Потенциалы поля — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{| width="100%" | width="40%"|Законы сохранения << ! width="20%"|Оглавление ([http://synse…»)
 
 
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника)
Строка 7: Строка 7:
  
  
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Уравнения Максвелла состоят из двух пар уравнений. Одна пара (закон Гаусса для магнитного поля и закон Фарадея) не зависит от плотности заряда и тока. Поэтому возможно сразу построить решение этих уравнений. Начнём с закона Гаусса. Так как дивергенция ротора равна нулю, из равенства нулю дивергенции магнитного поля следует:
 +
 +
:<center><math>\nabla \mathbf{B} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;<=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A},</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \mathbf{A}</math> называется ''векторным потенциалом''. Заметим, что стрелка следования направлена в обе стороны. Следование справа налево проверяется просто (<math>\textstyle \nabla[\nabla\times\mathbf{A}]=[\nabla\times\nabla]\mathbf{A}</math>=0). Обратное следование требует, вообще говоря, убывания полей на бесконечности \cite{StepanovVec}.
 +
 +
Возьмём ещё одно уравнение Максвелла, в котором нет зарядов (закон электромагнитной индукции Фарадея). При помощи векторного потенциала его можно переписать в следующем виде:
 +
 +
:<center><math>\nabla\times \mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \;=\; \nabla\times \Bigl(\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\Bigr) = 0.</math></center>
 +
 +
Аналогично дивергенции, если ротор некоторого векторного поля равен нулю, то это поле выражается через градиент скалярной функции. В одну сторону это утверждение доказывается элементарно. Можно показать, что оно справедливо и в обратную сторону \cite{StepanovVec}. Таким образом, ''решение'' двух уравнений Максвелла для дивергенции магнитного поля и ротора электрического поля выражается через четыре функции: скалярный потенциал <math>\textstyle \mathbf{\varphi}</math> и три компоненты векторного потенциала <math>\textstyle \mathbf{A}</math>:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{E}=-\nabla\varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Решения для электрического и магнитного поля, выраженные через скалярный и векторный потенциалы, можно подставить в оставшуюся пару уравнений <math>\textstyle \nabla\mathbf{E}=4\pi\rho</math> и <math>\textstyle \nabla\times\mathbf{B}=4\pi\mathbf{j}+\partial\mathbf{E}/\partial t</math>:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \partial^2\,\varphi - \frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\frac{\partial\varphi}{\partial t} + \nabla\mathbf{A}\Bigl) = 4\pi\rho,\;\;\;\;\;\; \partial^2\,\mathbf{A} + \nabla \Bigl(\frac{\partial\varphi}{\partial t} + \nabla\mathbf{A}\Bigl) = 4\pi\mathbf{j}, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
где <math>\textstyle \partial^2</math> &mdash; дифференциальный оператор Д'Аламбера:
 +
 +
:<center><math>\partial^2 = \frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta,</math></center>
 +
 +
а <math>\textstyle \Delta=\nabla^2</math> - как обычно, оператор Лапласа. Уравнения () вместе с определениями () эквивалентны исходным уравнениям Максвелла.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Введенные выше потенциалы определены неоднозначно. Точнее, если провести следующие замены:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{A}\mapsto \mathbf{A}+\nabla f,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varphi\mapsto \varphi - \frac{\partial f}{\partial t},</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle f</math> - произвольная функция координат и времени, то значения электрического и магнитного полей () не изменятся. Проверим это для напряжённости электрического поля:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{E} =-\nabla\varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \;\;\;\mapsto \;\;\; -\nabla\left(\varphi - \frac{\partial f}{\partial t}\right)- \frac{\partial }{\partial t}\left(\mathbf{A} + \frac{\nabla f}{\partial t} \right) = \mathbf{E},</math></center>
 +
 +
где учтено, что частные производные по времени и координатам (<math>\textstyle \nabla</math>) могут быть переставлены местами. Подобная неоднозначность позволяет наложить на потенциалы дополнительное условие:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \frac{\partial\varphi}{\partial t} + \nabla\mathbf{A} = 0, </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
которое называется ''калибровкой Лоренца''. Разберёмся, почему это можно сделать. Предположим, что данному электрическому и магнитному полю соответствуют потенциалы, которые не удовлетворяют этому условию. Точнее, в правой части калибровочного условия оказывается не ноль, а некоторая функция <math>\textstyle g=g(\mathbf{r}, t)</math>. Тогда, проведя замены потенциалов, при помощи функции <math>\textstyle f</math>, которая удовлетворяет уравнению <math>\textstyle \partial^2 f = g</math>, можно добиться равенства нулю калибровочного условия Лоренца:
 +
 +
:<center><math>\frac{\partial}{\partial t}\left(\varphi- \frac{\partial f}{\partial t}\right) + \nabla(\mathbf{A}+\nabla f) = \frac{\partial\varphi}{\partial t} + \nabla\mathbf{A} - \partial^2 f = g - \partial^2 f = 0.</math></center>
 +
 +
Итак, без нарушения общности можно считать, что выполняется (). В этом случае уравнения для потенциалов принимают простой вид:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \partial^2\,\varphi = 4\pi\rho,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\partial^2\,\mathbf{A} = 4\pi\mathbf{j}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
В отсутствие зарядов (<math>\textstyle \rho=0</math>, <math>\textstyle \mathbf{j}=0</math>) эти уравнения становятся волновыми уравнениями для скалярной <math>\textstyle \varphi</math> и векторной <math>\textstyle \mathbf{A}</math> функций.
 +
 +
Если ввести 4-векторы потенциала <math>\textstyle A^\alpha=\{\varphi,\;\mathbf{A}\}</math> и тока <math>\textstyle j^\alpha=\{\rho,\;\mathbf{j}\}</math>, то эти два уравнения можно записать, как одно:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \partial^2\, A^\alpha = 4\pi j^\alpha. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Естественно, уравнений на самом деле 4, так как их необходимо расписывать отдельно для каждой компоненты <math>\textstyle \nu=0,1,2,3</math>.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Выясним, как преобразуются потенциалы поля при смене инерциальной системы отсчёта. Для этого нам потребуется закон преобразования для производных. Рассмотрим функцию <math>\textstyle f=f(t,\mathbf{r})</math> координат и времени некоторого события, наблюдаемого из системы <math>\textstyle S</math>. В силу преобразований Лоренца она также зависит от координат и времени этого же события в системе <math>\textstyle S'</math>. Поэтому <math>\textstyle f=f\bigl(t(t',\mathbf{r}'),\mathbf{r}(t',\mathbf{r}')\bigr)</math>. Возьмём производные, как производные сложной функции (<math>\textstyle \mathbf{r}=\{x,y,z\}=\{x_1,x_2,x_3\}</math>):
 +
 +
:<center><math>\frac{\partial f}{\partial t'} = \frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial t'}+\frac{\partial f}{\partial x_j} \frac{\partial x_j}{\partial t'}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial x'_i} = \frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial x'_i}+\frac{\partial f}{\partial x_j} \frac{\partial x_j}{\partial x'_i}.</math></center>
 +
 +
По индексу <math>\textstyle j</math> компонент радиус-вектора <math>\textstyle x_j</math> подразумевается суммирование от 1 до 3. Записав обратное преобразование Лоренца (см. (), стр. \pageref{elect_lorenz_vec0}, с <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto-\mathbf{v}</math>):
 +
 +
:<center><math>t=\gamma\, (t'+{\mathbf v}{\mathbf r}'),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf r} = {\mathbf r}' + \gamma{\mathbf v} t' + \Gamma\,{\mathbf v} ({\mathbf v}{\mathbf r}'),</math></center>
 +
 +
несложно найти соответствующие производные:
 +
 +
:<center><math>\frac{\partial t}{\partial t'}=\gamma,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\partial x_i}{\partial t'}=\frac{\partial t}{\partial x'_i}=\gamma v_i,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial x_j}{\partial x'_i}=\delta_{ij}+\Gamma\,v_i v_j,</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \delta_{ij}</math> &mdash; символ Кронекера. Обозначим производную по времени, как <math>\textstyle \partial_0=\partial/\partial t</math>, а для производной по координатам в векторном виде будем использовать знак наблы <math>\textstyle \nabla_i=\partial/\partial x_i</math>. Опуская функцию <math>\textstyle f</math>, запишем преобразование производных в операторном виде:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \partial'_0 = \gamma\, (\partial_0 + \mathbf{v}\mathbf{\nabla}),\;\;\;\;\;\; \nabla' = \nabla + \gamma{\mathbf v}\, \partial_0 + \Gamma\,{\mathbf v} ({\mathbf v}\nabla). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Обратим внимание, что, в отличие от прямых преобразований Лоренца, эти преобразования выглядят, как обратные, хотя в правой части стоят штрихованные величины, а в левой не &mdash; штрихованные. Как мы видели во второй главе, такое преобразование характерно для 4-ковекторов. Поэтому оператор производной является ковектором:
 +
 +
:<center><math>\partial_\alpha = \frac{\partial}{\partial x^\alpha} = \left\{\frac{\partial}{\partial t},\;\nabla \right\},</math></center>
 +
 +
где в ковариантных обозначениях компоненты 4-вектора события обозначены, как <math>\textstyle x^\alpha=\{t,\mathbf{r}\}</math>. Напомним, что у 4-вектора индекс находится всегда вверху, а у 4-ковектора &mdash; внизу. Для запоминания можно считать, что при взятии производной <math>\textstyle \partial/\partial x^\alpha</math> индекс <math>\textstyle \alpha</math> лишь "перебирается" через знак дроби, оставаясь внизу так, что получившийся оператор является 4-ковектором <math>\textstyle \partial_\alpha</math> с индексом внизу.
 +
 +
Замечательным свойством потенциалов является то, что они преобразуются, как компоненты 4-вектора <math>\textstyle A^\nu=\{\varphi,\;\mathbf{A}\}</math>:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \varphi' = \gamma \,(\varphi - \mathbf{v}\mathbf{A}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf A}' = {\mathbf A} - \gamma{\mathbf v}\, \varphi + \Gamma\,{\mathbf v}({\mathbf v}{\mathbf A}). </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Используя преобразования для полей (),(), стр.\pageref{H_to_Hp}, это несложно проверить. Так, например, перемножая векторно () и (), имеем:
 +
 +
:<center><math>\mathbf{B}'=\nabla'\times\mathbf{A}'= \nabla\times{\mathbf A} + \gamma{\mathbf v}\times (\nabla\phi +\partial_0{\mathbf A}) +\Gamma\,\{ ({\mathbf v}\nabla){\mathbf v}\times{\mathbf A}-{\mathbf v}\times\nabla({\mathbf v}{\mathbf A})\}.</math></center>
 +
 +
Учитывая тождество: <math>\textstyle \mathbf{v}\times[\mathbf{v}\times[\nabla\times\mathbf{A}]]=[\mathbf{v}\times\nabla](\mathbf{v}\mathbf{A})-(\mathbf{v}\nabla)[\mathbf{v}\times\mathbf{A}], </math> получаемое раскрытием двойного векторного произведения <math>\textstyle \mathbf{v}\times[\nabla\times\mathbf{A}]</math>, и связь электрического и магнитного поля с потенциалами, приходим к преобразованию для магнитного поля ():
 +
 +
:<center><math>\mathbf{B}'={\mathbf B} - \gamma{\mathbf v}\times{\mathbf E}-\Gamma\, [\mathbf{v}\times[\mathbf{v}\times\mathbf{B}]] = \gamma\,(\mathbf{B}-\mathbf{v}\times\mathbf{E})-\Gamma\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{B}).</math></center>
 +
 +
Аналогичные, чуть более громоздкие выкладки с учётом <math>\textstyle \gamma^2-\gamma\Gamma=\Gamma</math> приводят к преобразованиям для электрического поля ().
 +
 +
В качестве упражнения стоит проверить, что калибровка Лоренца () имеет одинаковый вид во всех системах отсчёта. В ковариантных обозначениях уравнение калибровки является свёрткой 4-вектора <math>\textstyle A^\alpha</math> и 4-ковектора <math>\textstyle \partial_\alpha</math>:
 +
 +
:<center><math>\partial_\alpha A^\alpha = \partial_0 A^0+\partial_i A^i = \frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\mathbf{A} = 0,</math></center>
 +
 +
где повторяющиеся греческие индексы суммируются от 0 до 3, а латинские от 1 до 3. Аналогично оператор Д'Аламбера имеет одинаковый вид для всех наблюдателей, так как в ковариантных обозначениях он равен:
 +
 +
:<center><math>\partial^2 = \partial_\alpha\partial^\alpha = g^{\alpha\beta} \partial_\alpha\partial_\beta = \partial^2_0 -\partial_i\partial_i = \frac{\partial^2 }{\partial t^2} - \Delta.</math></center>
 +
 +
Поэтому уравнения () выглядят одинаково для всех наблюдателей, если величина <math>\textstyle j^\alpha=(\rho,\mathbf{j})</math> является 4-вектором. Покажем это, записав 4-ток следующим образом:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> j^\alpha = \rho\,\frac{dx^\alpha}{dt} = \underbrace{\rho\,d^3\mathbf{x}}_{Q}\, \frac{dx^\alpha}{d^4x}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
При <math>\textstyle \alpha=0</math> получаем <math>\textstyle j^0=\rho</math>, иначе <math>\textstyle j^i=\mathbf{j}=\rho\mathbf{u}</math>. Смещение в 4-пространстве <math>\textstyle dx^\alpha</math> &mdash; это 4-вектор. Объём 4-пространства <math>\textstyle d^4x=dt\,d^3\mathbf{x}</math> является инвариантом, что проверяется нахождением якобиана от преобразований Лоренца (<math>\textstyle \lessdot</math> H). Наконец, <math>\textstyle \rho\,d^3\mathbf{x}</math> &mdash; это заряд в элементарном объёме, который инвариантен в силу принятых постулатов. В результате 4-ток оказывается 4-вектором.
 +
 +
<math>\textstyle \bullet</math> Найдём теперь общее решение уравнений () в случае, когда функции плотности заряда <math>\textstyle \rho(\mathbf{x}, t)</math> и плотности тока <math>\textstyle \mathbf{j}(\mathbf{x},t)</math> заданы. Скалярный потенциал в калибровке Лоренца удовлетворяет уравнению Д'Аламбера:
 +
 +
:<center><math>\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - \Delta \varphi = 4\pi \rho,</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \rho=\rho(\mathbf{x},t)</math> &mdash; некоторая заданная функция, а <math>\textstyle \varphi=\varphi(\mathbf{x}, t)</math> &mdash; неизвестная функция, которую необходимо найти.
 +
 +
С математической точки зрения это линейное неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка. Линейность означает, что если нам известны два его решения <math>\textstyle \varphi_1</math> и <math>\textstyle \varphi_2</math>, то, как легко видеть, их линейная комбинация <math>\textstyle C_1\varphi_1+C_2\varphi_2</math>, где <math>\textstyle C_i</math> &mdash; произвольные константы, также будет решением. Однородным это уравнение станет, когда <math>\textstyle \rho=0</math>, и тогда его называют ''волновым уравнением''.
 +
 +
Для решения уравнения необходимо задать начальные условия. Так как в нём есть производная по времени второго порядка, потребуется две функции координат: собственно <math>\textstyle \varphi(\mathbf{x}, 0)</math> и значение её производной по времени <math>\textstyle \partial\varphi(\mathbf{x}, 0)/\partial t</math> в начальный момент <math>\textstyle t=0</math>. Общее решение уравнения Д'Аламбера может быть записано следующим образом:
 +
 +
:<center><math>\varphi = \varphi_0(\mathbf{x},t) +\varphi_1(\mathbf{x},t),</math></center>
 +
 +
где <math>\textstyle \varphi_0(\mathbf{x}, t)</math> &mdash; ''общее решение'' однородного уравнения (<math>\textstyle \rho=0</math>), а <math>\textstyle \varphi_1(\mathbf{x}, t)</math> &mdash; любое ''частное решение'' неоднородного уравнения (<math>\textstyle \rho\neq 0</math>). Общее решение однородного уравнения обеспечит выполнение произвольных начальных условий, а частное решение &mdash; собственно выполнение самого уравнения.
 +
 +
Попробуем угадать вид частного решения, а затем проверим его подстановкой в уравнение. Если бы производной по времени не было, вместо уравнения Д'Аламбера получилось бы уравнение Пуассона:
 +
 +
:<center><math>\Delta \varphi = - 4\pi \rho.</math></center>
 +
 +
Его решение мы уже записывали в электростатике, как сумму (интеграл) по элементарным зарядам, создающим кулоновский потенциал:
 +
<center>[[File:puasson_sol.png]]</center>
 +
где <math>\textstyle d^3\mathbf{r}=dV</math> &mdash; элементарный объём, соответствующий переменной интегрирования <math>\textstyle \mathbf{r}</math>. Интегрирование ведётся по всему пространству.
 +
 +
Если задача нестационарна и заряды движутся, то их плотность в данном элементарном объёме всё время изменяется. Однако информация об этом изменении достигает точки наблюдения поля только через время, равное расстоянию <math>\textstyle |\mathbf{x}-\mathbf{r}|</math> (единичная скорость распространения). Поэтому предположим, что пуасссоновский интеграл остаётся в силе, однако плотность заряда в нём необходимо брать с учётом запаздывания в предшествующий момент времени <math>\textstyle t-|\mathbf{x}-\mathbf{r}|</math>:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \varphi(\mathbf{x},t) = \varphi_0(\mathbf{x},t)+\int\frac{\rho(\mathbf{r}, \;t-|\mathbf{x}-\mathbf{r}|)}{|\mathbf{x}-\mathbf{r}|} \,d^3\mathbf{r}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Это предположение оказывается верным. Убедимся в этом прямыми вычислениями. Обозначим расстояние (=время) запаздывания через <math>\textstyle R=|\mathbf{x}-\mathbf{r}|</math>. Соответственно, <math>\textstyle \mathbf{R}=\mathbf{x}-\mathbf{r}</math>. Возьмём лапласиан от подынтегрального выражения по переменной <math>\textstyle \mathbf{x}</math> (или эквивалентно по <math>\textstyle \mathbf{R}</math>) как вторую производную произведения функций:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \nabla\nabla\left(\frac{\rho}{R}\right)=\nabla\left(\frac{\nabla\rho}{R}+\rho\nabla\frac{1}{R}\right)= \frac{\Delta\rho}{R}-2(\nabla\rho)\,\frac{\mathbf{R}}{R^3} + \rho\Delta\frac{1}{R}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Во втором слагаемом последнего равенства учтено значение градиента <math>\textstyle \nabla(1/R)=-\mathbf{R}/R^3</math>. Градиент и лапласиан от плотности равны:
 +
 +
:<center><math>\nabla\rho = -\frac{\partial \rho}{\partial t}\,\frac{\partial R}{\partial \mathbf{x}} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}\, \frac{\mathbf{R}}{R},\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Delta\rho = \frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}\left(\frac{\mathbf{R}}{R}\right)^2-\frac{\partial \rho}{\partial t}\, \nabla\frac{\mathbf{R}}{R} =\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}-\frac{\partial \rho}{\partial t}\,\frac{2}{R}.</math></center>
 +
 +
Подставляя всё это в (), получаем, что все слагаемые, кроме <math>\textstyle \rho\,\Delta (1/R)</math>, сокращаются. Для лапласиана от <math>\textstyle 1/R</math> справедливо соотношение:
 +
 +
:<center><math>\Delta \frac{1}{R} = - 4\pi \delta(\mathbf{R}).</math></center>
 +
 +
Оно следует из закона Гаусса для точечного заряда <math>\textstyle \nabla\mathbf{E}=4\pi\delta(\mathbf{R})</math> и связи <math>\textstyle \mathbf{E}=-\nabla \varphi</math>. Поэтому окончательно получаем:
 +
 +
:<center><math>\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - \Delta \varphi = 4\pi\int\rho(\mathbf{r}, \;t-|\mathbf{x}-\mathbf{r}|)\,\delta(\mathbf{x}-\mathbf{r}) \,d^3\mathbf{r} = 4\pi\rho(\mathbf{x}, \;t).</math></center>
 +
 +
При интегрировании с дельта-функцией интеграл опускается, а переменная интегрирования становится равной <math>\textstyle \mathbf{r}=\mathbf{x}</math>.
 +
 +
Естественно, абсолютно такое же решение можно записать для каждой компоненты векторного потенциала:
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="90%" align="center"|<math> \mathbf{A}(\mathbf{x},t) = \mathbf{A}_0(\mathbf{x},t)+\int\frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}, \;t-|\mathbf{x}-\mathbf{r}|)}{|\mathbf{x}-\mathbf{r}|} \,d^3\mathbf{r}. </math>
 +
| <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 +
|}
 +
 +
Значения потенциалов с индексом "0" по определению удовлетворяют однородным (волновым) уравнениям. Они описывают общие решения в отсутствие зарядов.
  
 
----
 
----

Текущая версия на 18:54, 2 июля 2013

Законы сохранения << Оглавление (Глава 5) >> Дипольное излучение


Уравнения Максвелла состоят из двух пар уравнений. Одна пара (закон Гаусса для магнитного поля и закон Фарадея) не зависит от плотности заряда и тока. Поэтому возможно сразу построить решение этих уравнений. Начнём с закона Гаусса. Так как дивергенция ротора равна нулю, из равенства нулю дивергенции магнитного поля следует:

где называется векторным потенциалом. Заметим, что стрелка следования направлена в обе стороны. Следование справа налево проверяется просто (=0). Обратное следование требует, вообще говоря, убывания полей на бесконечности \cite{StepanovVec}.

Возьмём ещё одно уравнение Максвелла, в котором нет зарядов (закон электромагнитной индукции Фарадея). При помощи векторного потенциала его можно переписать в следующем виде:

Аналогично дивергенции, если ротор некоторого векторного поля равен нулю, то это поле выражается через градиент скалярной функции. В одну сторону это утверждение доказывается элементарно. Можно показать, что оно справедливо и в обратную сторону \cite{StepanovVec}. Таким образом, решение двух уравнений Максвелла для дивергенции магнитного поля и ротора электрического поля выражается через четыре функции: скалярный потенциал и три компоненты векторного потенциала :

(EQN)

Решения для электрического и магнитного поля, выраженные через скалярный и векторный потенциалы, можно подставить в оставшуюся пару уравнений и :

(EQN)

где — дифференциальный оператор Д'Аламбера:

а - как обычно, оператор Лапласа. Уравнения () вместе с определениями () эквивалентны исходным уравнениям Максвелла.

Введенные выше потенциалы определены неоднозначно. Точнее, если провести следующие замены:

где - произвольная функция координат и времени, то значения электрического и магнитного полей () не изменятся. Проверим это для напряжённости электрического поля:

где учтено, что частные производные по времени и координатам () могут быть переставлены местами. Подобная неоднозначность позволяет наложить на потенциалы дополнительное условие:

(EQN)

которое называется калибровкой Лоренца. Разберёмся, почему это можно сделать. Предположим, что данному электрическому и магнитному полю соответствуют потенциалы, которые не удовлетворяют этому условию. Точнее, в правой части калибровочного условия оказывается не ноль, а некоторая функция . Тогда, проведя замены потенциалов, при помощи функции , которая удовлетворяет уравнению , можно добиться равенства нулю калибровочного условия Лоренца:

Итак, без нарушения общности можно считать, что выполняется (). В этом случае уравнения для потенциалов принимают простой вид:

(EQN)

В отсутствие зарядов (, ) эти уравнения становятся волновыми уравнениями для скалярной и векторной функций.

Если ввести 4-векторы потенциала и тока , то эти два уравнения можно записать, как одно:

(EQN)

Естественно, уравнений на самом деле 4, так как их необходимо расписывать отдельно для каждой компоненты .

Выясним, как преобразуются потенциалы поля при смене инерциальной системы отсчёта. Для этого нам потребуется закон преобразования для производных. Рассмотрим функцию координат и времени некоторого события, наблюдаемого из системы . В силу преобразований Лоренца она также зависит от координат и времени этого же события в системе . Поэтому . Возьмём производные, как производные сложной функции ():

По индексу компонент радиус-вектора подразумевается суммирование от 1 до 3. Записав обратное преобразование Лоренца (см. (), стр. \pageref{elect_lorenz_vec0}, с ):

несложно найти соответствующие производные:

где — символ Кронекера. Обозначим производную по времени, как , а для производной по координатам в векторном виде будем использовать знак наблы . Опуская функцию , запишем преобразование производных в операторном виде:

(EQN)

Обратим внимание, что, в отличие от прямых преобразований Лоренца, эти преобразования выглядят, как обратные, хотя в правой части стоят штрихованные величины, а в левой не — штрихованные. Как мы видели во второй главе, такое преобразование характерно для 4-ковекторов. Поэтому оператор производной является ковектором:

где в ковариантных обозначениях компоненты 4-вектора события обозначены, как . Напомним, что у 4-вектора индекс находится всегда вверху, а у 4-ковектора — внизу. Для запоминания можно считать, что при взятии производной индекс лишь "перебирается" через знак дроби, оставаясь внизу так, что получившийся оператор является 4-ковектором с индексом внизу.

Замечательным свойством потенциалов является то, что они преобразуются, как компоненты 4-вектора :

(EQN)

Используя преобразования для полей (),(), стр.\pageref{H_to_Hp}, это несложно проверить. Так, например, перемножая векторно () и (), имеем:

Учитывая тождество: получаемое раскрытием двойного векторного произведения , и связь электрического и магнитного поля с потенциалами, приходим к преобразованию для магнитного поля ():

Аналогичные, чуть более громоздкие выкладки с учётом приводят к преобразованиям для электрического поля ().

В качестве упражнения стоит проверить, что калибровка Лоренца () имеет одинаковый вид во всех системах отсчёта. В ковариантных обозначениях уравнение калибровки является свёрткой 4-вектора и 4-ковектора :

где повторяющиеся греческие индексы суммируются от 0 до 3, а латинские от 1 до 3. Аналогично оператор Д'Аламбера имеет одинаковый вид для всех наблюдателей, так как в ковариантных обозначениях он равен:

Поэтому уравнения () выглядят одинаково для всех наблюдателей, если величина является 4-вектором. Покажем это, записав 4-ток следующим образом:

(EQN)

При получаем , иначе . Смещение в 4-пространстве — это 4-вектор. Объём 4-пространства является инвариантом, что проверяется нахождением якобиана от преобразований Лоренца ( H). Наконец, — это заряд в элементарном объёме, который инвариантен в силу принятых постулатов. В результате 4-ток оказывается 4-вектором.

Найдём теперь общее решение уравнений () в случае, когда функции плотности заряда и плотности тока заданы. Скалярный потенциал в калибровке Лоренца удовлетворяет уравнению Д'Аламбера:

где — некоторая заданная функция, а — неизвестная функция, которую необходимо найти.

С математической точки зрения это линейное неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка. Линейность означает, что если нам известны два его решения и , то, как легко видеть, их линейная комбинация , где — произвольные константы, также будет решением. Однородным это уравнение станет, когда , и тогда его называют волновым уравнением.

Для решения уравнения необходимо задать начальные условия. Так как в нём есть производная по времени второго порядка, потребуется две функции координат: собственно и значение её производной по времени в начальный момент . Общее решение уравнения Д'Аламбера может быть записано следующим образом:

где общее решение однородного уравнения (), а — любое частное решение неоднородного уравнения (). Общее решение однородного уравнения обеспечит выполнение произвольных начальных условий, а частное решение — собственно выполнение самого уравнения.

Попробуем угадать вид частного решения, а затем проверим его подстановкой в уравнение. Если бы производной по времени не было, вместо уравнения Д'Аламбера получилось бы уравнение Пуассона:

Его решение мы уже записывали в электростатике, как сумму (интеграл) по элементарным зарядам, создающим кулоновский потенциал:

Puasson sol.png

где — элементарный объём, соответствующий переменной интегрирования . Интегрирование ведётся по всему пространству.

Если задача нестационарна и заряды движутся, то их плотность в данном элементарном объёме всё время изменяется. Однако информация об этом изменении достигает точки наблюдения поля только через время, равное расстоянию (единичная скорость распространения). Поэтому предположим, что пуасссоновский интеграл остаётся в силе, однако плотность заряда в нём необходимо брать с учётом запаздывания в предшествующий момент времени :

(EQN)

Это предположение оказывается верным. Убедимся в этом прямыми вычислениями. Обозначим расстояние (=время) запаздывания через . Соответственно, . Возьмём лапласиан от подынтегрального выражения по переменной (или эквивалентно по ) как вторую производную произведения функций:

(EQN)

Во втором слагаемом последнего равенства учтено значение градиента . Градиент и лапласиан от плотности равны:

Подставляя всё это в (), получаем, что все слагаемые, кроме , сокращаются. Для лапласиана от справедливо соотношение:

Оно следует из закона Гаусса для точечного заряда и связи . Поэтому окончательно получаем:

При интегрировании с дельта-функцией интеграл опускается, а переменная интегрирования становится равной .

Естественно, абсолютно такое же решение можно записать для каждой компоненты векторного потенциала:

(EQN)

Значения потенциалов с индексом "0" по определению удовлетворяют однородным (волновым) уравнениям. Они описывают общие решения в отсутствие зарядов.


Законы сохранения << Оглавление (Глава 5) >> Дипольное излучение

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии