Прецессия Томаса/Движение спина во внешнем поле

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск

Версия для печати: pdf


Движение гироскопа по окружности << Оглавление >> Заключение

До сих пор мы рассматривали прецессию Томаса как кинематическую задачу. В реальности, чтобы НИСО двигалась с ускорением, необходимо силовое поле или другой способ изменения скорости изучаемого объекта. Наблюдение за поворотом и изменением длины движущегося с ускорением стержня является очень непростой задачей. Поэтому мы ограничимся обсуждением движения классического спина во внешних полях.

Экспериментально наиболее доступны две физические ситуации: 1) микрочастица (электрон, протон, атомное ядро) движется во внешнем электромагнитном поле; 2) макроскопический гироскоп движется по орбите вокруг Земли. В обоих ситуациях спин объекта изменяется, как в результате кинематического эффекта Томаса, так и в силу динамических причин.

Проще всего кинематика и динамика разделяются при движении спина в электромагнитном поле. В этом случае поведение классического спина удовлетворяет уравнению Баргмана-Мишеля-Телегди (BMT) [1]. Пусть в системе покоя частицы изменение спина, находящегося в магнитном поле, удовлетворяет уравнению Лармора (ларморовская прецессия):

(EQN)

где , — заряд и масса частицы, а — гиромагнитный фактор (для электрона , ). Кроме этого, пусть производная 4-вектора спина по собственному времени частицы линейна по тензору электромагнитного поля и спину . Кроме этого производная спина может зависеть от 4-скорости :

(EQN)

где — некоторые константы. Предполагается также, что на частицу действует сила Лоренца:

(EQN)

Производная условия ортогональности 4-спина и 4-скорости с учётом уравнений (), () даёт , . Уравнение Лармора () в системе покоя частицы () позволяет найти оставшиеся коэффициенты: , .

В результате получается BMT уравнение:

(EQN)

где 4-ускорение определяется силой Лоренца (). Запишем BMT уравнение в 3-мерных обозначениях. Учитывая, что , где и — электрическое и магнитное поле, имеем

(EQN)

Если магнитный момент у частицы со спином отсутствует (), то прецессия спина имеет чисто кинематическую природу, и из () следует уравнение (). На самом деле частицы, имеющие заряд и спин, но не имеющие магнитного момента, неизвестны. Однако, например, ядро урана имеет достаточно малый g-фактор (), что в 11 раз меньше, чем у протона и в 8, чем у электрона. Для такого объекта кинематический эффект преобладает над динамическим.

При движении в однородном магнитном поле модуль скорости частицы постоянен и 3-вектор ускорения равен:

(EQN)

где — единичный вектор в направлении магнитного поля, а циклотронная частота , в зависимости от знака заряда частицы может быть как положительной, так и отрицательной. Из (), () следует, что при движении по окружности в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, выполняются уравнения аналогичные ():

(EQN)

Потому проекции спина на скорость и ускорение совершают осцилляторные колебания с частотой, не зависящей от величины скорости:

(EQN)

Для электрона и динамическая ларморовская прецессия практически полностью компенсирует кинематическую прецессию. Небольшое изменение поляризации электрона связано с отклонением -фактора от двойки. Это позволяет измерять аномальные магнитные моменты [2].

Заметим, что иногда (см., например, [3] ) уравнение () записывается не для спина , измеряемого в лабораторной системе отсчёта, а для спина в системе покоя частицы . Для этого берётся производная по времени лабораторной системы от преобразования ():

(EQN)

Учитывая уравнение (), справедливое для частицы без магнитного момента (, спиновая кинематика), получаем:

(EQN)

Умножим обе части уравнения на скорость :

(EQN)

Используя это соотношение, уравнение () можно переписать в следующем виде:

(EQN)

Для сравнения с \cite{Landau4} необходимо иметь ввиду, что сила Лоренца для релятивистской частицы с импульсом приводит к следующему 3-мерному ускорению :

(EQN)

а в обозначениях \cite{Landau4} — это .

Уравнение () совпадает с уравнением Томаса (). Однако уравнение (), как и (), имеет специфический смысл. Все величины в нём (за исключением спина) относятся к лабораторной системе отсчёта. Спин же измеряется наблюдателями в сопутствующей к частице системе отсчёта. Поэтому фактически (), как и (), не являются уравнениями прецессии ни относительно лабораторной системы отсчёта, ни относительно сопутствующей.

Кроме этого, дифференцирование по времени преобразования для спина () не является достаточно корректной с физической точки зрения процедурой для неинерциальной системы отсчёта. Дело в том, что () соответствует мгновенному измерению компонент спина наблюдателями в двух системах отсчёта. Для вычисления производной (скорости изменения спина) необходимо проделать измерения в два последовательные момента времени. В силу относительности одновременности эта процедура не будет однозначной и зависит от взаимной ориентации скорости и ускорения.

Чтобы это проиллюстрировать, возьмём производную по времени от обратного к () преобразования:

(EQN)

Учитывая уравнение (), имеем:

(EQN)

Подставляя () и следующее из него соотношение , окончательно приходим к уравнению:

(EQN)

Как видно, если скорость и ускорение не ортогональны, то это уравнение отличается от ().


Примчания

  1. Bargmann V., Michel L. Telegdi V. L. — "Precession of the Polarization of Particles Moving in a Homogeneous Electromagnetic Field", Phys.Rev.Lett. 2, 435-436 (1959)
  2. Филд Дж., Пикассо Э., Комбли Ф. — "Проверка фундаментальных физических теорий в опытах со свободными заряженными лептонами", УФН 127, 4, c.553-598 (1979).
  3. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. — "Квантовая электродинамика", М.: Наука, 179-186, (1989)

Движение гироскопа по окружности << Оглавление >> Заключение