Преобразования Лоренца для полей — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
м (Защищена страница «Преобразования Лоренца для полей» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
 
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника)
(нет различий)

Текущая версия на 18:53, 2 июля 2013

Дипольный и магнитный моменты << Оглавление (Глава 5) >> Электромагнитные волны


Найдём связь электрического и магнитного полей, измеряемых наблюдателями в двух инерциальных системах отсчёта и . Обозначим через скорость системы относительно . Пусть сила, действующая на единичный заряд (), имеет лоренцевский вид:

где — скорость частицы относительно . Любая сила в теории относительности преобразуется следующим образом (стр. \pageref{lorenz_force}):

(EQN)

где, как обычно, и . Если частица в покоится (), то её скорость в системе равна , поэтому:

где учтено, что . При нулевой скорости в системе сила равна электрическому полю , а в системе : :

(EQN)

Поля не зависят от заряда и скорости пробной частицы, поэтому это преобразование выполняется при любых . Обратное преобразование, как обычно, получается при помощи замены :

(EQN)

Это можно доказать, если сначала получить соотношение

(EQN)

следующее из (), а затем повторить предыдущие рассуждения, положив в () , и соответственно , .

Запишем теперь преобразование для силы () в случае, когда , и умножим его слева векторно на :

Подставим слева из (), а справа [см. (), стр. \pageref{elect_vec_vec}, при ]. В результате, учитывая, что , получаем соотношение:

(EQN)

Таким образом, продольные (к скорости) компоненты электрического и магнитного полей одинаковы в обеих системах отсчёта.

Осталось найти преобразование для магнитного поля, аналогичное (). Для этого умножим () векторно на

Подставляя справа из (), получаем:

Раскроем двойное векторное произведение по формуле "бац минус цаб" и учтём, что :

Учитывая, что , и перенося влево, окончательно получаем:

Обратное преобразование получается перестановкой штрихованных и нештрихованных величин и заменой .

Таким образом, преобразования Лоренца для электрического и магнитного полей имеют следующий вид:

(EQN)
(EQN)

Их можно ( H) также расписать по компонентам:

где ось выбрана в направлении относительной скорости: . Заметим, что () формально можно получить из (), сделав замену: и . Кроме этого, полученные преобразования совпадают с преобразованиями компонент антисимметричного тензора второго ранга для момента импульса (стр. \pageref{moment_L_L_R}). Как мы увидим в следующей главе, это совпадение не случайно.

Аналогично упражнению H можно проверить инвариантность следующих скалярных выражений:

(EQN)

которые имеют одинаковое значение во всех инерциальных системах.

Обратим внимание на тесную связь электрического и магнитного полей в преобразованиях () и (). Именно благодаря ей обычно говорят о едином электромагнитном поле, которое имеет два "лица": и . Они меняются при смене системы отсчёта, "порождая" друг друга. Например, пусть в системе нет магнитного поля . Тогда в системе будет наблюдаться магнитное поле, перпендикулярное как относительной скорости, так и электрическому полю. Действительно, из () и () следует:

(EQN)

Получим ещё раз выражение для напряжённости электромагнитного поля движущегося со скоростью заряда (стр.\pageref{E_B_main}). В системе отсчёта, в которой заряд покоится, магнитное поле равно нулю, а электрическое определяется законом Кулона:

Используя преобразования для электрического поля (), имеем:

В момент времени , когда начала систем отсчёта совпадают, справедливы преобразования (), стр.\pageref{r3prime_electro}. Подставляя их, получаем:

С учётом () магнитное поле равно , что совпадает с (), стр.\pageref{E_B_main}.

Заметим, что разделение на магнитное и электрическое поле единого силового влияния на пробную частицу достаточно условно. Магнитное поле содержится в составляющей силы, которая зависит от скорости частицы. Когда изменяется система отсчёта, меняется и скорость. Соответственно, происходит определённое перераспределение между электрическим и магнитным полями.

Можно было бы, конечно, работать с единым силовым полем . Однако в этом случае дифференциальные уравнения для такого поля оказались зависящими от скорости конкретной пробной частицы. Именно разделение силы на два поля позволило записать для них уравнения Максвелла, не зависящие от параметров пробной частицы. Это позволяет, решая уравнения, получать электрическое и магнитное поля, а затем выяснять, как они действуют (при помощи силы Лоренца) на любую пробную частицу или систему таких частиц.

Приведём ещё один простой пример преобразования полей. Рассмотрим бесконечную тонкую заряженную нить. В системе отсчёта, в которой заряды неподвижны, существует электрическое поле, перпендикулярное к нити и убывающее с расстоянием от неё следующим образом (стр.\pageref{E_charge_line}):

где — заряд, приходящийся на единицу длины нити. Магнитного поля в этой системе отсчёта нет (левый рисунок):

Move line.png

Пусть теперь нить перемещается вдоль оси со скоростью . Так как заряды движутся, существует ток и, следовательно, магнитное поле (стр. \pageref{magnitostatic_sec}). Нить по-прежнему остаётся заряженной, поэтому есть и электрическое поле:

Найдём, как связаны между собой линейные плотности зарядов , и ток . Поля и перпендикулярны друг другу и скорости. Поэтому обратные к () и () преобразования имеют вид:

Подставляя выражения для электрического поля, получаем следующую связь для удельных зарядов на единицу длины:

где учтено, что расстояния в перпендикулярном к скорости направлении не изменяются . Полученное соотношение является следствием лоренцевского сокращения длины. Так как заряд инвариантен (), а участок нити, на котором он находится, при движении сокращается , то удельный заряд для неподвижного наблюдателя будет увеличиваться в раз. Во столько же раз "сжимаются" силовые линии, увеличивая напряжённость электрического поля.

Аналогично из выражения для магнитного поля получается связь тока и скорости зарядов для неподвижного наблюдателя:

Так и должно быть в силу определения тока, как скорости "протекания" заряда через сечение проводника.




Дипольный и магнитный моменты << Оглавление (Глава 5) >> Электромагнитные волны

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии