Портфель на всю жизнь — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 39: Строка 39:
 
:<center><math>d \ln \Pi = \left[f(t) - \frac{1}{2}s^2(t) \right]\,dt + s(t)\,\delta W.</math></center>
 
:<center><math>d \ln \Pi = \left[f(t) - \frac{1}{2}s^2(t) \right]\,dt + s(t)\,\delta W.</math></center>
  
Откуда, воспользовавшись (2.18), [[Точные решения]], получаем точное решение:
+
Откуда, воспользовавшись (2.18), [[Точные решения уравнения Ито]], получаем точное решение:
  
 
:<center><math>\ln \frac{\Pi(t)}{\Pi_0} = \int\limits^t_0 \left[f(\tau) - \frac{1}{2}s^2(\tau) \right]\,d\tau + \left[\int\limits^t_0 s^2(\tau)d\tau\right]^{1/2}\cdot \varepsilon,</math></center>
 
:<center><math>\ln \frac{\Pi(t)}{\Pi_0} = \int\limits^t_0 \left[f(\tau) - \frac{1}{2}s^2(\tau) \right]\,d\tau + \left[\int\limits^t_0 s^2(\tau)d\tau\right]^{1/2}\cdot \varepsilon,</math></center>

Текущая версия на 20:58, 6 марта 2010

Диверсификация << Оглавление >> Опционы

Пусть инвестор начинает свою карьеру с капитала Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle П_0} . Он формирует портфель из акций, цены которых стохастическим образом изменяются со временем. Поэтому его капитал также изменяется, как . Естественно, обогащение не является самоцелью, и за каждую единицу времени он потребляет часть капитала, максимизируя своё удовольствие . Какова в этом случае оптимальная стратегия инвестирования? Эту задачу изучали в 1969 г. Роберт Мертон и Пол Самуэльсон.

Если количество акций каждого вида в портфеле равно , то изменение его стоимости за малый интервал времени после изъятия равно:

Мы для простоты считаем, что потребление пропорционально капиталу. Мертон на самом деле доказал это утверждение.

Пусть цены на акции испытывают стационарное логарифмическое блуждание:

где — доходности акций, а матрица определяет их ковариации. В этом разделе по повторяющимся индексам суммирование не подразумевается, если это явно не указано знаком суммы. Подставляя в уравнение портфеля и вводя веса каждой акции, получаем нестационарное логарифмическое блуждание:

(8.5)

Снос и волатильность портфеля определяются соотношениями:

где — ковариационная матрица. Переход от нескольких стохастических переменных к одной мы сделали стандартным образом:

Сумма гауссовых чисел — снова гауссово число, множитель перед которым находится после возведения в квадрат и усреднения.

Вес каждой акции в портфеле и удельное потребление задаются инвестором. В результате функции и в уравнении (8.5) являются фиксированными. Переходя к при помощи леммы Ито, имеем:

Откуда, воспользовавшись (2.18), Точные решения уравнения Ито, получаем точное решение:

где, как обычно, - гауссова случайная величина с и .

Постоянное изъятие сумм обладает для инвестора определённой полезностью (utility) . Это понятие достаточно умозрительно, но очень популярно в экономической литературе. Основные гипотезы теории полезности состоят в том, что 1) функция является выпуклой, и 2) она растёт медленнее линейной функции. Каждая дополнительная единица благ (выраженная в деньгах ), в любом случае, приносит удовольствие. Однако больше двух котлет не съешь и пяти бутылок вина не выпьешь. Поэтому постепенно, с увеличением , дополнительной полезности получается всё меньше, и рост функции замедляется. Часто функцию полезности выбирают в степенном виде , с параметром или в логарифмическом . Рассмотрим вариант степенной зависимости.

Вычислим среднее значение полезности в момент времени . Усреднение проводится при помощи (1.11) (Нормальное распределение):

Подставляя явный вид функций и , имеем:

Выбор определённых стратегий инвестирования и изъятия (потребления) на протяжении времени приводит к некоторому среднему значению полезности в момент времени . Однако получение максимальной сиюминутной полезности также не является главной целью инвестора. Так в чём же смысл его жизни?

По Мертону и Самуэльсону, инвестор должен максимизировать суммарную дисконтированную полезность, получаемую на протяжении всей своей жизни. И если он не законченный эгоист, дополнительную полезность он получает от остаточного капитала, передаваемого по наследству. Математически это может быть выражено в следующем виде:

(8.6)

Первый интеграл суммирует все получаемые от изъятий средние полезности . При этом параметр аналогичен ставке дисконтирования денежных потоков ( C). Чем позже получено удовольствие, тем меньше его вклад в смысл жизни. Второе слагаемое является полезностью завещаемого инвестором капитала (bequest valuation function) в финальный момент его жизни . Параметр характеризует степень его не эгоистичности, и обычно предполагается небольшим . Полезность от завещания имеет такую же функциональную форму, как и от потребления. В принципе, можно рассмотреть и другие зависимости. Последнее слагаемое появляется в соответствии с методом множителей Лагранжа (стр. \pageref{lagrang_mult}). Мы ищем экстремум при дополнительном требовании равенства суммы весов единице в каждый момент времени.

Найдём экстремум функционала (8.6) по функциям и ( H):

(8.7)

где пропорциональна множителю Лагранжа и должна рассматриваться как -я неизвестная переменная. Зависимость от времени отсутствует, и определяются из решения системы линейных уравнений. Теперь можно упростить выражение для средней полезности:

где величина :

зависит от статистических параметров акций, функции полезности и найденных из (8.7) постоянных весовых коэффициентов .

После подстановки оптимальных значений весов функционал для оптимизации принимает вид:

(8.8)

Проварьируем его ( H) по функции удельного потребления :

Это интегральное уравнение относительно . Положив , получаем граничное условие . Если взять производную по времени, интегральное уравнение перейдёт в обычное уравнение логистического типа (1.2) (Стохастические уравнения), с решением (при и ):

(8.9)

где . Важным следствием (8.7) и (8.9) является то, что выбор портфеля не зависит от решения по стратегии изъятий.

Рассмотрим частный случай, когда инвестору доступны только два актива — депозит с фиксированной доходностью и акция с волатильностью и доходностью . Доля средств размещаемых в депозите, равна , а в акциях . Матрицы дисперсий , доходности и весов имеют вид:

Решая систему (8.7), получаем:

Мы видели (8.3), что в данном случае эффективное множество является прямой, соединяющей точки и . Выбор распределения средств между этими двумя активами выглядел абсолютно произвольным. Теория Мертона связывает значение веса и выпуклости полезности . Более подробный анализ теории пожизненного инвестирования целесообразно проследить по классической работе Мертона.


Диверсификация << Оглавление >> Опционы

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения