Прецессия Томаса/Движение гироскопа по окружности

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Прецессия спина и момента импульса << Оглавление >> Заключение

При движении гироскопа по окружности радиуса с постоянной угловой скоростью из уравнения для спина

(EQN)

и соотношений () следуют уравнения:

(EQN)

Поэтому проекции спина на скорость и ускорение удовлетворяют осцилляторным уравнениям, эквивалентным уравнениям для стержня:

(EQN)

Их решения несколько отличаются от решений для стержня в силу различных начальных условий для скоростей изменения проекций ():

(EQN)

Относительно лабораторной системы компонента спина не изменяется, а проекции на оси , в плоскости которых происходит вращение, равны:

(EQN)

где , — начальные значения проекций спина на оси лабораторной системы координат в момент , когда скорость имела компоненты а ускорение (см. раздел 6).

При совершении гироскопом полного оборота () по окружности с малой скоростью () компоненты спина поворачиваются на небольшой угол :

(EQN)

В пределе малых скоростей, при движении по окружности спин прецессирует аналогично повороту "жёсткого" стержня. В этих условиях прецессия спина выглядит также, как и решение уравнения Томаса ().

При больших скоростях происходит не только прецессия (поворот) спина, но и изменение длины вектора спина. Пусть в системе отсчёта, связанной с гироскопом, спин его вращения равен . Тогда, в силу преобразований (), в лабораторной системе вектор спина равен

(EQN)

откуда:

(EQN)

Пусть в начальный момент времени вектор спина находится в плоскости вращения () и составляет с осью угол . Тогда начальное значение модуля спина в лабораторной системе связано модулем спина в сопутствующей системе следующим образом:

(EQN)

Это соотношение отличается от связи собственной длины стержня с длиной в лабораторной системе (). Однако если вектор спина перпендикулярен скорости, то его длина, аналогично стержню, одинакова в обоих системах.

Из решения () следует, что модуль спина в лабораторной системе отсчёта при движении по окружности изменяется следующим образом:

(EQN)

где и . Таким образом, минимальный угол поворота по окружности, при котором длина вектора спина восстанавливается, по модулю равен (см. раздел 6):

(EQN)

Если — рациональное число, то вектор спина, аналогично стержню, будет описывать правильный -угольник. При этом равно несократимой дроби .

Если спин в начальный момент времени перпендикулярен плоскости вращения, то он не будет изменяться. Прецессия возникает только для неортогонального к плоскости вращения спина. При этом поворот вектора спина происходит в обратную сторону к направлению движения гироскопа по окружности.

Угловая скорость вращения спина (прецессия) в соответствии с уравнением Томаса () перпендикулярна плоскости окружности, постоянна и равна

(EQN)

где — угловая скорость движения гироскопа по окружности. При этом модуль вектора спина остаётся неизменным.

Уравнение () приводит не только изменению модуля спина (), но и к переменной угловой скорости его вращения. Действительно, из уравнений () следует, что для тангенса угла спина с осью лабораторной системы отсчёта справедливо соотношение:

(EQN)

Поэтому, например, для угловая скорость поворота вектора спина равна:

(EQN)

Отношение по модулю изменяется от 0 до с частотой . На рисунке приведено изменение угловой частоты на протяжении одного полного оборота гироскопа по окружности при различных его скоростях движения :


Graph omega.png

Рисунок 14. Отношение угловой скорости вращения вектора спина к угловой скорости движения гироскопа по окружности в течении одного оборота при скоростях и . Горизонтальная линия соответствует томасовской частоте прецессии ().

Найдём среднее значение угловой скорости по периоду её изменения:

(EQN)

Сравнивая с соотношением (), приходим к выводу, что средняя частота прецессии совпадает с томасовской частотой:

(EQN)

Этот результат справедлив при любой начальной ориентации спина.

Если вместо спина гироскопа рассматривать жёсткий стержень (), то в соотношении для угловой скорости его поворота () вместо косинусов будут находиться синусы. Усреднение этой функции также приводит к значению , т.е. в среднем стержень вращается с угловой скоростью, равной угловой скорости томасовской прецессии.

Таким образом, прецессия спина выглядит сложнее, чем динамика, описывающаяся классическим уравнением (). При равномерном движении по окружности с угловой скоростью изменяется как ориентация, так и модуль вектора спина. Если под прецессией понимать мгновенную угловую скорость вращения спина, то она периодически изменяется со временем. Частота этого изменения тем больше, чем быстрее гироскоп движется по окружности. Амплитуда колебаний угловой скорости прецессии также увеличивается с ростом скорости. Тем не менее среднее значение угловой скорости прецессии совпадает с классическим результатом Томаса.


Прецессия спина и момента импульса << Оглавление >> Заключение