Прецессия Томаса/Движение по окружности стержня

Неинерциальные системы отсчёта <<	Оглавление	>> Момент импульса и спин

---

Рассмотрим теперь движение начала системы отсчёта $\textstyle K'$ по окружности радиуса $\textstyle R$ с постоянной по модулю скоростью $\textstyle v$. При периоде обращения $\textstyle T$ скорость равна $\textstyle v=2\pi R/T=\omega R$, где $\textstyle \omega$ — круговая частота. Модуль ускорения равен $\textstyle a=v^{2}/R=\omega v$.

\parbox{14cm}{\large \fig Вращение стержня по окружности. На центральном рисунке, горизонтальный при $\textstyle t=0$, стержень после оборота по окружности ($\textstyle t=T$) повернётся и станет короче. На последнем рисунке этот же стержень при $\textstyle t=0$ расположен вертикально и после оборота удлиняется. } При равномерном движении по окружности ускорение всегда перпендикулярно скорости ($\textstyle \mathbf {a} \mathbf {v} =0$), и справедливы следующие соотношения:

$\mathbf {a} =\omega \,[\mathbf {n} \times \mathbf {v} ],\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d\mathbf {a} }{dt}}=\omega \,[\mathbf {n} \times \mathbf {a} ]=-\omega ^{2}\,\mathbf {v} ,$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf {n}$ — постоянный единичный вектор, нормальный к плоскости орбиты.

При помощи этих соотношений и уравнения ():

${\frac {d\mathbf {s} }{dt}}=-\gamma ^{2}\,(\mathbf {v} \mathbf {s} )\,\mathbf {a}$

(EQN)

несложно получить следующие уравнения:

${\frac {d(\mathbf {v} \mathbf {s} )}{dt}}=\mathbf {a} \mathbf {s} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d(\mathbf {a} \mathbf {s} )}{dt}}=-\omega ^{2}\gamma ^{2}(\mathbf {v} \mathbf {s} ).$

(EQN)

По-отдельности величины $\textstyle \mathbf {v} \mathbf {s}$ и $\textstyle \mathbf {a} \mathbf {s}$ удовлетворяют уравнениям:

${\frac {d^{2}(\mathbf {v} \mathbf {s} )}{dt^{2}}}+\omega ^{2}\gamma ^{2}\,(\mathbf {v} \mathbf {s} )=0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d^{2}(\mathbf {a} \mathbf {s} )}{dt^{2}}}+\omega ^{2}\gamma ^{2}\,(\mathbf {a} \mathbf {s} )=0.$

(EQN)

Поэтому решения () при движении по окружности имеют вид:

$\left\{{\begin{array}{l}\mathbf {v} \mathbf {s} =(\mathbf {v} \mathbf {s} )_{0}\,\cos(\omega \gamma t)+{\frac {\displaystyle (\mathbf {a} \mathbf {s} )_{0}}{\displaystyle \omega \gamma }}\,\sin(\omega \gamma t),\\[4mm]\mathbf {a} \mathbf {s} =(\mathbf {a} \mathbf {s} )_{0}\,\cos(\omega \gamma t)-(\mathbf {v} \mathbf {s} )_{0}\,\omega \gamma \,\sin(\omega \gamma t),\end{array}}\right.$

(EQN)

где нулевой индекс помечает начальное значение скалярных произведений в момент времени $\textstyle t=0$, а значение производных при $\textstyle t=0$ записано при помощи уравнений ().

Таким образом, относительно подвижного базиса, построенного на векторах $\textstyle \mathbf {v}$, $\textstyle \mathbf {a}$, конец стержня вращается с угловой скоростью $\textstyle \omega \gamma$.

Найдём зависимость координат конца стержня $\textstyle \mathbf {s} =\{s_{x},s_{y}\}$ относительно его начала в неподвижной системе отсчёта. Пусть движение по окружности происходит против часовой стрелки. Координаты начала стержня при этом равны: $\textstyle \{x,y\}=R\{\cos(\omega t),\;\sin(\omega t)\}$. Поэтому компоненты скорости и ускорения имеют вид:

$\mathbf {v} =R\omega \,\{-\sin(\omega t),\;\cos(\omega t)\},\;\;\;\;\;\;\mathbf {a} =-R\omega ^{2}\,\{\cos(\omega t),\;\sin(\omega t)\}.$

(EQN)

В момент времени $\textstyle t=0$ имеем $\textstyle \mathbf {v} _{0}=R\omega \,\{0,1\}$, $\textstyle \mathbf {a} _{0}=-R\omega ^{2}\,\{1,0\}$, поэтому $\textstyle (\mathbf {v} \mathbf {s} )_{0}=R\omega s_{y0}$, $\textstyle (\mathbf {a} \mathbf {s} )_{0}=-R\omega ^{2}s_{x0}$ и решения () приводят к системе:

$\left\{{\begin{array}{l}s_{x}\cos(\omega t)+s_{y}\sin(\omega t)=s_{x0}\cos(\omega \gamma t)+\;\;s_{y0}\,\gamma \;\sin(\omega \gamma t)\\-s_{x}\sin(\omega t)+s_{y}\cos(\omega t)=s_{y0}\cos(\omega \gamma t)-(s_{x0}/\gamma )\sin(\omega \gamma t).\\\end{array}}\right.$

(EQN)

Сумма квадратов уравнений даёт квадрат длины стержня $\textstyle l^{2}=s_{x}^{2}+s_{y}^{2}$. Если угол с осью $\textstyle x$ при $\textstyle t=0$ равен $\textstyle \phi _{0}$ и $\textstyle s_{x0}={\bar {l}}_{0}c_{0}$, $\textstyle s_{y0}={\bar {l}}_{0}s_{0}$, то:

${\frac {l^{2}}{{\bar {l}}_{0}^{2}}}=1+\gamma v^{2}\,s_{0}c_{0}\sin(2\omega \gamma t)+{\frac {v^{2}}{2}}\,(\gamma ^{2}s_{0}^{2}-c_{0}^{2})(1-\cos(2\omega \gamma t)),$

(EQN)

где $\textstyle s_{0}=\sin \phi _{0}$, $\textstyle c_{0}=\cos \phi _{0}$.

При помощи соотношения (), можно найти связь начальной длины стержня $\textstyle {\bar {l}}_{0}$ в неподвижной системе с собственной длинной стержня $\textstyle l_{0}$:

${\bar {l}}_{0}={\frac {l_{0}}{\sqrt {1+(\gamma ^{2}-1)\sin ^{2}\phi _{0}}}}.$

(EQN)

Длина восстанавливается ($\textstyle l={\bar {l}}_{0}$) в моменты времени $\textstyle \omega t=\pi k/\gamma$, где $\textstyle k=1,2,....$ Если Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\tg»): {\displaystyle \textstyle \tg\phi_0=s_{y0}/s_{x0}} — начальная ориентация стержня, то через время $\textstyle \omega t=\pi /\gamma$ его угол $\textstyle \phi$ будет таким, что Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\tg»): {\displaystyle \textstyle \tg (\phi-\pi/\gamma)=\tg\phi_0} , или $\textstyle \phi -\phi _{0}=-\pi k+\pi /\gamma$. Начало стержня движется против часовой стрелки. При этом стержень поворачивается по часовой стрелке, поэтому $\textstyle \phi -\phi _{0}$ отрицательно, и необходимо выбрать $\textstyle k=1$. Таким образом, минимальный угол поворота, при котором длина стержня восстанавливается, по модулю равен:

$|\Delta \phi |={\frac {\gamma -1}{\gamma }}\,\pi .$

(EQN)

Если $\textstyle \gamma$ — рациональное число, то конец стержня будет описывать правильный $\textstyle n$-угольник. При этом $\textstyle (\gamma -1)/\gamma$ равно несократимой дроби $\textstyle 2k/n$.

После $\textstyle m$ оборотов по окружности ($\textstyle \omega t=2\pi m$) координаты конца стержня будут равны:

$\left\{{\begin{array}{l}s_{x}=s_{x0}\cos(2\pi m\gamma )+\;\;s_{y0}\,\gamma \;\sin(2\pi m\gamma )\\s_{y}=s_{y0}\cos(2\pi m\gamma )-(s_{x0}/\gamma )\sin(2\pi m\gamma ).\\\end{array}}\right.$

(EQN)

При малых скоростях $\textstyle \gamma \approx 1+v^{2}/2$, поэтому:

$\left\{{\begin{array}{l}s_{x}\approx s_{x0}+s_{y0}\,\pi mv^{2}\\s_{y}\approx s_{y0}-s_{x0}\,\pi mv^{2}.\\\end{array}}\right.$

(EQN)

Таким образом, после каждого оборота по окружности ($\textstyle m=1$) стержень поворачивается на малый угол $\textstyle \pi v^{2}$.

К такому же результату при малых скоростях приводит и формула Томаса (), для которой $\textstyle d\phi \approx vadt/2=\pi v^{2}dt/T$. Подобное совпадение решений уравнений () и () происходит только при малых скоростях и в случае равномерного движения по окружности.

Если же скорости большие, то угол поворота зависит от начальной ориентации стержня (начинает сказываться лоренцевское сокращение длины). При одном обороте по окружности ($\textstyle m=1$), стержень повернётся на угол $\textstyle \phi _{1}$, где Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\tg»): {\displaystyle \textstyle \tg\phi_1=s_y/s_x} :

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\tg»): {\displaystyle \tg(\phi_1-\phi_0) =-\tg(2\pi \gamma) \, \frac{1-v^2 + \tg^2\phi_0}{v^2 \tg\phi_0\tg(2\pi \gamma)+1/(\gamma\cos^2\phi_0)}. }

(EQN)

В ультрарелятивистском случае $\textstyle v\sim 1$, множество раз повернувшись, стержень отклонится от первоначального положения на угол $\textstyle k\pi$ для целых и полуцелых $\textstyle \gamma =k/2$ и на $\textstyle k\pi -\phi _{0}$ в остальных случаях.

На рисунках - изображены траектории конца стержня относительно его начала (расположенного в центре графика) при различной скорости движения по окружности. В собственной системе отсчёта стержень имеет единичную длину. Левая картинка соответствует одному обороту по окружности и 24 точки идут с равным шагом по времени. Правая картинка — это результат 10 оборотов по окружности. Движение начала стержня начинается из положения часовой стрелки на 3 часа.

Вращение стержня всегда происходит в противоположную сторону от направления вращении по окружности. Если начало стержня движется против часовой стрелки, то его конец — по часовой. Горизонтальный стержень ($\textstyle \phi _{0}=0$) при изменении скорости сначала укорачивается, а вертикальный ($\textstyle \phi _{0}=\pi /2$), наоборот, начинает с удлинения, так как длина минимальна, когда стержень направлен по скорости. На рисунке приведен пример иррационального значения $\textstyle \gamma$. Конец стержня при движении постепенно заполняет на плоскости кольцо с радиусами $\textstyle l_{0}/\gamma$ и $\textstyle l_{0}$, где $\textstyle l_{0}$ — собственная длина стержня.

\parbox{14cm}{\large \fig $\textstyle v=4/5=0.8$, $\textstyle \gamma =5/3=1.667$; $\textstyle \phi _{0}=0$. }

\parbox{14cm}{\large \fig $\textstyle v=0.75$, $\textstyle \gamma =1.512$; $\textstyle \phi _{0}=0$. }

\parbox{14cm}{\large \fig $\textstyle v=0.866$, $\textstyle \gamma =2$; $\textstyle \phi _{0}=0$. }

\parbox{14cm}{\large \fig $\textstyle v=0.901$, $\textstyle \gamma =23/10=2.3$; $\textstyle \phi _{0}=0$. }

---

Неинерциальные системы отсчёта <<	Оглавление	>> Момент импульса и спин