Потенциалы поля — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
м (Защищена страница «Потенциалы поля» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
(нет различий)

Версия 18:26, 8 июня 2011

Законы сохранения << Оглавление (Глава 5) >> Дипольное излучение


Уравнения Максвелла состоят из двух пар уравнений. Одна пара (закон Гаусса для магнитного поля и закон Фарадея) не зависит от плотности заряда и тока. Поэтому возможно сразу построить решение этих уравнений. Начнём с закона Гаусса. Так как дивергенция ротора равна нулю, из равенства нулю дивергенции магнитного поля следует:

где называется векторным потенциалом. Заметим, что стрелка следования направлена в обе стороны. Следование справа налево проверяется просто (=0). Обратное следование требует, вообще говоря, убывания полей на бесконечности \cite{StepanovVec}.

Возьмём ещё одно уравнение Максвелла, в котором нет зарядов (закон электромагнитной индукции Фарадея). При помощи векторного потенциала его можно переписать в следующем виде:

Аналогично дивергенции, если ротор некоторого векторного поля равен нулю, то это поле выражается через градиент скалярной функции. В одну сторону это утверждение доказывается элементарно. Можно показать, что оно справедливо и в обратную сторону \cite{StepanovVec}. Таким образом, решение двух уравнений Максвелла для дивергенции магнитного поля и ротора электрического поля выражается через четыре функции: скалярный потенциал и три компоненты векторного потенциала :

(EQN)

Решения для электрического и магнитного поля, выраженные через скалярный и векторный потенциалы, можно подставить в оставшуюся пару уравнений и :

(EQN)

где — дифференциальный оператор Д'Аламбера:

а - как обычно, оператор Лапласа. Уравнения () вместе с определениями () эквивалентны исходным уравнениям Максвелла.

Введенные выше потенциалы определены неоднозначно. Точнее, если провести следующие замены:

где - произвольная функция координат и времени, то значения электрического и магнитного полей () не изменятся. Проверим это для напряжённости электрического поля:

где учтено, что частные производные по времени и координатам () могут быть переставлены местами. Подобная неоднозначность позволяет наложить на потенциалы дополнительное условие:

(EQN)

которое называется калибровкой Лоренца. Разберёмся, почему это можно сделать. Предположим, что данному электрическому и магнитному полю соответствуют потенциалы, которые не удовлетворяют этому условию. Точнее, в правой части калибровочного условия оказывается не ноль, а некоторая функция . Тогда, проведя замены потенциалов, при помощи функции , которая удовлетворяет уравнению , можно добиться равенства нулю калибровочного условия Лоренца:

Итак, без нарушения общности можно считать, что выполняется (). В этом случае уравнения для потенциалов принимают простой вид:

(EQN)

В отсутствие зарядов (, ) эти уравнения становятся волновыми уравнениями для скалярной и векторной функций.

Если ввести 4-векторы потенциала и тока , то эти два уравнения можно записать, как одно:

(EQN)

Естественно, уравнений на самом деле 4, так как их необходимо расписывать отдельно для каждой компоненты .

Выясним, как преобразуются потенциалы поля при смене инерциальной системы отсчёта. Для этого нам потребуется закон преобразования для производных. Рассмотрим функцию координат и времени некоторого события, наблюдаемого из системы . В силу преобразований Лоренца она также зависит от координат и времени этого же события в системе . Поэтому . Возьмём производные, как производные сложной функции ():

По индексу компонент радиус-вектора подразумевается суммирование от 1 до 3. Записав обратное преобразование Лоренца (см. (), стр. \pageref{elect_lorenz_vec0}, с ):

несложно найти соответствующие производные:

где — символ Кронекера. Обозначим производную по времени, как , а для производной по координатам в векторном виде будем использовать знак наблы . Опуская функцию , запишем преобразование производных в операторном виде:

(EQN)

Обратим внимание, что, в отличие от прямых преобразований Лоренца, эти преобразования выглядят, как обратные, хотя в правой части стоят штрихованные величины, а в левой не — штрихованные. Как мы видели во второй главе, такое преобразование характерно для 4-ковекторов. Поэтому оператор производной является ковектором:

где в ковариантных обозначениях компоненты 4-вектора события обозначены, как . Напомним, что у 4-вектора индекс находится всегда вверху, а у 4-ковектора — внизу. Для запоминания можно считать, что при взятии производной индекс лишь "перебирается" через знак дроби, оставаясь внизу так, что получившийся оператор является 4-ковектором с индексом внизу.

Замечательным свойством потенциалов является то, что они преобразуются, как компоненты 4-вектора :

(EQN)

Используя преобразования для полей (),(), стр.\pageref{H_to_Hp}, это несложно проверить. Так, например, перемножая векторно () и (), имеем:

Учитывая тождество: получаемое раскрытием двойного векторного произведения , и связь электрического и магнитного поля с потенциалами, приходим к преобразованию для магнитного поля ():

Аналогичные, чуть более громоздкие выкладки с учётом приводят к преобразованиям для электрического поля ().

В качестве упражнения стоит проверить, что калибровка Лоренца () имеет одинаковый вид во всех системах отсчёта. В ковариантных обозначениях уравнение калибровки является свёрткой 4-вектора и 4-ковектора :

где повторяющиеся греческие индексы суммируются от 0 до 3, а латинские от 1 до 3. Аналогично оператор Д'Аламбера имеет одинаковый вид для всех наблюдателей, так как в ковариантных обозначениях он равен:

Поэтому уравнения () выглядят одинаково для всех наблюдателей, если величина является 4-вектором. Покажем это, записав 4-ток следующим образом:

(EQN)

При получаем , иначе . Смещение в 4-пространстве — это 4-вектор. Объём 4-пространства является инвариантом, что проверяется нахождением якобиана от преобразований Лоренца ( H). Наконец, — это заряд в элементарном объёме, который инвариантен в силу принятых постулатов. В результате 4-ток оказывается 4-вектором.

Найдём теперь общее решение уравнений () в случае, когда функции плотности заряда и плотности тока заданы. Скалярный потенциал в калибровке Лоренца удовлетворяет уравнению Д'Аламбера:

где — некоторая заданная функция, а — неизвестная функция, которую необходимо найти.

С математической точки зрения это линейное неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка. Линейность означает, что если нам известны два его решения и , то, как легко видеть, их линейная комбинация , где — произвольные константы, также будет решением. Однородным это уравнение станет, когда , и тогда его называют волновым уравнением.

Для решения уравнения необходимо задать начальные условия. Так как в нём есть производная по времени второго порядка, потребуется две функции координат: собственно и значение её производной по времени в начальный момент . Общее решение уравнения Д'Аламбера может быть записано следующим образом:

где общее решение однородного уравнения (), а — любое частное решение неоднородного уравнения (). Общее решение однородного уравнения обеспечит выполнение произвольных начальных условий, а частное решение — собственно выполнение самого уравнения.

Попробуем угадать вид частного решения, а затем проверим его подстановкой в уравнение. Если бы производной по времени не было, вместо уравнения Д'Аламбера получилось бы уравнение Пуассона:

Его решение мы уже записывали в электростатике, как сумму (интеграл) по элементарным зарядам, создающим кулоновский потенциал: \begin{flushleft} \parbox{9cm}{

} \parbox{6cm}{

Puasson sol.png

} \end{flushleft} где — элементарный объём, соответствующий переменной интегрирования . Интегрирование ведётся по всему пространству.

Если задача нестационарна и заряды движутся, то их плотность в данном элементарном объёме всё время изменяется. Однако информация об этом изменении достигает точки наблюдения поля только через время, равное расстоянию (единичная скорость распространения). Поэтому предположим, что пуасссоновский интеграл остаётся в силе, однако плотность заряда в нём необходимо брать с учётом запаздывания в предшествующий момент времени :

(EQN)

Это предположение оказывается верным. Убедимся в этом прямыми вычислениями. Обозначим расстояние (=время) запаздывания через . Соответственно, . Возьмём лапласиан от подынтегрального выражения по переменной (или эквивалентно по ) как вторую производную произведения функций:

(EQN)

Во втором слагаемом последнего равенства учтено значение градиента . Градиент и лапласиан от плотности равны:

Подставляя всё это в (), получаем, что все слагаемые, кроме , сокращаются. Для лапласиана от справедливо соотношение:

Оно следует из закона Гаусса для точечного заряда и связи . Поэтому окончательно получаем:

При интегрировании с дельта-функцией интеграл опускается, а переменная интегрирования становится равной .

Естественно, абсолютно такое же решение можно записать для каждой компоненты векторного потенциала:

(EQN)

Значения потенциалов с индексом "0" по определению удовлетворяют однородным (волновым) уравнениям. Они описывают общие решения в отсутствие зарядов.


Законы сохранения << Оглавление (Глава 5) >> Дипольное излучение

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии