Прецессия Томаса/Движение спина во внешнем поле — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
(не показаны 3 промежуточные версии этого же участника) | |||
Строка 23: | Строка 23: | ||
|} | |} | ||
− | где <math>\textstyle Q</math>, <math>\textstyle m</math> — заряд и масса частицы, а <math>\textstyle g</math> — гиромагнитный фактор (для электрона <math>\textstyle Q=-e</math>, <math>\textstyle g\approx 2</math>). Кроме этого, пусть производная 4-вектора спина по собственному времени частицы <math>\textstyle d\tau=dt\sqrt{1-\mathbf{v}^2}</math> линейна по тензору электромагнитного поля <math>\textstyle \mathrm{F}\equiv F^{\alpha\beta}</math> и спину <math>\textstyle \mathrm{S}\equiv S^\alpha</math>. Кроме этого производная может зависеть от 4-скорости <math>\textstyle \mathrm{V}</math>: | + | где <math>\textstyle Q</math>, <math>\textstyle m</math> — заряд и масса частицы, а <math>\textstyle g</math> — гиромагнитный фактор (для электрона <math>\textstyle Q=-e</math>, <math>\textstyle g\approx 2</math>). Кроме этого, пусть производная 4-вектора спина по собственному времени частицы <math>\textstyle d\tau=dt\sqrt{1-\mathbf{v}^2}</math> линейна по тензору электромагнитного поля <math>\textstyle \mathrm{F}\equiv F^{\alpha\beta}</math> и спину <math>\textstyle \mathrm{S}\equiv S^\alpha</math>. Кроме этого производная спина может зависеть от 4-скорости <math>\textstyle \mathrm{V}</math>: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
Строка 30: | Строка 30: | ||
|} | |} | ||
− | где <math>\textstyle \alpha_i</math> некоторые константы. Предполагается также, что на частицу действует сила Лоренца: | + | где <math>\textstyle \alpha_i</math> — некоторые константы. Предполагается также, что на частицу действует сила Лоренца: |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
Строка 37: | Строка 37: | ||
|} | |} | ||
− | Производная условия ортогональности 4-спина и 4-скорости <math>\textstyle \mathrm{S}\cdot\mathrm{V}=0</math> с учётом уравнений (), () даёт <math>\textstyle \alpha_2=0</math>, <math>\textstyle \alpha_5=\alpha_3-Q/m</math>. | + | Производная условия ортогональности 4-спина и 4-скорости <math>\textstyle \mathrm{S}\cdot\mathrm{V}=0</math> с учётом уравнений (98), (99) даёт <math>\textstyle \alpha_2=0</math>, <math>\textstyle \alpha_5=\alpha_3-Q/m</math>. Уравнение Лармора (97) в системе покоя частицы (<math>\textstyle \mathrm{V}=\{1,\mathbf{0}\}</math>) позволяет найти оставшиеся коэффициенты: <math>\textstyle \alpha_1=\alpha_4=0</math>, <math>\textstyle \alpha_3=gQ/2m</math>. |
В результате получается BMT уравнение: | В результате получается BMT уравнение: | ||
Строка 46: | Строка 46: | ||
|} | |} | ||
− | где 4-ускорение <math>\textstyle \mathrm{A}</math> определяется силой Лоренца (). Запишем BMT уравнение в 3-мерных обозначениях. Учитывая, что <math>\textstyle \mathrm{F}\cdot\mathrm{S}=\{\mathbf{E}\mathbf{S},\;S^0\mathbf{E}+\mathbf{S}\times\mathbf{B}\}</math>, где <math>\textstyle \mathbf{E}</math> и <math>\textstyle \mathbf{B}</math> — электрическое и магнитное поле, имеем | + | где 4-ускорение <math>\textstyle \mathrm{A}</math> определяется силой Лоренца (99). Запишем BMT уравнение в 3-мерных обозначениях. Учитывая, что <math>\textstyle \mathrm{F}\cdot\mathrm{S}=\{\mathbf{E}\mathbf{S},\;S^0\mathbf{E}+\mathbf{S}\times\mathbf{B}\}</math>, где <math>\textstyle \mathbf{E}</math> и <math>\textstyle \mathbf{B}</math> — электрическое и магнитное поле, имеем |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
Строка 53: | Строка 53: | ||
|} | |} | ||
− | Если магнитный момент у частицы со спином отсутствует (<math>\textstyle g=0</math>), то прецессия спина имеет чисто кинематическую природу и из () следует уравнение (). На самом деле частицы, имеющие заряд и спин, но не имеющие магнитного момента неизвестны. Однако, например, ядро урана <math>\textstyle \,^{235}_{92}U</math> имеет достаточно малый g-фактор (<math>\textstyle g=-0.26</math>), что в 11 раз меньше, чем у протона и в 8, чем у электрона. Для такого объекта кинематический эффект преобладает над динамическим. | + | Если магнитный момент у частицы со спином отсутствует (<math>\textstyle g=0</math>), то прецессия спина имеет чисто кинематическую природу, и из (101) следует уравнение (69). На самом деле частицы, имеющие заряд и спин, но не имеющие магнитного момента, неизвестны. Однако, например, ядро урана <math>\textstyle \,^{235}_{92}U</math> имеет достаточно малый g-фактор (<math>\textstyle g=-0.26</math>), что в 11 раз меньше, чем у протона и в 8, чем у электрона. Для такого объекта кинематический эффект преобладает над динамическим. |
При движении в однородном магнитном поле модуль скорости частицы постоянен и 3-вектор ускорения равен: | При движении в однородном магнитном поле модуль скорости частицы постоянен и 3-вектор ускорения равен: | ||
Строка 62: | Строка 62: | ||
|} | |} | ||
− | где <math>\textstyle \mathbf{n}</math> — единичный вектор в направлении магнитного поля, а циклотронная частота <math>\textstyle \omega=QB/m\gamma</math>, в зависимости от знака заряда частицы может быть как положительной, так и отрицательной. Из (), () следует, что при движении по окружности в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, выполняются уравнения аналогичные (): | + | где <math>\textstyle \mathbf{n}</math> — единичный вектор в направлении магнитного поля, а циклотронная частота <math>\textstyle \omega=QB/m\gamma</math>, в зависимости от знака заряда частицы может быть как положительной, так и отрицательной. Из (101), (102) следует, что при движении по окружности в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, выполняются уравнения аналогичные (82): |
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
Строка 72: | Строка 72: | ||
{| width="100%" | {| width="100%" | ||
− | | width="90%" align="center"|<math> \omega_a = \frac{g-2}{2}\,\gamma\,\omega =\frac{g-2}{2}\,\frac{QB}{m} </math> | + | | width="90%" align="center"|<math> \omega_a = \frac{g-2}{2}\,\gamma\,\omega =\frac{g-2}{2}\,\frac{QB}{m}. </math> |
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(104)'''</div> | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(104)'''</div> | ||
|} | |} | ||
− | Для электрона <math>\textstyle g\approx 2</math> и динамическая ларморовская прецессия компенсирует кинематическую прецессию. Небольшое изменение поляризации электрона связано с отклонением <math>\textstyle g</math>-фактора от двойки. Это позволяет измерять аномальные магнитные моменты | + | Для электрона <math>\textstyle g\approx 2</math> и динамическая ларморовская прецессия практически полностью компенсирует кинематическую прецессию. Небольшое изменение поляризации электрона связано с отклонением <math>\textstyle g</math>-фактора от двойки. Это позволяет измерять аномальные магнитные моменты |
<ref> | <ref> | ||
Филд Дж., Пикассо Э., Комбли Ф. — "''Проверка фундаментальных физических теорий в опытах со свободными заряженными лептонами''", УФН '''127''', 4, c.553-598 (1979). | Филд Дж., Пикассо Э., Комбли Ф. — "''Проверка фундаментальных физических теорий в опытах со свободными заряженными лептонами''", УФН '''127''', 4, c.553-598 (1979). | ||
</ref>. | </ref>. | ||
+ | Заметим, что иногда (см., например, | ||
+ | <ref name="Landau4"> | ||
+ | Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. — "''Квантовая электродинамика''", М.: Наука, 179-186, (1989) | ||
+ | </ref> | ||
+ | ) уравнение (101) записывается не для спина <math>\textstyle \mathbf{S}</math>, измеряемого в лабораторной системе отсчёта, а для спина в системе покоя частицы <math>\textstyle \mathbf{S}'</math>. Для этого берётся производная по времени ''лабораторной'' системы от преобразования (64): | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(105)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Учитывая уравнение (69), справедливое для частицы без магнитного момента (<math>\textstyle g=0</math>, спиновая кинематика), получаем: | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}'}{dt} + \Gamma\, \mathbf{v}\,\Bigl(\mathbf{v}\frac{d\mathbf{S}'}{dt}\Bigr) = \gamma\Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{a}\mathbf{S}') - \Gamma\,\mathbf{a}\,(\mathbf{v}\mathbf{S}') - \Gamma^2\,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{a})(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(106)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Умножим обе части уравнения на скорость <math>\textstyle \mathbf{v}</math>: | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{v}\frac{d\mathbf{S}'}{dt} = \Gamma v^2 (\mathbf{a}\mathbf{S}') - \Gamma\,(\mathbf{v}\mathbf{a})\,(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(107)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Используя это соотношение, уравнение (106) можно переписать в следующем виде: | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}'}{dt} = -\frac{\gamma^2}{\gamma+1} \,[\mathbf{v}\times\mathbf{a}]\times\mathbf{S}'. </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(108)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Для сравнения с \cite{Landau4} необходимо иметь ввиду, что сила Лоренца для релятивистской частицы с импульсом <math>\textstyle \mathbf{p}=m\gamma \mathbf{v}</math> приводит к следующему 3-мерному ускорению <math>\textstyle \mathbf{a}</math>: | ||
+ | |||
+ | {| width="100%" | ||
+ | | width="90%" align="center"|<math> m\gamma \mathbf{a} = Q(\mathbf{E}+ \mathbf{v}\times\mathbf{B}) - Q \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{E}), </math> | ||
+ | | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(109)'''</div> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | а <math>\textstyle \mathbf{S}'</math> в обозначениях \cite{Landau4} — это <math>\textstyle \boldsymbol{\zeta}</math>. | ||
+ | |||
+ | Уравнение (108) совпадает с уравнением Томаса (3). Однако уравнение (108), как и (3), имеет специфический смысл. Все величины в нём (за исключением спина) относятся к лабораторной системе отсчёта. Спин же <math>\textstyle \mathbf{S}'</math> измеряется наблюдателями в сопутствующей к частице системе отсчёта. Поэтому фактически (108), как и (3), не являются уравнениями прецессии ни относительно лабораторной системы отсчёта, ни относительно сопутствующей. | ||
=== Примчания === | === Примчания === |
Текущая версия на 08:28, 4 мая 2011
Версия для печати: pdf
Движение гироскопа по окружности << | Оглавление | >> Заключение |
---|
До сих пор мы рассматривали прецессию Томаса как кинематическую задачу. В реальности, чтобы НИСО двигалась с ускорением, необходимо силовое поле или другой способ изменения скорости изучаемого объекта. Наблюдение за поворотом и изменением длины движущегося с ускорением стержня является очень непростой задачей. Поэтому мы ограничимся обсуждением движения классического спина во внешних полях.
Экспериментально наиболее доступны две физические ситуации: 1) микрочастица (электрон, протон, атомное ядро) движется во внешнем электромагнитном поле; 2) макроскопический гироскоп движется по орбите вокруг Земли. В обоих ситуациях спин объекта изменяется, как в результате кинематического эффекта Томаса, так и в силу динамических причин.
Проще всего кинематика и динамика разделяются при движении спина в электромагнитном поле. В этом случае поведение классического спина удовлетворяет уравнению Баргмана-Мишеля-Телегди (BMT) [1]. Пусть в системе покоя частицы изменение спина, находящегося в магнитном поле, удовлетворяет уравнению Лармора (ларморовская прецессия):
(97)
|
где , — заряд и масса частицы, а — гиромагнитный фактор (для электрона , ). Кроме этого, пусть производная 4-вектора спина по собственному времени частицы линейна по тензору электромагнитного поля и спину . Кроме этого производная спина может зависеть от 4-скорости :
(98)
|
где — некоторые константы. Предполагается также, что на частицу действует сила Лоренца:
(99)
|
Производная условия ортогональности 4-спина и 4-скорости с учётом уравнений (98), (99) даёт , . Уравнение Лармора (97) в системе покоя частицы () позволяет найти оставшиеся коэффициенты: , .
В результате получается BMT уравнение:
(100)
|
где 4-ускорение определяется силой Лоренца (99). Запишем BMT уравнение в 3-мерных обозначениях. Учитывая, что , где и — электрическое и магнитное поле, имеем
(101)
|
Если магнитный момент у частицы со спином отсутствует (), то прецессия спина имеет чисто кинематическую природу, и из (101) следует уравнение (69). На самом деле частицы, имеющие заряд и спин, но не имеющие магнитного момента, неизвестны. Однако, например, ядро урана имеет достаточно малый g-фактор (), что в 11 раз меньше, чем у протона и в 8, чем у электрона. Для такого объекта кинематический эффект преобладает над динамическим.
При движении в однородном магнитном поле модуль скорости частицы постоянен и 3-вектор ускорения равен:
(102)
|
где — единичный вектор в направлении магнитного поля, а циклотронная частота , в зависимости от знака заряда частицы может быть как положительной, так и отрицательной. Из (101), (102) следует, что при движении по окружности в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, выполняются уравнения аналогичные (82):
(103)
|
Потому проекции спина на скорость и ускорение совершают осцилляторные колебания с частотой, не зависящей от величины скорости:
(104)
|
Для электрона и динамическая ларморовская прецессия практически полностью компенсирует кинематическую прецессию. Небольшое изменение поляризации электрона связано с отклонением -фактора от двойки. Это позволяет измерять аномальные магнитные моменты [2].
Заметим, что иногда (см., например, [3] ) уравнение (101) записывается не для спина , измеряемого в лабораторной системе отсчёта, а для спина в системе покоя частицы . Для этого берётся производная по времени лабораторной системы от преобразования (64):
(105)
|
Учитывая уравнение (69), справедливое для частицы без магнитного момента (, спиновая кинематика), получаем:
(106)
|
Умножим обе части уравнения на скорость :
(107)
|
Используя это соотношение, уравнение (106) можно переписать в следующем виде:
(108)
|
Для сравнения с \cite{Landau4} необходимо иметь ввиду, что сила Лоренца для релятивистской частицы с импульсом приводит к следующему 3-мерному ускорению :
(109)
|
а в обозначениях \cite{Landau4} — это .
Уравнение (108) совпадает с уравнением Томаса (3). Однако уравнение (108), как и (3), имеет специфический смысл. Все величины в нём (за исключением спина) относятся к лабораторной системе отсчёта. Спин же измеряется наблюдателями в сопутствующей к частице системе отсчёта. Поэтому фактически (108), как и (3), не являются уравнениями прецессии ни относительно лабораторной системы отсчёта, ни относительно сопутствующей.
Примчания
- ↑ Bargmann V., Michel L. Telegdi V. L. — "Precession of the Polarization of Particles Moving in a Homogeneous Electromagnetic Field", Phys.Rev.Lett. 2, 435-436 (1959)
- ↑ Филд Дж., Пикассо Э., Комбли Ф. — "Проверка фундаментальных физических теорий в опытах со свободными заряженными лептонами", УФН 127, 4, c.553-598 (1979).
- ↑ Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. — "Квантовая электродинамика", М.: Наука, 179-186, (1989)
Движение гироскопа по окружности << | Оглавление | >> Заключение |
---|