Преобразования Лоренца

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Инерциальные системы отсчёта << Оглавление >> Принцип параметрической неполноты

Установим вид преобразований между результатами наблюдения некоторого события в двух инерциальных системах отсчета и (т.н. преобразования Лоренца):

(1.3)

Чтобы найти функции и , начнём задавать последовательность аксиом, которым они удовлетворяют.

Аксиома I. Преобразования (1.3) являются непрерывными, дифференцируемыми и взаимно однозначными.

Это требование является очень естественным и, хотя оно сужает класс возможных функций, тем не менее, оставляет его более чем широким.

Аксиома II. Если скорости двух свободных частиц равны в системе , то они будут равны и в системе .

Эта аксиома приводит к тому, что преобразования координат и времени должны быть линейными функциями:

(1.4)

где коэффициенты могут зависеть от относительной скорости систем отсчёта , но не зависят от и . Строгое доказательство этого утверждения приведено в ( H), однако сейчас его можно пропустить, тем более, что обычно линейность преобразований не доказывают, а постулируют, ссылаясь на однородность пространства и времени.

В преобразованиях (1.4) зафиксировано начало отсчета времени таким образом, чтобы при начала систем совпадали: .

В силу процедуры согласования единиц скорости, мы считаем, что точка системы движется относительно по траектории: . Подставляя , в первое уравнение (1.4), получаем . Аналогично, наблюдатель в для точки имеет , поэтому (1.4) дают и , откуда , то есть . Введём функции относительной скорости , и запишем преобразования между системами отсчёта в следующем виде:

(1.5)

Использованные для записи (1.5) траектории начал отсчёта представляют собой способ согласования единиц измерения скорости. Тем не менее, их, конечно, можно выделить и в отдельную аксиому. Для определения функций , , т.е. для получения преобразований Лоренца нам потребуется дополнительная информация.

Третья аксиома выражает принцип относительности, и является ключевой, как в теории относительности, так и в классической механике:

Аксиома III. Инерциальные системы отсчета равноправны.

Рассмотрим три системы , и . Пусть движется относительно со скоростью , а относительно со скоростью .

Lorenz.png

Обозначим через и координату и время события, наблюдаемого в , и аналогично для и . Запишем преобразования:

где , , и т.д. Подставим из первой системы во вторую:

Вторые равенства в каждом уравнении представляют собой преобразование между и , которые двигаются с относительной скоростью . Эти уравнения должны выполняться при любых и . Если приравнять коэффициенты при в первом уравнении системы и при во втором, то получаются следующие соотношения:

(1.6)

из которых следует , или:

(1.7)

Так как скорости и — произвольные независимые величины, то — это некоторая константа, единая для всех инерциальных систем отсчета. Числовое значение константы и её знак, без дополнительных аксиом или экспериментов зафиксировать нельзя. Логически возможны три теории с , и . С математической точки зрения все они имеют право на существование и не содержат противоречий. Понятно, что случай является частным проявлением теории с очень малым, но не нулевым значением .

Требование равноправия приводит также к тому, что переход от к (1.5) будет таким же, как и от к . Другими словами, обратное преобразование с точностью до замены должно совпадать с прямым. Например, для координаты [см. первое уравнение (1.5)]:

где во втором равенстве подставлено , из прямого преобразования (1.5) и учтено, что . В результате:

(1.8)

Для окончательного определения функции нам потребуется ещё одна аксиома:

Аксиома IV. Пространство в инерциальных системах отсчёта изотропно.

Это означает, что при обращении осей обоих систем, т.е. и , преобразования (1.5) не должны изменить своего вида. При таком обращении скорость меняет знак, , поэтому, например, для первого уравнения (1.5)

Оно снова перейдёт в (1.5), только если будет четной функцией скорости: . Это позволяет найти . Положительный знак при извлечении корня выбран из следующих соображений. Любые события, происходящие в точке после совпадения начал отсчёта двух систем, должны иметь положительные значения времени. Из (1.5), при , следует, что , поэтому .

Таким образом, преобразования между наблюдателями двух инерциальных систем отсчёта определяются с точностью до константы . Это фундаментальная константа могла оказаться и нулевой, однако в нашем Мире она больше нуля. Поэтому удобно выразить "" через константу "", имеющую размерность скорости: . В результате, значения координат и времени некоторого события, измеренные двумя инерциальными наблюдателями, связаны следующим образом:

(1.9)

Преобразования Лоренца удовлетворяют сформулированным выше четырем аксиомам и положительному выбору константы .

Для теоретического определения значения константы фундаментальной скорости , т.е. устранения параметрической неполноты, необходимы дополнительные аксиомы.

Обратим внимание на то, что классическая механика также опирается на аксиомы (I)-(IV), однако добавляет к ним следующее утверждение:

Аксиома V.

Если два события одновременны в одной системе отсчета, то они будут одновременны и в любой другой.

Одновременность событий (, следовательно ) приводит к значению и преобразованиям Галилея:

Подробнее этот вопрос будет рассмотрен в следующей главе.

Аксиомы (I)-(V) полностью определяют функции и . Если мы отбросим пятую аксиому, то количество информации уменьшится, и мы получим неполную теорию. Однако эта неполнота замечательным образом ограничивается только появлением неопределяемой константы "", т.е. приводит к параметрически неполной теории. В этом смысле пятая аксиома обладает минимальным количеством содержательной информации.

Заметим, что мы не только вывели преобразования Лоренца, но также продемонстрировали, что

теория относительности непротиворечива, если непротиворечива классическая механика.

Это следует из того, что преобразования Лоренца и Галилея основаны на одинаковом подмножестве аксиом. Та или иная теорема (формула) теории всегда выводится из некоторой группы аксиом. Когда две теории используют одинаковое множество аксиом, то и теоремы, следующие из них будут одинаковыми. Если одна из этих теорий непротиворечивым образом добавляет новую аксиому, то появляется возможность выводить новые теоремы которые уменьшают произвол исходной ограниченной системы (например, утверждают, что ).

Понимать логическую непротиворечивость теории относительности очень важно, так как выводы, которые мы будем из неё получать, окажутся очень непривычными. Тем не менее, логических противоречий они содержать не могут, так как непротиворечивы исходные постулаты теории относительности.


Инерциальные системы отсчёта << Оглавление >> Принцип параметрической неполноты

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии