Прецессия Томаса/Преобразования Лоренца — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 8 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 +
Версия для печати: [http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf pdf]
 +
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
 
  | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Введение|Введение]] <<  
 
  | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Введение|Введение]] <<  
Строка 6: Строка 8:
 
----
 
----
  
Пусть начало инерциальной системы отсчёта <math>\textstyle K'</math> движется относительно "неподвижной" системы <math>\textstyle K</math> со скоростью <math>\textstyle {\mathbf v}</math>. Время и координаты некоторого события, наблюдаемого из системы <math>\textstyle K</math>, обозначим как <math>\textstyle (t,\mathbf{r})</math>. Это же событие в системе <math>\textstyle K'</math> имеет время и координаты со штрихами <math>\textstyle (t',\mathbf{r}')</math>. Рассмотрим сначала одномерное движение вдоль оси <math>\textstyle x</math> со скоростью <math>\textstyle v</math>. Будем считать, что в момент времени <math>\textstyle t=t'=0</math> начала систем отсчёта совпадают: <math>\textstyle x=x'=0</math>. Чтобы связь между наблюдениями события имела смысл, необходимо согласовать единицы измерения длины и времени в обоих системах отсчёта. ''Единицы длины'' можно согласовать при помощи "сравнения линеек" в перпендикулярном к относительной скорости направлении. Такими "линейками" может быть, например, расстояние между траекториями двух частиц, движущихся параллельно оси <math>\textstyle x</math>.
+
Пусть начало инерциальной системы отсчёта <math>\textstyle K'</math> движется относительно "неподвижной" системы <math>\textstyle K</math> со скоростью <math>\textstyle {\mathbf v}</math>. Время и координаты некоторого события, наблюдаемого из системы <math>\textstyle K</math>, обозначим как <math>\textstyle (t,\mathbf{r})</math>. Это же событие в системе <math>\textstyle K'</math> имеет время и координаты со штрихами <math>\textstyle (t',\mathbf{r}')</math>. Рассмотрим сначала одномерное движение вдоль оси <math>\textstyle x</math> со скоростью <math>\textstyle v</math>. Будем считать, что в момент времени <math>\textstyle t=t'=0</math> начала систем отсчёта совпадают: <math>\textstyle x=x'=0</math>. Чтобы связь между наблюдениями события имела смысл, необходимо  
 +
[[Неподвижные наблюдатели|согласовать единицы измерения]]  длины и времени в обоих системах отсчёта. ''Единицы длины'' можно согласовать при помощи "сравнения линеек" в перпендикулярном к относительной скорости направлении. Такими "линейками" может быть, например, расстояние между траекториями двух частиц, движущихся параллельно оси <math>\textstyle x</math>.
  
Постулируется, что координаты <math>\textstyle y</math> и <math>\textstyle y'</math> будут одинаковыми в обоих системах отсчёта: <math>\textstyle y'=y</math>. ''Единицы времени'' выбираются в результате соглашения о значении относительной скорости систем отсчёта. В частности, если начало системы <math>\textstyle K'</math> (<math>\textstyle x'=0</math>) имеет уравнение движения <math>\textstyle x=vt</math>, то начало <math>\textstyle K</math> (<math>\textstyle x=0</math>) относительно системы <math>\textstyle K'</math>, движется следующим образом: <math>\textstyle x'=-vt'</math>. После такого согласования единиц измерения, используя аксиоматику Эйнштейна \cite{Einst1905} или групповой подход \cite{Ignatoskiy1910}-\cite{Stepanov2010}, можно получить преобразования Лоренца в следующем виде:
+
Постулируется, что координаты <math>\textstyle y</math> и <math>\textstyle y'</math> будут одинаковыми в обоих системах отсчёта: <math>\textstyle y'=y</math>. ''Единицы времени'' выбираются в результате соглашения о значении относительной скорости систем отсчёта. В частности, если начало системы <math>\textstyle K'</math> (<math>\textstyle x'=0</math>) имеет уравнение движения <math>\textstyle x=vt</math>, то начало <math>\textstyle K</math> (<math>\textstyle x=0</math>) относительно системы <math>\textstyle K'</math>, движется следующим образом: <math>\textstyle x'=-vt'</math>. После такого согласования единиц измерения, используя аксиоматику Эйнштейна  
 +
<ref name="Einst1905">
 +
Einstein A. &mdash; "''Zur Elektrodynamik der bewegter Korper''", ''Ann. Phys.'' '''17''' pp.891-921 (1905).
 +
</ref>
 +
или [[Преобразования Лоренца|групповой подход]]
 +
<ref name="Ignatoskiy1910">
 +
von Ignatowsky W. A. &mdash; "''Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativit\"atsprinzip''", Archiv der Mathematik und Physik, 17. p. 1 ff. (1910). Перевод: http://synset.com
 +
</ref>,
 +
<ref>
 +
Frank P. and Rothe H. &mdash; "''\"Ober die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme''", Ann. Phys. 34, pp.825-853 (1911). Перевод: http://synset.com
 +
</ref>,
 +
<ref>
 +
Степанов С. С. &mdash; "''100 лет без второго постулата Эйнштейна''", (2010), http://synset.com
 +
</ref>, можно получить преобразования Лоренца в следующем виде:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> t'=\gamma\, (t- vx),\;\;\;\;\;\;\;x' = \gamma\, (x- vt),\;\;\;\;\;\;\;y'=y, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> t'=\gamma\, (t- vx),\;\;\;\;\;\;\;x' = \gamma\, (x- vt),\;\;\;\;\;\;\;y'=y, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(5)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 27: Строка 43:
 
<center>[[File:lorenz_3D_2.png]]</center>
 
<center>[[File:lorenz_3D_2.png]]</center>
  
\parbox{14cm}{\large \fig Согласование единиц измерения двумя системами отсчёта. }
+
<blockquote> '''Рисунок 3'''. Согласование единиц измерения двумя системами отсчёта.  
 +
</blockquote>
  
Для вывода преобразований Лоренца в векторном виде, радиус-вектор <math>\textstyle {\mathbf r}</math> раскладывается по двум векторам <math>\textstyle {\mathbf r}={\mathbf r}_{\shortparallel}+{\mathbf r}_{\perp}</math>: параллельному к скорости <math>\textstyle {\mathbf r}_{\shortparallel}=(\mathbf{r}\mathbf{v})\mathbf{v}/v^2</math> и перпендикулярному <math>\textstyle {\mathbf r}_{\perp}</math>. Для них выполняются обычные преобразования Лоренца ():
+
Для вывода преобразований Лоренца в векторном виде, радиус-вектор <math>\textstyle {\mathbf r}</math> раскладывается по двум векторам <math>\textstyle {\mathbf r}={\mathbf r}_{\shortparallel}+{\mathbf r}_{\perp}</math>: параллельному к скорости <math>\textstyle {\mathbf r}_{\shortparallel}=(\mathbf{r}\mathbf{v})\mathbf{v}/v^2</math> и перпендикулярному <math>\textstyle {\mathbf r}_{\perp}</math>. Для них выполняются обычные преобразования Лоренца (5):
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}_{\shortparallel}),\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf r}'_\shortparallel = \gamma\, ({\mathbf r}_{\shortparallel}-{\mathbf v } t),\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}'_{\perp}={\mathbf r}_{\perp}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}_{\shortparallel}),\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf r}'_\shortparallel = \gamma\, ({\mathbf r}_{\shortparallel}-{\mathbf v } t),\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}'_{\perp}={\mathbf r}_{\perp}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 40: Строка 57:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - \gamma{\mathbf v} t + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}), </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r}' = {\mathbf r} - \gamma{\mathbf v} t + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}), </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(7)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 47: Строка 64:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \Gamma = \frac{\gamma-1}{v^2} = \frac{\gamma^2}{\gamma+1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\gamma-\Gamma = \frac{\gamma}{\gamma+1}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \Gamma = \frac{\gamma-1}{v^2} = \frac{\gamma^2}{\gamma+1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\gamma-\Gamma = \frac{\gamma}{\gamma+1}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(8)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
 
Обратные преобразования Лоренца получаются заменой <math>\textstyle {\mathbf v}\mapsto -{\mathbf v}</math>.
 
Обратные преобразования Лоренца получаются заменой <math>\textstyle {\mathbf v}\mapsto -{\mathbf v}</math>.
  
Преобразования Лоренца являются пассивными (см. приложение А), т.к. связывают результаты наблюдения одного и того же события относительно различных систем отсчёта. Учитывая процедуру согласования `'параллельности" координатных осей двух систем отсчёта, соотношения () можно расписать по компонентам для <math>\textstyle \mathbf{r}=\{x,y,z\}</math>, <math>\textstyle \mathbf{r}'=\{x',y',z'\}</math> и скорости <math>\textstyle \mathbf{v}=\{v_x,v_y,v_z\}</math> (компоненты которой заданы относительно <math>\textstyle K</math>). В результате получится связь времени и координат одного и того же события, регистрируемого различными наблюдателями.
+
Преобразования Лоренца являются пассивными (см. приложение А), т.к. связывают результаты наблюдения одного и того же события относительно различных систем отсчёта. Учитывая процедуру согласования `'параллельности" координатных осей двух систем отсчёта, соотношения (7) можно расписать по компонентам для <math>\textstyle \mathbf{r}=\{x,y,z\}</math>, <math>\textstyle \mathbf{r}'=\{x',y',z'\}</math> и скорости <math>\textstyle \mathbf{v}=\{v_x,v_y,v_z\}</math> (компоненты которой заданы относительно <math>\textstyle K</math>). В результате получится связь времени и координат одного и того же события, регистрируемого различными наблюдателями.
  
Пусть наблюдатели в системе <math>\textstyle K</math> одновременно (по своим часам) фиксируют положение осей системы <math>\textstyle K'</math>. В следующем разделе мы покажем, что эти оси (в общем случае) оказываются не только не параллельными к осям системы <math>\textstyle K</math>, но даже и не являются ортогональным базисом (с точки зрения неподвижных наблюдателей). Поэтому "параллельность" координатных осей в преобразованиях Лоренца () необходимо понимать только в том смысле, что наблюдатели выполнили описанную выше процедуру согласования единиц измерения и после этого независимо (по компонентам скорости <math>\textstyle \mathbf{v}</math>) задали ориентацию координатных осей.
+
Пусть наблюдатели в системе <math>\textstyle K</math> одновременно (по своим часам) фиксируют положение осей системы <math>\textstyle K'</math>. В следующем разделе мы покажем, что эти оси (в общем случае) оказываются не только не параллельными к осям системы <math>\textstyle K</math>, но даже и не являются ортогональным базисом (с точки зрения неподвижных наблюдателей). Поэтому "параллельность" координатных осей в преобразованиях Лоренца (7) необходимо понимать только в том смысле, что наблюдатели выполнили описанную выше процедуру согласования единиц измерения и после этого независимо (по компонентам скорости <math>\textstyle \mathbf{v}</math>) задали ориентацию координатных осей.
  
 +
=== Примчания ===
 +
<references/>
 
----
 
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   

Текущая версия на 10:27, 14 марта 2011

Версия для печати: pdf


Введение << Оглавление >> Лоренцевское сокращение

Пусть начало инерциальной системы отсчёта движется относительно "неподвижной" системы со скоростью . Время и координаты некоторого события, наблюдаемого из системы , обозначим как . Это же событие в системе имеет время и координаты со штрихами . Рассмотрим сначала одномерное движение вдоль оси со скоростью . Будем считать, что в момент времени начала систем отсчёта совпадают: . Чтобы связь между наблюдениями события имела смысл, необходимо согласовать единицы измерения длины и времени в обоих системах отсчёта. Единицы длины можно согласовать при помощи "сравнения линеек" в перпендикулярном к относительной скорости направлении. Такими "линейками" может быть, например, расстояние между траекториями двух частиц, движущихся параллельно оси .

Постулируется, что координаты и будут одинаковыми в обоих системах отсчёта: . Единицы времени выбираются в результате соглашения о значении относительной скорости систем отсчёта. В частности, если начало системы () имеет уравнение движения , то начало () относительно системы , движется следующим образом: . После такого согласования единиц измерения, используя аксиоматику Эйнштейна [1] или групповой подход [2], [3], [4], можно получить преобразования Лоренца в следующем виде:

(5)

где — фактор Лоренца.

При движении вдоль оси координатные оси обоих систем отсчёта предполагаются параллельными друг другу. Обратные преобразования получаются перестановкой "штрихованных" и "нештрихованных" величин местами и заменой .

Пусть теперь относительная скорость двух систем отсчёта направлена произвольным образом. Фиксирование значений компонент вектора (и с обратным знаком для ), означает также выбор определённой ориентации координатных осей в каждой системе отсчета. Пусть наблюдатели в системе при данном выборе координатных осей получают, например, следующие компоненты относительной скорости: . Тогда наблюдатели в системе должны выбрать направление координатных осей таким образом, чтобы относительная скорость для них имела компоненты: . Такая процедура позволяет ориентировать координатные оси систем отсчёта так, чтобы они были в некотором смысле "параллельны" друг другу.

В 3-мерном пространстве компоненты скорости не изменятся, если координатный базис повернуть вокруг вектора . Поэтому для однозначной фиксации осей, вообще говоря, требуется ещё одно направление. Например, наблюдатели могут согласовать координаты двух параллельных "линеек", расположенных ортогонально к относительной скорости (аналогично, параллельны оси , и , при движении вдоль оси ).


Lorenz 3D 2.png

Рисунок 3. Согласование единиц измерения двумя системами отсчёта.

Для вывода преобразований Лоренца в векторном виде, радиус-вектор раскладывается по двум векторам : параллельному к скорости и перпендикулярному . Для них выполняются обычные преобразования Лоренца (5):

(6)

Подставляя их в и заменяя на , несложно записать преобразования Лоренца в векторном виде:

(7)

где кроме фактора , введено обозначение для величины , которая обладает следующими свойствами:

(8)

Обратные преобразования Лоренца получаются заменой .

Преобразования Лоренца являются пассивными (см. приложение А), т.к. связывают результаты наблюдения одного и того же события относительно различных систем отсчёта. Учитывая процедуру согласования `'параллельности" координатных осей двух систем отсчёта, соотношения (7) можно расписать по компонентам для , и скорости (компоненты которой заданы относительно ). В результате получится связь времени и координат одного и того же события, регистрируемого различными наблюдателями.

Пусть наблюдатели в системе одновременно (по своим часам) фиксируют положение осей системы . В следующем разделе мы покажем, что эти оси (в общем случае) оказываются не только не параллельными к осям системы , но даже и не являются ортогональным базисом (с точки зрения неподвижных наблюдателей). Поэтому "параллельность" координатных осей в преобразованиях Лоренца (7) необходимо понимать только в том смысле, что наблюдатели выполнили описанную выше процедуру согласования единиц измерения и после этого независимо (по компонентам скорости ) задали ориентацию координатных осей.

Примчания

  1. Einstein A. — "Zur Elektrodynamik der bewegter Korper", Ann. Phys. 17 pp.891-921 (1905).
  2. von Ignatowsky W. A. — "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativit\"atsprinzip", Archiv der Mathematik und Physik, 17. p. 1 ff. (1910). Перевод: http://synset.com
  3. Frank P. and Rothe H. — "\"Ober die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme", Ann. Phys. 34, pp.825-853 (1911). Перевод: http://synset.com
  4. Степанов С. С. — "100 лет без второго постулата Эйнштейна", (2010), http://synset.com

Введение << Оглавление >> Лоренцевское сокращение