Представление стохастических решений

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Простые стохастические модели << Оглавление >> Автокорреляция и спектр

Мы записываем решения стохастических уравнений с начальным условием при помощи одной или нескольких случайных величин и гладкой функции времени: . Так как свойства обычно хорошо известны, такое представление позволяет легко находить разнообразные средние и марковскую плотность условной вероятности .

Сама по себе функция не позволяет нарисовать одиночную траекторию. Если мы сгенерим некоторое конкретное число , то не будет графиком случайного процесса. Это обычная гладкая функция. Например, для винеровского процесса без сноса:

Никаких изломов, типичных для случайного процесса, тут, конечно, нет. Дело в том, что для получения свойств в каждый момент времени необходимо генерить различные случайные числа .

Тем не менее, благодаря "марковости" процессов "начальные" условия могут быть значением случайной функции на любом этапе эволюции. В частности, мы можем записать следующую цепочку решений:

Path from f.png

где интервалы времени произвольны. Так как случайные переходы от одного момента времени к следующему не перекрываются, случайные числа , , ,.. являются статистически независимыми. Это позволяет вычислять средние, относящиеся к различным моментам времени, и строить выборочные траектории. При этом возникают последовательности вложенных функций, например:

В случае винеровского блуждания, выбирая равный интервал между последовательными моментами времени, мы получим:

Хотя выражение для похоже на итерационную схему, это, на самом деле, точное соотношение, и может быть сколь угодно большим.

Существуют и другие способы представления траектории случайного процесса. Рассмотрим для примера разложение Палея-Винера винеровского блуждания на интервале времени :

где — независимые нормально распределённые случайные величины. Это разложение имеет такие же статистические свойства, как и существенно более простая запись (). Чтобы в этом убедиться, вычислим среднее квадрата (простое среднее равно нулю ):

где мы воспользовались свойством независимости , если и . Равенство проверяется при помощи фурье — разложения функции на интервале ( H).

В результате получается такой же результат, как и для (). Плотности вероятности величин () и () совпадают, так как сумма гауссовых чисел ,,... — это опять гауссово число, дисперсия которого, как мы показали, равна .

Достоинством представления Палея-Винера является то, что с его помощью можно записывать непрерывную функцию одиночной траектории, на конечном интервале времени . Для этого, естественно, приходится обрезать суммирование на достаточно большом индексе . Затем генерятся независимые случайные числа ,...,, и фурье — разложение даёт изломанную кривую. На рисунках ниже приведено последовательное увеличение числа слагаемых в сумме: . При этом случайные числа , ,.. на каждом графике повторяются:

Paley.png

Видно, что степень изломанности траектории увеличивается, стремясь в пределе к недифференцируемой стохастической кривой.

Изучая стохастические дифференциальные уравнения, можно использовать различный "язык" и различные математические конструкции. Кратко перечислим основные подходы к представлению решений стохастических уравнений, их сильные и слабые стороны.

Плотность вероятности является базовым и наиболее общим языком описания случайных функций. Так как мы ограничились классом марковских процессов, знание вероятности перехода между двумя точками позволяет записать вероятность всей траектории. В результате можно вычислять разнообразные средние, и т.п. Чтобы найти , необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных, которое мы рассмотрим в четвёртой главе. Недостатком этого подхода является то, что получение конечного результата иногда требует более кропотливых вычислений, чем в рамках других методов. Примером тому служит описание процесса Орнштейна-Уленбека или процесса Феллера (стр. \pageref{feller_equation}).

Уравнения для средних мы рассмотрим в следующей главе. Если целью исследования является поиск различных средних значений стохастического процесса, то решение этих уравнений может оказаться самым прямым и простым способом. Дифференциальные уравнения для средних часто приводят к полезным соотношениям в асимптотическом пределе и удобны при построении приближённых методов. Кроме ограниченности получаемых результатов, недостаток подхода в том, что эти уравнения оказываются замкнутыми лишь для относительно узкого класса задач.

Сведение к известному процессу является очень распространённым подходом. Обычно при этом используется винеровский процесс с хорошо изученными и простыми свойствами. Например, логарифмическое блуждание явным образом демонстрирует деформацию винеровского процесса в процесс . Подобные решения ищутся при помощи леммы Ито и подходящей замены. Достоинством подхода является быстрота получения конечного результата (когда это возможно). Кроме этого, мы имеем простую запись для выборочных траекторий. Например, можно сгенерить конкретную траекторию и, подставив её в , получить выборочную траекторию процесса . Недостатком подхода является то, что для многих процессов найти простую функцию не очень просто. Так, уже для процесса Орнштейна-Уленбека в аргументе функции необходимо дополнительно деформировать время, а процесс Феллера вообще не имеет простого представления при помощи .

Стохастические интегралы — это наиболее популярный способ как строгого обоснования стохастических уравнений, так и записи их решения при помощи специфических обозначений. Стохастические интегралы являются достаточно нетривиальной математической конструкцией. Несмотря на то, что это очень красивая и мощная техника, иногда получаемые с её помощью результаты оказываются формальными, и воспользоваться ими для вычисления, например, средних или плотности вероятности не представляется возможным. Мы будем обсуждать стохастическое интегрирование в пятой главе.

Скалярные случайные величины широко используются в этой книге. Стохастичность функции можно придать при помощи обычной случайной величины , не являющейся процессом, и гладкой функции времени. Величина имеет определённое распределение. Чаще всего оно гауссово, однако в общем случае это не обязательно. Дальше мы увидим, что простую форму решению для некоторых процессов можно придать, только используя две или более случайные величины, имеющие совместную плотность вероятности. Запись решения в виде позволяет легко находить различные средние. Кроме этого, функция эквивалентна заданию в неявной форме марковской плотности вероятности . Действительно, при помощи среднего от произвольной функции можно сделать преобразование, например, от гауссовой переменной к (значения начальных условий , опущены):

где — распределение Гаусса. Проводя во втором интеграле обратную замену , мы переходим к первому интегралу, и, следовательно, плотность вероятности случайного процесса в момент времени равна:

где — обратная к функция, т.е. .

В заключение выскажем очевидную истину. Использование того или иного языка должно диктоваться в первую очередь соображением простоты. В зависимости от того, какие задачи решаются, более адекватным может оказаться любой из перечисленных выше подходов.


Простые стохастические модели << Оглавление >> Автокорреляция и спектр

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения