Преобразования координат

Равноускоренная система отсчёта <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 4)	>> Вращающаяся система отсчёта

$\text{[math]}$ Найдём преобразования координат и времени некоторого события, наблюдаемого в инерциальной $\text{[math]}$ и неинерциальной $\text{[math]}$ системах отсчёта. При этом $\text{[math]}$ — это результаты измерений наблюдателя, находящегося в $\text{[math]}$ (первый корабль). Пусть событие происходит в удалённой от него точке, например, возле второго корабля, расстояние $\text{[math]}$ до которого известно из радиолокационных измерений и будет принято им за координату события $\text{[math]}$ в $\text{[math]}$ . Будем считать, что, как только произошло событие в момент времени $\text{[math]}$ (по часам второго корабля), на первый корабль посылается световой сигнал:

С учётом корректировки на время распространения сигнала (), его время по часам первого корабля равно $\text{[math]}$ . С другой стороны, время $\text{[math]}$ второго корабля связано со временем события $\text{[math]}$ в инерциальной системе отсчета следующим образом:

\text{[math]}

где во втором равенстве подставлено $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ . Координата события в $\text{[math]}$ совпадает с координатой второго корабля ():

\text{[math]}

В результате, преобразования между инерциальной и неинерциальной системами отсчёта можно записать в следующем виде:

\text{[math]}

(EQN)

Эти преобразования получил Кристиан Мёллер \cite{Myelller1987}, рассматривая последовательность инерциальных систем отсчета сопутствующих неинерциальной. При этом использовалась другая параметризация координаты:

\text{[math]}

(EQN)

в которой $\text{[math]}$ . Фактически это лишь иной способ нумерации точек пространства в неинерциальной системе $\text{[math]}$ .

\text{[math]}

Преобразования () имеют немного иной смысл по сравнению с преобразованиями между двумя инерциальными системами. У наблюдателей в данной инерциальной системе отсчёта существует единое синхронизированное время и преобразования Лоренца одинаковы для всех таких наблюдателей. В силу этого, обычно, в каждой инерциальной системе отсчёта представляют по одному наблюдателю, которые "размазаны" по всему пространству. В неинерциальной системе каждый наблюдатель обладает своим собственным временем. Об удалённых событиях он может судить только получая некоторую информацию от наблюдателя, который реально регистрирует событие, находясь в точке где оно произошло. Поэтому

преобразования () относятся к конкретному неинерциальному наблюдателю и произвольному инерциальному.

Преобразования () несложно обратить:

\text{[math]}

(EQN)

То, что прямые и обратные преобразования имеют различную функциональную форму, является отражением неравноправности инерциального и неинерциального наблюдателей. В качестве упражнения ( $\text{[math]}$ \,H) предлагается найти скорость точки $\text{[math]}$ (начало системы $\text{[math]}$ ) в системе $\text{[math]}$ и убедиться, что она совпадает со скоростью точки $\text{[math]}$ относительно системы $\text{[math]}$ .

Запишем интервал между событиями в координатах неинерциального наблюдателя. Подставляя () в $\text{[math]}$ , имеем:

\text{[math]}

(EQN)

Распространение света соответствует нулевому интервалу: $\text{[math]}$ (стр.\,\pageref{bk_h_ds_inv}). Если свет движется вдоль оси $\text{[math]}$ , то его траектория в координатах $\text{[math]}$ является линейной функцией. Именно это и закладывалось в определение радиолокационного расстояния $\text{[math]}$ . Если использовать координату $\text{[math]}$ () то получится интервал Мёллера:

\text{[math]}

(EQN)

Отличие интервалов () и () состоит в различном способе "нумерации" точек пространства неинерциальной системы отсчета. В первом в качестве координат кораблей используется радиолокационные расстояния, измеренные наблюдателем в начале системы координат. Во втором — координаты точек совпадают с начальными координатами в инерциальной системе в момент старта кораблей.

$\text{[math]}$ Выясним смысл сингулярности, возникающей в (), когда аргумент логарифма обращается в ноль. Для наблюдателя в $\text{[math]}$ события, расположенные по ходу движения $\text{[math]}$ , соответствуют в системе $\text{[math]}$ области $\text{[math]}$ . События в обратном направлении видны только, если $\text{[math]}$ . Действительно, событие будет видимым, если вспышка света, произошедшая в $\text{[math]}$ , "догонит" наблюдателя на первом корабле в момент времени $\text{[math]}$ . Это происходит, когда уравнение:

\text{[math]}

имеет решение относительно времени прихода $\text{[math]}$ . Несложно проверить, что при $\text{[math]}$ время $\text{[math]}$ обращается в бесконечность. При равноускоренном движении наблюдатели могут "убегать" от происходящих событий, так как постоянно увеличивают свою скорость (хотя она всё время остаётся меньше единицы). Поэтому события, находящиеся сзади далее, чем точка $\text{[math]}$ , в системе $\text{[math]}$ видны не будут:

Определим горизонт событий, как линию (поверхность), ограничивающую в пространстве событий $\text{[math]}$ область видимых событий данным наблюдателем системы отсчета $\text{[math]}$ . Для описания горизонта событий требуется две системы отсчёта — $\text{[math]}$ , имеющая более широкое множество событий, чем события, видимые во второй системе $\text{[math]}$ . Из () следует, что предельная видимая точка $\text{[math]}$ сзади от корабля имеет в системе $\text{[math]}$ координату $\text{[math]}$ На плоскости $\text{[math]}$ можно нарисовать сетку линий (выше второй рисунок), соответствующих постоянным значениям $\text{[math]}$ (одновременные в $\text{[math]}$ события) и постоянным значениям $\text{[math]}$ . Их уравнения имеют вид:

\text{[math]}

(EQN)

После старта корабля, его наблюдатель видит, что сзади него распространяется "волна" постепенного покраснения частоты излучения источников света (стр.\,\pageref{acsel_ref_sys_times}). Это покраснение тем сильнее, чем дальше от него находятся источники. Заметим, что о горизонте наблюдатель никогда не узнает, т.к. волна покраснения достигнет горизонта только при $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ Найдём преобразования в ситуации, когда равноускоренная система начала ускоряться, уже имея некоторую скорость $\text{[math]}$ . Введём три системы отсчёта: "неподвижную" $\text{[math]}$ , инерциальную $\text{[math]}$ , движущаяся равномерно со скоростью $\text{[math]}$ относительно $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , которая начинает двигаться равноускоренно относительно $\text{[math]}$ с нулевой начальной скоростью так, как это было описано выше. Имеем два последовательных преобразования координат и времени:

\text{[math]}

где $\text{[math]}$ , и в момент времени $\text{[math]}$ начала систем $\text{[math]}$ совпадали. Исключая $\text{[math]}$ , получаем:

\text{[math]}

(EQN)

где $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . В качестве упражнения ( $\text{[math]}$ \,H ) стоит найти нерелятивистское приближение к ().

Несложно проверить, что преобразования () снова приводят к интервалу (). Таким образом, все равноускоренные системы отсчета, независимо от их начальной скорости

\text{[math]}

, имеют один и тот же интервал. В общем случае, по определению:

системы отсчета являются равноправными, если они имеют одинаковую функциональную форму интервала.

Естественно в это определение "равноправности" попадает и вся совокупность инерциальных систем отсчета, так как преобразования Лоренца оставляют форминвариантным интервал

\text{[math]}

(т.е. не изменяют его функциональной формы). Равноускоренная и инерциальные системы не равноправны, так как интервалы между двумя событиями в этих системах отсчета различны (в дальнейшем мы уточним это определение).

Запишем также трансляционные преобразования в равноускоренной системе отсчета. В координатах Мёллера между вторым ( $\text{[math]}$ ) и первым кораблем ( $\text{[math]}$ ) они имеют вид:

\text{[math]}

Подставляя их в интервал (), получаем: $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ . Этот результат вполне ожидаем. Собственное ускорение второго корабля равно $\text{[math]}$ , поэтому и интервал в координатах $\text{[math]}$ наблюдателя на втором корабле должен зависеть именно от $\text{[math]}$ , вместо $\text{[math]}$ для интервала () в координатах $\text{[math]}$ первого корабля.

Равноускоренная система отсчёта <<	Оглавление (Последняя версия в: Глава 4)	>> Вращающаяся система отсчёта

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии

Преобразования координат

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

почитай

Инструменты