Преобразования Лоренца — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Строка 9: Строка 9:
 
{| width="100%"   
 
{| width="100%"   
 
  | width="90%" align="center"|<math> x'=f(x,t,v),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t'=g(x,t,v). </math>
 
  | width="90%" align="center"|<math> x'=f(x,t,v),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t'=g(x,t,v). </math>
  | width="10%" align="right"| (1.3)
+
  | width="10%" align="right"| '''(1.3)'''
 
|}
 
|}
  

Версия 16:05, 4 февраля 2010

Инерциальные системы отсчёта << Оглавление >> Принцип параметрической неполноты

Установим вид преобразований между результатами наблюдения некоторого события в двух инерциальных системах отсчета и :

(1.3)

Для этого будем стараться использовать только самые общие и "естественные" соображения. Чтобы зафиксировать вид функций и , начнём задавать последовательность аксиом, которым они удовлетворяют. В качестве первой аксиомы выберем следующее утверждение:

Аксиома I. Преобразования () являются непрерывными, дифференцируемыми и взаимно однозначными.

Это требование является очень естественным и, хотя оно сужает класс возможных функций, тем не менее, оставляет его более чем широким.

Аксиома II. Если скорости двух свободных частиц равны в системе , то они будут равны и в системе .

Эта аксиома приводит к тому, что преобразования координат и времени должны быть линейными функциями:

где коэффициенты могут зависеть от относительной скорости систем отсчёта , но не зависят от и . Строгое доказательство этого утверждения приведено на стр.\pageref{h_lorenz_line} ( H), однако сейчас его можно пропустить, тем более, что обычно линейность преобразований не доказывают, а постулируют, ссылаясь на однородность пространства и времени.

В преобразованиях () зафиксировано начало отсчета времени таким образом, чтобы при начала систем совпадали: . В дальнейшем мы ослабим вторую аксиому и получим преобразование, обобщающее преобразования Лоренца, однако пока ограничимся линейным случаем.

В силу соображений, изложенных в предыдущем разделе, мы считаем, что начало координат системы движется относительно по траектории: . Подставляя , в первое уравнение (), получаем связь . Аналогично, для наблюдателя в точка движется по траектории , поэтому () дают два уравнения и , откуда , или . Напомним, что использованные траектории начал систем отсчета представляют собой способ согласования единиц измерения скорости, хотя, конечно, их можно выделить и в отдельную аксиому.

Введём функции относительной скорости , и запишем преобразования между системами отсчёта в следующем виде:

Для определения свойств функций , добавим ещё одну аксиому:

Аксиома III. Пространство для наблюдателей во всех инерциальных системах отсчёта выглядит изотропным.

Это означает, что при обращении осей обоих систем отсчёта, т.е. и , преобразования () не должны изменить своего вида. При таком обращении скорость меняет знак, , поэтому:

Эта система снова перейдёт в (), только если будет четной, а — нечетной функцией скорости:

Введём четвертую аксиому, которая является ключевой в аксиоматике теории относительности, как, впрочем, и в классической механике. Она отражает принцип относительности:

Аксиома IV. Все инерциальные системы отсчета равноправны.

Требование равноправия приводит к тому, что переход от к () будет таким же, как и от к . Другими словами, обратное преобразование с точностью до замены выглядит так же, как и прямое. Например, для координаты [см. первое уравнение ()]:

где во втором равенстве подставлено , из прямого преобразования () и учтено, что . В результате:

Положительный знак при извлечении корня выбран из следующих соображений. Любые события, происходящие в точке после совпадения начал отсчёта двух систем, должны иметь положительные значения времени. Из (), при , следует, что , поэтому .

Рассмотрим теперь три инерциальные системы отсчета , и . Пусть движется относительно со скоростью , а относительно со скоростью .

Lorenz.png

Обозначая через координаты и время события, наблюдаемого в , и аналогично для остальных систем, запишем два последовательных преобразования:

где , , и т.д. Подставим из первой системы во вторую:

Вторые равенства в каждом уравнении, представляют собой законы преобразования между и , которые двигаются с относительной скоростью . Эти уравнения должны выполняться при любых и . Если приравнять коэффициенты при в первом уравнении системы и при во втором, то получаются следующие соотношения:

из которых следует , или:

Так как скорости и — произвольные независимые величины, то — это некоторая константа, единая для всех инерциальных систем отсчета. Числовое значение константы и её знак без дополнительных аксиом или экспериментов зафиксировать нельзя. Это фундаментальная константа могла оказаться и нулевой, однако в нашем Мире она больше нуля. Поэтому удобно выразить "" через константу "", имеющую размерность скорости: . В результате , и, так как зависимость от нам известна (), то .

Таким образом, значения координат и времени некоторого события, измеренные двумя инерциальными наблюдателями, связаны следующим образом:

Эти преобразования удовлетворяют сформулированным выше четырем аксиомам. Единственной произвольной величиной оказалась константа фундаментальной скорости . Для теоретического определения её значения, т.е. устранения параметрической неполноты, необходимы дополнительные аксиомы.

Обратим внимание на то, что классическая механика также опирается на аксиомы (I)-(IV), однако добавляет к ним следующее утверждение:

Аксиома V. Если два события одновременны в одной системе отсчета, то они будут одновременны и в любой другой.

Одновременность событий приводит к значению и преобразованиям Галилея:

Подробнее этот вопрос будет рассмотрен в следующей главе.

Аксиомы (I)-(V) полностью определяют функции и . Если мы отбросим пятую аксиому, то количество информации уменьшится и мы получим неполную теорию. Однако эта неполнота замечательным образом ограничивается только появлением неопределяемой константы "", т.е. приводит к параметрически неполной теории. В этом смысле пятая аксиома обладает минимальным количеством содержательной информации.

Заметим, что мы не только вывели преобразования Лоренца, но также продемонстрировали, что

теория относительности непротиворечива, если непротиворечива классическая механика.

Это следует из того, что преобразования Лоренца и Галилея основаны на одинаковом подмножестве аксиом. Понимать логическую непротиворечивость теории очень важно, так как выводы, которые мы будем из неё получать, окажутся очень непривычными. Тем не менее, логических противоречий они содержать не могут, так как непротиворечивы исходные постулаты теории относительности.


Инерциальные системы отсчёта << Оглавление >> Принцип параметрической неполноты

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии