} в предположении, что изменение 4-вектора спина при изменении скорости системы отсчёта пропорционально 4-скорости . При таком переносе, в силу , остаётся без изменений квадрат 4-вектора спина:
(72)
|
хотя квадрат 3-вектора спина изменяется:
(73)
|
если спин не ортогонален скорости или ускорению.
При равноускоренном движении () из состояния покоя, интегрирование уравнения прецессии () приводит к следующей зависимости продольной к скорости компоненты спина от времени:
(74)
|
где — начальное значение спина в системе, в которой его суммарный импульс был равен нулю. Это же соотношение следует также из преобразования (). Таким образом, продольная компонента спина увеличивается при ускорении гироскопа, а поперечная компонента остаётся без изменений.
На самом деле зависимость () получается не только при равноускоренном движении, но и при любом движении вдоль прямой, для которого уравнение () имеет вид:
(75)
|
Его интегрирование приводит к ().
Хотя момент импульса и спин в системе, в которой гироскоп покоится, совпадают, при движении гироскопа — это различные величины, имеющие различные уравнения, описывающие прецессию при криволинейном движении гироскопа. Пусть в системе находится неподвижный, вращающийся гироскоп с моментом импульса и с центром энергии в начале координат: . Записав преобразования (), () между системами и с , в первом порядке малости по , имеем:
(76)
|
Рассмотрим теперь точно такой же гироскоп с моментом , центр энергии которого расположен в начале системы (). Когда начала систем и совпадают, "совпадают" и гироскопы. Будем считать, что гироскоп системы получается при изменении на скорости гироскопа системы . При этом момент импульса не изменяется, однако сдвигается центр энергии гироскопа.
Найдём, как изменение поступательной скорости гироскопа выглядит с точки зрения неподвижных наблюдателей в . Гироскоп имеет момент импульса:
(77)
|
где учтено () и (), а гироскоп :
(78)
|
Разница этих двух выражений даёт изменение момента импульса при изменении скорости гироскопа на .
Считая, что () соответствует моменту времени , а () — бесконечно близкому моменту , имеем:
(79)
|
Учтём инвариантность , уравнение () и подставим из (). Выражая при помощи () скорость через и вводя ускорение , получаем:
(80)
|
Это уравнение описывает изменение момента импульса гироскопа при изменении им скорости. Если скорость и ускорение перпендикулярны (), например, при движении по окружности, уравнение () совпадает с уравнением () для ускоренного стержня.
Момент импульса и спин << | Оглавление | >> Движение гироскопа по окружности |
---|