Прецессия Томаса/Движение по окружности стержня — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 +
Версия для печати: [http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf pdf]
 +
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
 
  | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Неинерциальные системы отсчёта|Неинерциальные системы отсчёта]] <<  
 
  | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Неинерциальные системы отсчёта|Неинерциальные системы отсчёта]] <<  
Строка 12: Строка 14:
 
<center>[[File:thomas.png]]</center>
 
<center>[[File:thomas.png]]</center>
  
\parbox{14cm}{\large \fig Вращение стержня по окружности. На центральном рисунке, горизонтальный при <math>\textstyle t=0</math>, стержень после оборота по окружности (<math>\textstyle t=T</math>) повернётся и станет короче. На последнем рисунке этот же стержень при <math>\textstyle t=0</math> расположен вертикально и после оборота удлиняется. } При равномерном движении по окружности ускорение всегда перпендикулярно скорости (<math>\textstyle \mathbf{a}\mathbf{v}=0</math>), и справедливы следующие соотношения:
+
<blockquote> '''Рисунок 8'''. Вращение стержня по окружности. На центральном рисунке, горизонтальный при <math>\textstyle t=0</math>, стержень после оборота по окружности (<math>\textstyle t=T</math>) повернётся и станет короче. На последнем рисунке этот же стержень при <math>\textstyle t=0</math> расположен вертикально и после оборота удлиняется.
 +
</blockquote>
 +
При равномерном движении по окружности ускорение всегда перпендикулярно скорости (<math>\textstyle \mathbf{a}\mathbf{v}=0</math>), и справедливы следующие соотношения:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{a} = \omega\,[\mathbf{n}\times \mathbf{v}],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d\mathbf{a}}{dt} = \omega\,[\mathbf{n}\times \mathbf{a}] =-\omega^2\,\mathbf{v}, </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{a} = \omega\,[\mathbf{n}\times \mathbf{v}],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d\mathbf{a}}{dt} = \omega\,[\mathbf{n}\times \mathbf{a}] =-\omega^2\,\mathbf{v}, </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(33)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
 
где <math>\textstyle \mathbf{n}</math> &mdash; постоянный единичный вектор, нормальный к плоскости орбиты.
 
где <math>\textstyle \mathbf{n}</math> &mdash; постоянный единичный вектор, нормальный к плоскости орбиты.
  
При помощи этих соотношений и уравнения ():
+
При помощи этих соотношений и уравнения (25):
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{s}}{dt} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,\mathbf{a} </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{s}}{dt} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,\mathbf{a} </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(34)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 32: Строка 36:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{d(\mathbf{v}\mathbf{s})}{dt} = \mathbf{a}\mathbf{s}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{d(\mathbf{a}\mathbf{s})}{dt} = -\omega^2\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{s}). </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{d(\mathbf{v}\mathbf{s})}{dt} = \mathbf{a}\mathbf{s}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{d(\mathbf{a}\mathbf{s})}{dt} = -\omega^2\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{s}). </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(35)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 39: Строка 43:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{d^2(\mathbf{v}\mathbf{s})}{dt^2} + \omega^2\gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s}) = 0, \;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{d^2(\mathbf{a}\mathbf{s})}{dt^2} + \omega^2\gamma^2\,(\mathbf{a}\mathbf{s}) = 0. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{d^2(\mathbf{v}\mathbf{s})}{dt^2} + \omega^2\gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s}) = 0, \;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{d^2(\mathbf{a}\mathbf{s})}{dt^2} + \omega^2\gamma^2\,(\mathbf{a}\mathbf{s}) = 0. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(36)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Поэтому решения () при движении по окружности имеют вид:
+
Поэтому решения (34) при движении по окружности имеют вид:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{v}\mathbf{s} = (\mathbf{v}\mathbf{s})_0\,\cos(\omega\gamma t)+\frac{\displaystyle(\mathbf{a}\mathbf{s})_0}{\displaystyle \omega\gamma}\,\sin(\omega\gamma t),\\[4mm] \mathbf{a}\mathbf{s} = (\mathbf{a}\mathbf{s})_0\,\cos(\omega\gamma t) - (\mathbf{v}\mathbf{s})_0\,\omega \gamma\,\sin(\omega\gamma t), \end{array} \right. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} \mathbf{v}\mathbf{s} = (\mathbf{v}\mathbf{s})_0\,\cos(\omega\gamma t)+\frac{\displaystyle(\mathbf{a}\mathbf{s})_0}{\displaystyle \omega\gamma}\,\sin(\omega\gamma t),\\[4mm] \mathbf{a}\mathbf{s} = (\mathbf{a}\mathbf{s})_0\,\cos(\omega\gamma t) - (\mathbf{v}\mathbf{s})_0\,\omega \gamma\,\sin(\omega\gamma t), \end{array} \right. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(37)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
где нулевой индекс помечает начальное значение скалярных произведений в момент времени <math>\textstyle t=0</math>, а значение производных при <math>\textstyle t=0</math> записано при помощи уравнений ().
+
где нулевой индекс помечает начальное значение скалярных произведений в момент времени <math>\textstyle t=0</math>, а значение производных при <math>\textstyle t=0</math> записано при помощи уравнений (35).
  
 
Таким образом, относительно ''подвижного'' базиса, построенного на векторах <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, <math>\textstyle \mathbf{a}</math>, конец стержня вращается с угловой скоростью <math>\textstyle \omega\gamma</math>.
 
Таким образом, относительно ''подвижного'' базиса, построенного на векторах <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, <math>\textstyle \mathbf{a}</math>, конец стержня вращается с угловой скоростью <math>\textstyle \omega\gamma</math>.
Строка 57: Строка 61:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{v} = R\omega\,\{-\sin(\omega t),\;\cos(\omega t)\},\;\;\;\;\;\;\mathbf{a} = -R\omega^2\,\{\cos(\omega t),\;\sin(\omega t)\}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{v} = R\omega\,\{-\sin(\omega t),\;\cos(\omega t)\},\;\;\;\;\;\;\mathbf{a} = -R\omega^2\,\{\cos(\omega t),\;\sin(\omega t)\}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(38)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
В момент времени <math>\textstyle t=0</math> имеем <math>\textstyle \mathbf{v}_0=R\omega\,\{0,1\}</math>, <math>\textstyle \mathbf{a}_0=-R\omega^2\,\{1,0\}</math>, поэтому <math>\textstyle (\mathbf{v}\mathbf{s})_0=R\omega s_{y0}</math>, <math>\textstyle (\mathbf{a}\mathbf{s})_0=-R\omega^2 s_{x0}</math> и решения () приводят к системе:
+
В момент времени <math>\textstyle t=0</math> имеем <math>\textstyle \mathbf{v}_0=R\omega\,\{0,1\}</math>, <math>\textstyle \mathbf{a}_0=-R\omega^2\,\{1,0\}</math>, поэтому <math>\textstyle (\mathbf{v}\mathbf{s})_0=R\omega s_{y0}</math>, <math>\textstyle (\mathbf{a}\mathbf{s})_0=-R\omega^2 s_{x0}</math> и решения (37) приводят к системе:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} s_x\cos(\omega t) + s_y\sin(\omega t) = s_{x0}\cos(\omega\gamma t) + \;\;s_{y0}\,\gamma\;\sin(\omega\gamma t)\\ -s_x\sin(\omega t) + s_y\cos(\omega t) = s_{y0}\cos(\omega\gamma t) - (s_{x0}/\gamma)\sin(\omega\gamma t).\\ \end{array} \right. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} s_x\cos(\omega t) + s_y\sin(\omega t) = s_{x0}\cos(\omega\gamma t) + \;\;s_{y0}\,\gamma\;\sin(\omega\gamma t)\\ -s_x\sin(\omega t) + s_y\cos(\omega t) = s_{y0}\cos(\omega\gamma t) - (s_{x0}/\gamma)\sin(\omega\gamma t).\\ \end{array} \right. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(39)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 71: Строка 75:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{l^2}{\bar{l}^2_0} = 1 + \gamma v^2\, s_0c_0\sin(2\omega\gamma t)+\frac{v^2}{2}\,(\gamma^2s^2_0-c^2_0)(1-\cos(2\omega\gamma t)), </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \frac{l^2}{\bar{l}^2_0} = 1 + \gamma v^2\, s_0c_0\sin(2\omega\gamma t)+\frac{v^2}{2}\,(\gamma^2s^2_0-c^2_0)(1-\cos(2\omega\gamma t)), </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(40)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
 
где <math>\textstyle s_0=\sin\phi_0</math>, <math>\textstyle c_0=\cos\phi_0</math>.
 
где <math>\textstyle s_0=\sin\phi_0</math>, <math>\textstyle c_0=\cos\phi_0</math>.
  
При помощи соотношения (), можно найти связь начальной длины стержня <math>\textstyle \bar{l}_0</math> в неподвижной системе с собственной длинной стержня <math>\textstyle l_0</math>:
+
При помощи соотношения (11), можно найти связь начальной длины стержня <math>\textstyle \bar{l}_0</math> в неподвижной системе с собственной длинной стержня <math>\textstyle l_0</math>:
  
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \bar{l}_0 = \frac{l_0}{\sqrt{1+(\gamma^2-1)\sin^2\phi_0}}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \bar{l}_0 = \frac{l_0}{\sqrt{1+(\gamma^2-1)\sin^2\phi_0}}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(41)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 87: Строка 91:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> |\Delta \phi| = \frac{\gamma-1}{\gamma} \,\pi. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> |\Delta \phi| = \frac{\gamma-1}{\gamma} \,\pi. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(42)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 96: Строка 100:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} s_x = s_{x0}\cos(2\pi m\gamma ) + \;\;s_{y0}\,\gamma\;\sin(2\pi m\gamma )\\ s_y = s_{y0}\cos(2\pi m \gamma ) - (s_{x0}/\gamma)\sin(2\pi m\gamma ).\\ \end{array} \right. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} s_x = s_{x0}\cos(2\pi m\gamma ) + \;\;s_{y0}\,\gamma\;\sin(2\pi m\gamma )\\ s_y = s_{y0}\cos(2\pi m \gamma ) - (s_{x0}/\gamma)\sin(2\pi m\gamma ).\\ \end{array} \right. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(43)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
Строка 103: Строка 107:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} s_x \approx s_{x0} + s_{y0}\,\pi m v^2\\ s_y \approx s_{y0} - s_{x0}\,\pi m v^2.\\ \end{array} \right. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} s_x \approx s_{x0} + s_{y0}\,\pi m v^2\\ s_y \approx s_{y0} - s_{x0}\,\pi m v^2.\\ \end{array} \right. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(44)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
 
Таким образом, после каждого оборота по окружности (<math>\textstyle m=1</math>) стержень поворачивается на малый угол <math>\textstyle \pi v^2</math>.
 
Таким образом, после каждого оборота по окружности (<math>\textstyle m=1</math>) стержень поворачивается на малый угол <math>\textstyle \pi v^2</math>.
  
К такому же результату при малых скоростях приводит и формула Томаса (), для которой <math>\textstyle d\phi\approx va dt/2=\pi v^2 dt/T</math>. Подобное совпадение решений уравнений () и () происходит только при малых скоростях и ''в случае'' равномерного движения по окружности.
+
К такому же результату при малых скоростях приводит и формула Томаса (3), для которой <math>\textstyle d\phi\approx va dt/2=\pi v^2 dt/T</math>. Подобное совпадение решений уравнений (3) и (25) происходит только при малых скоростях и ''в случае'' равномерного движения по окружности.
  
 
Если же скорости большие, то угол поворота зависит от начальной ориентации стержня (начинает сказываться лоренцевское сокращение длины). При одном обороте по окружности (<math>\textstyle m=1</math>), стержень повернётся на угол <math>\textstyle \phi_1</math>, где <math>\textstyle \tan\phi_1=s_y/s_x</math>:
 
Если же скорости большие, то угол поворота зависит от начальной ориентации стержня (начинает сказываться лоренцевское сокращение длины). При одном обороте по окружности (<math>\textstyle m=1</math>), стержень повернётся на угол <math>\textstyle \phi_1</math>, где <math>\textstyle \tan\phi_1=s_y/s_x</math>:
Строка 114: Строка 118:
 
{| width="100%"  
 
{| width="100%"  
 
  | width="90%" align="center"|<math> \tan(\phi_1-\phi_0) =-\tan(2\pi \gamma) \, \frac{1-v^2 + \tan^2\phi_0}{v^2 \tan\phi_0\tan(2\pi \gamma)+1/(\gamma\cos^2\phi_0)}. </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> \tan(\phi_1-\phi_0) =-\tan(2\pi \gamma) \, \frac{1-v^2 + \tan^2\phi_0}{v^2 \tan\phi_0\tan(2\pi \gamma)+1/(\gamma\cos^2\phi_0)}. </math>
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
+
  | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(45)'''</div>
 
  |}
 
  |}
  
 
В ультрарелятивистском случае <math>\textstyle v\sim 1</math>, множество раз повернувшись, стержень отклонится от первоначального положения на угол <math>\textstyle k\pi</math> для целых и полуцелых <math>\textstyle \gamma=k/2</math> и на <math>\textstyle k\pi -\phi_0</math> в остальных случаях.
 
В ультрарелятивистском случае <math>\textstyle v\sim 1</math>, множество раз повернувшись, стержень отклонится от первоначального положения на угол <math>\textstyle k\pi</math> для целых и полуцелых <math>\textstyle \gamma=k/2</math> и на <math>\textstyle k\pi -\phi_0</math> в остальных случаях.
  
На рисунках - изображены траектории конца стержня относительно его начала (расположенного в центре графика) при различной скорости движения по окружности. В собственной системе отсчёта стержень имеет единичную длину. Левая картинка соответствует одному обороту по окружности и 24 точки идут с равным шагом по времени. Правая картинка &mdash; это результат 10 оборотов по окружности. Движение начала стержня начинается из положения часовой стрелки на 3 часа.
+
На рисунках 9 - 12 изображены траектории конца стержня относительно его начала (расположенного в центре графика) при различной скорости движения по окружности. В собственной системе отсчёта стержень имеет единичную длину. Левая картинка соответствует одному обороту по окружности и 24 точки идут с равным шагом по времени. Правая картинка &mdash; это результат 10 оборотов по окружности. Движение начала стержня начинается из положения часовой стрелки на 3 часа.
  
Вращение стержня всегда происходит в противоположную сторону от направления вращении по окружности. Если начало стержня движется против часовой стрелки, то его конец &mdash; по часовой. Горизонтальный стержень (<math>\textstyle \phi_0=0</math>) при изменении скорости сначала укорачивается, а вертикальный (<math>\textstyle \phi_0=\pi/2</math>), наоборот, начинает с удлинения, так как длина минимальна, когда стержень направлен по скорости. На рисунке приведен пример иррационального значения <math>\textstyle \gamma</math>. Конец стержня при движении постепенно заполняет на плоскости кольцо с радиусами <math>\textstyle l_0/\gamma</math> и <math>\textstyle l_0</math>, где <math>\textstyle l_0</math> &mdash; собственная длина стержня.
+
Вращение стержня всегда происходит в противоположную сторону от направления вращении по окружности. Если начало стержня движется против часовой стрелки, то его конец &mdash; по часовой. Горизонтальный стержень (<math>\textstyle \phi_0=0</math>) при изменении скорости сначала укорачивается, а вертикальный (<math>\textstyle \phi_0=\pi/2</math>), наоборот, начинает с удлинения, так как длина минимальна, когда стержень направлен по скорости. На рисунке 10 приведен пример иррационального значения <math>\textstyle \gamma</math>. Конец стержня при движении постепенно заполняет на плоскости кольцо с радиусами <math>\textstyle l_0/\gamma</math> и <math>\textstyle l_0</math>, где <math>\textstyle l_0</math> &mdash; собственная длина стержня.
  
  
Строка 127: Строка 131:
 
<center>[[File:thomas3.png]]</center>
 
<center>[[File:thomas3.png]]</center>
  
\parbox{14cm}{\large \fig <math>\textstyle v=4/5=0.8</math>, <math>\textstyle \gamma=5/3=1.667</math>; <math>\textstyle \phi_0=0</math>. }
+
<blockquote> '''Рисунок 9'''. <math>\textstyle v=4/5=0.8</math>, <math>\textstyle \gamma=5/3=1.667</math>; <math>\textstyle \phi_0=0</math>.  
 +
</blockquote>
  
  
Строка 133: Строка 138:
 
<center>[[File:thomas2.png]]</center>
 
<center>[[File:thomas2.png]]</center>
  
\parbox{14cm}{\large \fig <math>\textstyle v=0.75</math>, <math>\textstyle \gamma=1.512</math>; <math>\textstyle \phi_0=0</math>. }
+
<blockquote> '''Рисунок 10'''. <math>\textstyle v=0.75</math>, <math>\textstyle \gamma=1.512</math>; <math>\textstyle \phi_0=0</math>.
 
+
</blockquote>
  
  
 
<center>[[File:thomas7.png]]</center>
 
<center>[[File:thomas7.png]]</center>
  
\parbox{14cm}{\large \fig <math>\textstyle v=0.866</math>, <math>\textstyle \gamma=2</math>; <math>\textstyle \phi_0=0</math>. }
+
<blockquote> '''Рисунок 11'''. <math>\textstyle v=0.866</math>, <math>\textstyle \gamma=2</math>; <math>\textstyle \phi_0=0</math>.  
 +
</blockquote>
  
  
Строка 145: Строка 151:
 
<center>[[File:thomas4.png]]</center>
 
<center>[[File:thomas4.png]]</center>
  
\parbox{14cm}{\large \fig <math>\textstyle v=0.901</math>, <math>\textstyle \gamma=23/10=2.3</math>; <math>\textstyle \phi_0=0</math>. }
+
<blockquote> '''Рисунок 12'''. <math>\textstyle v=0.901</math>, <math>\textstyle \gamma=23/10=2.3</math>; <math>\textstyle \phi_0=0</math>.  
 +
</blockquote>
 
----
 
----
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   

Текущая версия на 10:29, 14 марта 2011

Версия для печати: pdf


Неинерциальные системы отсчёта << Оглавление >> Момент импульса и спин

Рассмотрим теперь движение начала системы отсчёта по окружности радиуса с постоянной по модулю скоростью . При периоде обращения скорость равна , где — круговая частота. Модуль ускорения равен .


Thomas.png

Рисунок 8. Вращение стержня по окружности. На центральном рисунке, горизонтальный при , стержень после оборота по окружности () повернётся и станет короче. На последнем рисунке этот же стержень при расположен вертикально и после оборота удлиняется.

При равномерном движении по окружности ускорение всегда перпендикулярно скорости (), и справедливы следующие соотношения:

(33)

где — постоянный единичный вектор, нормальный к плоскости орбиты.

При помощи этих соотношений и уравнения (25):

(34)

несложно получить следующие уравнения:

(35)

По-отдельности величины и удовлетворяют уравнениям:

(36)

Поэтому решения (34) при движении по окружности имеют вид:

(37)

где нулевой индекс помечает начальное значение скалярных произведений в момент времени , а значение производных при записано при помощи уравнений (35).

Таким образом, относительно подвижного базиса, построенного на векторах , , конец стержня вращается с угловой скоростью .

Найдём зависимость координат конца стержня относительно его начала в неподвижной системе отсчёта. Пусть движение по окружности происходит против часовой стрелки. Координаты начала стержня при этом равны: . Поэтому компоненты скорости и ускорения имеют вид:

(38)

В момент времени имеем , , поэтому , и решения (37) приводят к системе:

(39)

Сумма квадратов уравнений даёт квадрат длины стержня . Если угол с осью при равен и , , то:

(40)

где , .

При помощи соотношения (11), можно найти связь начальной длины стержня в неподвижной системе с собственной длинной стержня :

(41)

Длина восстанавливается () в моменты времени , где Если — начальная ориентация стержня, то через время его угол будет таким, что , или . Начало стержня движется против часовой стрелки. При этом стержень поворачивается по часовой стрелке, поэтому отрицательно, и необходимо выбрать . Таким образом, минимальный угол поворота, при котором длина стержня восстанавливается, по модулю равен:

(42)

Если — рациональное число, то конец стержня будет описывать правильный -угольник. При этом равно несократимой дроби .

После оборотов по окружности () координаты конца стержня будут равны:

(43)

При малых скоростях , поэтому:

(44)

Таким образом, после каждого оборота по окружности () стержень поворачивается на малый угол .

К такому же результату при малых скоростях приводит и формула Томаса (3), для которой . Подобное совпадение решений уравнений (3) и (25) происходит только при малых скоростях и в случае равномерного движения по окружности.

Если же скорости большие, то угол поворота зависит от начальной ориентации стержня (начинает сказываться лоренцевское сокращение длины). При одном обороте по окружности (), стержень повернётся на угол , где :

(45)

В ультрарелятивистском случае , множество раз повернувшись, стержень отклонится от первоначального положения на угол для целых и полуцелых и на в остальных случаях.

На рисунках 9 - 12 изображены траектории конца стержня относительно его начала (расположенного в центре графика) при различной скорости движения по окружности. В собственной системе отсчёта стержень имеет единичную длину. Левая картинка соответствует одному обороту по окружности и 24 точки идут с равным шагом по времени. Правая картинка — это результат 10 оборотов по окружности. Движение начала стержня начинается из положения часовой стрелки на 3 часа.

Вращение стержня всегда происходит в противоположную сторону от направления вращении по окружности. Если начало стержня движется против часовой стрелки, то его конец — по часовой. Горизонтальный стержень () при изменении скорости сначала укорачивается, а вертикальный (), наоборот, начинает с удлинения, так как длина минимальна, когда стержень направлен по скорости. На рисунке 10 приведен пример иррационального значения . Конец стержня при движении постепенно заполняет на плоскости кольцо с радиусами и , где — собственная длина стержня.


Thomas3.png

Рисунок 9. , ; .


Thomas2.png

Рисунок 10. , ; .


Thomas7.png

Рисунок 11. , ; .


Thomas4.png

Рисунок 12. , ; .


Неинерциальные системы отсчёта << Оглавление >> Момент импульса и спин